Formelzeichen und Einheiten

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1 Formelzeichen und Einheiten Mathematische Grundlagen Bedeutung Formelzeichen SI- Einheit Bemerkung 1. Längen Länge l m Die angeführten SI-Einheiten dienen nur der Breite b m Veranschaulichung der zugehörigen Größen. Höhe h m Durchmesser d, D m Die Wahl eines geeigneten dezimalen Vorsatzes Umfang U m ist eine Frage der Zweckmäßigkeit. Eckmaß e m Weglänge s m m dm cm mm Längendifferenz D/ m Teillängen / 1, / m mittlere Länge l m m Die Längen-Umrechnungszahl ist 10.. Längen mit ihren Potenzen Fläche A m m dm cm mm Mantelfläche A M m Oberfläche A O m Die Flächen-Umrechnungszahl ist 100; Querschnitt S m m dm cm mm Volumen V m Volumenstrom V. m /s Die Volumen-Umrechnungszahl ist Zeit Zeit t s 1 min 60 s 1 h 60 min 1 Tag 4 h Geschwindigkeit v m/s Umdrehungsfrequenz n 1/min ) 1 entfällt bei einer Zahl mit Einheit, z.b. 00/min Vorschubgeschwindigkeit v f mm/min ) augenblickliche Geschwindigkeit mittlere Geschwindigkeit v m m/s ungleichförmige Geschwindigkeit Fallbeschleunigung g m/s Normalbeschleunigung 9,80665 m/s 4. Mechanik Masse m kg Mg (t) kg g mg längenbezogene Masse m kg/m flächenbezogene Masse m kg/m Die Massen-Umrechnungszahl ist Dichte r (Rho) kg/m 1 g/cm 1 kg/dm 1 t/m Kraft F N 1 N 1 kg m/s Teilkräfte F 1, F N oder achsenbezogen F x, F y Ersatzkraft F R N Gewichtskraft F G, G N F G m g Newton Kilogramm mal 10 Druck p Pa, bar 1) 1 Pa 1 N/m 10 5 Pa 1 bar 1) Atmosphärischer Druck p amb Pa, hpa 1 p amb 101 hpa 1 hpa 1 mbar 1) Überdruck p e bar 1) Unterdruckbereich negativer Überdruck absoluter Druck p abs Pa, bar 1) p abs p amb p e Zugfestigkeit R m N/mm ) 1 N ) Normalspannung s (Sigma) N/mm 1 MPa mm Schubspannung t (Tau) N/mm ) Kraftmoment, Drehmoment M Nm Arbeit, Energie W J 1 J 1 N m 1 W s potenzielle Energie W p J kinetische Energie W k J 5. Wärmelehre und Elektrizität Celsius-Temperatur t C Bei Temperaturdifferenzen gilt 1 C 1 K thermodynamische Temperatur T K T 7 t Spannung U V Strom I A Widerstand R Z 1 Z 1 V/A 1) weitere Einheit außerhalb des SI ) Einheiten für spezielle Anwendungsbereiche 6

2 Lösen von Aufgaben Mathematische Grundlagen 1. Allgemeine e Jeder Wert einer physikalischen Größe kann als Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden: Größenwert Zahlenwert Einheit Länge l 10 mm Fläche A 48 cm Zwischen Zahlenwert und Einheit wird kein Multiplikationszeichen gesetzt. Zahlenwert und Einheit sind als selbstständige Faktoren zu behandeln. Wenn sich die Einheit ändert, so ändert sich auch der Zahlenwert.. Aufgabenstellung Für ein dreieckiges Knotenblech wird eine Fläche von 48 cm benötigt. Berechnen Sie für 10 mm Seitenlänge die erforderliche Breite in cm. Lesen Sie den Aufgabentext langsam mit Überlegung und stellen Sie sich den Sachverhalt deutlich vor! Halten Sie dabei möglichst die Zusammenhänge skizzenhaft fest! Schreiben Sie die gesuchten und gegebenen Größen sauber mit Formelzeichen und Einheit heraus: Gesucht b in cm Gegeben A 48 cm l 10 mm. Grundgleichung Bringen Sie die erkannten Zusammenhänge auf die jeweilige Grundgleichung, hier: A l b Erst dann ist nach der gesuchten Größe aufzulösen: A b l 4. Lösungsgang Gesucht b in cm Gegeben A 48 cm Vorüberlegung l 10 mm 1 cm Grundgleichung in Worten b Lösung A l b b A l 48 cm 1 cm b 16 cm Nebenrechnung Achten Sie auf die schrittweise Ausführung der Rechnung. Es empfiehlt sich, vor der Ausrechnung eine Überschlagsrechnung vorzunehmen. Führen Sie ferner durch das Mitnehmen und Kürzen der eingesetzten Einheiten den Nachweis der Einheitenkontrolle durch. 5. Zusammenfassung Die Problemdurchdringung erfolgt in drei Stufen: Lesen Sie bewusst erfassen Sie mit Einsicht überprüfen Sie mit Verständnis. Bringen Sie die Zusammenfassung der Problemlage auf die Grundgleichung. 7

3 Rechnen mit Brüchen Mathematische Grundlagen Zähler zählt die Teile (Dividend) Nenner nennt die Teilungszahl (Divisor) Bruch Teil vom Ganzen (Quotient) 1. Bruchbegriff Brüche entstehen bei der Teilung eines Ganzen, z. B. 1 4, 4, 4, 4 4, 5 Zähler Dividend Quotient 4 Nenner Divisor Folgerung Jeder Bruch stellt eine Division dar. Jede gemischte Zahl lässt sich als Bruch darstellen, z.b Addition Gleichnamige Brüche (Brüche mit gleichem Nenner) werden addiert, indem man ihre Zähler addiert und den Nenner beibehält Ungleichnamige Brüche (Brüche mit ungleichem Nenner) werden addiert, indem man sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringt Subtraktion Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man ihre Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält Ungleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringt Multiplikation Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert Division Brüche werden dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert Zusammenfassung Nur gleichnamige Brüche lassen sich addieren und subtrahieren. Eine ganze Zahl kann als Scheinbruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden. Multiplikation Bruch I Bruch II Division Bruch I Kehrwert von Bruch II 7. Beispiele Divisionszeichen oder Bruchstrich sind gleichwertige Rechenzeichen. 6/8 gekürzt ergibt /4 Kürzen, d. h. Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. /4 mit erweitert 6/8 Erweitern, d. h. Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizieren. a Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache aller Einzelnenner. x b y c ayz bxz cxy z xyz Der Hauptnenner wird unter einen gemeinsamen Bruchstrich gesetzt. Kehrwert von ist Den Kehrwert erhält man, indem Zähler und Nenner vertauscht werden. x x 8 Bruchgleichungen werden nach den Regeln der Gleichungslehre aufgelöst. 14

4 Aufgaben Rechnen mit Brüchen Kürzen von Brüchen a 4b 1c 6 abx acx adx ax 1. a) b) c) ax x (a b) (a b) 6ab 1a 10b ax ay bx by. a) b) c) 15 (a b) (a b) 6ab 1a 0b 6 ax bx ay by Erweitern von Brüchen 1ax 5b 4c y a b c d e. a) mit bz b) mit d c) mit x 1cy x a b x y 5z mit ab 4 8 x 1y 4. a) b) c) 1x 15y z 4 4x 4y Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen xy 7xy 10xy a 4b 5. a) b) c) 7 x x x x ax z bx z 6a a b a b a b 9a 1b a 5b 6. a) b) c) a b a b x y Addition und Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen x 5 x z 5 7. a) b) c) 9x 6y 7x y x 1y 5x y 8. a) b) c) x y x y x 4 a b x a 7b x y ab a 6 5 a y x 4 1 Multiplikation von Brüchen ,5 1ax 8dy 4cy 6a 4 d 7 9. a) b) c) 8 xy 4x a) a a b cd ab (b) b) x 5x 4y 6y c) 6x 9y 1 x 11 y z 11 Division von Brüchen a 1a 4ab 11. a) b) c) 5x x 6xy abc 4 5 bc ab bx bx abx x ax 4a b (a x) a b a x 9 6abc 1. a) b) c) x 9 Multiplikation und Division von Brüchen 1 4 ab 6ab 1. a) b) x x 6mx c) 4nx (a b) (c d) x 4(x y) 4x 4y a b 14. a) b) c) x y y x y x 11 x 4 x x 5 4 xy x r s 6x 1 a b Wissen Erkennen Werten a) Erklären Sie: Bruch und Scheinbruch, Zähler und Nenner. b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen Bruchstrich und Divisionszeichen? c) Beschreiben Sie mithilfe eines Beispiels das Erweitern und Kürzen. d) Unter welchen Voraussetzungen können Brüche addiert oder subtrahiert werden? e) Zeigen sie auf, wie man Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandelt. f) Nennen sie technische Anwendungsbeispiele für die Bruchrechnung. a p ap 15

5 Interpretieren von Darstellungen Fachstützende Grundlagen a, b vorhandene Größen x gesuchte Größe ZE Zeicheneinheit Größe Zahlenwert Einheit 1. Beziehungen Jede Aufgabe lässt sich auf eine Abhängigkeit von zwei oder mehreren Größen zurückführen. Die abhängige, veränderliche Größe nennt man Funktion. Größen:Dem Kreisumfang ist der Durchmesser zugeordnet U f(d) y f(x) Der Geschwindigkeit ist die Zeit zugeordnet vf(t) y f(x) Zuordnungen können mit Zahlenleitern, Leitertafeln oder in Diagrammen (Netztafeln, Schaubildern) verdeutlicht werden.. Zahlenleiter Zahlenleiter werden eingesetzt, wenn zwei veränderliche Größen von einer Konstanten abhängen, z. B. Temperaturvergleich C mit K. Aufbau: Zwei zueinander in einem bestimmten Verhältnis stehende Größen werden auf einer Zahlenleiter gegenübergestellt. Durch eine Zahlenleiter kann eine funktionelle Beziehung übersichtlich auf kleinstem Raum dargestellt werden.. Leitertafel Mit Leitertafeln wird die gesuchte Größe in Abhängigkeit von mehreren bekannten Größen grafisch ermittelt. Aufbau: Die drei Leitern haben gleichen, parallelen Abstand voneinander. Die mittlere Leiter hat bei x a b halbe Zeicheneinheit. Für eine Gleichung mit drei Größen sind drei parallele Geraden erforderlich, die im gewünschten Ablesebereich mit Zahlen zu versehen sind. 4. Diagramm Grafische Darstellungen im Koordinatensystem nennt man allgemein Diagramme, die durch die Punktverbindung entstandene Linie Graph oder Schaulinie. Graph: Gleicher Zuwachs der Zuordnungen ergibt als Schaulinie eine Gerade. Ungleicher Zuwachs der Zuordnungen ergibt als Schaulinie eine Kurve. Bei metrischer Achsenteilung ist die Schaulinie eine Gerade oder Kurve. Bei logarithmischer Achsenteilung ist die Schaulinie stets eine Gerade. 5. Zusammenfassung Zahlenleitern, Leitertafeln und Diagramme sind nomografische 1) Rechenhilfen, mit denen die gesuchte Größe grafisch ermittelt wird. 6. Beispiel Die mechanische Arbeit W eines Körpers ist von dem Weg s und der Kraft F abhängig. Überprüfen Sie den Zusammenhang mit nebenstehender Leitertafel. 4 Lösung Schnittpunkt F-W-s Wertetabelle Vorüberlegung F in N Arbeit Kraft Weg s in cm W in Ncm Anmerkung Bei einer Gleichung y a b hat die mittlere Leiter mit logarithmischer Teilung die halbe Zeicheneinheit. 1) nomos (griechisch) Gesetz, Regel

6 Aufgaben Wärmedehnung Berechnen Sie die fehlenden Werte für einen Profilstahl: 1. Aufgabe a b c. Aufgabe a b c Anfangslänge in mm ? l 1 in m 1? Temperaturdifferenz in K 1? 00 Dt in C 100? 100 Längenänderung in mm? 1,,4 Dl in mm? 4,8 1,8. Das Ausdehnungsmaximum einer 0 m langen Eisenbahnschiene ist bei 14 C 9,6 mm. Welche Ausgangstemperatur wurde zugrunde gelegt? 4. Ein 14 m langer Brückensteg wurde bei 18 C montiert. Im Sommer erwärmte sich die Brücke auf 48 C. Um welches Maß verlängert sie sich? 5. Eine 755 mm lange Stahlwelle musste beim Drehen zwischen Stirnseitenmitnehmer und Körnerspitze um 1 mm gelockert werden. Die Werkstatttemperatur betrug 0 C. Wie hoch war die Erwärmung? 6. Eine Stahlbrücke hat bei 0 C eine Länge von 80 m. Man rechnet im Sommer mit einer Erwärmung bis auf 65 C. Wie viel mm Spalt müssen aufgrund der Temperaturschwankung frei bleiben? 7. Eine m lange Profilleiste verlängerte sich bei Erwärmung von 15 C auf 85 C um 5,05 mm. Aus welchem Werkstoff besteht das Profil? 8. Eine Cu-Freileitung hat bei 0 C eine Länge von 5 m. Im Sommer steigt die Temperatur auf 48 C. Wie groß ist die Längenzunahme? 9. Eine 14 m lange Aluminiumschiene hat sich bei 18 C gemessen im Betrieb auf 14,04 m verlängert. Wie groß war die Erwärmung? 10. Ein Wälzlager von 60 mm Durchmesser wird zum Aufziehen in Öl von 0 C auf 80 C erwärmt. Um wie viel mm vergrößert sich der Innendurchmesser? 11. Ein Stahlring mit 79,95 mm Innenbohrung soll auf eine 80 mm dicke Welle aufgeschrumpft werden. Messtemperatur ist 0 C. Auf welche Temperatur muss der Ring mindestens erwärmt werden? Wissen Erkennen Werten a) Begründen Sie, warum bei Temperaturdifferenzen für 1 C 1 K gesetzt wird. b) Beweisen Sie die Ausdehnungsgleichung: l l 1 (1 a l Dt). c) Zeigen Sie den Zusammenhang zwischen Längen- und Volumenausdehnung auf. d) Was geschieht, wenn ein erwärmter Körper sich nicht frei ausdehnen kann? e) Nennen Sie Fälle, bei denen die Wärmeausdehnung berücksichtigt werden muss. f) Wann können Bauteile aus verschiedenen Werkstoffen gepaart werden? g) Unterscheiden Sie die Begriffe Dehnen und Schrumpfen. Stahl S5 S75 Stahl 55

7 Gestreckte Längen Fertigungs- und Prüftechnik L gestreckte Länge in mm D Außendurchmesser in mm l 1, l Teillängen in mm d m mittlerer Durchmesser in mm d Innendurchmesser in mm s Materialdicke in mm n Anzahl der Biegekanten Gestreckte Länge Ausgangslänge für Biegeteile. Biegelänge Beim Biegen werden die äußeren Werkstofffasern durch Zugspannungen gestreckt, die inneren Fasern durch Druckspannungen verkürzt. Folgerung Man errechnet gestreckte Längen auf einer neutralen Faser, die frei von mechanischen Spannungen ist. 1. Vollring Länge vor dem Biegen mittl. Durchmesser p L d m p mittl. Durchmesser Außendurchmesser Materialdicke mittl. Durchmesser Innendurchmesser Materialdicke. Zusammengesetzte Länge Die gestreckte Länge setzt sich aus den Teillängen zusammen. a L d m p 60 l Richtwerte für die Wahl von Biegeradien sowie Schwerpunktslagen von Werkstoffprofilen sind den Tabellenbüchern zu entnehmen.. Ecke gestaucht Gestreckte Länge Länge der Mittellinie L Summe der Außenmaße n s L Summe der Innenmaße n s Bei symmetrischem Querschnitt geht die neutrale Faser durch den Mittelpunkt. 4. Zusammenfassung Für regelmäßige Querschnitte (z. B. Kreis, Quadrat, Rechteck) gilt: Gestreckte Länge Länge ihrer neutralen Faser 5. Beispiel Aus einem Vierkantstahl mit der Abmessung 0 0 mm ist ein Ring mit 00 mm Innendurchmesser herzustellen. Welche Stablänge in mm ist erforderlich? 64 Gesucht L in mm Gegeben s 0 mm Vorüberlegung d 00 mm Gestr. Länge Länge der Mittellinie Lösung L d m p L 0 mm p L 7,6 mm Achten Sie stets auf die Durchmesserangabe (Innen- oder Außendurchmesser).

8 Aufgaben Regelmäßige Vierecke 1. Verwandeln Sie in: a) m :,8 dm, 0,78 cm, 140 mm, 0,04 cm, 1,4 dm,,8 mm b) cm : 6, m, 0,66 dm, 10 mm, 0,0 dm, 86,4 m,,4 mm c) dm : 9,8 cm, 0,1 m, 6186 mm, 0, m,, cm, 0, mm d) mm : 4, dm, 0,04 m, 781 cm,,1 cm, 0,1 dm, 0,00 m Die fehlenden Werte sind zu berechnen:. Rechteck a b c. Rhomboid a b c Länge in cm 40 50? l in m 0, 0,? Breite in cm 5? 4,5 b in dm 1,5?,5 Fläche in cm? A in cm? Es wird eine Abdeckplatte mit den Maßen mm benötigt. Berechnen Sie den notwendigen Blechbedarf in m. 5. Für eine Träger-Versteifung wird ein Blech in Rhombusform benötigt. Die Grundseite wird mit 18 mm und die Senkrechte dazu mit 15 mm gemessen. Ermitteln Sie den Flächenbedarf in cm. 6. Eine Blechtafel ist 100 mm lang und 580 mm breit. Berechnen Sie den Flächeninhalt in m. 7. Für ein Nummernschild werden 5,7 dm Blech verarbeitet. Ermitteln Sie bei bekannter Grundseite von 5 cm die Breite in mm. 8. Für eine Blechtür werden 1,89 m Blech benötigt. Die Tür ist 0,9 m breit. Berechnen Sie die Türhöhe in mm. 9. Die Grundseiten einer rechteckigen Ölwanne verhalten sich wie : 5 bei einem Flächeninhalt von 0,16 m. Der Flächeninhalt soll um,4 dm vergrößert werden. Bestimmen Sie die neuen Seiten in cm. 10. Ein Quadrat von 10 mm Seitenlänge soll in ein flächengleiches Rechteck von 85 mm Breite verwandelt werden. Wie lang wird die Grundseite? 11. Ein Rhomboid von 140 mm Länge und 60 mm Breite soll in ein flächengleiches a) Rechteck von 110 mm Länge, b) Quadrat, c) in einen flächengleichen Rhombus von 80 mm Breite verwandelt werden. Wissen Erkennen Werten a) Erläutern Sie, wie viel Ausdehnungen eine Fläche besitzt. b) Worauf ist beim Umrechnen von Flächeneinheiten zu achten? c) Vergleichen Sie die Bezeichnungen Parallelogramm, geradlinig begrenzte Flächen und regelmäßige Vierecke. Rhomboid (Parallelogramm) 69

9 Ohm sches Gesetz Elektrotechnik U R I Spannung, gemessen in V (Volt) Widerstand, gemessen in Z (Ohm) Stromstärke, gemessen in A (Ampere) 1. Grundgrößen Zur Verdeutlichung der elektr. Grundgrößen betrachten wir einen unter Druck stehenden Wasserhahn: Wasserdruck Z Elektronendruck Z Spannung Wassermenge Z Elektronenfluss Z Stromstärke Drosselung Z Elektronenbehinderung Z Widerstand. Beziehungen Gleich bleibender Widerstand bewirkt bei Spannungserhöhung gleichzeitige Stromerhöhung. Versuchsreihe: R 100 Z (konstant) Spannung in V Stromstärke in A 1 Gleich bleibende Spannung bewirkt bei Widerstandserhöhung gleichzeitige Stromverringerung. Versuchsreihe: U 00 V (konstant) Widerstand in Z Stromstärke in A 8 4. Ohm sches Gesetz Aus diesen beiden Beziehungen I U und I 1/R erhalten wir das Ohm sche Gesetz: I (Zweckmäßig U R I geschrieben) U R Merke Das Ohm sche Gesetz beschreibt die Wechselbeziehung zwischen U, R und I. 4. Zusammenfassung Das Ohm sche Gesetz gilt für Gleichstrom, für Wechselstrom nur bei ohmscher Belastung. U R I 5. Beispiel Eine Glühlampe nimmt bei einer Spannung von,6 Volt einen Strom von 0, Ampere auf. Welchen Widerstand besitzt der Glühdraht? Gesucht R Gegeben U,6 V Vorüberlegung I 0, A U R I Lösung U R I U R I,6 V R 0, A R 18Z 11 Beachte Setzen Sie die Grundgrößen stets als V, A, Z an.

10 Fertigungs- und Prüftechnik: Druckprüfventil Lernfeldübergreifende Arbeitsaufträge Schwerpunkte Technische Kommunikation (Skizzieren, Bemaßung) Berechnungen (Masse, Druck, Hebelgesetz) Werkstofftechnik (Halbzeuge, Kurzname) Fertigungstechnik (Spanen, Fügen, Richtwerte) Prüftechnik (Gewindegrößen, Maßtoleranzen) Technische Unterlagen (CNC-, v c -d-diagramm) Allgemeintoleranzen ISO 768-m Spannstift 4 15 DIN EN ISO Si Rändelschraube M5 10 DIN Gegengewicht S5JRG1 5 Rundstahl DIN EN Hebelstange S5JRG1 4 Flachstahl DIN EN Ventilkörper S5JRG1 Rundstahl DIN EN Lagerbock S5JRG1 Flachstahl DIN EN Ventilgehäuse S5JRG1 1 Sechskantstahl DIN EN P1 Kommunikation Lernbereichsübergreifende Arbeitsaufträge 1. Lesen Sie die Gesamtzeichnung, erläutern Sie die Funktion der Einzelteile.. Zeigen Sie auf, bei welchen Teilen Kraft-, Form- oder Stoffschluss auftreten.. Welche Beanspruchungsarten werden bei Belastung des Ventils wirksam? 4. Warum eignet sich das Gewinde M4 besonders als Befestigungsgewinde? 5. Welchen Einfluss hat die Steigung des Gewindes auf die Anpresskraft? 6. Nennen Sie besondere Anforderungen an die Funktionssicherheit des Ventils. P Werkstofftechnik P Prüftechnik P4 Fertigungstechnik 1. Erläutern Sie die in der Stücklistenspalte aufgeführten Halbzeuge.. Ermitteln Sie für die erforderlichen Halbzeuge die längenbezogene Masse.. Was bedeutet in der Stückliste der Spalte Werkstoff die Angabe S5JRG1? 4. Erläutern Sie den Unterschied zwischen Zugfestigkeit und Streckgrenze. 5. Erklären Sie für den Spannstift (Pos. 7) die Werkstoffangabe 55 Si7. 6. Entschlüsseln Sie die Bezeichnung: Rändelschraube DIN 65-M Nennen Sie die Kenngrößen, die zur Überprüfung des Gewindes dienen.. Welche Gewindegrößen können mit dem Messschieber ermittelt werden?. Zeigen Sie Möglichkeiten auf, das fertige Gewinde M4 zu prüfen. 4. Ermitteln Sie für das Befestigungsgewinde M4 den Flankendurchmesser. 5. Nennen Sie mögliche Prüffehler bei der Fertigungs- und Funktionskontrolle. 6. Erstellen Sie für die Fertigung eine Liste mit den erforderlichen Prüfgeräten. 1. Zeigen Sie auf, welche Fragen bei der Fertigung im Mittelpunkt stehen.. Nach welchen Gesichtspunkten ist die Werkstoffauswahl zu treffen?. Begründen Sie die anwendungsbezogenen Fertigungsverfahren. 4. Erläutern Sie grundlegende Vorgänge und Einflüsse beim Spanen. 5. Nennen Sie wichtige Unfallverhütungsvorschriften für die Fertigung der Teile. 6. Welche Maschinen und Werkzeuge sind für die Fertigung bereitzustellen? 16