5. Beschreibungslogiken und Web-Ontologien. Eigenschaften von Beschreibungslogiken. Das Grundvokabular besteht aus

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1 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Einführung in Beschreibungslogiken 5. Beschreibungslogiken und Web-Ontologien 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Einführung in Beschreibungslogiken Das Grundvokabular besteht aus Konzepten (concepts): benannte Mengen von Objekten Beschreibungslogiken (Description Logics, DL): Familie von Wissensrepräsentationssprachen meistens Untermenge der Prädikatenlogik (erster Stufe) häufig im Gegensatz zur Prädikatenlogik entscheidbar Die Web Ontology Language (OWL) entspricht einer Beschreibungslogik. Rollen (roles): zweistellige Beziehungen zwischen Objekten Aus atomaren Konzepten und Rollen können komplexere Konzepte und Rollen aufgebaut werden. Die Art und Weise, wie komplexere Konzepte und Rollen definiert werden können, ist spezifisch für jede Beschreibungslogik. Beschreibungslogiken haben eine modelltheoretische Semantik Beschreibungslogik und Web-Ontologien Einführung in Beschreibungslogiken Eigenschaften von Beschreibungslogiken Eine Wissensbasis besteht aus zwei Komponenten: TBox: Definiert das Vokabular in einem Anwendungsbereich (Terminologie, Grundvokabular), d.h. allgemeine Zusammenhänge zwischen Objekten des Anwendungsbereichs 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Einführung in Beschreibungslogiken Beispiel 5.1. Konzepte: Professor, Vorlesung Rolle: Professor hält Vorlesung TBox: FaulerProfessor := Professor, der keine Vorlesung hält ABox: witt ist ein Professor, becker ist ein Professor, theo inf ist eine Vorlesung, witt hält theo inf ABox: Annahmen (assertions) über einzelne Objekte ausgedrückt mit Hilfe des Grundvokabulars

2 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Einführung in Beschreibungslogiken Inferenzmechanismen Bemerkungen: Negation kann nur auf atomare Konzepte angewendet werden. Auf DL basierende Systeme bieten die folgenden Schlussfolgerungsmechanismen an: Nur das universelle Konzept ist im Gültigkeitsbereich des Existenzquantors erlaubt. Erfüllbarkeit: Ist eine Konzeptbeschreibung erfüllbar? Gibt es ein Modell für das Konzept? Subsumption: Ist Konzept A allgemeiner als Konzept B? Konsistenz: Gibt es ein Modell zu den Annahmen einer ABox? Instanz: Ist Objekt a eine Instanz von Konzept C? Die Sprache AL Im folgenden seien A, B atomare Konzepte, R eine atomare Rolle und C, D Konzeptbeschreibungen. Dann können Konzeptbeschreibungen in AL (attributive language) gemäß den folgenden Syntaxregeln gebildet werden: C, D A (atomic concept) (universal concept) (bottom concept) A (atomic negation) C D (intersection) R.C (value restriction) R. (limited existential quantification) Beispiel 5.2. Dann sind Gegeben seien die atomaren Konzepte: Person, Female. Person Female und Person Female Konzeptbeschreibungen in AL. Gegeben sei zusätzlich die atomare Rolle: haschild. Dann sind auch Person haschild. Person haschild.female Person haschild. Konzeptbeschreibungen in AL. Finden Sie umgangssprachliche Beschreibungen für diese Konzepte!

3 Semantik von AL-Konzepten Semantik von Konzeptbeschreibungen Eine Interpretation ( I, I) besteht aus einer nichtleeren Menge I (domain, Universum) und einer Interpretationsfunktion I, die jedem atomaren Konzept A eine Menge A I I und jeder atomaren Rolle R eine zweistellige Relation R I I I zuordnet. Solch eine Interpretationsfunktion wird wie folgt auf Konzeptbeschreibungen erweitert: I I ( A) I = I = = I \ A I (C D) I = C I D I ( R.C) I = {a I b : (a, b) R I b C I } ( R. ) I = {a I b : (a, b) R I } Konzepte, Rollen und Prädikate Konzepte entsprechen einstelligen Prädikaten Rollen entsprechen zweistelligen Prädikaten In der Prädikatenlogik ordnet eine Interpretation einem einstelligen Prädikat eine Menge zu. Bemerkung: Zum Konzept R.C gehören alle Elemente (Objekte) des Universums, die über die Rolle R ausschließlich mit Objekten des Konzeptes C in Beziehung stehen. Zum Konzept R. gehören alle Elemente (Objekte) des Universums, die über die Rolle R mit mindestens einem Objekt in Beziehung stehen. Man beachte: Mit AL können wir nur neue Konzepte definieren, keine Rollen

4 Äquivalenz von Konzepten Zwei Konzepte C und D heißen äquivalent (Schreibweise: C D) gdw. C I = D I für alle Interpretationen I gilt. number restrictions (Bezeichnung N ): n R (at-least) bzw. n R (at-most) ( n R) I = { a I {b (a,b) R I } n } ( n R) I = { a I {b (a,b) R I } n } Beispiel 5.3. Es gilt negation (Bezeichnung C): C haschild.female haschild.student haschild.(female Student) ( C) I = I \ C I Beispiel 5.4. Personen, die höchstens ein Kind haben oder mindestens drei, davon eine Tochter: Person ( 1 haschild ( 3 haschild haschild.female)) Die Sprachfamilie AL Bezeichnungen für AL-Sprachen Durch zusätzliche Konstruktoren zur Erzeugung von Konzeptbeschreibungen erhalten wir mächtigere Sprachen. union (Bezeichnung U): C D (C D) I = C I D I full existential qualification (Bezeichnung E): R.C ( R.C) I = {a I b : (a, b) R I b C I } Die Erweiterung von AL um eine beliebige Teilmenge der vorgestellten Konstruktoren führt jeweils zu einer speziellen Sprache der AL- Sprachfamilie. Wir bezeichnen solch eine Sprache durch ein String der Form AL[U][E][N][C] Hierbei steht prinzipiell jeder optionale Buchstabe für einen der zusätzlichen Konstruktoren

5 Beispiel: ALEN ist die Erweiterung von AL um full existential qualification und number restrictions. Aus semantischer Sicht sind nicht alle diese Sprachen disjunkt. So gilt: C D ( C D) R.C R. C 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Beschreibungslogik und Prädikatenlogik Wenn das Konzept C durch die PL1-Formel Φ C (X) dargestellt wird und R eine atomare Rolle ist, dann werden value restriction und existential quantification repräsentiert durch: Φ R.C (Y ) = XR(Y,X) Φ C (X) Φ R.C (Y ) = XR(Y,X) Φ C (X) Number restrictions werden wie folgt repräsentiert: O.B.d.A. setzen wir daher voraus: Eine AL-Sprache bietet genau dann die Negation an, wenn Sie auch die Vereinigung und die volle existentielle Quantifizierung anbietet. Φ n R (X) = Y 1,...,Y n R(X,Y 1 ) R(X,Y n ) i<j Y i Y j Φ n R (X) = Y 1,...,Y n+1 R(X, Y 1 ) R(X,Y n+1 ) i<j Y i = Y j Konsequenz: Statt UE schreiben wir kurz C Beschreibungslogik und Web-Ontologien Beschreibungslogik und Prädikatenlogik Beschreibungslogik und Prädikatenlogik Atomare Konzepte können als einstellige Prädikate gesehen werden, atomare Rollen als zweistellige Prädikate. 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Beschreibungslogik und Prädikatenlogik Man beachte, daß das Gleichheitsprädikat = notwendig ist, um die number restrictions ausdrücken zu können. Warum überhaupt eine spezielle Syntax? Beschreibungslogik ist knapp, präzise und leichter verständlich als Prädikatenlogik. Jedes Konzept C kann dann durch eine PL1-Formel Φ C (X) mit freier Variable X dargestellt werden, so daß für jede Interpretation I die Menge der Elemente, die Φ C (X) erfüllen, genau C I ist. Ein atomares Konzept A wird dargestellt durch die Formel A(X). Die Konstruktoren, und werden durch die logischen Junktoren, und repräsentiert

6 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Terminologien Terminologische Axiome 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Terminologien Definitionen Terminologische Axiome haben die folgende Form: C D (R S) oder C D (R S) Axiome der ersten Art heißen Einschluss (inclusion), Axiome der zweiten Art Gleichheit (equality). Eine Interpretation I erfüllt (satisfies) einen Einschluss C D gwd. C I D I gilt. Ein Gleichheitsaxiom C D ist erfüllt gdw. C I = D I gilt. Ein Gleichheitsaxiom, bei dem die linke Seite ein atomares Konzept ist, heißt Konzeptdefinition (definition). Konzeptdefinitionen führen symbolische Namen für Konzepte ein. Beispiel: Mother Woman haschild.person Einmal eingeführte symbolische Namen können in anderen Konzeptbeschreibungen verwendet werden: Parent Mother Father Beschreibungslogik und Web-Ontologien Terminologien Es sei T eine Menge von Axiomen. I erfüllt T gdw. I jedes Axiom aus T erfüllt. 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Terminologien Terminologie Eine Interpretation, die ein Axiom (bzw. eine Menge von Axiomen) erfüllt, heißt Modell für dieses Axiom (bzw. die Menge). Zwei Axiome (bzw. Mengen von Axiomen) heißen äquivalent gdw. sie die gleichen Modelle haben. Eine endliche Menge T von Konzeptdefinitionen, bei der jeder symbolische Namen höchstens einmal definiert wird, heißt Terminologie bzw. TBox. Es sei T eine Terminologie. Wir unterteilen die atomaren Konzepte von T in zwei Mengen. Die Namenssymbole (name symbols) N T treten auf der linken Seite eines Axioms auf. Andere Bezeichnung: defined concepts Die Basissymbole (base symbols) B T treten ausschließlich auf der rechten Seite von Axiomen auf. Andere Bezeichung: primitive concepts

7 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Terminologien Beispiel 5.5. Eine TBox für das Gebiet Familie : Woman Person Female Man Person Female Mother Woman haschild.person Father Man haschild.person Parent Mother Father Grandmother Mother haschild.parent MotherWithManyChildren Mother 3 haschild MotherWithoutDaughter Mother haschild. Woman Wife Woman hashusband.man 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen Wenn PETER, PAUL, HARRY und MARY (Namen für) Individuen sind, dann könnte eine ABox wie folgt aussehen: MotherWithoutDaugther(MARY) Father(PETER) haschild(mary, PETER) haschild(peter, HARRY) haschild(mary, PAUL) Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen Weltbeschreibungen 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen Interpretation von ABox und TBox Es seien a, b,c Namen für Individuen (Objekte), C bezeichne ein Konzept, R eine Rolle. Eine concept assertion ist ein Axiom der Form C(a). Eine role assertion ist ein Axiom der Form R(b, c). Eine Weltbeschreibung oder ABox ist eine endliche Menge solcher Axiome. Von nun an ordne eine Interpretation ( I, I) zusätzlich jedem Individuennamen a ein Element a I I zu. Wir setzen voraus, daß verschiedene Namen auch auf verschiedene Objekte abgebildet werden (unique name assumption). Eine Interpretation I erfüllt die concept assertion C(a) gdw. a I C I gilt. Eine Interpretation I erfüllt die role assertion R(b,c) gdw. (a I, b I ) R I gilt

8 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen Eine Interpretation I erfüllt die ABox A gdw. I jedes Axiom von A erfüllt. I heißt dann Modell für A. Eine Interpretation I erfüllt eine ABox in Bezug auf eine TBox gdw. I ein Modell für A und T ist. Ein Modell für A und T ist eine mögliche Situation, bei der die Konzepte als Untermengen gemäß der TBox erfüllt sind und die Zugehörigkeit für einzelne Objekte sowie deren Beziehungen untereinander gemäß der ABox berücksichtigt sind. 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen fills: R : a, wobei R eine Rolle und a ein Nominal ist. (R : a) I = {d I (d,a I ) R I } D.h. R : a bezeichnet die Menge der Objekte, die über die Beziehung (Rolle) R mit Objekt a in Beziehung stehen Beschreibungslogik und Web-Ontologien Weltbeschreibungen Individuennamen in der Beschreibungssprache 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme Inferenzprobleme für Konzepte Manchmal möchte man Individuennamen (Nominale) auch in der TBox benutzen. Konstruktoren hierfür sind: one-of: {a 1,...,a n }, wobei die a i Nominale sind. Es sei T eine TBox: Satisfiability Ein Konzept C heißt erfüllbar (satisfiable) (in Bezug auf T ), wenn ein Model I für T existiert, so daß C I nicht leer ist. Beispiel 5.6. {a 1,...,a n } I = {a I 1,...,a I n} Subsumption Ein Konzept C wird von einem Konzept D subsumiert (subsumed), wenn C I D I für jedes Modell I gilt. Schreibweise: C T D oder T = C D UNSecurityCouncilPermanentMembers {CHINA, FRANCE, RUSSIA, UK, USA} Equivalence Zwei Konzepte C und D heißen äquivalent (equivalent), wenn C I = D I für jedes Modell I gilt. Schreibweise: C T D oder T = C D

9 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme Disjointness Zwei Konzepte C und D sind disjunkt (disjoint) wenn 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme Reduktion auf Nichterfüllbarkeit C I D I = für alle Modelle I gilt. Beispiel: Für die TBox von Folie 187 gilt: Person subsumiert Woman, Woman und Parent subsumieren Mother, Wenn eine DL Negation unterstützt, können die Inferenzprobleme auf die Erfüllbarkeit reduziert werden. C wird subsumiert von D C D ist nicht erfüllbar. C und D sind äquivalent (C D) und ( C D) sind nicht erfüllbar. Mother subsumiert Grandmother. C und D sind disjunkt C D ist nicht erfüllbar. Woman und Man sowie Father und Mother sind disjunkt Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme Reduktion auf Subsumption 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme C sei ein Konzept. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: C ist ist nicht erfüllbar. Es seien C und D Konzepte. Es gilt C ist nicht erfüllbar C wird von subsumiert. C und D sind äquivalent C wird von D subsumiert und D wird von C subsumiert. C und D sind disjunkt C D wird subsumiert von. C wird von subsumiert. C und sind äquivalent. C und sind disjunkt. Nichterfüllbarkeit ist ein Spezialfall der anderen Inferenzprobleme für Konzepte

10 5. Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme Inferenzprobleme für Weltbeschreibungen Konsistenz: Gibt es ein Modelle für eine ABox A (in Bezug auf T )? instance checking: Gehört ein Individuum a zum Konzept C? Schreibweise: A = C(a)? Es gilt: A = C(a) A { C(a)} ist nicht konsistent retrieval problem: Finde alle Individuen, für die A = C(a) gilt! Beschreibungslogik und Web-Ontologien Inferenzprobleme realization problem: Gegeben sei ein Individuum a. Finde die speziellsten Konzepte C, zu denen a gehört. D.h. finde C, so daß gilt A = C(a) und D mit A = D(a) und D wird von C echt subsumiert. 214