Spieltheorien und Theoreme

Transkript

1 Sieltheorien heoreme Für das Seminar: Randomized Algorithms bei Prof. Dr. R. Klein on Daniel Herrmann (Anknüfend an den Beitrag von Alexander Hombach)

2 Inhalt: Blickunkt auf randomisierte Strategien von Neumann s Minimax heorem heorem von Loomis Yao s echniken Yao s Minimax Prinzi Yao s Prinzi zu Monte arlo Algorithmen (kurzer Einblick) Randomisierte Strategien bei Sieltheorien: Bisher haben wir uns nur mit deterministischen Sielstrategien auseinandergesetzt (Ausarbeitung von Alex). Jetzt widmen wir uns den randomisierten bzw. gemischten Strategien. Zuerst eine kleine Erklärung, was eigentlich eine Gemischte Strategie ist: Eine Gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über alle möglichen Strategien. Zur Erklärung: der Saltensieler wählt einen ektor = (,.., n ) der eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Salten von der im ortrag von Alexander Hombach vorgestellten Payoff-Matrix M darstellt. Z.B.: i ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sieler R(oberta) Sielstrategie i wählen wird. Gleicherweise hat der Zeilensieler (harles) einen ektor = (,.., n ), welcher eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zeilen von der Sielmatrix M darstellt. Nun ergibt sich für das Siel, in unserem Fall Schere, Stein, Paier folgender Erwartungswert: ayoff ] Dazu eine kleine Beisielrechnung: = (,.., ) n n m = M = i= = M = Payoff Matrix = (,.. ) n M i i 0 M = 0 0 = =

3 Payoff ] = M = im i = ( *0* ) + ( ** ) + ( *( )* ) + ( *( )* ) + ( *0* ) + ( ** ) + ( ** ) + ( *( )* ) + ( *0* ) = = 0 i= = Wie man am Ergebnis sehen kann, ist bei dieser Wahl der Sielstrategien das Siel fair es gibt keinen Sieler, der einen Nachteil haben wird. Durch die Wahl eines anderen bzw. könnte einer der beiden Sieler seine Gewinnchancen steigern. Ein entsrechendes Beisiel folgt säter. Sei R die bestmögliche untere Schranke für den erwarteten Payoff für Sieler R bei Wahl einer Strategie sei die bestmögliche obere Schranke für den erwarteten Payoff der Sieler bei Wahl einer Strategie. Somit erhalten wir folgendes: R = max min = min max M M Dies führt uns zum Minimax heorem von von Neumann, welches aussagt, dass ein Siel immer eine Lösung hat R = gilt. Zur Erklärung des vorangegangenen: Bei R versucht zuerst der Zeilensieler durch Wahl einer Sielstrategie den Erwartungswert so niedrig wie möglich zu machen. Danach versucht der Saltensieler durch seine Wahl einer Sielstrategie den Erwartungswert zu seinen Gunsten zu verändern, also ihn zu maximieren. Bei ist es genauso, nur das hier zuerst der Saltensieler seine Wahl trifft dann der Zeilensieler. heroem 2.2 (von Neumann s Minimax heorem): Für edes Zero-Sum Siel mit zwei Sielern, welchem eine Payoff-Matrix zugre liegt, gilt: = max min M = min max M = R In Worten: Der größte Erwartungswert, den der Saltensieler beim wählen einer gemischten Strategie erreichen kann, ist gleich dem kleinsten Erwartungswert, den der Zeilensieler beim wählen einer gemischten Strategie erreichen kann. Dieser Erwartungswert wird Wert des Siels genannt mit bezeichnet.

4 Sattelunkte: ( ) Ein aar gemischter Strategien ˆ, ˆ, welche den linken erm der Gleichung 2.2 maximieren den rechten eil minimieren, werden Sattelunkt genannt die beiden Strategien werden als otimal bezeichnet. Stellen wir folgende Überlegung an: Was wäre, wenn einer der Sieler sich auf eine Strategie festgefahren hat? Nehmen wir an, dass der Saltensieler mit seinem ektor eine feste Entscheidung getroffen hat nur noch mit dieser Strategie sielt. Somit wird aus der Gleichung M eine lineare Funktion von. Das bringt folgende interessante Neuerung. Wenn Sieler die Strategie von Sieler R kennt, dann ist seine otimale Strategie eine deterministische. Er kann sich auf sein Gegenüber einstellen seine Strategie so anassen, dass sich der Erwartungswert des Siels zu seinen Gunsten ändert. Er muss nicht einmal eine besonders komlizierte Strategie wählen, damit er häufiger gewinnt. Um das zu erreichen kann er einfach einen Einheitsvektor als seine Strategie wählen somit mehr Gewinne für sich einfahren. Dies führt uns zum heorem von Loomis. heroem 2. (Loomis heorem): Für edes Zero-Sum Siel mit zwei Sielern, welchem eine Payoff-Matrix M zugre liegt, gilt: Dabei sei e k der k-te Einheitsvektor. Zum bessern erständnis folgen 2 Beisiele:. Generelles Beisiel: R = max min Me = min max ei M = i M 0 = 0 0 = 0 = 0 Payoff ] = M = im i = i= = ( *0* ) + ( **0) + ( *( )* ) + ( *( )* ) + ( *0*0) + ( ** ) + ( 0** ) + ( 0*( )*0) + ( 0*0* ) = = 9 + = = 8 = 6 2

5 Hier hat sich Sieler R für eine Strategie entschieden Sieler hat sich darauf eingestellt. Jedoch kann Sieler immer noch ab an verlieren. Doch der Erwartungswert hat sich zugunsten von Sieler geändert. In diesem Beisiel ist e k kein Einheitsvektor. Es soll generell die Unterschiede zwischen den heoremen von von Neuman Loomis zeigen. 2. Beisiel zu Loomis : M 0 = 0 0 = 0 = 0 0 Payoff ] = M = im = ( *0*) + ( **0) + ( *( )*0) + ( *( )*) + ( *0*0) + ( **0) + ( 0**) + ( 0*( )*0) + ( 0*0*0) = = i= = i Hier hat Sieler eine Strategie gewählt, die ihn kein Siel verlieren lässt. Der schlimmste Fall ist ein unentschieden. Dennoch ist der Erwartungswert niedriger als im Beisiel davor. Also hat Sieler noch nicht die Otimale Strategie gewählt sollte eine andere erteilung wählen. + Yao s echniken: Nun widmen wir uns den Ergebnissen der Anwendung aus den oben genannten Sieltheorien, um untere Schranken der Performance von Randomisierten Algorithmen zu beweisen. Dazu bedienen wir uns folgender Betrachtungsweise: Wir sehen den Algorithmusdesigner als unseren Saltensieler an seinen Widersacher als den Zeilensieler R. Hierbei sind die Salten die Menge aller möglichen Algorithmen für dieses Siel, wohingegen die Zeilen als Menge aller möglichen Eingaben einer festen Größe dienen. Dabei sollte man nicht vergessen, dass ede Salte für einen deterministischen Algorithmus steht, der immer eine korrekte Lösung liefert. Nun liefert der Payoff, den an R zu verrichten hat, ein reellwertiges Maß der Effizienz eines Algorithmus, bezogen auf die Laufzeit, die Güte des Ergebnisses, Bearbeitungs- oder Platzkosten Komlexität. Wir beschränken uns hier edoch auf die Laufzeit.

6 Weiterhin wählt der Algorithmusdesigner einen Algorithmus, welcher den Payoff minimiert, während sein Widersacher diesen gerne maximieren möchte. Bei genauerer Überlegung fällt natürlich auf, dass es nur endlich viele endliche Inuts gibt, die in Frage kommen, sowie auch nur endlich viele (deterministische, terminierende korrekte) Algorithmen, um das Problem zu lösen. Eine otimale ure Strategie für hängt von einem otimal gewählten deterministischen Algorithmus für das Problem ab. Deterministische Komlexität des Problems : Damit wird die worst-case Laufzeit edes deterministischen Algorithmus für das Problem bezeichnet. R bezeichnet die Nichtdeterministische Komlexität des Problems. Wenn das Siel eine Lösung hat dann sind beide Komlexitäten gleich. Unser Interesse liegt nun in der Interretation von gemischten Strategien für den Algorithmusdesigner seinen Widersacher. Eine gemischte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Gesamtheit aller (immer korrekten) deterministischen Algorithmen, also ein otimaler randomisierter Las egas Algorithmus. Eine otimale Strategie für R ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Raum aller möglichen Eingaben. Das ist aber noch nicht alles. Wir benötigen noch eine weitere Komlexität. Nämlich die erteilungskomlexität: Diese ist definiert als die erwartete Laufzeit eines Problems bei Wahl des besten deterministischen Algorithmus für die schlechteste erteilung der Eingaben. Diese Komlexität ist aber kleiner als die deterministische Komlexität, da hier der Algorithmus a die Eingabe kennt. heorem 2. imliziert somit, dass die erteilungskomlexität gleich der am wenigsten möglichen, erreichbaren, erwarteten Laufzeit eines eden Randomisierten Algorithmus ist. Formulieren wir die uns schon bekannten heoreme in der Srache der Algorithmen wie folgt: Korollar 2.: Sei ein Problem mit einer endlichen Anzahl I von Eingabeinstanzen, A eine endliche Anzahl von deterministischen Algorithmen. Dann sei (I,A) die Laufzeit von Algorithmus A bei Eingabe I, wobei A A I I ist. Es seien weiterhin über I über A Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Dabei bezeichne I einen zufälligen Inut bezüglich A ein zufälliger Algorithmus bezüglich.

7 Dann gelten: max min ( I, A )] = min max ( I, A )] max min ( I A Α, A)] = min max ( I, A )] I Ι Aus diesem Korollar erhalten wir folgende Proosition. Proosition 2.5 (Yao s Minimax Princile): Für alle erteilungen über I über A gilt: min ( I A Α, A)] max ( I, A In anderen Worten: Die erwartete Laufzeit des otimalen deterministischen Algorithmus für eine zufällig gewählte Eingabeverteilung ist eine untere Schranke für die erwartete Laufzeit des otimalen randomisierten Algorithmus für. Wir sehen, um also die untere Schranke der randomisierten Komlexität zu beweisen reicht es, für beliebiges die untere Schranke der erwarteten Laufzeit von deterministischen Algorithmen zu beweisen. Die Stärke dieser echnik liegt in der Flexibilität von. Dabei sollte man nicht vergessen, dass der deterministische Algorithmus die gewählte erteilung kennt. Da wir uns etzt nur mit unteren Schranken der Effizienz von Las egas Algorithmen beschäftigt haben, wollen wir noch einen Blick auf die verbleibenden Monte arlo Algorithmen, mit Fehlerwahrscheinlichkeit ε [0, ½], werfen. Sei die minimale erwartete Laufzeit von edem deterministischen Algorithmus mit Fehlerschranke bei Eingabeverteilung bezeichnet mit: ε min A Α ε Sei die erwartete Laufzeit von edem randomisierten Algorithmus bei schlimmstmöglicher Eingabe mit Fehlerschranke ε bezeichnet mit: max I Ι ε Hierbei wird wiederum der randomisierte Algorithmus als Wahrscheinlichkeitsverteilung von deterministischen Algorithmen angesehen. Analog zu Proosition 2.5 erhalten wir I Ι ( I ( I, A, A)] )] )]

8 Poosition 2.6: Für alle erteilungen von I von A edem ε [0, ½], gilt: 2 (min A Α ( I, A)]) max ( I, A 2ε ε I Ι )] Dies sollte aber nur einen kleinen Einblick in die Schranken von Monte arlo Algorithmen geben. Literatur: Motwani, Raghavan: Randomized Algorithms, ambrige Press, 995