Kommunikationskomplexität

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1 Kommunikationskomplexität Seminar über Algorithmen, Prof. Dr. Alt, Sommersemester 2010, Freie Universität Berlin Matthias Rost 13. Juli von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

2 Inhaltsverzeichnis 1 AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformation auf einem VLSI-Chip Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität 2 3 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode 2 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

3 AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität Ursprünge der Kommunikationskomplexität Yao [1] hat Ende der 70er Jahre den ersten Artikel über Kommunikationskomplexität an sich veröffentlicht Zuvor wurde die Kommunikationskomplexität vor allem im Bereich des VLSI-Chip-Designs implizit verwandt. 3 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

4 VLSI AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität VLSI Very-Large-Scale Integration Ziel Möglichst viel Logik auf kleinem Chip (Kosten) Möglichst schnelle Berechnung (wenig Taktzyklen) 4 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

5 AT ²-Schranke für DFT AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität Ende der 70er Jahre: erste AT ² Schranken A Fläche des Chips T Anzahl der Taktzyklen Erster Beweis mit impliziter Kommunikationskomplexität über diskrete Fourier-Transformation [2] AT ² n² 16, wobei n die Länge der (binären) Eingabe ist sofern sich die Länge der Eingabe verdoppelt,... muss der Platz verdoppelt werden, oder die Berechnung dauert doppelt so lange. 5 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

6 Annahmen AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität 1 Abmessungen a b, mit a b. 1 Abmessungen werden in λ gemessen 2 λ minimaler Abstand zweier Leitungen 3 A Fläche des Chips 2 Dem Chip werden n Eingabebits übergeben. 3 Pro Taktzyklus kann über eine Leitung des Chips nur ein Bit übertragen werden. 6 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

7 Herleitung von AT ²-Schranken AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität 1 Wählen Schnitt w 1 Partitionierung der Eingabebits in zwei gleich große Mengen 2 Für rechteckigen Chip liegt die Länge von w in O(b). 2 mindestens αn viele Bits müssen w überqueren 3 Innerhalb von T Taktzyklen: Maximal w T viele Bits können den Schnitt überqueren 4 Somit gilt αn w T. 5 w O(b) w 2 O(A) 6 Wir erhalten α 2 n 2 w 2 T 2 bzw. n 2 O(AT 2 ) 7 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

8 Herleitung von AT ²-Schranken AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität a x 1 x 2 x 6 x 3 x 7 x 8 x 4 x 9 output x 5 x 1 0 b 8 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

9 Herleitung von AT ²-Schranken AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität a x 1 x 2 x 6 x 3 x 7 x 8 x 4 x 9 output x 5 x 1 0 b 9 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

10 Herleitung von AT ²-Schranken AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität x 1 x 2 x 6 x 3 Schnitt w mit Länge w x 7 x 8 x 4 x 9 output x 5 x von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

11 Herleitung von AT ²-Schranken AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität x 1 x 2 x 6 x 3 Schnitt w mit Länge w x 7 x 8 x 4 x 9 output x 5 x 10 Kommunikation von mindestens αn vielen Bits 11 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

12 AT ²-Schranke zur Berechnung der diskreten Fourier-Transformatio Allgemeine AT ²-Schranken für VLSI-Chips Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität Verallgemeinerung: Kommunikationskomplexität Alice Eingabe x Kommunikation von??? vielen Bits Bob Eingabe y Ausgabe z Problem Alice und Bob sollen die Funktion f : X Y Z für ein (x, y) X Y berechnen. Dabei kennt Alice nur x und Bob ausschließlich y. Wie viel Kommunikation ist zwischen Alice und Bob mindestens erforderlich? 12 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

13 Ein Hinweis zur Literatur Für dieses Seminar ist eigentlich [3] die Standardliteratur Ich verwende hingegen [4], da die Vorgehensweise in diesem strukturierter ist. 13 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

14 Protokoll Definition 1 Protokoll Ein Protokoll P auf der Menge X Y von Eingaben und dem Bild Z ist ein binärer Baum, in dem jeder interner Knoten v mit einer Funktion a v : X {0, 1} oder einer Funktion b v : Y {0, 1} beschriftet ist und jedes Blatt ein Element aus Z ist. 14 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

15 Kosten eines Protokolls Definition 2 Kosten eines Protokolls Die Kosten eines Protokolls bei Eingabe (x, y) X Y ist die Länge des Pfades von der Wurzel bis zum Blatt. Die Kosten des Protokolls ohne spezifische Eingabe ist die Höhe des Protokoll-Baums. 15 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

16 Deterministische Kommunikationskomplexität Definition 3 Deterministische Kommunikationskomplexität Sei eine Funktion f : X Y Z gegeben. Die deterministische Kommunikationskomplexität D(f ) Funktion f ist das Minimum über alle Kosten derjeniger Protokolle, die f berechnen. 16 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

17 Kombinatorisches Rechteck Definition 4 Kombinatorisches Rechteck Ein kombinatorisches Rechteck aus X Y ist eine Teilmenge R X Y, so dass R = A B mit A X und B X. 17 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

18 Theorem 1 Theorem 1 R X Y ist ein (kombinatorisches) Rechteck (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) R (x 1, y 2 ) R gilt. (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) R (x 1, y 2 ) R (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) R (x 2, y 1 ) R 18 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

19 Beweis Theorem 1 Beweis. : Seien A = {x y : (x, y ) R} und B = {y x : (x, y) R}. Wir zeigen, dass R = A B ist. 19 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

20 Beweis Theorem 1 Beweis. : Seien A = {x y : (x, y ) R} und B = {y x : (x, y) R}. Wir zeigen, dass R = A B ist. R A B: Da (x, y) R gilt nach Definition von A bzw B auch x A und y B. 19 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

21 Beweis Theorem 1 Beweis. : Seien A = {x y : (x, y ) R} und B = {y x : (x, y) R}. Wir zeigen, dass R = A B ist. R A B: Da (x, y) R gilt nach Definition von A bzw B auch x A und y B. A B R : Sei (x, y) A B. Da x A muss es ein y geben, so dass (x, y ) R. 19 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

22 Beweis Theorem 1 Beweis. : Seien A = {x y : (x, y ) R} und B = {y x : (x, y) R}. Wir zeigen, dass R = A B ist. R A B: Da (x, y) R gilt nach Definition von A bzw B auch x A und y B. A B R : Sei (x, y) A B. Da x A muss es ein y geben, so dass (x, y ) R. Analog muss es ein x geben, so dass (x, y) R, da y R. 19 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

23 Beweis Theorem 1 Beweis. : Seien A = {x y : (x, y ) R} und B = {y x : (x, y) R}. Wir zeigen, dass R = A B ist. R A B: Da (x, y) R gilt nach Definition von A bzw B auch x A und y B. A B R : Sei (x, y) A B. Da x A muss es ein y geben, so dass (x, y ) R. Analog muss es ein x geben, so dass (x, y) R, da y R. Gemäß der Annahme (x 1, y 1 ) R (x 2, y 2 ) R (x 1, y 2 ) R ist daher auch (x, y) R. 19 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

24 Beweis Theorem 1 Beweis. : Sei R = A B ein Rechteck. Wenn (x 1, y 1 ) R und (x 2, y 2 ) R so gilt x 1 A und y 2 B. Da R = A B muss daher auch (x 1, y 2 ) R sein. 20 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

25 R v Definition 5 Sei P ein Protokoll mit Definitionsbereich X Y und v ein Knoten innerhalb des Protokoll-Baums. Wir definieren als R v die Menge von Eingaben (x, y) X Y welche bei Traversierung des Baums den Knoten v erreichen. 21 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

26 {R l L } ist eine Partition Korollar 1 Wenn L die Menge an Blättern des Protokoll-Baums ist, so ist {R l L } eine Partition des Eingaberaums. Beweis. Annahme: R v 22 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

27 {R l L } ist eine Partition Korollar 1 Wenn L die Menge an Blättern des Protokoll-Baums ist, so ist {R l L } eine Partition des Eingaberaums. Beweis. Annahme: R v Eingabe (x, y) X Y führt zu genau einem Blatt 22 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

28 R v ist ein Rechteck Theorem 2 Sei P ein Protokoll und v ein Knoten des entsprechenden Protokollbaums, so ist R v ein Rechteck. Beweis. Induktion über die Tiefe des Knotens v 23 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

29 R v ist ein Rechteck Theorem 2 Sei P ein Protokoll und v ein Knoten des entsprechenden Protokollbaums, so ist R v ein Rechteck. Beweis. Induktion über die Tiefe des Knotens v R wurzel = X Y 23 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

30 R v ist ein Rechteck Theorem 2 Sei P ein Protokoll und v ein Knoten des entsprechenden Protokollbaums, so ist R v ein Rechteck. Beweis. Induktion über die Tiefe des Knotens v R wurzel = X Y Sei w der Elternknoten von v, v linkes Kindelement von w, Alice spricht in w 23 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

31 R v ist ein Rechteck Theorem 2 Sei P ein Protokoll und v ein Knoten des entsprechenden Protokollbaums, so ist R v ein Rechteck. Beweis. Induktion über die Tiefe des Knotens v R wurzel = X Y Sei w der Elternknoten von v, v linkes Kindelement von w, Alice spricht in w R v = R w {(x, y) a w (x) = 0} 23 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

32 R v ist ein Rechteck Theorem 2 Sei P ein Protokoll und v ein Knoten des entsprechenden Protokollbaums, so ist R v ein Rechteck. Beweis. Induktion über die Tiefe des Knotens v R wurzel = X Y Sei w der Elternknoten von v, v linkes Kindelement von w, Alice spricht in w R v = R w {(x, y) a w (x) = 0} Da R w = A w B w folgt R v = (A w {x a w (x) = 0) B w. 23 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

33 Monochromatische Rechtecke Definition 6 Eine Teilmenge R X Y wird als f-monochromatisch bezeichnet, falls die Funktion f auf R konstant ist. 24 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

34 Ein Protokoll induziert eine f-monochromatische Partition Lemma 1 Jedes Protokoll P einer Funktion f induziert eine Partition von X Y in f-monochromatische Rechtecke. Die Anzahl an Rechtecken ist die Anzahl der Blätter von P. 25 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

35 Untere Schranke über die Anzahl der monochromatischen Rechtecke Korollar 2 Wenn jede Partition von X Y in f-monochromatische Rechtecke mindestens t Rechtecke erfordert, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Lemma 1: Blätter induzieren Partition in f -monochromatische Rechtecke 26 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

36 Untere Schranke über die Anzahl der monochromatischen Rechtecke Korollar 2 Wenn jede Partition von X Y in f-monochromatische Rechtecke mindestens t Rechtecke erfordert, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Lemma 1: Blätter induzieren Partition in f -monochromatische Rechtecke Jedes Protokoll hat immer mindestens t viele Blätter 26 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

37 Untere Schranke über die Anzahl der monochromatischen Rechtecke Korollar 2 Wenn jede Partition von X Y in f-monochromatische Rechtecke mindestens t Rechtecke erfordert, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Lemma 1: Blätter induzieren Partition in f -monochromatische Rechtecke Jedes Protokoll hat immer mindestens t viele Blätter Höhe des Baums log 2 t 26 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

38 Fooling Set Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Definition 7 Sei f : X Y {0, 1}. Eine Menge S X Y wird als Fooling Set bezeichnet, wenn es einen Wert z {0, 1} gibt, so dass Für jedes (x, y) S gilt f (x, y) = z. 27 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

39 Fooling Set Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Definition 7 Sei f : X Y {0, 1}. Eine Menge S X Y wird als Fooling Set bezeichnet, wenn es einen Wert z {0, 1} gibt, so dass Für jedes (x, y) S gilt f (x, y) = z. Für alle paarweise verschiedenen Elemente (x 1, y 1 ) und (x 2, y 2 ) aus S gilt entweder f (x 1, y 2 ) z oder f (x 2, y 1 ) z. 27 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

40 Theorem 3 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 3 Wenn die Funktion f ein Fooling Set S der Größe t hat, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Widerspruchsbeweis: Keine zwei Elemente aus S können im gleichen monochromatischen Rechteck liegen 28 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

41 Theorem 3 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 3 Wenn die Funktion f ein Fooling Set S der Größe t hat, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Widerspruchsbeweis: Keine zwei Elemente aus S können im gleichen monochromatischen Rechteck liegen Annahme: Zwei Elemente (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S sind Teil des gleichen monochromatischen Rechtecks R 28 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

42 Theorem 3 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 3 Wenn die Funktion f ein Fooling Set S der Größe t hat, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Widerspruchsbeweis: Keine zwei Elemente aus S können im gleichen monochromatischen Rechteck liegen Annahme: Zwei Elemente (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S sind Teil des gleichen monochromatischen Rechtecks R Theorem 1: (x 1, y 2 ),(x 2, y 1 ) R 28 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

43 Theorem 3 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 3 Wenn die Funktion f ein Fooling Set S der Größe t hat, gilt D(f ) log 2 t. Beweis. Widerspruchsbeweis: Keine zwei Elemente aus S können im gleichen monochromatischen Rechteck liegen Annahme: Zwei Elemente (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S sind Teil des gleichen monochromatischen Rechtecks R Theorem 1: (x 1, y 2 ),(x 2, y 1 ) R Es gilt jedoch f (x 1, y 2 ) f (x 1, y 1 ) oder f (x 2, y 1 ) f (x 1, y 1 ). Widerspruch. Theorem 3 folgt aus Korollar von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

44 Beispiel EQ Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode EQ Die Funktion{ EQ : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} ist definiert als 1, x = y EQ(x, y) =. Als Fooling Set wählen wir 0, sonst S = {(i, i) i {0, 1} n }. Dies ist ein Fooling Set, da s S : EQ(s) = 1 (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) : EQ(x 1, y 2 ) = 0. Gemäß Theorem 3 gilt daher D(EQ) log 2 ( S ) = log 2 (2 n ) = n. 29 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

45 Beispiel DISJ Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode DISJ Die Funktion DISJ : X Y{ {0, 1}, mit X, Y 2 {0,1}n ist 1, x y = definiert als DISJ(x, y) =. Als Fooling Set 0, sonst wählen wir S = {(A, Ā) A 2{0,1}n }. Dies ist ein Fooling Set, da s S : DISJ(s) = 1 (A 1, Ā1), (A 2, Ā2) S (A 1, Ā1) (A 2, Ā2) : DISJ(A 1, Ā2) = 0 DISJ(A 2, Ā1) = 0. Gemäß Theorem 3 gilt daher D(DISJ) log 2 ( S ) = log 2 (2 2n ) = 2 n. 30 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

46 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode M f Definition 8 M f Sei f : X Y {0, 1} eine Funktion. Wir assoziieren mit der Funktion f die Matrix M f, in welcher der Funktionswert von f abgespeichert ist. Die Matrix sei über die Eingabewerte (x, y) indizierbar. 31 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

47 Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 4 Für eine Funktion f : X Y {0, 1} gilt D(f ) log 2 rang(f ). Beweis. Hilfsvariablen B 1 Menge an Blättern, welche das Ergebnis 1 repräsentieren 32 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

48 Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Theorem 4 Für eine Funktion f : X Y {0, 1} gilt D(f ) log 2 rang(f ). Beweis. Hilfsvariablen B 1 Menge an Blättern, welche das Ergebnis 1 repräsentieren MatrixM b für b B 1 : M b (x, y) = 1 (x, y) R b und M b (x, y) = 0 (x, y) / R b. 32 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

49 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. 33 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

50 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. f (x, y) = 1!b B 1 : M b (x, y) = 1 f (x, y) = 0 b B 1 : M b (x, y) = 0 33 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

51 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. f (x, y) = 1!b B 1 : M b (x, y) = 1 f (x, y) = 0 b B 1 : M b (x, y) = 0 Es gilt rang(a + B) rang(a) + rang(b) 33 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

52 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. f (x, y) = 1!b B 1 : M b (x, y) = 1 f (x, y) = 0 b B 1 : M b (x, y) = 0 Es gilt rang(a + B) rang(a) + rang(b) rang(m f ) = rang( b B 1 M b ) b B 1 rang(m b ). 33 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

53 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. f (x, y) = 1!b B 1 : M b (x, y) = 1 f (x, y) = 0 b B 1 : M b (x, y) = 0 Es gilt rang(a + B) rang(a) + rang(b) rang(m f ) = rang( b B 1 M b ) b B 1 rang(m b ). Es gilt rang(m b ) = 1 rang(m f ) B 1 B 33 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

54 Beweis Theorem 4 Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Beweis. Für jedes (x, y) der Eingabe gilt: Es gilt M f = b B 1 M b. f (x, y) = 1!b B 1 : M b (x, y) = 1 f (x, y) = 0 b B 1 : M b (x, y) = 0 Es gilt rang(a + B) rang(a) + rang(b) rang(m f ) = rang( b B 1 M b ) b B 1 rang(m b ). Es gilt rang(m b ) = 1 rang(m f ) B 1 B Das Theorem folgt aus Korollar von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

55 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode IP Die Funktion IP : {0, 1} n {0, 1} n {0, 1} ist definiert als IP(x, y) = x i y i (mod 2). Sie berechnet somit, ob die Anzahl an übereinstimmenden 1en gerade oder ungerade ist. Wir betrachten beispielhaft die Matrize M IP = von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

56 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode N = (M IP ) 2 = N y,y = z {0,1} n y, z z, y N y,y =Anzahl an Zahlen z {0, 1} n, so dass y, z z, y = 1. = 35 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

57 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. 36 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

58 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. In der ersten Spalte bzw. der ersten Zeile können nur 0en auftreten. 36 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

59 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. In der ersten Spalte bzw. der ersten Zeile können nur 0en auftreten. Alle sonstigen Felder gleichen 2 n von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

60 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. In der ersten Spalte bzw. der ersten Zeile können nur 0en auftreten. Alle sonstigen Felder gleichen 2 n 2. rang(n) = 2 n 1 36 von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

61 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. In der ersten Spalte bzw. der ersten Zeile können nur 0en auftreten. Alle sonstigen Felder gleichen 2 n 2. rang(n) = 2 n 1 Da rang(a B) min(rang(a), rang(b)), folgt rang(m IP ) 2 n von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

62 Beispiel IP Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode Überlegung: Auf der Diagonalen ist N y,y = z {0,1} n y, z z, y = 2n 1, da y, z = z, y und es 2 n 1 viele Strings der Länge n gibt, so dass die Anzahl ungerade ist. In der ersten Spalte bzw. der ersten Zeile können nur 0en auftreten. Alle sonstigen Felder gleichen 2 n 2. rang(n) = 2 n 1 Da rang(a B) min(rang(a), rang(b)), folgt rang(m IP ) 2 n 1. Somit gilt nach Theorem 4 D(IP) log(2 n 1) n von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität

63 Bibliographie Fooling Sets und Rechteck Größe Rang-Methode A. C.-C. Yao, Some complexity questions related to distributive computing(preliminary report), in STOC 79: Proceedings of the eleventh annual ACM symposium on Theory of computing, (New York, NY, USA), ACM, C. D. Thompson, Area-time complexity for vlsi, in STOC 79: Proceedings of the eleventh annual ACM symposium on Theory of computing, (New York, NY, USA), ACM, S. Arora and B. Barak, Computational Complexity: A Modern Approach. New York, NY, USA: Cambridge University Press, E. Kushilevitz and N. Nisan, Communication complexity. New York, NY, USA: Cambridge University Press, von 37 Matthias Rost Kommunikationskomplexität