Datenverarbeitung in der Geophysik

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1 Datenverarbeitung in der Geophysik -- Digitalisierung, Diskretisierung -- Sampling Sampling rate, rate, Taktfrequenz Taktfrequenz -- zeitliche, zeitliche, räumliche räumliche Frequenzen Frequenzen -- Datenvolumen Datenvolumen -- Spektralanalyse -- Fourier Fourier Analyse Analyse -- Sampling, Sampling, Abtastrate Abtastrate -- Raum- Raum-und und Zeitspektren Zeitspektren -- Wellenform Bearbeitung -- Konvolution Konvolution (Faltung) (Faltung) -- Dekonvolution Dekonvolution -- Korrelation Korrelation -- Digitale Digitale Filterung Filterung -- Dynamic Range Datenverarbeitung Folie 1

2 Digitalisierung -- Was Was passiert, wenn wenn ich ich ein ein Signal Signal digitalisiere (Bodenbewegung, Temperatur, etc.) etc.) in in Raum Raum und/oder Zeit? Zeit? -- Was Was sind sind die die Auswirkungen einer einer bestimmten Samplingrate/Abtastrate auf auf den den Informationsgehalt? -- Wie Wie sind sind die die gewonnenen Signale zu zu behandeln (zu (zu bearbeiten, zu zu transformieren), um um relevante Informationen zu zu erhalten? Datenverarbeitung Folie 2

3 Zeitreihen, Beispiele Datenverarbeitung Folie 3

4 Räumliche Phänomene, Beispiele Datenverarbeitung Folie 4

5 Aktuell: Eigenschwingungen der Erde M9 Tohoku-Oki Erdbeben, März 2011 Datenverarbeitung Folie 5

6 Eigenschwingungen der Erde M9 Tohoku-Oki Erdbeben, März 2011 Datenverarbeitung Folie 6

7 Digitalisierung Analoge und und digitale (+) (+) Darstellung einer einer Sinusfunktion Datenverarbeitung Folie 7

8 Wellenlänge, Periode, etc. Die wichtigsten Komponenten die man in der Verarbeitung der Daten benötigt sind die räumlichen und zeitlichen Frequenzen T f ω T=1/f ω=2πf Periode Frequenzy Kreisfrequenz zeitliche Frequenzen Harmonische Schwingung (abh. von von Zeit): f(t) f(t) = A sin(ωt) = A sin(2πft) = A sin((2π/t) t) t) A Bewegungsamplitude Datenverarbeitung Folie 8

9 Wellenlänge, Periode, etc.... für räumliche Frequenzen analog... λ k k=2π/λ Wellenlänge räumliche Wellenzahl räumliche Frequenzen Harmonische Schwingung (abh. vom vom Raum): f(x) f(x) = A sin(kx) = A sin((2π/λ) x) x) A Bewegungsamplitude Datenverarbeitung Folie 9

10 Sampling Rate - Abtastrate Sampling Frequenz, Sampling Rate ist die Anzahl der Samples pro Längeneinheit oder Zeiteinheit. Beispiele? Datenverarbeitung Folie 10

11 Nyquist Frequenz (-Wellenzahl, -Intervall) Die Nyquist Frequenz ist die Hälfte der Abtastfrequenz (Samplingrate dt): f N =1/(2dt). Ist die Frequenz des Signals größer als die Nyquistfrequenz, entstehen nicht lineare Verzerrungen, die auch als Alias-Effekt bezeichnet werden. Die Frequenz des Signals ist > f N wird gesampelt mit (+) führt zu einem falschen Signal (blau). Wie kann man den Alias- Effekt verhindern? Datenverarbeitung Folie 11

12 Ein Gitterrost Datenverarbeitung Folie 12

13 Frage Sie singen unter Wasser in der Badewanne ein a a (440Hz). Wie groß ist etwa die Wellenlänge? a) a) 3 mm b) b) 3 cm c) c) 3 m d) d) m Datenverarbeitung Folie 13

14 Datenmengen Reelle Zahlen stellen wir normalerweise mit 4 Byte (single precision) oder mit 8 Byte (double precision) dar. Ein Byte besteht aus 8 Bit (1/0). Das bedeutet, wir können eine Zahl mit 32 (64) Bit darstellen. Wobei wir eine Stelle (Bit) für das Vorzeichen (+/-) benötigen. -> 32 Bits -> 2 31 = e+009 (Matlab Output) -> 64 Bits -> 2 63 = e+018 (Matlab Output) (Anzahl der Zahlen, die dargestellt werden können) Wie groß sind die Datenmengen, die wir typischerweise bei einem Seismischen Experiment sammeln? Parameter: - Sampling Rate 1000 Hz, 3 Komponenten - Seismogrammlänge 5 Sekunden Seismometer, Empfänger, 50 Profile - 50 verschiedene Quellen - Genauigkeit von Single precision Wieviel (T/G/M/k-)Bytes erhalten wir? Datenkompression? Datenverarbeitung Folie 14

15 (Relative) Dynamic range Wie Wie präzise ist ist die die Amplitude unseres physikalischen Signals? Dynamic range: range: Das Das Verhältnis zwischen der der größt-messbaren Amplitude A max und max und der der kleinst-messbaren Amplitude A min. min. Die Die Einheit Einheit ist ist Decibel (db) (db) und und ist ist definiert als als das das Verhältnis zweier zweier Energien (Energie ist ist proportional zum zum Quadrat der der Amplitude). Für Für die die Amplituden gilt: gilt: Dynamic range range = log log 10 (A 10 (A max /A max /A min ) min ) db db Beispiel: mit mit Amplituden-Einheiten (A (A min =1, min =1, A max =1024) max =1024) log log 10 (1024/1) 10 db db approx db db Datenverarbeitung Folie 15

16 Signal-Stör Verhältnis (signal-noise-ratio SNR) Fast Fast alle alle Signale enthalten Rauschen. Das Das Signal-Stör Verhältnis ist istein wichtiger Aspekt in in allen allen geophysikalischen Experimenten. Kennen KennenSie SieBeispiele für fürrauschen bei bei verschiedenen Messverfahren? Datenverarbeitung Folie 16

17 Low-Noise Model - Seismologie Datenverarbeitung Folie 17

18 Spektralanalyse Spektralanalyse ist ist derart derart wichtig in in allen allen Naturwissenschaften, dass dassman deren derenbedeutung nicht nicht überbewerten kann! kann! Mit Mit der der Spektralanalyse können können wir wir Antworten auf auf folgende Fragen Fragen bekommen: -- Welche (räumliche oder oder zeitliche) Frequenzen sind sind in in meinem Signal Signal enthalten? -- Gibt Gibt es es ein ein periodisches Signal Signalin in meinen meinen Beobachtungen? -- Muss Muss ich ich die die Eigenschaften des des Messinstruments (z.b. (z.b. Seismometer) einbeziehen um um das das physikalische Signal Signal zu zu erhalten? -- Muss Muss ich ich das das Signal Signal filtern, filtern, um um das das physikalische Signal Signal zu zu sehen sehen? -- und, und, und, und, und und Datenverarbeitung Folie 18

19 Harmonische Analyse Spektralzerlegung Der Der Kern Kern der der Spektralanalyse ist ist eines eines der der wichtigsten Theoreme der der mathematischen Physik: Physik: Jedes beliebige periodische Signal kann mit Hilfe von überlagerten harmonischen (Sinus-, Cosinus-) Signalen dargestellt (approximiert) werden. Die Die Repräsentation des des physikalischen Systems durch durch Zeit Zeit und und Raum Raum oder oder durch durch Frequenz und und Wellenzahl ist ist äquivalent! Es Es gibt gibt keinen keinen Informationsverlust, wenn wenn man man von von dem dem einen einen Raum Raum in in den den anderen transformiert, oder oder zurück. Datenverarbeitung Folie 19

20 Spektralanalyse die die rote rotespur ist ist die die Summe aller aller blauen blauen Spuren! Datenverarbeitung Folie 20

21 Das Spektrum Amplitudenspektrum Phasenspektrum Fourier Raum Raum Datenverarbeitung Folie 21 Physikalischer Raum Raum

22 Fourier Zerlegung Datenverarbeitung Folie 22

23 Mathematische Beschreibung ungerade Funktionen Datenverarbeitung Folie 23

24 Empfohlene Lektüre Datenverarbeitung Folie 24

25 Mathematische Beschreibung (ungerade Funktionen) Eine Eine Sinusfunktion (a (a Amplitude, λ Wellenlänge) wird wird repräsentiert durch: durch: 2π y = asin x λ Ignoriert man man die die Phasenverschiebung, so so kann kann man man ein ein beliebiges Signal Signal erhalten durch durch Überlagerung von von (a (a 0 an 0 an beiden beiden Enden) Enden) f(x) = a πn + ansin x n 1, n L 0 = Hierbei ist ist L die die Länge Länge des des Bereichs (räumlich oder oder zeitlich). Die Die Sequenz der der Wellenlängen/Perioden ist: ist: 2L, 2L, L, L, 2/3L, 2/3L, L/2 L/2 Datenverarbeitung Folie 25

26 Die Fourier Komponenten (ungerade Funktionen) Die Die Amplituden/Koeffizienten (a (a n ) n ) der derfourier Basisfunktionen (sin (sin oder odercos) erhält erhält man man durch durch Integration des des Signals Signals a 0 = 1 L L 0 f(x)dx Durchschnittswert des Signals a n = 2 L L 0 f(x) sin nπx L dx Spektrale Komponente Datenverarbeitung Folie 26

27 Fouierreihen beliebige Funktionen Intervall [-L, L] f(x) = 1 2 a πn cos L x + b πn sin L x 0 + an n n = n= 1 1, a 0 = 1 L L -L f(x)dx a n = 1 L L -L f(x) cos nπx L dx b n = 1 L L -L f(x) sin nπx L dx Datenverarbeitung Folie 27

28 Fourier Näherung der Funktion x f ( x) = x, π x π Mit der Fourierreihe g ( 1 4 cos( x ) cos( 3 x ) cos( 5 x ) x ) = π π für n< Datenverarbeitung Folie 28

29 Fourier Näherung der Funktion x 2 f ( x) 2 = x, 0 < x < 2π Mit der Fourierreihe g N ( x ) = 4π π cos( kx ) sin( kx ) 2 = k k 1 N k... Für N< Datenverarbeitung Folie 29

30 Fourier: Raum und Zeit Raum Raum x räumliche Variable L räumliche Wellenlänge k=2π/λ k=2π/λ Räumliche Wellenzahl F(k) F(k) Wellenzahl Spektrum tt T f ω=2πf ω=2πf Zeit Zeit zeitliche Variable Periode Frequenz Kreisfrequenz Fourierintegrale Mit Mit der der komplexen komplexen Darstellung Darstellung der der Sinusfunktionen Sinusfunktionen e e ikx ikx (oder (oder e e iwt iwt ) ) wird wird die die Fouriertransformation Fouriertransformation einer einer Funktion Funktion f(x) f(x) wie wie folgt folgt geschrieben geschrieben (VORSICHT: (VORSICHT: es es gibt gibt verschiedene verschiedene Definitionen!) Definitionen!) f(x)= F(k)= 1 2π 1 2π F(k)e f(x)e ikx ikx dk dx Datenverarbeitung Folie 30

31 Die Fourier Transformation diskret vs. kontinuierlich Wenn wir wir mit mit dem dem Computer Daten verarbeiten, wird wird es es stets auf auf der der diskreten Fouriertransformation basieren. diskret kontinuierlich f(x)= 1 2π F(k)= 1 2π F(k)e f(x)e ikx ikx dk dx F k = 1 N N 1 j= 0 f j e 2πikj / N,k = 0,1,...,N 1 f k = N 1 j= 0 F e j 2πikj / N,k = 0,1,...,N 1 Datenverarbeitung Folie 31

32 Diskrete Fourier Transformation f(x)=x 2 => f(x) - blue ; g(x) - red; x i - + Datenverarbeitung Folie 32

33 The Fast Fourier Transform (FFT) Die Die meisten meisten Verarbeitunsprogramme wie wie Octave, Octave, Matlab, Matlab, Python, Python, Mathematica, Mathematica, Fortran, Fortran, etc. etc. haben haben implementierte implementierte Funktionen Funktionen für für FFTs FFTs Matlab FFT >> >> help help fft fft FFT FFT Discrete Discrete Fourier Fourier transform. transform. FFT(X) FFT(X) is is the the discrete discrete Fourier Fourier transform transform (DFT) (DFT) of of vector vector X. X. For For matrices, matrices, the the FFT FFT operation operation is is applied applied to to each each column. column. For For N-D N-D arrays, arrays, the the FFT FFT operation operation operates operates on on the the first first non-singleton non-singleton dimension. dimension. FFT(X,N) FFT(X,N) is is the the N-point N-point FFT, FFT, padded padded with with zeros zeros if if X X has has less less than than N N points points and and truncated truncated if if it it has has more. more. FFT(X,[],DIM) FFT(X,[],DIM) or or FFT(X,N,DIM) FFT(X,N,DIM) applies applies the the FFT FFT operation operation across across the the dimension dimension DIM. DIM. For For length length N N input input vector vector x, x, the the DFT DFT is is a a length length N N vector vector X, X, with with elements elements N N X(k) X(k) = = sum sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), 1 1 <= <= k k <= <= N. N. n=1 n=1 The The inverse inverse DFT DFT (computed (computed by by IFFT) IFFT) is is given given by by N N x(n) x(n) = = (1/N) (1/N) sum sum X(k)*exp( X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), 1 1 <= <= n n <= <= N. N. k=1 k=1 See See also also IFFT, IFFT, FFT2, FFT2, IFFT2, IFFT2, FFTSHIFT. FFTSHIFT. Datenverarbeitung Folie 33

34 Fourier Spektren: harmonische Signale Das Das Spektrum eines eines (monochromatischen) harmonischen Signals Signals (räumlich oder oder zeitlich) ist ist ein ein Spike ( Delta-Funktion ) im im Frequenzbereich. Datenverarbeitung Folie 34

35 Fourier Spektren: zufällig verteilte (random) Signale idealisiert Zufällig verteilte Signale beinhalten alle alle Frequenzen. Ein Ein Spektrum mit mit gleichmäßiger Verteilung aller aller Frequenzen nennt nennt man man weißes weißes Spektrum Datenverarbeitung Folie 35

36 Fourier Spektren: Gauss-förmige Signale Das Das Spektrum einer einer Gauss-Funktion ist ist selbst selbst eine eine Gauss-Funktion. Wie Wie verändert sich sich das das Spektrum, wenn wenn man man die die Gauss-Funktion verengt? Datenverarbeitung Folie 36

37 Puls-Breite und Frequenz-Bandbreite Zeit (Raum) Spektrum Verengen des physikalischen Signals Verbreitern der Frequenzbandbreite Datenverarbeitung Folie 37

38 Fourier Spektren: Transiente Wellen Eine Eine transiente Welle Welle ist ist eine eine Welle, Welle, die die zeitlich (räumlich) begrenzt ist, ist, im im Gegensatz zu zu einer einer harmonischen Welle, Welle, die die sich sich bis bis ins ins Unendliche fortsetzt. Datenverarbeitung Folie 38

39 Zeit-Frequenz Analyse 24 Std Bodenbewegung, sehen Sie ein Signal? Datenverarbeitung Folie 39

40 Seismo-Wetter Laufendes Spektrum der selben Daten (Zeit-Frequenzanalyse) Datenverarbeitung Folie 40

41 Der Ton eines Instruments a - 440Hz Datenverarbeitung Folie 41

42 Das Instrument Erde (FFB ) 0 S 2 der Erde tiefster Ton T=3233.5s =53.9min Theoretical eigenfrequencies Datenverarbeitung Folie 42

43 Eigenschwingungen der Erde Torsional mode, n=0, l=5, m =4. period 18 minutes Source: Datenverarbeitung Folie 43

44 Ein Seismogramm Zeit (s) Spektralamplitude Amplitude Frequenz (Hz) Datenverarbeitung Folie 44

45 Bearbeiten von Wellenformen Wie Wie müssen wir wir unsere unsere digitalisierten Daten Daten behandeln, um um Information zu zu entnehmen? Diese Diese Frage Frage führt führt uns uns direkt direkt zu zu den den Konzepten der der (De-) (De-) Konvolution (Faltung), (Auto-, (Auto-, Kreuz-) Korrelation und und Filterung. Das Das zentrale Konzept ist ist die die Ausgabe eines eines Systems auf auf einen einen eingegebenen Impuls. Die Die Impuls-Antwort Impuls-Antwort Impuls Filter, System Input Beispiele? Output Datenverarbeitung Folie 45

46 Impuls-Antwort eines Seismometers x 0 Was Was sind sind die die Folgen für fürseismische x r Beobachtungen mit mit Seismometern, die die auf x auf Basis eines Federsystems funktionieren? u g Datenverarbeitung Folie 46

47 Vor Korrektur Seismogramm Bodenbewegung Nach Korrektur Datenverarbeitung Folie 47

48 Diskrete Konvolution (Faltung) Konvolution (Faltung) ist istdie mathematische Beschreibung der deränderung der der Form Form eines eineseingabesignals nach nach dem dem Durchlaufen eines eines Filters Filters (Filtersystem) y(t) = Es Es gibt gibt ein ein eigenes mathematisches Symbol für für Konvolution: y(t) = g(t) f(t) Hier Hierist ist die die Impuls-Antwort Funktion g gefaltet mit mit dem dem Eingangssignal f. f. g wird wird auch auch Greensche Funktion genannt. m y = k gi fk i i= 0 g i i= 0,1,2,...,m f j j= 0,1,2,...,n k = 0,1,2,,m+n g(t' )f(t t' )dt' Datenverarbeitung Folie 48

49 Faltung Beispiel (Matlab) Impuls-Response >> >> x x x x = = >> >> y y y y = = >> >> conv(x,y) conv(x,y) ans ans = = System Input System Output Datenverarbeitung Folie 49

50 Faltung Beispiel x Faltung y x*y Datenverarbeitung Folie 50

51 Konvolutionsmodell: Seismogramme Datenverarbeitung Folie 51

52 Die seismische Impuls-Antwort Datenverarbeitung Folie 52

53 Die gefilterte (gefaltete) Antwort Datenverarbeitung Folie 53

54 1D Konvolutionsmodell einer seismischen Spur Das Das Seismogramm eines eines geschichteten Mediums kann kann ebenso ebenso mit mit einem einem Konvolutionsmodel berechnet werden u(t) u(t) = s(t) s(t) * r(t) r(t) + n(t) n(t) u(t) u(t) s(t) s(t) n(t) n(t) r(t) r(t) Seismogramm Quellfunktion (Anregungsfunktion) Rauschen Reflektivität Datenverarbeitung Folie 54

55 Dekonvolution Dekonvolution ist ist die die Inversion der der Konvolution. Wann Wann ist ist eine eine Dekonvolution nützlich? Datenverarbeitung Folie 55

56 Korrelation Korrelation spielt spielt eine eine zentrale Rolle Rolle bei bei der derstudie von von Zeitreihen. Normalerweise gibt gibt die die Korrelation eine eine quantitative Abschätzung der derähnlichkeit zweier zweier Funktionen und und den den zeitlichen/räumlichen Versatz zwischen ihnen ihnen an. an. Die Die Korrelation zwischen den den Vektoren g und und f (beide (beide mit mit n Elementen) ist ist definiert durch: durch: r k = n i= 1 f k+i g k = m,, 0,...,m m = n 1 m nennt man auch max lag (Verzögerung) i Datenverarbeitung Folie 56

57 Beispiel (Matlab) >> >> x=[1 x=[ ] 2] x x = = >> >> y=[1 y=[ ] 1] y y = = >> >> xcorr(x,y) xcorr(x,y) ans ans = = >> >> Datenverarbeitung Folie 57

58 Auto-Korrelation Auto-Korrelation Datenverarbeitung Folie 58

59 Kreuz-Korrelation Cross-Korrelation Lag (in diesem Fall 200) zwischen zwei Funktionen Datenverarbeitung Folie 59

60 Kreuz-Korrelation Zufallsfunktionen Datenverarbeitung Folie 60

61 Auto-Korrelation Zufallsfunktion Datenverarbeitung Folie 61

62 Auto-Korrelation Seismisches Signal Datenverarbeitung Folie 62

63 Korrelationslänge Zufallsmedium Datenverarbeitung Folie 63

64 Korrelationslänge Zufallsmedium Datenverarbeitung Folie 64

65 Ähnlichkeit Rotationsrate und transversale Beschleunigung Datenverarbeitung Folie 65

66 Kreuz-Korrelation ein Beispiel Ähnlichkeit Rotation Translation Corr. coeff. Datenverarbeitung Folie 66

67 Seismizität Seismizität Die DieRegenfälle, Regenfälle,die dieim im August Augustzum zumhochwasser Hochwasser führten, führten,hatten hattenihren ihren Höhepunkt Höhepunktam amtag Tag Datenverarbeitung Folie 67

68 Externer Einfluss auf Erdbeben? Datenverarbeitung Folie 68

69 Tomografie mit Kreuzkorrelation Datenverarbeitung Folie 69

70 Green s Funktionen aus 1 Jahr Rauschen : Vergleich mit Erdbeben (Shapiro et al., Science, 2005) Datenverarbeitung Folie 70

71 Tomografie von Kalifornien 7.5 s Rayleigh Wellen Yeah! All das mit Kreuzkorrelationen! und ohne Erdbeben Datenverarbeitung Folie 71

72 Digitales Filtern Oftmals beinhaltet ein ein aufgezeichnetes Signal Signal eine eine Fülle Fülle von von Informationen, an an denen denen wir wir nicht nicht interessiert sind sind (Rauschen, Störsignale). Um Um uns uns des des Rauschens zu zu entledigen fügen fügen wir wir einen einen Filter Filter im im Frequenzraum hinzu. hinzu. Die Die wichtigsten Filter Filter sind: sind: Hochpass: schneidet niedrige Frequenzen ab ab Tiefpass: schneidet hohe hohe Frequenzen ab ab Bandpass: schneidet hohe hohe und und tiefe tiefe Frequenzen heraus, und und hinterlässt ein ein Band Band von von mittleren Frequenzen Bandfilter: schneidet bestimmte Frequenzen heraus heraus und und hinterlässt alle alle anderen Frequenzen Datenverarbeitung Folie 72

73 Digitales Filtern Datenverarbeitung Folie 73

74 Tiefpass Filterung Datenverarbeitung Folie 74

75 Tiefpass Filterung Datenverarbeitung Folie 75

76 Hochpass Filter Datenverarbeitung Folie 76

77 Bandpass Filter Datenverarbeitung Folie 77

78 Bandpass Filter Datenverarbeitung Folie 78

79 Seismische Tomografie: Frequenzabhängige Korrelation (Laufzeitunterschiede) vertical displacement [m] windowed surface wave train approximate approximate phase phase difference difference [rad] [rad] frequency [Hz] Frequenz Frequenz (Hz) (Hz) Quelle: A. Fichtner t [s] Datenverarbeitung Folie 79

80 Wellenform Inversion: Beispiel Australien Quelle: A. Fichtner Datenverarbeitung Folie 80

81 Wellenform Inversion: Beispiel Australien Quelle: A. Fichtner Datenverarbeitung Folie 81

82 Wellenform Inversion: Beispiel Australien Quelle: A. Fichtner Datenverarbeitung Folie 82

83 Zusammenfasung Heute Heute beinhalten fast fast alle alle Datenanalysen die die Spektral- und und Filterungs- Methoden. Die Die Konzepte sind: sind: (De-) (De-) Konvolution > > um um die die Response eines eines Systems auf auf einen einen bestimmte Eingabe zu zu erhalten Korrelation -> -> um um Signale nach nach ihrer ihrer Ähnlichkeit zu zu vergleichen und und ihre ihre Verschiebungen festzustellen. (Phasen Delays) Fourier Transformation Spektren --Filterung -> -> um um bestimmte Frequenzen herauszuschneiden, und und die die interessanten Signale hervorzuheben. Datenverarbeitung Folie 83

84 Geschwindigkeit Wie schnell breitet sich eine elastische Welle entlang der Seite einer Gitarre aus (a, ca. 500Hz) a) 5 m/s b) 500 m/s c) 5 km/s Datenverarbeitung Folie 84