Heidelberger Taschenbücher Band 180

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1 Heidelberger Taschenbücher Band 180

2 Walter Borchardt-Ott Kristallographie Eine Einführung für Naturwissenschaftler Zweite, vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 156 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Dr. WALTER BORCHARDT-OTT Akademischer Direktor Westfälische-Wilhelms-U niversi tät Institut für Mineralogie Corrensstraße Münster ISBN DOI / ISBN (ebook) CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Borchardt -OU. Walter: Kristallographie: e. Einf. für Naturwissenschaftler Walter Borchardt-Ott. - 2., vollst. überarb. u. erw. Auf!. Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, (Heidelberger Taschenbücher; Bd. 180) Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Bei der Vervielfältigung für gewerbliche Zwecke ist gemäß 54 UrhG eine Vergütung an den Verlag zu zahlen, deren Höhe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1987 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: K + V Fotosatz GmbH, Beerfelden 2132/

4 Vorwort zur zweiten Auflage Das Konzept des Buches, das die geometrische Kristallographie in den Mittelpunkt stellt, wurde nicht verändert. Die Gliederung blieb im Prinzip erhalten. Einige Kapitel wurden ergänzt bzw. erweitert, davon Kapitel 4 (Morphologie) ganz erheblich. Die Stereogramme der Punktgruppen wurden dahingehend verbessert, daß nun polare Drehachsen und ungleichwertige Drehachsen gekennzeichnet sind. Die Konzentration von Abbildungen speziell im Kapitel 6 hat sich wohl bewährt, weil man so besser Zusammenhänge erkennt, auch wenn das viele Blättern lästig ist. Auch jetzt habe ich mich nicht entschließen können, auf die natürliche Längeneinheit der Kristallstrukturen A zugunsten von nm zu verzichten. Die Übungsaufgaben wurden neu bearbeitet und stark erweitert. Lösungen der Aufgaben sind angegeben. Letzteres fiel mir schwer, da die Aufgaben hier in Münster in den Übungen zur Vorlesung behandelt werden. Ich entschloß mich aber dazu, da ich zahlreiche Briefe von Studierenden und Dozenten anderer Universitäten erhielt, die um diese Lösungen baten. Fachkollegen haben mir geschrieben und Anregungen gegeben. Ich möchte ihnen allen, im besonderen aber Prof. Dr. W. Fischer (Marburg) und Prof. Dr. J. D. H. Donnay (Montreal) sehr herzlich danken. Frau Priv.-Doz. Dr. E. Koch (Marburg) bin ich für die kritische Durchsicht des Manuskripts und viele Anregungen besonders dankbar und verbunden. Auch meinen Institutskollegen und vielen meiner Studenten möchte ich für manchen Hinweis Dank sagen. Viele der zahlreichen neuen Abbildungen wurden von Dr. H. D. Maury und Herrn H. Wieden gezeichnet. Auch ihnen sei herzlich gedankt. Ich möchte Dr. A. Kockel (Bochum) dafür danken, daß er die zweidimensionalen Muster (Aufgabe 6.2 und 9.1) zur Verfügung gestellt hat. Münster, Frühjahr 1987 W. BORCHARDT-OTT V

5 Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus einer einstündigen Kristallographie-Vorlesung entstanden, die ich seit Jahren speziell für Chemiker, aber auch für Physiker und andere Naturwissenschaftler der Anfangssemester halte. Ich hatte dabei immer Schwierigkeiten, den Studenten ein Buch zu empfehlen, das den Inhalt der Lehrveranstaltung behandelt. Es ist für Hörer einer Kristallographie-Vorlesung erfahrungsgemäß schwierig, dreidimensionale Gebilde wie Raumgitter oder Kristallstrukturen, die als Modell auf dem Hörsaaltisch stehen oder mit einem Tageslichtprojektor an die Wand projiziert werden, schnell und einigermaßen genau mitzuskizzieren. Hat der Hörer die Abbildungen bereits vor sich liegen, so kann die Lehrveranstaltung erheblich effektiver gestaltet werden. Existiert zu den Abbildungen noch ein Text, so ist es dem Studenten möglich, sich voll auf den Vortrag zu konzentrieren, ohne mitschreiben zu müssen. Aus dieser Überlegung heraus habe ich ein Skriptum zur Vorlesung angefertigt, das nun verbessert als Buch herausgegeben wird. Der Text des vorliegenden Buches ist nur geringfügig gegenüber meinem Vorlesungsmanuskript erweitert worden. Dem größten Teil der Kapitel sind Aufgaben hinzugefügt, die z. T. in den parallel zur Vorlesung abgehaltenen Übungen erprobt worden sind. Da das Buch sich an die Studierenden der Anfangssemester richtet, ist es verhältnismäßig elementar gehalten; auf großen mathematischen Aufwand wurde verzichtet. Naturgemäß kann in diesem Rahmen das Gesamtgebiet der Kristallographie nicht abgehandelt werden. Es mußte eine Auswahl aus den Teilgebieten der Kristallographie getroffen werden, die für den Naturwissenschaftler besonders interessant sind. Den größten Raum nimmt die geometrische Kristallographie ein. Dabei wurde Wert auf das Erkennen von Zusammenhängen gelegt. Auf die Kristalloptik mußte leider verzichtet werden, weil eine auch nur einführende Darstellung dieses Teilgebiets den Rahmen dieses Buches gesprengt hätte. Auch andere Gebiete der Kristallographie konnten nicht in dem Maße behandelt werden, wie sie es eigentlich VII

6 verdient hätten. Hierzu sind dann aber zahlreiche Angaben im Literaturverzeichnis enthalten. Wer sich mit Kristallographie befaßt, muß sich darüber im klaren sein, daß die Beschäftigung mit dreidimensionalen Gebilden viel Geduld, Sorgfalt und Nachdenken erfordert. Es ist wichtig, daß das räumliche Vorstellungsvermögen entwickelt wird. Man muß in der Lage sein, aus den perspektivischen Abbildungen und Projektionen die wesentlichen Informationen herauszulesen. In den Aufgaben wird auch der Bau von Modellen angeregt. Man sollte sich dieser Mühe nicht entziehen, da diese Modelle das Verständnis außerordentlich erleichtern können. Herrn Prof. Dr. H. Kirsch möchte ich für sein förderndes Interesse und Herrn Prof. Dr. H. U. Bambauer für Anregungen und Hinweise herzlich danken. Mein Dank gilt auch Herrn Prof. Dr. W. Fischer, Frau Dr. E. Koch und Herrn Prof. Dr. R. Mattes, die das Manuskript kritisch durchgesehen haben. Den Herrn Dr. J. Löns, Dr. H.E. Nager und Dr. P. Seidel, die seit Jahren mit mir die Übungen zu der obengenannten Vorlesung abgehalten haben, sei für viele Diskussionen gedankt. Der überwiegende Teil der Abbildungen wurde dankenswerterweise von Herrn Ing. (grad.) H. D. Maury gezeichnet. Schließlich möchte ich meiner Frau Dank sagen, die mit viel Geduld das Manuskript geschrieben hat. Herrn Prof. Dr. H. Strunz (Berlin) danke ich für die freundliche Genehmigung, einige Abbildungen aus seinen Lehrbüchern verwenden zu dürfen. Münster, Herbst 1976 W. BORCHARDT-OTT VIII

7 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Kristallzustand Das Raumgitter und seine Eigenschaften Die Gittergerade Die Gitterebene Das Raumgitter Die Bezeichnung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raumgitter Gitterpunkt uvw Gittergerade [uvw] Gitterebene (Netzebene) (hkl) Die Zonengleichung Die Kristallstruktur 21 4 Die Morphologie Korrespondenz von Kristallstruktur und Morphologie Grundbegriffe der Morphologie Das Wachsen der Kristalle Stereographische Projektion Reflexionsgoniometer Wulffsches Netz Indizierung eines Kristalls Das Symmetrie-Prinzip Drehachsen Spiegelebene Inversionszentrum Koppelung von Symmetrie-Operationen Drehinversionsachsen Drehspiegelachsen IX

8 Die 14 Translations-(Bravais-)Gitter.... Die primitiven Translationsgitter (P-Gitter).... Die Symmetrie der primitiven Translationsgitter... Die zentrierten Translationsgitter.... Die Symmetrie der zentrierten Translationsgitter... Die 7 Kristallsysteme.... Die Punktgruppen.... Die 32 Punktgruppen.... Kristallsymmetrie.... Kristallformen.... Molekelsymmetrie.... Punktgruppen-Bestimmung.... Enantiomorphie.... Punktgruppen und physikalische Eigenschaften... Optische Aktivität.... Piezoelektrizität.... Pyroelektrizität.... Das Dipolmoment der Molekein.... Die Raumgruppen.... Gleitspiegelung und Schraubung.... Gleitspiegelebenen.... Schraubenachsen.... Die 230 Raumgruppen.... Eigenschaften der Raumgruppen.... Die "International Tables for X-Ray Crystallography".... Raumgruppe und Kristallstruktur.... Das Verhältnis von Punktgruppen und Raumgruppen Grundbegriffe der Kristallchemie Koordination.... Metall-Strukturen.... Edelgas- und Molekel-Strukturen.... Ionen-Strukturen Ionenradien x 187

9 Oktaeder-Koordination [6] Hexaeder-Koordination [8] Tetraeder-Koordination [4] Kovalente Strukturen.... Polymorphie.... Mischkristalle.... Literatur über Kristallstrukturen Röntgenographische Untersuchungen an Kristallen Die Braggsche Gleichung Das Debye-Scherrer-Verfahren Die Laue-Gruppen Die Bestimmung einer Kristallstruktur Kristallbaufehler Punkt-Defekte Linien-Defekte Flächen-Defekte Physikalische Eigenschaften der Kristalle Thermische Leitfähigkeit Die Härte Anhang Symmetrie-Elemente Berechnung von Atomabständen und Winkeln in einer Kristallstruktur Lösungen der Übungsaufgaben Literaturverzeichnis Sachverzeichnis Ausschlagtafel (Wulffsches Netz) XI

10 Einleitung Im Mittelpunkt der Kristallographie steht ein Objekt, der Kristall. Die Kristallographie beschäftigt sich mit den Gesetzmäßigkeiten des kristallisierten Zustandes der festen Materie, der Anordnung der Bausteine in den Kristallen, den physikalischen und chemischen Eigenschaften, der Synthese und dem Wachstum der Kristalle. Kristalle spielen in vielen Disziplinen eine Rolle, in Mineralogie, Anorganischer Chemie, Organischer Chemie, Physikalischer Chemie, Physik, Metallkunde, Werkstoffwissenschaften, Geologie, Geophysik, Biologie, Medizin usw. Diesen Zusammenhang erkennt man vielleicht noch besser, wenn man einmal zusammenstellt, wo überall Kristalle auftreten: Praktisch alle natürlich gebildeten Festkörper (Mineralien) sind Kristalle. Dazu gehören auch die Rohstoffe für die Chemie, z. B. die Erze. Ein Felsmassiv besteht in der Regel aus Kristallen unterschiedlicher Art, ein Eisberg dagegen aus vielen kleinen gleichartigen Eiskristallen. Fast alle festen anorganischen Chemikalien sind kristallin, auch viele feste organische Verbindungen haben einen kristallinen Aufbau, z. B. Naphthalin, Benzol, Zellulose, Eiweiße, Vitamine, Kautschuk, Polyamide. Die Metalle und die Legierungen, die Keramiken, die Baustoffe bestehen aus Kristallen. Die Hartsubstanzen der Zähne und Knochen sind kristallin. Der Verkalkungsprozeß der Gefäße und Muskeln im menschlichen und tierischen Körper ist auf Kristallbildungen zurückzuführen. Viele Viren haben einen kristallinen Aufbau. Diese Aufzählung könnte noch beliebig weiter fortgesetzt werden, aber es ist wohl klar geworden, daß fast alle Substanzen, die man allgemein als fest bezeichnet, kristallisiert sind. Die Kristallographie ist im mitteleuropäischen Raum eine Disziplin der Mineralogie, während sie in den angelsächsischen Ländern mehr an die Chemie und Physik gebunden ist. Kristallographen kommen also aus der Mineralogie, Physik und Chemie. In der Bundesrepublik Deutschland sind die Kristallographen in der Arbeitsgemeinschaft für Kristallographie zusammengeschlossen, d. i. eine Organisation in der Trägerschaft der Deutschen Mineralogischen Gesellschaft (DMG), der Gesellschaft Deutscher Chemiker (GDCh) und der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (DPG).

11 1. Der Kristallzustand Das Erscheinungsbild der Kristalle ist außerordentlich vielfältig, aber alle Erscheinungsformen sollten sich auf ein Grundprinzip zurückführen lassen. Es ist daher notwendig, sich mit dem Kristallzustand an sich auseinanderzusetzen. Dazu sollen zunächst einige typische Kristalleigenschaften diskutiert werden: a) Viele Kristalle besitzen nicht nur ebene Begrenzungsflächen, sondern bilden im Idealfall auch regelmäßige geometrische Formen aus (Abb ). b) Zerschlägt man bestimmte Kristalle (z. B. NaCI), so zerfallen sie in geometrisch gleichartige Körper mit ebenen Begrenzungsflächen, beim NaCI in kleine Würfel. Diese Eigenschaft nennt man Spaltbarkeit, und sie ist nur für Kristalle typisch. --, --- \ \ Abb. 1.1a, b. Granat-Kristall als Rhombendodekaeder (a), Vitamin B 12-Kristall (b) h~/gnb blau h~lig~/b Abb Pleochroismus bei einem Cordierit-Kristall 2

12 c) Abbildung 1.2 zeigt einen Cordierit-Kristall und die Farben, die ein Beobachter sieht, wenn er in der angegebenen Richtung durch den Kristall blickt. Welche Farbe vorliegt, hängt von dem Absorptionsverhalten des Kristalls in dieser Richtung ab. Die Absorption ist in den drei angegebenen Richtungen unterschiedlich. Diese Erscheinung wird als Pleochroismus bezeichnet. d) Ritzt man unter sonst gleichen Bedingungen einen Disthen-Kristall mit einem Diamant-Kristall, so entsteht parallel zur Längsrichtung des Kristalls eine tiefe, senkrecht dazu aber nur eine schwache Ritzspur (Abb. 1.3). Dieser Kristall ist in den genannten Richtungen unterschiedlich hart. Abb Disthen-Kristall mit Ritzspuren zur Veranschaulichung der Härteanisotropie e) Überzieht man eine Gips-Kristallfläche mit einer dünnen Wachsschicht und setzt man eine glühende Metallspitze auf die Kristallfläche, so breitet sich der Aufschmelzwulst nicht kreis-, sondern ellipsenförmig aus (Abb. 1.4), d. h. die Wärmeleitfähigkeit ist in Richtung III größer als in Richtung l. Ein solches Verhalten - verschiedene Beträge einer physikalischen Eigenschaft in verschiedenen Richtungen - nennt man anisotrop. Hätte sich wie z. B. auf einer Glasplat- /" a Abb Gips-Kristall mit Wachs-Schmelzwulst. Die Ellipse stellt eine Isotherme dar und charakterisiert die Anisotropie der Wärmeleitfähigkeit 3

13 00, 00 C - 'i5,,-0, c E C Verteilung odell orstellung der Physikali ehe der Aggregillzu tände E :~ ::1~ - Verhalten -'" o <J Bausleine ~2 ;..c, a) Ga % c#j.. ~ cf] ~ & 6> cfj 00 8 e e & ~ Siedepunkl lalislisch homogen ' isotrop: e EI:) c) Kristall chmelzpunkl f-----f periodisch homogen I I Ein Stoff ist homogen, wenn er in parallelen Richtungen gleiches Verhaltenzeigt / / Abb. 1.5 a - c. Schematische Darstellung c Kristall ani olropl 2 Gleiche physikalische Eigenschaften in allen Richtungen 3 Verschiedene physikalische Eigenschaften in verschiedenen Richtungen der Aggregatzustände: agas, b Flüssigkeit, 4

14 te ein Kreiswulst ausgebildet, so wäre die Wärmeleitung in allen Richtungen gleich groß gewesen. Dieses Verhalten - gleiche Beträge einer physikalischen Eigenschaft in allen Richtungen - nennt man isotrop, vgl. auch Abb. 1.5 (rechte Spalte). Für den Kristallzustand ist anisotropes physikalisches Verhalten typisch! Dies gilt aber nicht allgemein, denn es gibt auch Kristalleigenschaften, die sich bei bestimmten Kristallen isotrop verhalten. Die Ursache aller von (a - e) genannten Phänomene liegt im inneren Aufbau der Kristalle begründet. Um ihn besser zu verstehen, soll er im Rahmen der Aggregatzustände betrachtet werden. Die Materie (Gase, Flüssigkeiten, Kristalle) ist aus Bausteinen (Atomen, Ionen und Molekein) zusammengesetzt und stellt deshalb ein Diskontinuum dar. Die Größe der Bausteine liegt aber im A-Bereich (1 A = 1O- 8cm), und darum erscheint uns die Materie nur als Kontinuum. Die Physik definiert die Aggregatzustände durch die Begriffejorm- und volumenbeständig. Das Gas ist weder formnoch volumenbeständig, die Flüssigkeit ist zwar volumen-, aber nicht formbeständig, und der Kristall ist form- und volumenbeständig (Abb. 1.5). Gas: Abbildung 1.5a zeigt eine Momentaufnahme der Anordnung der Molekein in einem Gas. Die Molekein fliegen mit großer Geschwindigkeit durch den Raum, besitzen also eine hohe Bewegungsenergie (kinetische Energie). Die Bindungskräfte zwischen den Molekein sind denkbar schwach, die entsprechende Energie ist im Verhältnis zur kinetischen Energie zu vernachlässigen. Wie ist nun die Verteilung der Molekeln zu einem bestimmten Zeitpunkt (Momentaufnahme)? Es gibt sicherlich keine Häufung von Bausteinen an speziellen Orten, da ein "Streben nach Ausgleich" besteht. A. Johnsen [21] hat die Verteilung an einem Gedankenexperiment erläutert (Abb. 1.6a): Wir schütten 128 Linsen auf die 64 Felder eines Schachbretts. Dann entfallen auf die einzelnen Felder 0, 1, 2, 3,..., Linsen, im Durchschnitt 2. Gleichgroße Teilbereiche auf dem Schachbrett werden einander um so ähnlicher, je größer sie sind. Diese Art der Verteilung wird als statistisch homogen bezeichnet 1. Bei statistisch homogener Verteilung der Bausteine ist das physikalische Verhalten - wie leicht einzusehen ist - isotrop, es ist in allen Richtungen gleich. Flüssigkeit: Sinkt die Temperatur eines Gases, so nimmt die kinetische Energie der Molekein ab. Beim Erreichen des Siedepunktes wird die kinetische Energie gleich der Bindungsenergie zwischen den Molekein. Das Gas kondensiert bei weiterem Abkühlen zur Flüssigkeit. Die Bindungskräfte ziehen die Bausteine bis zur "Berührung" aneinander; sie sind aber nicht dauernd, sondern nur im zeitlichen Mittel aneinander gebunden (Abb. 1.5b). Die Molekein wechseln häufig ihre Plätze. Es kann zwar in kleinen Bereichen bereits eine Ordnung der Bausteine 1 Ein Stoff ist homogen, wenn er in parallelen Richtungen gleiches Verhalten zeigt. 5

15 : 8 : :e : ~ :.. 6 '...,: - ~_: ;. 5 ~.~:.-.~ :~-- : : 4. :... ',...:.. t!'._.' 3..,... -.:~., I 2.' ;...-.:. :.... ' ~- ~- -:-- -.-: : -..;-,.,. _I a) abc d!' f g h b) abc d e f g h Abb. 1.6a, b. Statistische (a) und periodische (b) Homogenität. (Nach Johnson [21)) vorliegen (Nahordnung); wenn jedoch die Einheit nur groß genug gewählt wird, so kann auch hier angenähert von einer statistisch homogenen Verteilung der Bausteine gesprochen werden. Daraus folgt isotropes physikalisches Verhalten. Kristall: Sinkt die Temperatur unter den Schmelzpunkt, so wird die kinetische Energie so klein, daß die Bausteine feste Bindungen eingehen können. Es entsteht ein dreidimensionales Gerüst aus Bindungsbrücken zwischen den Molekein, und der Körper wird fest, er kristallisiert. In Abb. 1.5c ist nur eine Ebene des entstandenen Kristalls dargestellt. Die Bausteine des Kristalls führen nur noch Schwingungen um eine Ruhelage aus. Durch das Eingehen einer festen Bindung haben sich die Bausteine regelmäßig angeordnet. Ihre Verteilung ist nicht mehr statistisch, sondern periodisch homogen. Es liegt eine Periodizität in drei Dimensionen vor (vgl. auch Abb. 2.1 a). Wie würden sich nun diese Verhältnisse am Schachbrettmodell äußern (Abb. 1.6b)? Auf jedes Feld kämen 2 Linsen, die periodisch zueinander angeordnet sind. Die Anordnung der Linsen parallel zu den Kanten und zur Diagonalen ist stark unterschiedlich, und daraus kann kein gleichartiges, sondern nur unterschiedliches physikalisches Verhalten in diesen Richtungen resultieren, d. h. ein Kristall verhält sich anisotrop. Diese Anisotropie ist das typische Kennzeichen für den Kristallzustand. Definition: Ein Kristall ist ein anisotroper homogener Körper, der eine dreidimensional periodische Anordnung der Bausteine besitzt. Die Materie strebt bei entsprechender Temperatur unbedingt zum Kristallzustand hin, da er der feste Aggregatzustand kleinster Energie ist. Es gibt aber Stoffe (z. B. Glas), die dieses Ziel nicht erreichen. Eine Glasschmelze ist sehr viskos, und die Bausteine können sich bei der Abkühlung aus Zeitgründen nicht ordnen. Die Gläser besitzen einen höheren Energieinhalt und können als eingefrorene zähe Flüssigkeiten angesehen werden. Man nennt sie amorphe Körper. 6

16 (l) '0\ ' (l) c UJ ---- Ts Abb Aufheizkurven eines Kristalls (---) und eines Glases (- - -), T s ist die Schmelztemperatur des Kristalls Amorph bedeutet "ohne Gestalt". Diese Körper können keine ebenen Begrenzungsflächen oder Polyeder ausbilden, weil ihnen der innere geordnete Aufbau fehlt (vgl. Kap. 4). Wie kann man nun Kristalle und amorphe Körper voneinander unterscheiden? Eine Möglichkeit stellt das Schmelzverhalten dar. Ein Kristall besitzt einen Schmelzpunkt T s ' ein amorpher Körper aber einen Erweichungsbereich (Abb. 1. 7). Eine andere Möglichkeit bietet das Verhalten gegenüber Röntgenstrahlen. Kristalle können Röntgenstrahlen beugen (vgl. Kap. 12), amorphe Körper sind dazu nicht in der Lage. Aufgabe 1.1. Bestimmen Sie das Volumen des Raums, den ein Gasatom oder eine -molekel bei Normalbedingungen einnimmt. Aufgabe 1.2. Berechnen Sie die Raumerfüllung von Neongas bei Normalbedingungen. Die Raumerfüllung ist das Verhältnis Volumen Neon-Atom zum Volumen des Gasraums eines Atoms (vgl. Aufgabe t.1). Zum Vergleich: Ein Kupferkristall hat eine Raumerfüllung von Aufgabe 1.3. Diskutieren Sie den Begriff "Kristallglas". 7

17 2. Das Raumgitter und seine Eigenschaften In den Kristallen liegt eine periodische Anordnung der Bausteine in drei Dimensionen vor. Dies ist an dem a-polonium-kristall in Abb. 2.1a ersichtlich. Die Po Ioniumatome wiederholen sich nach dem Prinzip eines Punkt- oder Raumgitters, wenn einmal nur die Schwerpunkte der Atome betrachtet werden (Abb. 2.1b). Ein Raum- oder Punktgitter ist danach eine dreidimensional periodische Anordnung von Punkten, nur eine mathematische Fiktion. Das Raumgitter oder Punktgitter soll nun vom Gitterpunkt über die Gittergerade und Gitterebene zum Raumgitter entwickelt und allgemein betrachtet werden. Abb. 2.1 a, b. Dreidimensionale periodische Anordnung der Bausteine in einem a-polonium-kristall (a); Raumgitter des Kristalls (b) b) 2.1 Die Gittergerade Geht man in Abb. 2.2 vom Punkt 0 aus, und verschiebt man diesen um den Vektor ä 1, so kommt man zum Punkt 1, bei Verschiebung um 2 ä zum Punkt 2 usw. Durch diesen Vorgang werden die Punkte zur Deckung gebracht; es wird eine Deckoperation ausgeführt. Durch diese Deckoperation - man nennt sie Gitter Translation - ist eine Gittergerade entstanden. Alle Punkte, die durch Gitter Translationen ineinander überführt werden, heißen identische Punkte. I ä 1= ao wird als Gitterkonstante bezeichnet. Diese eine Konstante besitzt die Gesamtinformation dieses eindimensionalen Gitters. 8

18 I(. ) 2 Abb.2.2 Abb.2.3 Abb Gittergerade mit der Gitterkonstanten I ä I = ao Abb Gitterebene (Netzebene) mit der von den Vektoren ä und 6 aufgespannten Elementarmasche 2.2 Die Gitterebene Führt man nun eine Gitter-Translation mit einem Vektor 6' ein (b-lf ci) und läßt sie auf die Gittergerade in Abb. 2.2 einwirken, so entsteht eine Gitter- oder Netzebene (Abb. 2.3). Die Vektoren ä und b spannen eine Elementarmasche (EM) auf. Durch die Kenntnis dieses Bereichs (I ä 1 = ao, 1 b 1 = bo, y) kann die ganze Netzebene beschrieben werden. Führt man mit den Punkten einer Elementarmasche eine beliebige Gitter-Translation durch, so kommen sie immer wieder mit anderen Punkten zur Deckung. Eine Netzebene enthält nicht nur die Gitter Translationen 11 ä und 11 b, sondern eine unendliche Zahl anderer Gitter-Translationen Das Raumgitter Führt man nun eine Gitter-Translation mit einem zu ä und b nicht komplanaren Vektor C ein und läßt sie auf die Gitterebene in Abb. 2.3 einwirken, so entsteht ein Raumgitter (Abb. 2.4). Das Raumgitter wird also allein durch die Deckoperationen Gitter-Translation, die in drei Dimensionen wirksam werden, erzeugt. Entsprechend der Lage der Vektoren ä, b, c legt man ein Koordinatensystem oder Achsenkreuz mit den kristallographischen Achsen a, b, c in das Gitter. Die Vektoren ä, b, cbzw. die kristallographischen Achsen a, b, c bilden ein Rechtssystem. Wenn man die rechte Hand betrachtet, so steht der Daumen für a (ci), der Zeigefinger für b (b) und der Mittelfinger für c (C). Ein Gitter bzw. die zugehörigen Kristalle werden also so aufgestellt, daß ä bzw. a nach vorn, b bzw. b nach rechts und c bzw. c nach oben zeigen (Abb. 2.4). 1 Vektoren sind durch einen Pfeil über dem Buchstaben gekennzeichnet. 2 Im Gegensatz zum endlichen Kristall ist das Raumgitter unendlich definiert. 9

19 Abb Raumgitter mit der von den Vektoren a, 6, c aufgespannten Elementarzelle Q Die Vektoren a, b, C spannen eine Elementarzelle (EZ) auf, die durch die Angabe von sechs Gitterkonstanten beschrieben werden kann: Gitter-Translationsbeträge la 1= ao Ibl= bo Ic 1= Co Winkel zwischen den Vektoren aj\b = y aj\c = ß bj\c = a Ein Einwirken der Gitter-Translationen auf die Elementarzelle ergibt wieder das Raumgitter. Die Elementarzelle enthält also die Gesamtinformation des Raumgitters. Jede Elementarzelle hat stets acht "Ecken" und sechs "Flächen". Auf den Ecken sitzt je ein identischer Punkt. Können aber alle diese Punkte der Elementarzelle zugeordnet werden? Der Gitterpunkt D in Abb. 2.4 gehört nicht nur zur markierten Elementarzelle, sondern zu allen 8 dargestellten Zellen des Gitters, d. h. zur markierten Elementarzelle nur zu -h und 8. + = 1, d. h. die Elementarzelle enthält nur einen Gitterpunkt. Elementarzellen mit nur einem Gitterpunkt heißen einfach primitiv und werden mit einem P gekennzeichnet. 2.4 Die Bezeichnung von Punkten, Geraden und Ebenen im Raumgitter Gitterpunkt uvw Jeder Gitterpunkt kann durch den vom Nullpunkt ausgehenden, zu ihm führenden Vektor T = ua + vb + wc bezeichnet werden. Die Beträge von a, b, c sind die Gitterkonstanten, folglich spielen nur die Koordinaten u, v und weine Rolle. Sie werden zu einem Tripel uvw zusammengefaßt. In Abb. 2.5 bezeichnet der Vek- 10

20 a Abb Bezeichnung von Gitterpunkten durch die Koordinaten uvw der vom Ursprung des Gitters zu den Gitterpunkten verlaufenden Vektoren r = uä + vb + wc tor r den Punkt 231 (sprich: zwei-drei-eins). Die uvw sind ganze Zahlen oder ganze Zahlen + -h + +, + t, wie dies später aus Kapitel 6.4 ersichtlich ist. Außerdem sind die Koordinaten der Eckpunkte der Elementarzelle angegeben Gittergerade [uvw] In einem Koordinatensystem kann man eine Gerade mathematisch durch die Angabe zweier Punkte festlegen. Die Gittergerade I in Abb. 2.6 enthält die Gitterpunkte 000 und 231. Da die Gittergerade durch den Nullpunkt geht, bestimmt der andere Gitterpunkt allein die Richtung der Gittergeraden im Raumgitter. Man nimmt deshalb das I(oordinatentripel dieses Punktes zur Beschreibung der Gittergeraden, setzt es aber in eckige Klammern [231], allgemein [uvw], um damit zu dokumentieren, daß es sich um eine Richtungsangabe handelt. a Abb Bezeichnung von Gittergeraden durch die Koordinaten [uvw] (in eckigen Klammern) des vom Ursprung des Gitters zu einem Punkt der Gittergeraden geführten Vektors T= uä+vb+wc(i [231], II [112]) 11