XIII. Elektrodynamik eines Plasmas

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1 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV XIII. Elktrodynamik ins Plasmas Als Plasma wird in Zustand dr Matri bzichnt, bsthnd aus fri bwglichn Ladungsträgrn, dr dn ganzn zu Vrfügung sthndn Raum bstzn kann. Ein Bispil davon ist in tilwis odr völlig ionisirts Gas. Dank dr Anwsnhit fri bwglichr Ladungsträgr ist in Plasma in lktrischr Litr. Damit solltn di allgminn Ergbniss dr Abschnitt X. und XII..3 gltn. Hirnach wird in infachs Systm btrachtt, mit nur zwi Artn von Ladungn: Elktronn (Ladung, Mass m, Dicht n ) und positiv gladnn Ionn (Ladung +Z mit Z N, Mass M Z m, Dicht n Z ). Di Dichtn wrdn durch Mittlung übr Volumina rhaltn, di vil Tilchn nthaltn, so dass di Fluktuationn δn dr Dicht klin blibn: δn n. Diss Plasma ist im thrmischn Glichgwicht bi dr Tmpratur T. Außrdm wird im Glichgwichtszustand lokal Nutralität angnommn: ϱ 0 ( r) = n ( r) + Zn Z ( r) = 0. (XIII.) Im Folgndn wird angnommn, dass dr Glichgwichtszustand glichförmig ist, sowi dass dass all Bstandtil di glich Tmpratur habn. Nbn dm thrmischn Glichgwicht gilt auch das chmisch Glichgwicht Ion Z+ + Z Ion (Z )+ + (Z ) Atom. (XIII.) Somit sind di Vrhältniss dr Dichtn dr untrschidlichn Ionn (wnn Z > ) und dr zughörign nutraln Atom durch di Glichgwichtsbdingung bstimmt. Hirnach wrdn all nicht völlig ionisirtn Spzis vrnachlässigt, ntsprchnd dm Hoch-Tmpratur-Lims. Bi shr hohn Tmpraturn wrdn auch Elktron-Positron-Paar rzugt dis Möglichkit wird hir nicht brücksichtigt. Bmrkung: In inm ionisirtn Gas sind di frin Ladungsträgr Elktronn und Ionn, d.h. lktrisch gladn Frihitsgrad; damit handlt s sich um in lktromagntischs Plasma. Witr Plasmn sind auch (zumindst thortisch) möglich für Tilchn, di Ladungn bzüglich andrr Wchslwirkungn tragn: bispilswis könnn di farbgladn Quarks und Gluonn in Quark-Gluon-Plasma bildn, das nicht durch di lktromagntisch Wchslwirkung ghrrscht wird, sondrn durch di Quantnchromodynamik. XIII. Klassifikation von Plasmn Di Eignschaftn ins Plasmas im thrmischn Glichgwicht hängn nur von dr Tmpratur T, dr Tilchndicht ins dr Bstandtil z.b. n und dn charaktristischn Größn dr Ladungsträgr ab. Dann folgn di Dichtn dr andrn Bstandtiln aus dr lokaln Nutralität (XIII.) und ggbnnfalls aus dn Glichungn, di das chmisch Glichgwicht ausdrückn. J nach dn Wrtn disr Paramtr könnn vrschidn Rgim untrschidn wrdn. XIII.. Klassischs ggn Quantnplasma, rlativistisch ggn nichtrlativistisch Quantnffkt in inm Plasma müssn brücksichtigt wrdn, wnn di thrmisch d-brogli- Wllnläng 66 dr Elktronn λ th / m k B T drslbn Größnordnung odr größr als dr typisch Abstand zwir Elktronn n /3 ist. Dis Effkt sind also vrnachlässigbar wnn di ) /m vil aus dm Pauli-Prinzip rsultirnd kintisch Enrgi ( Nullpunktnrgi ) ( n /3 66 Für in massivs bzw. massloss Tilchn gilt dfinitionsgmäß λ th π mk BT bzw. λ th π/3 c k BT. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 9

2 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV klinr als di thrmisch Bwgungsnrgi k B T ist. Wnn di Ltztr außrdm vil klinr als di Massnnrgi ist, dann ist das Plasma nichtrlativistisch. Für in klassischs Plasma gilt also ( n /3) k B T m c. (XIII.3) m Dis Bdingungn wrdn rfüllt im intrgalaktischn bzw. intrstllarn Plasma (n 0 5 m 3, T K), in dr Magnto- bzw. Ionosphär von Plantn (für di Erd n m 3, T K), sowi in dn dichtrn Plasmn rzugt in Gasntladungn (n 0 6 m 3, T 0 4 K) odr in Fusionsxprimntn (n 0 0 m 3, T 0 8 K in Tokamaks, n 0 7 m 3, T 0 7 K in Träghitsfusionsxprimntn). Im Fall ds Plasmas im Zntrum dr Sonn (n 0 3 m 3, T 0 7 K) odr schwrrr Strn dürfn di Quantnffkt im Ggnsatz nicht vrnachlässigt wrdn. In inm nichtrlativistischn ntarttn Plasma gilt ( n /3) k B T m c. (XIII.4) m Dis ist dr Fall in wißn Zwrgn (n 0 36 m 3, T 0 8 K dr Entartungsdruck dr Elktronn ist für di Stabilität dr wißn Zwrg ggn Gravitationskollaps vrantwortlich) sowi für das sog. Elktronngas in inm (Halb)Litr. In rlativistischn Plasmn sind Quantnffkt ni vrnachlässigbar. Wgn dr hohn Tmpratur wrdn nämlich Elktron-Positron-Paar ständig rzugt, insbsondr mit kintischn Enrgin klinr odr drslbn Größnordnung als k B T, d.h. für di dr Untrschid zwischn klassischr und Quantnstatistik rhblich ist. Ein rlativistischs Plasma kann sogar ntartt sin, wnn di Nullpunktnrgi c/n /3 vil größr als k B T ist. Ein Bispil rlativistischs Plasmas wird durch di Tilchn im frühn Univrsum dargstllt. XIII.. Schwach ggn stark wchslwirknds Plasma Di Wchslwirkungn in inm Plasma könnn als schwach btrachtt wrdn, wnn di zughörig charaktristisch lktrostatisch Enrgi E pot /(4π n /3 ) vil klinr als di typisch kintisch Enrgi ist: schwach wchslwirknds Plasma E pot E kin. (XIII.5) In solchn Plasmn wrdn Wchslwirkungn dann in rstr Nährung vrnachlässigt, und in inm Schritt in Störungsrchnung bhandlt. In inm klassischn Plasma, wo di typisch kintisch Enrgi dr Tilchn glich dr thrmischn Bwgungsnrgi k B T ist, lautt dis Bdingung n /3 4π k B T, (XIII.6) so dass di Wchslwirkungn mit sinkndr Dicht schwächr wrdn. In inm ntarttn Plasma, wo di kintisch Enrgi durch di quantnmchanisch Nullpunktnrgi bstimmt wird, ist das Vrhaltn untrschidlich. Wnn das Plasma nichtrlativistisch ist, dann ist E kin ( n /3 ) /m, so dass di Wchslwirkungn vrnachlässigbar sind wnn n /3 4π ( n /3), (XIII.7) m d.h. n /3 m : um so dichtr das Plasma, dsto schwächr di Wchslwirkungn. π Dis stllt in gut Nährung in wißn Zwrgn dar. Für das Elktronngas in inm Litr könnn im Ggnsatz di Wchslwirkungn zwischn dn Elktronn nicht vrnachlässigt wrdn. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 30

3 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV In inm ultrarlativistischn Plasma, wo di Tilchndicht wgn dr Paarrzugung in untr Schrank bsitzt, di aus dimnsionaln Gründn dr Ordnung (k B T/ c) 3 sin soll, wird Gl. (XIII.6) zu k B T 4π c k BT, (XIII.8) d.h. α.m., mit α.m. dr Finstrukturkonstant dr Elktrodynamik. Damit sind di Wchslwirkungn in inm rlativistischn lktromagntischn Plasma immr vrnachlässigbar. XIII. Elktrostatik ins Plasmas Wchslwirkungn zwischn dn Tilchn ds Plasmas führn bi großn Abständn l n /3 zu kollktivn Effktn, wi z.b. dr Abschirmung dr lktrischn Ladung bzw. ds Potntials. In inm Punkt ins Plasmas im Glichgwicht wird in punktförmig Tstladung q ingführt: als Antwort vrschibn sich di Ladungsträgr ds Plasmas, ntsprchnd inr induzirtn Polarisation bzw. Ladungsdicht. In dr folgndn Hrlitung wird dr Einfachhit halbr di Vrschibung dr Ionn vrnachlässigt, d.h. ihr Mass wird als unndlich groß btrachtt. Di Tstladung rzugt in makroskopischs lktrischs Potntial Φ( r), mit dm Koordinatnursprung bi dr Ladung, das dr Poisson-Glichung Φ( r) = ϱ( r) = q δ (3) ( r) + ϱ ind.( r) (XIII.9) gnügn soll, wobi ϱ ind. di (makroskopisch) induzirt Ladungsdicht bzichnt. Dis lässt sich im thrmodynamischn Glichgwicht infach brchnn, indm di Enrgi E in dr mittlrn Bstzungszahl durch E Φ( r) rstzt wird, d.h. untr Brücksichtigung dr lktrostatischn Enrgi. Für Elktronn wird di Bstzungszahl durch di Frmi Dirac-Vrtilung f 0 (E) = xp ( E µ k B T ggbn, di also in Anwsnhit dr Tstladung durch ) + f Φ (E) = ( ) E Φ( r) µ xp + k B T rstzt wird, mit µ dm chmischn Potntial dr Elktronn. Somit ist di induzirt Ladungsdicht, ntsprchnd dr Diffrnz zwischn dn Ladungsdichtn in Anwsnhit und in Abwsnhit dr Tstladung, 67 durch di Summ übr all Quantnzuständ ggbn: [fφ ϱ ind. ( r) = (E p) f 0 (E ] p) d 3 p (π ) 3, wobi di Abhängigkit dr Enrgi vom Impuls mithilf ds tifgstlltn p gknnzichnt wird, währnd dr Faktor dm Entartungsgrad dr Spin- Elktronn ntspricht. Wnn di potntill lktrostatisch Enrgi klin ggn di kintisch Enrgi ist, ntsprchnd dm Fall ins schwach wchslwirkndn Plasmas, kann di Bstzungszahl f Φ (E) Taylor-ntwicklt wrdn: f Φ (E) f 0 (E) Φ( r) df 0 (E) für Φ( r) E. de Damit rgibt sich ϱ ind. ( r) = df0 (E p ) d 3 p Φ( r) de (π ) 3 = rd Φ( r) mit r D dr durch 67 Di Ladungsdicht dr Elktronn in Abwsnhit dr Tstladung ist durch di lokal Nutralität (XIII.) mit dr Ladungsdicht dr Ionn vrknüpft, di sich nicht ändrt, wnn di Tstladung ingführt wird. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 3

4 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV r D df0 (E p ) de d 3 p (π ) 3 (XIII.0) dfinirtn Dby-Läng, di nur von T, µ und dn charaktristischn Größn dr Elktronn abhängt. Schlißlich wird di Poisson-Glichung für das lktrisch Potntial zu inr (inhomognn) Hlmholtz-Glichung (XIII.9) Φ( r) + rd Φ( r) = q δ (3) ( r). (XIII.) Di physikalisch sinnvoll Lösung disr Glichung ist das abgschirmt Potntial 68 Φ( r) = q r /r D 4π r. (XIII.) Für Abständ zur Punktladung r r D wird das Potntial xponntill klin. Dmntsprchnd ist das lktrisch Fld in inm statischn Plasma im Glichgwicht annährnd null, wi im Innrn ins Litrs im Glichgwicht zu rwartn ist. Bwis von Gl. (XIII.): in Kuglkoordinatn gilt für r 0 Φ( r) = d ( )( ) [ ] d rφ( r) = r dr r dr r d r dr r Φ( r). Somit wird Gl. (XIII.) zu ( ) d r dr r Φ( r) = Φ( r) r D ( ) d r dr r Φ( r) = ± Φ( r) für r 0. r D Di Lösung mit dm + Vorzichn ist nicht physikalisch, so dass Φ( r) = C r r/rd, mit C inr Konstant. Bi klinn Abständn sollt di Ladung nicht abgschirmt wrdn, ntsprchnd dm Potntial q Φ( r) r 0 4π r, woraus C = q/(4π ) folgt. Ein altrnativr Bwis wird in Anhang XIII.A darglgt. Glichung (XIII.) wurd hrglitt untr Nutzung inr induzirtn Ladungsdicht, di inm durch di statistisch Physik ggbnn Mittlwrt ntspricht. Somit gilt di Hrlitung nur dann, wnn vil Tilchn zum kollktivn Effkt bitragn: di Dby-Läng muss also vil größr als dr typisch Abstand zwischn dn Elktronn sin, r D n /3. Aus ihrr Dfinition (XIII.0) kann man di Größnordnung dr Dby-Läng abschätzn: f0 (E p ) E kin r D d 3 p (π ) 3 n E kin, mit E kin dr mittlrn kintischn Enrgi ins Elktrons im Plasma. Somit gilt r D n /3 n /3 E kin E pot E kin, mit E pot dr mittlrn potntilln Enrgi ins Elktrons. Di Hrlitung dr Gl. (XIII.) gilt also für E pot E kin, d.h. in inm schwach wchslwirkndn Plasma. Di charaktristisch Längnskala dr Abschirmung, r D, ist in nu makroskopisch Skala. In inm Volumn rd 3 bfindn sich vil Tilchn, dshalb wird di Abschirmung (und andr Polarisationsffkt) als in kollktivs Effkt bzichnt. 68 Di mit dm Abstand r zur Tstladung wachsnd Lösung kann wgglassn wrdn. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 3

5 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV Bmrkungn: In inm klassischn Plasma im Glichgwicht 69 kann man di Frmi Dirac-Vrtilung durch di Boltzmann-Vrtilung f0 kl. (E) = (E µ)/kbt rstzn. Damit ist df0 kl. /de = f kl. 0 (E)/k BT, so dass di Dby-Läng (XIII.0) analytisch brchnbar wird: ɛ0 k B T r D = n. (XIII.3) Untr Brücksichtigung dr Bwgung dr Ionn wird di Dby-Läng wnig vrschobn, wi sich infach prüfn lässt. 70 Für r 0 ist di Glichung (XIII.) analog dr Bwgungsglichung (Klin Gordon-Glichung) ins rlativistischn Tilchns mit dr Mass m > 0 Φ c t Φ + m c Φ = 0, wobi di Zitablitung im statischn Fall vrschwindt. Damit ist das Brücksichtign dr Polarisationsffkt äquivalnt zur Zuordnung inr Mass m D /r D c, dr Dby-Mass, zum Photon. Dr Vrglich dr Gl. (XIII.) zur Fstlgung ds Potntials mit dr Gl. (XII.4) für lktromagntisch Wlln in Matri gibt für das statisch Plasma µ(ω) ɛ(ω) ω 0 rd, ω ntsprchnd [Gl. (XII.b)] inm Litr mit inr konstantn Prmabilität µ(ω) = µ(0), Γ = 0 und Ω = /µ(0)r D. Im Ggnsatz zum lktrischn Fld wird das magntisch Fld nicht abgschirmt. XIII.3 Plasmaschwingungn Si in Plasma im Glichgwichtszustand, mit dr Ladungsdicht ϱ 0 = n,0 + Zn Z = 0, dr Ladungsstromdicht J 0 = 0 und dm lktrostatischn Fld E 0 = 0. Es wird angnommn, dass kin äußrs magntischs Fld vorhandn ist. Untr inr xtrnn Störung vrstzn di Elktronn in Schwingungn um di mhr massivn Ionn. Damit ändrt sich di Ladungsdicht: ϱ(t, r) = [ n,0 + n, (t, r) ] + Zn Z = n, (t, r), (XIII.4) wobi di Vrschibung dr Ionn vrnachlässigt wurd. Dmntsprchnd ändrt sich das lktrisch Fld: E(t, r) = E 0 + E (t, r), sowi di Ladungsstromdicht J(t, r) = J 0 + J (t, r) n,0 v (t, r), (XIII.5) mit v dr (klinn) mittlrn Gschwindigkit dr Elktronn. Hir wurd n, v als in Größ zwitr Ordnung vrnachlässigt, ntsprchnd n, n,0 bzw. dr Linarisirung dr Glichungn. Dis Plasmaschwingungn vrltzn momntan di lokal Nutralität, di sich nach inr typischn Zitdaur T P ω P widrhrstllt, mit ω P dr Plasmafrqunz. XIII.3. Plasmafrqunz Mit dr Ladungsdicht (XIII.4) und dr Ladungsstromdicht (XIII.5) lautt di Kontinuitätsglichung n,(t, r) n,0 v (t, r) = 0. t 69 Di Abschirmung in klassischn Plasmn außr Glichgwicht wird in Rf. [3] diskutirt. 70 Manchmal wrdn untrschidlich Tmpraturn für di Elktronn und di postivn Ionn angnommn ( Zwitmpraturplasma ). XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 33

6 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV Di Ablitung disr Idntität nach dr Zit gibt, untr Brücksichtigung ds Grundprinzips dr Dynamik n, (t, r) t n,0 E (t, r) = 0, m wobi dr magntisch Til dr Lorntz-Kraft vrnachlässigt wurd. Mithilf dr Maxwll Gauß- Glichung rgibt sich schlißlich n, (t, r) t + ωpn, (t, r) = 0, (XIII.6a) d.h. Schwingungn dr Elktronn rlativ zu dn Ionn (sog. Langmuir-Schwingungn) mit inr Krisfrqunz dr Plasmafrqunz. ω P n,0 m, (XIII.6b) Bmrkungn: kb T Mit dr klassischn Dby-Läng (XIII.3) und dr mittlrn Gschwindigkit v m ins Elktrons bi dr Tmpratur T gilt d.h. ω P ω P v r D, stllt di Zitdaur dar, di in Elktron zur Durchqurung dr Läng r D bnötigt. In Fourir-Darstllung lautt di Wllnglichung (XIII.6a) ( ω + ω P ) ñ,(ω, r) = 0. Dr Vrglich mit dr Gl. (XII.4) für lktromagntisch Wlln in Matri zigt, dass di Schwingungn nicht propagirn (d.h. k = 0), und gibt ɛ r (ω) µ r (ω) = ω P ω, wobi di Normirung ɛ r (ω) µ r (ω) für ω bnutzt wurd, ntsprchnd dm Vrhaltn ins Litrs mit µ r (ω) =, Γ = 0 und Ω = ω P. Für Krisfrqunzn ω < ω P wird ɛ r (ω) µ r (ω) ngativ, d.h. dr Brchungsindx (XII.5) wird rin imaginär. Dmntsprchnd könnn lktromagntisch Wlln mit solchn Frqunzn nicht im Plasma propagirn, sondrn wrdn rflktirt. Dis Tatsach wird für Radiowlln bnutzt, di an dr untrn Ionosphär rflktirt wrdn. XIII.3. Longitudinal und tranvrsal Wlln Ein dtaillirt (abr noch vrinfacht) Analysis zigt, dass s zwi Artn von Plasmaschwingungn 7 mit untrschidlichn Disprsionsrlationn gibt. XIII.3. a Zwi-Fluid-Modll. Bwgungsglichungn Im Folgndn wrdn di Tilchn inr ggbn Spzis als in Fluid btrachtt, mit inr Strömungsgschwindigkit v(t, r), di glich dr mittlrn Gschwindigkit dr Tilchn ist, d.h. glich dr Gschwindigkit, di im Ausdruck dr makroskopischn Ladungsstromdicht auftritt. Für das hir btrachtt Zwikomponntn-Plasma wird also in Zwi-Fluid-Modll bnutzt: das Elktronnfluid ist in Bwgung ( v = v ), das Ionnfluid ruht. Di Konsistnz dr Modllirung als in Fluid rfordrt, dass di Wllnläng ds lktromagntischn Flds in dr Matri vil größr als di mittlr fri Wgläng l mfp dr Tilchn im Plasma sin soll, d.h. für dn Wllnvktor k l mfp. 7 Tatsächlich gibt s noch mhr Artn von Schwingungn in inm Plasma, insbsondr in Anwsnhit ins xtrnn magntischn Flds, dssn Richtung di Isotropi ds Plasmas zrstört. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 34

7 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV Di Grundglichungn ds Modlls sind auf dr inn Sit di makroskopischn Maxwll- Glichungn, di hirnach bzüglich dr makroskopischn Fldr E und B ausgdrückt wrdn, und di Eulr-Glichung in Anwsnhit dr Lorntz-Kraftdicht. Di Ltztr lautt [ v (t, r) m n (t, r) + [ v (t, r) t ] ] v (t, r) = P (t, r) n (t, r) [ E(t, r) + v (t, r) B(t, r) ]. (XIII.7) Di Linarisirung disr Glichung führt zum Wglassn ds konvktivn Trms in dr linkn Sit und ds magntischn Tils in dr rchtn Sit. Außrdm gilt gmäß dr Dfinition (IV.9) dr Schallgschwindigkit P (t, r) = c s [m n (t, r)] = m c s n, (t, r). Damit lautt di zitlich und räumlich Fourir-Darstllung dr Gl. (XIII.7) und dr Maxwll- Glichungn, untr Brücksichtigung dr Gl. (XIII.4) und (XIII.5) sowi i k E (ω, k) = n,(ω, k), i k B(ω, k) = 0, i k E (ω, k) iω B(ω, k) = 0, i k B(ω, k) + i ω c E (ω, k) = c n,0 v#(ω, k), iωm n,0 v#(ω, k) = m c s i k n,(ω, k) n,0 E (ω, k). (XIII.8a) (XIII.8b) (XIII.8c) (XIII.8d) (XIII.8) Hir bzichnn E, B, n,, v# di Fourir-Transformirtn von E, B, n,, v. XIII.3. b Wllnglichung B(ω, k) lässt sich mithilf von Gl. (XIII.8c) in Abhängigkit von E (ω, k) ausdrückn. Di Multiplikation nach links mit i k gibt dann i k B(ω, k) = i ω k [ ] k E (ω, i ( [ k ] ) k) = E (ω, k) k k E (ω, k), ω was in dr linkn Sit dr Gl. (XIII.8d) ingstzt wrdn kann. Di rcht Sit disr slbn Glichung kann mithilf dr Gl. (XIII.8), multiplizirt mit / c, umgschribn wrdn. Schlißlich rgibt sich i ( [ k ] ) E (ω, k) k k E (ω, k) + i ω ω c E (ω, k) = iωc [ n,(ω, ] k) c s i ɛ k n,0 E (ω, k). 0 m Im rstn Trm in dn Klammrn auf dr rchtn Sit rknnt man di rcht Sit dr Maxwll Gauß-Glichung (XIII.8a), währnd im zwitn Trm di Plasmafrqunz (XIII.6b) auftritt. Somit lässt sich dis Glichung schribn als c ( [ k E (ω, k) ] k k E (ω, k) ) + ω E (ω, k) = c s [ k E (ω, k) ] k + ω P E (ω, k). (XIII.9) Dis stllt di Wllnglichung für das lktrisch Fld dar. XIII.3. c Longitudinal und transvrsal Schwingungsmodn Man dfinirt di longitudinal bzw. transvrsal Komponnt ds lktrischn Flds (bzüglich dr Richtung ds Wllnvktors k) durch E (ω, k) k E (ω, k) k, (XIII.0a) [ ] E (ω, k) E (ω, k) E (ω, k E (ω, k) k E (ω, k) k k) =. (XIII.0b) XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 35

8 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV Dis Komponntn sind für blibign k orthogonal: E E = ( ) [ ( k E ) ( k E ) k ] = 0 k. Durch Einstzn dr Zrlgung E = E + E in Gl. (XIII.9) rgibt sich di Wllnglichung ω [ E (ω, k) + E (ω, ] k) = ωp[ E (ω, k) + E (ω, ] k) + c sk E (ω, k) + c k E (ω, k), (XIII.) di mithilf dr Orthogonalitätsignschaft zu zwi untrschidlichn Disprsionsrlationn für di Komponntn E, E führt: für di transvrsal Komponnt E (ω, k), ntsprchnd zwi Polarisationszuständn, gilt ω( k) = ω P + c. (XIII.) Fortschritnd Wlln mit inm rlln Wllnvktor könnn nur für ω > ω P xistirn. Dann gilt [Gl. (XIII.8c)] B(ω, k) = ( k/ω) E (ω, k), d.h. das ntsprchnd magntisch Fld ist auch transvrsal, wi im Vakuum: somit spricht man von lktromagntischn Plasmawlln. Di Phasn- bzw. Gruppngschwindigkit disr Wlln ist ( ) / ) / c ff (ω) = c ω P ω, v g (ω) = c( ω P ω, d.h. größr bzw. klinr als c, di abr di Größnordnung disr Gschwindigkitn darstllt. für di longitudinal Komponnt E (ω, k), ntsprchnd inm inzign Polarisationszustand, lautt di Disprsionsrlation (sog. Bohm-Gross Disprsionsrlation) ω( k) = ω P + c s. (XIII.3) d.h. dis Langmuir-Wlln propagirn nur für ω > ω P, mit inr Phasn- bzw. Gruppngschwindigkit vrglichbar mit dr Schallgschwindigkit. 7 Bmrkungn: Di Zrlgung in longitudinal und transvrsal Komponntn kann für in blibigs Vktorfld V ( r) durchgführt wrdn. Si V ( k) di räumlich Fourir-Transformirt ds Flds. Für jdn k führt man di Tnsorn P ( k) k k, in, mit dn jwilign Komponntn (P ) ij = k ik j P ( k) P ( k) = k k und (P ) ij = δ ij k ik j. (XIII.4) P ( k) bzw. P ( k) projizirt inn Vktor auf di Richtung von k bzw. auf di Ebn snkrcht zu k. Damit rgibt sich 73 V ( k) = V ( k) + V ( k) mit V ( k) = P ( k) V ( k), V ( k) = P ( k) V ( k), V ( k) V ( k) = 0 k. In dr Nährung ins kaltn Plasmas wird di thrmisch Bwgung dr Elktronn (und a fortiori dr Ionn) vrnachlässigt: somit übn di Elktronn kinn Druck aus, ntsprchnd c s = 0. In dism Fall vrinfacht sich di Disprsionsrlation (XIII.) zu ω = ωp, d.h. di Wlln könnn nur mit dr Plasmafrqunz ω P propagirn. Dis ist im Ggnsatz zur Propagation inr Schallwll in inm Gas odr inr Flüssigkit, wobi di Frqunz blibig sin kann. 7 Di ntsprchndn Wlln dr Ionn, wnn dis als bwglich btrachtt wrdn, wrdn als Ionn-Schallwlln bzichnt. 73 Dis folgt aus dn Eignschaftn P ( k) + P ( k) = und P ( k) P ( k) = P ( k) P ( k) = 0. XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 36

9 N.BORGHINI Elktrodynamik in Matri Thortisch Physik IV XIII.A Altrnativr Hrlitung ds abgschirmtn Potntials Ein Möglichkit, um di Hlmholtz-Glichung (XIII.) zu lösn, bstht in dm Durchführn inr räumlichn Fourir-Transformation. Dann wird di Glichung zu ( k kd) Φ( q k) = ɛ Φ( k) = q, 0 kd mit k D = r D. Di invrs Transformation lautt Φ( r) = i k r Φ( d 3 k k) (π) 3 = q k [ 4π 0 k + kd = q k i ( ikr 4π ikr) dk = iq kr 4π r 0 k + k D ikr cos θ d(cos θ) k 0 k + k D ] dk ( ikr ikr) dk, mit θ dm Winkl zwischn k und r. Wnn I das Intgral im ltztn Glid bzichnt, dann gilt dank dr Gradhit ds Intgrandn I = k ( ikr k + kd ikr) + k dk = ikr k + kd dk, wobi di zwit Idntität aus dr Variablnändrung k k = k folgt. Diss Intgral lässt sich mithilf ds Rsidunsatzs brchnn. Di Polstlln ds Intgrandn in dr komplxn Ebn sind bi k = ±ik D. Dr Faktor ikr dutt inn Pfad Γ in dr untrn Halbbn an, bsthnd aus dr rlln Achs und inm Halbkris im Unndlichn: dann spilt nur das Rsiduum bi k = ik D in Roll. Da dr Pfad im Uhrzigrsinn durchlaufn wird, taucht in Vorzichn auf. Schlißlich rgibt sich I = iπ k Dr, und somit ntsprchnd Gl. (XIII.). Litratur Fynman [5, 6], Kapitl Φ( r) = Lifschitz Pitajwski [33], Kapitl III. q 4π r k Dr, XIII. Elktrodynamik ins Plasmas 37