Computergrundlagen Programmieren lernen in Python

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1 Computergrundlagen Programmieren lernen in Python Axel Arnold Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2011/12

2 Was ist Programmieren? Idee Algorithmus Programm Daten Computer Bildschirm A. Arnold Computergrundlagen 2/88

3 Algorithmus Wikipedia: Ein Algorithmus ist eine aus endlich vielen Schritten bestehende eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems oder einer Klasse von Problemen. Ein Problem besteht dabei meist aus gegebenen Daten und einer Fragestellung. Beispiel: Gegeben Liste aller Teilnehmer der Vorlesung Fragestellung Wer wird die Klausur bestehen? Wieviele Studenten haben nur einen Vornamen? Wessen Matrikelnummer ist eine Primzahl? A. Arnold Computergrundlagen 3/88

4 Programm Ein Programm ist eine Realisation eines Algorithmus in einer bestimmten Programmiersprache. Es gibt derzeit mehrere 100 verschiedene Programmiersprachen Die meisten sind Turing-vollständig, können also alle bekannten Algorithmen umsetzen Softwareentwicklung und Programmieren Entwickeln der Algorithmen Aufteilen in einfachere Probleme Wiederverwendbarkeit Umsetzen in einer passenden Programmiersprache Das Schwierige sind die Algorithmen! A. Arnold Computergrundlagen 4/88

5 Von der Idee zum Programm Schritte bei der Entwicklung eines Programms. Problemanalyse Was soll das Programm leisten? Z.B. eine Nullstelle finden, Molekulardynamik simulieren Was sind Nebenbedingungen? Z.B. ist die Funktion reellwertig? Wieviele Atome?. Methodenwahl Schrittweises Zerlegen in Teilprobleme (Top-Down-Analyse) Z.B. Propagation, Kraftberechnung, Ausgabe Wahl von Datentypen und -strukturen Z.B. Listen oder Tupel? Wörterbuch? Wahl der Rechenstrukturen (Algorithmen) Z.B. Newton-Verfahren, Regula falsi Wahl der Programmiersprache A. Arnold Computergrundlagen 5/88

6 Von der Idee zum Programm Schritte bei der Entwicklung eines Programms. Implementation und Dokumentation Programmieren und gleichzeitig dokumentieren Kommentare und externe Dokumentation (z.b. Formeln). Testen auf Korrektheit Funktioniert das Programm bei erwünschter Eingabe? Z.B. findet es eine bekannte Lösung? Gibt es aussagekräftige Fehler bei falscher Eingabe? Z.B. vergessene Parameter, zu große Werte. Testen auf Effizienz Wie lange braucht das Programm bei beliebigen Eingaben? Wieviel Speicher braucht es?. Meist wieder zurück zur Problemanalyse, weil man etwas vergessen hat... A. Arnold Computergrundlagen 5/88

7 ... und jetzt das Ganze in Python schnell zu erlernende, moderne Programmiersprache tut, was man erwartet viele Standardfunktionen ( all batteries included ) Bibliotheken für alle anderen Zwecke freie Software mit aktiver Gemeinde portabel, gibt es für fast jedes Betriebssystem entwickelt von Guido van Rossum, CWI, Amsterdam A. Arnold Computergrundlagen 6/88

8 Informationen zu Python Aktuelle Versionen bzw x ist noch weiter verbreitet (z.b. Python im CIP-Pool) Diese Vorlesung behandelt daher noch 2.x Aber längst nicht alles, was Python kann Hilfe zu Python offizielle Homepage Einsteigerkurs A Byte of Python (englisch) (deutsch) mit Programmiererfahrung Dive into Python A. Arnold Computergrundlagen 7/88

9 Python starten Aus der Shell: > python Python (default, Aug , 05:14:39) [GCC 4.6.3] on linux2 Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more.. >>> print "Hello World" Hello World >>> help("print") >>> exit() >>> markiert Eingaben print: Ausgabe auf das Terminal help(): interaktive Hilfe, wird mit q beendet Statt exit() reicht auch Control-d oder ipython mit Tab-Ergänzung, History usw. A. Arnold Computergrundlagen 8/88

10 Python-Skripte Als Python-Skript helloworld.py: #!/usr/bin/python # unsere erste Python-Anweisung print "Hello World" Mit python helloworld.py starten oder ausführbar machen (chmod a+x helloworld.py) Umlaute vermeiden oder Encoding-Cookie einfügen #! funktioniert genauso wie beim Shell-Skript Zeilen, die mit # starten, sind Kommentare Kommentare sind wichtig, um ein Programm verständlich machen!... und nicht, um es zu verlängern! A. Arnold Computergrundlagen 9/88

11 Beispiel: Fakultät Problem Gegeben: Eine ganze Zahl n Gesucht: Die Fakultät n! = 1 2 n von n Implementation # calculate factorial 1*2*...*n n = 5 factorial = 1 for k in range(1, n+1): factorial = factorial * k print n, "! =", factorial Ausgabe: 5! = 120 Gegebene Daten (n=5) fix ins Programm eingefügt = später lernen wir, Daten einzulesen Was bedeuten die ganzen Befehle? A. Arnold Computergrundlagen 10/88

12 Datentyp: Ganzzahlen >>> print >>> print >>> print 20/2 10 >>> print 3/2, -3/2 1-2 Klassische, mathematische Ganzzahlen Division liefert nur ganzzahligen Rest (anders in Python 3!) print gibt mit Komma auch mehrere Werte aus (nicht nur für Ganzzahlen) A. Arnold Computergrundlagen 11/88

13 Datentyp: (Fließ-)kommazahlen >>> print >>> print 6.023e23, 13.8E e e-23 >>> print 3.0/2 1.5 Reelle Zahlen der Form 6, e-23 steht z. B. für 1, Achtung: englische Schreibweise, Punkt statt Komma Keine Tausenderpunkte (oder -kommas) Endliche binäre Genauigkeit von Mantisse und Exponent (z. B. bei der Ausgabe) A. Arnold Computergrundlagen 12/88

14 Datentyp: Zeichenketten >>> print "Hello World" Hello World >>> print Hello World Hello World >>> print """Hello... World""" Hello World zwischen einfachen ( ) oder doppelten (") Anführungszeichen Über mehrere Zeilen mit dreifachen Anführungszeichen Leerzeichen sind normale Zeichen! "Hello World" "Hello World" Zeichenketten sind keine Zahlen! "1" 1 int(string) konvertiert Zeichenkette in Ganzzahl entsprechend float(string) für Fließkomma A. Arnold Computergrundlagen 13/88

15 Sich etwas merken Variablen >>> factorial = 2 >>> factor = 3 >>> print factorial, factor 2 3 >>> factorial = factorial * factor >>> factor = 4 >>> print factorial, factor 6 4 Werte können mit Namen belegt werden und verändert keine mathematischen Variablen, sondern Speicherplätze Daher ist factorial = factorial * factor kein Unsinn, sondern multipliziert factorial mit factor Die nachträgliche Änderung von factor ändert nicht factorial, das Ergebnis der vorherigen Rechnung! A. Arnold Computergrundlagen 14/88

16 Sich etwas merken Variablen >>> factorial = 2 >>> factor = 3 >>> print factorial, factor 2 3 >>> factorial = factorial * factor >>> factor = 4 >>> print factorial, factor 6 4 Variablennamen bestehen aus Buchstaben, Ziffern oder _ (Unterstrich), am Anfang keine Ziffer Groß-/Kleinschreibung ist relevant: Hase hase Richtig: i, some_value, SomeValue, v123, _hidden, _1 Falsch: 1_value, some value, some-value A. Arnold Computergrundlagen 14/88

17 Arithmetische Ausdrücke + Addition, bei Strings aneinanderfügen, z.b , "a" + "b" "ab" - Subtraktion, z.b * Multiplikation, Strings vervielfältigen, z.b. 2 * 3 = 6, "ab" * 2 "abab" / Division, bei ganzen Zahlen ganzzahlig, z.b. 3 / 2 1, -3 / 2-2, 3.0 / % Rest bei Division, z.b. 5 % 2 1 ** Exponent, z.b. 3**2 9, 0.1** mathematische Präzedenz (Exponent vor Punkt vor Strich), z. B. 2**3 * = 29 Präzedenz kann durch runde Klammern geändert werden: 2**(3 * (3 + 5)) = A. Arnold Computergrundlagen 15/88

18 for-schleifen Befehle Abbruch Voriger Befehl Für Wert in einer Sequenz Sequenzende Nächster Befehl Wiederholen eines Blocks von Befehlen Schleifenvariable nimmt dabei verschiedene Werte aus einer Sequenz (Liste) an Die abzuarbeitende Sequenz bleibt fest Kann bei Bedarf abgebrochen werden (Ziel erreicht, Fehler,... ) Für jeden Studenten in den Computergrundlagen finde einen Übungsplatz A. Arnold Computergrundlagen 16/88

19 for-schleifen in Python >>> for v in range(1, 3): print v 1 2 >>> b = 0 >>> for a in range(1, 100):... b = b + a >>> print b 4950 >>> print 100 * (100-1) / >>> print range(1,10) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] Das aktuelle Element steht in den Variablen v bzw. a range(k,l) ist eine Liste der Zahlen a mit k a < l später lernen wir, Listen zu erstellen und verändern A. Arnold Computergrundlagen 17/88

20 Beispiel: Pythagoreische Zahlentripel (Schleifen) Problem Gegeben: Eine ganze Zahl c Gesucht: Zwei Zahlen a, b mit a 2 + b 2 = c 2 1. Verfeinerung: a = 0, b = c geht immer a,b > 0 2. Verfeinerung: Was, wenn es keine Lösung gibt? Fehlermeldung Methodenwahl Es muss offenbar gelten: a < c und b < c O.B.d.A. sei auch a b, also 0 < a b < c Durchprobieren aller Paare a, b mit 0 < a < c und a b < c: c = 5 = c 2 = 25, a 2 + b 2 = A. Arnold Computergrundlagen 18/88

21 Implementation # Try to find a pythagorean triple a^2 + b^2 = c^2. # parameter: rhs number, should be an integer larger than 0 c = # try all possible pairs for a in range(1,c): for b in range(a,c): if a**2 + b**2 == c**2: print "%d^2 + %d^2 = %d^2" % (a, b, c) exit() Ausgabe: 3^2 + 4^2 = 5^2 Gegebene Daten (c=5) fix ins Programm eingefügt = später lernen wir, Daten einzulesen Was bedeuten die ganzen Befehle? A. Arnold Computergrundlagen 19/88

22 Bedingte Ausführung wahr Bedingung falsch Wenn wahr Wenn falsch Nächster Schritt Das Programm kann auf Werte von Variablen verschieden reagieren Wird als Verzweigung bezeichnet Auch mehr Äste möglich (z.b. < 0, = 0, > 0) Student hat mehr als 50% Punkte? = zur Klausur zulassen A. Arnold Computergrundlagen 20/88

23 if: bedingte Ausführung in Python >>> a = 1 >>> if a < 5:... print "a ist kleiner als 5"... elif a > 5:... print "a ist groesser als 5"... else:... print "a ist 5" a ist kleiner als 5 >>> if a < 5 and a > 5:... print "Das kann nie passieren" if-elif-else führt den Block nach der ersten erfüllten Bedingung (logischer Wert True) aus Trifft keine Bedingung zu, wird der else-block ausgeführt elif oder else sind optional A. Arnold Computergrundlagen 21/88

24 Logische Ausdrücke ==,!= Test auf (Un-)Gleichheit, z.b. 2 == 2 True, 1 == 1.0 True, 2 == 1 False <,>,<=,>= Vergleich, z.b. 2 > 1 True, 1 <= -1 False or, and Logische Verknüpfungen oder bzw. und not Logische Verneinung, z.b. not False == True Vergleiche liefern Wahrheitswerte: True oder False Wahrheistabelle für die logische Verknüpfungen: a b a und b a oder b True True True True False True False True True False False True False False False False Präzedenz: logische Verknüpfungen vor Vergleichen 3 > 2 and 5 < 7 True, 1 < 1 or 2 >= 3 False A. Arnold Computergrundlagen 22/88

25 Blöcke und Einrückung >>> b = 0 >>> for a in range(1, 4):... b = b + a... print b >>> b = 0 >>> for a in range(1, 3): b = b + a... print b 9 Alle gleich eingerückten Befehle gehören zum Block Einzeilige Blöcke können auch direkt hinter den Doppelpunkt Einrücken durch Leerzeichen oder Tabulatoren (einfacher) A. Arnold Computergrundlagen 23/88

26 Blöcke und Einrückung ein Block kann nicht leer sein, aber der Befehl pass tut nichts: if a < 5: pass else: print "a ist groesser gleich 5" IndentationError bei ungleichmäßiger Einrückung: >>> print "Hallo" Hallo >>> print "Hallo" File "<stdin>", line 1 print "Hallo" ^ IndentationError: unexpected indent Falsche Einrückung führt im allgemeinen zu Programmfehlern! A. Arnold Computergrundlagen 23/88

27 Formatierte Ausgabe: der %-Operator >>> print "%d^2 + %d^2 = %05d^2" % (3, 4, 5) 3^2 + 4^2 = 00005^2 >>> print "Strings %s %10s" % ("Hallo", "Welt") Strings Hallo Welt >>> print "Fliesskomma %e %+8.4f %g" % (3.14, 3.14, 3.14) Fliesskomma e Im Beispiel bei der Ausgabe benutzt Ersetzen von %-Platzhaltern in einem String %d: Ganzahlen (Integers) %s: einen String einfügen %e, %f, %g: verschiedene Fließkommaformate %x[defgs]: füllt auf x Stellen auf %x.y[efg]: zeige y Nachkommastellen A. Arnold Computergrundlagen 24/88

28 Testen auf Effizienz Zahl (alle ohne Lösung) Zeit 0,2s 18,5s 30m Das ist sehr langsam! Geht das besser? Ja! 20 a^2 + b^2=c^2 20 a^2 + b^2=c^ b 10 b a a Statt alle Paare auszuprobieren, suche nur in der Umgebung des Halbkreises! A. Arnold Computergrundlagen 25/88

29 Testen auf Effizienz b a^2 + b^2=c^ a b a^2 + b^2=c^ a Methodenwahl, effizienterer Algorithmus: Sei zunächst a = 1 und b = c 1 Ist a 2 + b 2 > c 2, so müssen wir b verringern, und wir wissen, dass es keine Lösung mit b = c 1 gibt Ist a 2 + b 2 < c 2, so müssen wir a erhöhen und wir wissen, dass es keine Lösung mit a = 1 gibt Mit der selben Argumentation kann man fortfahren Wir haben alle Möglichkeiten getestet, wenn a > b braucht maximal c /2 statt c(c 1)/2 viele Schritte A. Arnold Computergrundlagen 25/88

30 Neue Implementation # parameter: rhs number, should be an integer larger than 0 c = 5 # starting pair a = 1 b = c - 1 while a <= b: if a**2 + b**2 < c**2: a += 1 elif a**2 + b**2 > c**2: b -= 1 else: print "%d^2 + %d^2 = %d^2" % (a, b, c) break Effizienz dieser Lösung: Zahl Zeit 0.04s 0.08s 0.65s 6.2s 62.4s Zeit (alt) 0,2s 18,5s 30m A. Arnold Computergrundlagen 26/88

31 while-schleifen Schleifenblock wahr Voriger Befehl Bedingung falsch Nächster Befehl Wiederholte Ausführung ähnlich wie for-schleifen Keine Schleifenvariable, sondern Schleifenbedingung Ist die Bedingung immer erfüllt, kommt es zur Endlosschleife Solange a > 0, ziehe eins von a ab Solange noch Zeilen in der Datei sind, lese eine Zeile A. Arnold Computergrundlagen 27/88

32 while-schleifen in Python >>> a = 1 >>> while a < 5:... a = a + 1 >>> print a 5 Führt den Block solange aus, wie die Bedingung wahr ist Block wird nicht ausgeführt, wenn Bedingung sofort verletzt ist: >>> a = 6 >>> while a < 5:... a = a print "erhoehe a um eins" >>> print a 6 A. Arnold Computergrundlagen 28/88

33 do-while-schleifen wahr Voriger Befehl Schleifenblock Bedingung falsch Nächster Befehl do...while-schleifen führen zunächst den Schleifenblock aus und überprüfen dann die Bedingung Nötig, wenn die Bedingung vom Ergebnis des Blocks abhängt In Python durch normale while-schleife ersetzen: >>> condition = True >>> while condition:... body()... condition = check() A. Arnold Computergrundlagen 29/88

34 break und continue: Schleifen beenden >>> for a in range(1, 10):... if a == 2: continue... elif a == 5: break... print a Beide überspringen den Rest des Schleifenkörpers break bricht die Schleife ganz ab continue springt zum Anfang Aber immer nur die innerste Schleife Befehl Voriger Befehl continue break Befehl Für Wert in einer Sequenz Sequenzende Nächster Befehl A. Arnold Computergrundlagen 30/88

35 Parameter einlesen import sys # get integer c from the command line try: c = int(sys.argv[1]) except: sys.stderr.write("usage: %s <c>\n" % sys.argv[0]) exit(-1) print c Bisher ist c fest im Programm = wenn wir c ändern wollen, müssen wir das Programm ändern Besser von der Kommandozeile lesen! So können wir das Programm direkt vom Terminal benutzen Wir brauchen keinen Editor, wenn es mal tut A. Arnold Computergrundlagen 31/88

36 Parameter einlesen import sys # get integer c from the command line try: c = int(sys.argv[1]) except: sys.stderr.write("usage: %s <c>\n" % sys.argv[0]) exit(-1) print c import sys lädt das sys-modul, dazu später mehr sys.argv[i] gibt dann den i-ten Parameter des Programms sys.argv[0] ist der Name des Skripts int(string) konvertiert Zeichenkette in Ganzzahl Der except-block wird nur ausgeführt, wenn es beim Lesen von c einen Fehler gab A. Arnold Computergrundlagen 31/88

37 Beispiel: Sortieren Gegeben: Gesucht: Liste A = a o,..., a N Liste A = a o,..., a N mit denselben Elementen wie A, aber sortiert, also a 0 a 1... a N Datentyp ist egal, so lange definiert ist In Python ganz einfach: A.sort() = A wird umsortiert B = sorted(a) = A bleibt gleich, B ist die sortierte Liste >>> A = [2,1,3,5,4] >>> print sorted(a), A [1, 2, 3, 4, 5] [2, 1, 3, 5, 4] >>> A.sort() >>> print A [1, 2, 3, 4, 5] Aber was passiert da nun? Wie sortiert der Computer? A. Arnold Computergrundlagen 32/88

38 Sortieralgorithmus 1: Bubblesort Idee paarweises Sortieren, größere Werte steigen wie Blasen auf ein Durchlauf aller Elemente = größtes Element ganz oben m Durchläufe = m oberste Elemente einsortiert = nach spätestens N Durchläufen fertig fertig, sobald nichts mehr vertauscht wird Effizienz im Schnitt N/2 Durchläufe mit N/2 Vergleichen = Laufzeit O(N 2 ) Auch Worst Case N 1 + N = O(N 2 ) Kein zusätzlicher Speicherbedarf A. Arnold Computergrundlagen 33/88

39 Implementierung def sort(a): "sort list A in place" N = len(a) for round in range(n): changed = False for k in range(n - round - 1): if A[k] > A[k+1]: A[k], A[k + 1] = A[k+1], A[k] changed = True if not changed: break A = [1,3,2,5,4] sort(a) print A Ausgabe: [1, 2, 3, 4, 5] A. Arnold Computergrundlagen 34/88

40 Listen in Python >>> kaufen = [ "Muesli", "Milch", "Obst" ] >>> kaufen[1] = "Sahne" >>> print kaufen[-1] Obst >>> del kaufen[-1] >>> print kaufen [ Muesli, Sahne ] >>> print "Saft" in kaufen False komma-getrennt in eckigen Klammmern können Daten verschiedenen Typs enthalten liste[i] bezeichnet das i-te Listenelement, negative Indizes starten vom Ende del elem löscht das Listenelement elem x in liste überprüft, ob liste ein Element mit Wert x enthält A. Arnold Computergrundlagen 35/88

41 Listen in Python >>> kaufen = [ "Muesli", "Milch", "Obst" ] >>> kaufen.append("brot") >>> kaufen.append("milch") >>> print kaufen [ Muesli, Milch, Obst, Brot, Milch ] >>> kaufen.remove("milch") >>> print kaufen [ Muesli, Obst, Brot, Milch ] >>> kaufen.remove("saft") ValueError: list.remove(x): x not in list liste.append(x) hängt x am Ende der Liste liste an liste.remove(x) entfernt das erste Element mit dem Wert x aus der Liste Fehler, wenn es kein solches gibt (daher mit in testen) A. Arnold Computergrundlagen 35/88

42 Listen in Python >>> kaufen = kaufen + [ "Oel", "Mehl" ] >>> print kaufen [ Muesli, Sahne, Obst, Oel, Mehl ] >>> for l in kaufen[1:3]:... print l Sahne Obst >>> print len(kaufen[:4]) 3 + fügt zwei Listen aneinander [i:j+1] ist die Subliste vom i-ten bis zum j-ten Element Leere Sublisten-Grenzen entsprechen Anfang bzw. Ende, also stets liste == liste[:] == liste[0:] for-schleife iteriert über alle Elemente len() berechnet die Listenlänge A. Arnold Computergrundlagen 35/88

43 Vorsicht: Flache Kopien! >>> kaufen = [ "Muesli", "Milch", "Obst" ] Flache Kopie: >>> merken = kaufen >>> del kaufen[-1] >>> print merken [ Muesli, Sahne ] Subliste, echte Kopie: >>> merken = kaufen[:] >>> del kaufen[-1] >>> print merken [ Muesli, Sahne, Obst ] = macht in Python flache Kopien von Listen! Flache Kopien (shallow copies) verweisen auf dieselben Daten Änderungen an einer flachen Kopie betreffen auch das Original Sublisten sind echte Kopien (deep copies, weil alles kopiert wird) daher ist kaufen[:] eine echte Kopie von kaufen A. Arnold Computergrundlagen 36/88

44 Vorsicht: Flache Kopien! >>> element = [] >>> liste = [ element, element ] # flache Kopien! >>> liste[0].append("hallo") >>> print liste [[ Hallo ], [ Hallo ]] Mit echten Kopien (deep copies) >>> liste = [ element[:], element[:] ] # tiefe Kopien! >>> liste[0].append("welt") >>> print liste [[ Hallo, Welt ], [ Hallo ]] Auch Listen in Listen sind flache Kopien und können daher mehrmals auf dieselben Daten verweisen kann zu unerwarteten Ergebnissen führen A. Arnold Computergrundlagen 36/88

45 Tupel: unveränderbare Listen >>> kaufen = "Muesli", "Kaese", "Milch" >>> for f in kaufen: print f Muesli Kaese Milch >>> kaufen[1] = "Camembert" TypeError: tuple object does not support item assignment >>> print k + ("Kaese", "Milch") ( Muesli, Kaese, Milch, Muesli, Kaese, Milch ) komma-getrennt in runden Klammern Solange eindeutig, können die Klammern weggelassen werden können nicht verändert werden ansonsten wie Listen einsetzbar Zeichenketten sind Tupel von Zeichen A. Arnold Computergrundlagen 37/88

46 Tupel: unveränderbare Listen >>> options, args = parser.parse_args() >>> A=1 >>> B=2 >>> A, B = B, A >>> print A, B 2 1 So hingegen nicht: >>> A = B >>> B = A >>> print A, B 1 1 Listen und Tupel können links vom Gleichheitszeichen stehen Elemente werden der Reihe nach zugeordnet A,B = B,A tauscht also die Werte zweier Variablen aus (Tupelzuweisung!) A. Arnold Computergrundlagen 37/88

47 Beispiel: Sieb des Eratosthenes (Listen) Problem Gegeben: Gesucht: Eine ganze Zahl N Alle Primzahlen kleiner als N Methode: Sieb des Eratosthenes Betrachte Liste aller Zahlen zwischen 2 und N Streiche nacheinander alle echten Vielfachen von (Prim-)zahlen Was übrig bleibt, sind Primzahlen = Sieb A. Arnold Computergrundlagen 38/88

48 Implementation import sys # last prime to print out N = int(sys.argv[1]) primes = range(2,n) for number in range(2,n/2): # not a prime, multiples already deleted if not number in primes: continue # remove all multiples multiple = 2*number while multiple < N: if multiple in primes: primes.remove(multiple) multiple += number print primes Ausgabe: [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29] A. Arnold Computergrundlagen 39/88

49 Funktionen Schritt 1 Schritt 2 Schritt 3 Schritt 4 Unterprogramm/Prozedur/Funktion Funktionen (Unterprogramme, Prozeduren) unterbrechen die aktuelle Befehlskette und fahren an anderer Stelle fort Kehren an ihrem Ende wieder zur ursprünglichen Kette zurück Funktionen können selber wieder Funktionen aufrufen Vermeiden Code-Duplikation kürzerer Code besser wartbar, Fehler müssen nur einmal verbessert werden A. Arnold Computergrundlagen 40/88

50 Funktionen in Python >>> def printpi():... print "pi ist ungefaehr " >>> printpi() pi ist ungefaehr >>> def printmax(a, b):... if a > b: print a... else: print b >>> printmax(3, 2) 3 eine Funktion kann beliebig viele Argumente haben Argumente verhalten sich wie Variablen Beim Aufruf bekommen die Argumentvariablen Werte in der Aufrufreihenfolge Der Funktionskörper ist wieder ein Block A. Arnold Computergrundlagen 41/88

51 Lokale Variablen >>> def max(a, b):... if a > b: maxval=a... else: maxval=b... print maxval >>> max(3, 2) 3 >>> print maxval NameError: name maxval is not defined neue Variablen innerhalb einer Funktion sind lokal existieren nur während der Funktionsausführung globale Variablen können nur gelesen werden >>> faktor=2 >>> def strecken(a): print faktor*a >>> strecken(1.5) A. Arnold Computergrundlagen 42/88

52 Vorgabewerte und Argumente benennen >>> def lj(r, epsilon = 1.0, sigma = 1.0):... return 4*epsilon*( (sigma/r)**6 - (sigma/r)**12 ) >>> print lj(2**(1./6.)) 1.0 >>> print lj(2**(1./6.), 1, 1) 1.0 Argumentvariablen können mit Standardwerten vorbelegt werden diese müssen dann beim Aufruf nicht angegeben werden >>> print lj(r = 1.0, sigma = 0.5) >>> print lj(epsilon=1.0, sigma = 1.0, r = 2.0) beim Aufruf können die Argumente auch explizit belegt werden dann ist die Reihenfolge egal A. Arnold Computergrundlagen 43/88

53 return: eine Funktion beenden >>> def printmax(a, b):... if a > b:... print a... return... print b >>> printmax(3, 2) 3 >>> def max(a, b):... if a > b: return a... else: return b >>> print max(3, 2) 3 return beendet die Funktion sofort (vgl. break) eine Funktion kann einen Wert zurückliefern der Wert wird bei return spezifiziert A. Arnold Computergrundlagen 44/88

54 Dokumentation von Funktionen def max(a, b): "Gibt das Maximum von a und b aus." if a > b: print a else: print b def min(a, b): """ Gibt das Minimum von a und b aus. Funktioniert ansonsten genau wie die Funktion max. """ if a < b: print a else: print b Dokumentation optionale Zeichenkette vor dem Funktionskörper wird bei help(funktion) ausgegeben A. Arnold Computergrundlagen 45/88

55 Sortieralgorithmus 2: Quicksort Idee Teile und Herrsche (Divide & Conquer): Aufteilen in zwei kleinere Unterprobleme Liste ist fertig sortiert, falls N 1 wähle Pivot- (Angel-) element p erzeuge Listen K und G der Elemente kleiner/größer als p sortiere die beiden Listen K und G Ergebnis ist die Liste K {p} G Effizienz im Schnitt log 2 N-mal aufteilen, dabei N Elemente einordnen = Laufzeit O(N log N) Aber Worst Case N 1 + N = O(N 2 ) A. Arnold Computergrundlagen 46/88

56 Implementation def sort(a): print "sorting", A if len(a) <= 1: return A pivot = A[0] smaller = [a for a in A[1:] if a < pivot] larger = [a for a in A[1:] if a >= pivot] print "smaller=",smaller,"pivot=",pivot,"larger=",larger return sort(smaller) + [pivot] + sort(larger) A = [3,1,2,5,4,2,3,4,2] print sort(a) Ausgabe: sorting [3, 1, 2, 5, 4, 2, 3, 4, 2] smaller= [1, 2, 2, 2] pivot= 3 larger= [5, 4, 3, 4] sorting [1, 2, 2, 2]... A. Arnold Computergrundlagen 47/88

57 Rekursion def factorial(n): "calculate the faculty of n, n >= 0." # termination for n=0,1 if n <= 1: return 1 # n! = n * (n-1)! return n * factorial(n-1) n = 5 print n, "! =", factorial(n) Eine Funktion, die sich selber aufruft, heißt rekursiv Rekursionen treten in der Mathematik häufig auf Viele Algorithmen lassen sich so elegant formulieren Die Verarbeitung ist dann aber meist nicht einfach zu verstehen Schon ob eine Rekursion endet, ist nicht immer offensichtlich Für die Fakultät ist die Schleife vom Anfang der Vorlesung effizienter A. Arnold Computergrundlagen 48/88

58 Listen aus Listen erzeugen >>> print [a**2 for a in [0,1,2,3,4]] [0, 1, 4, 9, 16] >>> print sum([a**2 for a in range(5)]) 30 >>> print [a for a in range(10) if a % 2 == 1] [1, 3, 5, 7, 9] >>> print [(a,b) for a in range(3) for b in range(2)] [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)] Listen können in neue Listen abgebildet werden Syntax: [ausdruck for variable in liste if bedingung] ausdruck: beliebige Formel, die meist von variable abhängt variable,liste: wie in einer for-schleife bedingung: welche Werte für variable zulässig sind mehrere fors können aufeinander folgen (rechteckiges Schema) A. Arnold Computergrundlagen 49/88

59 Beispiel: Wörter zählen (dicts) # count words in "gpl.txt" count = {} for line in open("gpl.txt"): # split into words at blanks text = line.split() for word in text: # normalize word word = word.strip(".,:;()\"").lower() # account: if already known, increase count if word in count: count[word] += 1 # other create counter else: count[word] = 1 # sort according to count and print 5 most used words c_sorted = sorted(count, key=lambda word: count[word]) for word in reversed(c_sorted[-5:]): print "%s: %5d" % (word, count[word]) A. Arnold Computergrundlagen 50/88

60 Wörterbücher (dicts) >>> de_en = { "Milch": "milk", "Mehl": "flour" } >>> de_en["eier"]="eggs" >>> print de_en["milch"] milk >>> if "Mehl" in de_en: print "I can translate \"Mehl\"" I can translate "Mehl" Komma-getrennte Paare von Schlüsseln (Keys) und Werten in geschweiften Klammern Die Werte sind zu den Schlüsseln assoziiert Vergleiche Wörterbuch: Deutsch Englisch Mit in kann nach Schlüsseln gesucht werden Gut für unstrukturierte Daten A. Arnold Computergrundlagen 51/88

61 Wörterbücher (dicts) >>> for de in de_en: print de, "=>", de_en[de] Mehl => flour Eier => eggs Milch => milk >>> de_en["mehl"] = "wheat flour" >>> for de, en in de_en.iteritems(): print de, "=>", en Mehl => wheat flour Eier => eggs Milch => milk Werte sind änderbar (siehe auch Zählprogramm) Indizierung über die Keys, nicht Listenindex o.ä. for iteriert auch über die Schlüssel Oder mit iteritems über Schlüssel-Wert-Tupel A. Arnold Computergrundlagen 51/88

62 Stringmethoden Zeichenkette in Zeichenkette suchen "Hallo Welt".find("Welt") 6 "Hallo Welt".find("Mond") -1 Zeichenkette in Zeichenkette ersetzen " abcdabcabe ".replace("abc", "123") 123 d123abe Groß-/Kleinschreibung ändern "hallo".capitalize() Hallo " Hallo Welt".upper() HALLO WELT " Hallo Welt".lower() hallo welt in eine Liste zerlegen "1, 2, 3, 4".split(",") [ 1, 2, 3, 4 ] zuschneiden " Hallo ".strip() Hallo "..Hallo..".lstrip(".") Hallo.. A. Arnold Computergrundlagen 52/88

63 Ein-/Ausgabe: Dateien in Python input = open("in.txt") output = open("out.txt", "w") linenr = 0 while True: line = input.readline() if not line: break linenr += 1 output.write("%d: %s\n" % (linenr, line)) output.close() Dateien sind mit open(datei, mode) erzeugte Objekte Nur beim Schließen (close) werden alle Daten geschrieben Mögliche Modi (Wert von mode): r oder leer lesen w schreiben, Datei zuvor leeren a schreiben, an existierende Datei anhängen A. Arnold Computergrundlagen 53/88

64 Ein-/Ausgabe: Dateien in Python input = open("in.txt") output = open("out.txt", "w") linenr = 0 while True: line = input.readline() if not line: break linenr += 1 output.write("%d: %s\n" % (linenr, line)) output.close() datei.read(): Lesen der gesamten Datei als Zeichenke datei.readline(): Lesen einer Zeile als Zeichenkette Je nach Bedarf mittels split, int oder float verarbeiten A. Arnold Computergrundlagen 53/88

65 Ein-/Ausgabe: Dateien in Python input = open("in.txt") output = open("out.txt", "w") linenr = 0 while True: line = input.readline() if not line: break linenr += 1 output.write("%d: %s\n" % (linenr, line)) output.close() datei.write(data): Zeichenkette data zur Datei hinzufügen Anders als print kein automatisches Zeilenende Bei Bedarf Zeilenumbruch mit \n Daten, die keine Zeichenketten sind, mittels %-Operator oder str umwandeln A. Arnold Computergrundlagen 53/88

66 Dateien als Sequenzen input = open("in.txt") output = open("out.txt", "w") linenr = 0 for line in input: linenr += 1 output.write(str(linenr) + ": " + line + "\n") output.close() Alternative Implementierung zum vorigen Beispiel Dateien verhalten sich in for wie Listen von Zeilen Einfache zeilenweise Verarbeitung Aber kein Elementzugriff usw.! write: alternative, umständlichere Ausgabe mittels str-umwandlung A. Arnold Computergrundlagen 54/88

67 Standarddateien wie in der bash gibt es auch Dateien für Standard-Eingabe, -Ausgabe und Fehler-Ausgabe Die Dateivariablen sind sys.stdin Eingabe (etwa Tastatur) sys.stdout Standard-Ausgabe sys.stderr Fehler-Ausgabe import sys line = sys.stdin.readline() sys.stderr.write("don t know what to do with %s\n" % line) for i in range(10): sys.stdout.write("%d, " % i) sys.stdout.write("\n) Ausgabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A. Arnold Computergrundlagen 55/88

68 Ein-/Ausgabe mittels raw_input >>> passwd = raw_input("enter password to continue: ") enter a password to continue: secret >>> control = input("please repeat the password: ") please repeat the password: passwd >>> if passwd == control: print "both are the same!" both are the same! Tastatureingaben können einfach über raw_input in eine Zeichenkette gelesen werden input wertet diese hingegen als Python-Ausdruck aus Dies ist eine potentielle Fehlerquelle: >>> passwd = input("enter a password to continue: ") enter a password to continue: secret NameError: name secret is not defined Eingaben über die Kommandozeile sind meist praktischer oder wäre Dir ein mv lieber, dass nach den Dateien fragt? A. Arnold Computergrundlagen 56/88

69 Umlaute Encoding-Cookie #! /usr/bin/python # encoding: utf-8 # Zufällige Konstante α alpha = 0.5 # α 2 ausgeben print "Mir dünkt, dass α 2 Ausgabe: Mir dünkt, dass α 2 = 0.25 = %g" % (alpha**2) Umlaute funktionieren bei Angabe der Codierung Muss in den ersten beiden Zeilen stehen Variablennamen trotzdem in ASCII! A. Arnold Computergrundlagen 57/88

70 Programmierpraxis: Funktionen statt Copy&Paste Fehler in kopiertem Code sind schwer an allen Stellen zu beheben Prozedurnamen beschreiben, was passiert Daher besser so: def countlines(filename): c = 0 for l in open(filename): c += 1 return c print countlines("in1.txt") print countlines("in2.txt") Und nicht so: # was tut das bloss? c = 0 for l in open("in1.txt"): c += 1 print c c = 0 for l in open("in2.txt"): c += 1 print c A. Arnold Computergrundlagen 58/88

71 Programmierpraxis: Variablen statt Konstanten Willkürliche Konstanten erschweren Austauschbarkeit und Wiederbenutzung Variablen mit sprechenden Namen sind einfacher zu verstehen Bei Funktionen: zu Parametern machen Daher besser so: start = 0.01 tolerance = min = minimum(pot, start, tolerance) Und nicht so: # welche Genauigkeit hat das? min = minimum(pot, 0.01, ) Und auch nicht so: a = 0.01 b = x = minimum(pot, a, b) A. Arnold Computergrundlagen 59/88

72 Module >>> import sys >>> print "program name is \"%s\"" % sys.argv[0] program name is "" >>> from random import random >>> print random() Bis jetzt haben wir einen Teil der Basisfunktionalität von Python gesehen. Weitere Funktionen sind in Module ausgelagert Manche sind nicht Teil von Python und müssen erst nachinstalliert werden Die Benutzung eines installierten Moduls muss per import angekündigt werden ( Modul laden ) Hilfe: help(modul), alle Funktionen: dir(modul) A. Arnold Computergrundlagen 60/88

73 Das sys-modul Schon vorher für Eingaben benutzt Stellt Informationen über Python und das laufende Programm selber zur Verfügung sys.argv: Kommandozeilenparameter, sys.argv[0] ist der Programmname sys.stdin, sys.stdout, sys.stderr: Standard-Ein-/Ausgabedateien import sys sys.stdout.write("running %s\n" % sys.argv[0]) line = sys.stdin.readline() sys.stderr.write("some error message\n") A. Arnold Computergrundlagen 61/88

74 optparse-modul: Parameter einlesen from optparse import OptionParser parser = OptionParser() parser.add_option(" f", " file", dest="filename", help="ausgabe in FILE", metavar="file") options, args = parser.parse_args() optparse liest Kommandozeilenflags add_option spezifiziert eine Option zum Beispiel mit kurzer und langer Form des Namens ( -f, -file ) einer Zielvariablen für den vom Benutzer gegebenen Wert einem zugehörigen Hilfetext einem bestimmten Datentyp (type="int") Bei Aufruf python parse.py -f test a b c ist: options ein Objekt mit options.filename = test args = [ a, b, c ] A. Arnold Computergrundlagen 62/88

75 argparse-modul: Parameter in Python 2.7 from argparse import ArgumentParser parser = ArgumentParser() parser.add_argument(" f", " file", dest="filename", help="write to FILE", metavar="file") parser.add_argument("positional", help="fixed argument") parser.add_argument("number", type=int, help="integer arg") args = parser.parse_args() Ab Python 2.7: verbessertes Modul argparse add_argument unterstützt auch positionale Argumente, die ohne Optionsmarker auf der Kommandozeile stehen Fehler bei falschem Typ oder fehlenden Parametern Bei Aufruf python parse.py -f test a 1 ist: args.filename = test args.positional = a args.number = 1 A. Arnold Computergrundlagen 63/88

76 math- und random-modul import math import random def boxmuller(): """ calculate Gaussian random numbers using the Box-Muller transform """ r1, r2 = random.random(), random.random() return math.sqrt(-2*math.log(r1))*math.cos(2*math.pi*r2) math stellt viele mathematische Grundfunktionen zur Verfügung, z.b. floor/ceil, exp/log, sin/cos, pi random erzeugt pseudozufällige Zahlen random(): gleichverteilt in [0,1) randint(a, b): gleichverteilt ganze Zahlen in [a, b] gauss(m, s): normalverteilt mit Mittelwert m und Varianz s A. Arnold Computergrundlagen 64/88

77 os-modul: Betriebssystemfunktionen import os import os.path dir = os.path.dirname(file) name = os.path.basename(file) altdir = os.path.join(dir, "alt") if not os.path.isdir(altdir): os.mkdir(altdir) newpath = os.path.join(altdir, name) if not os.path.exists(newpath): os.rename(file, newpath) betriebssystemunabhängige Pfadtools im Untermodul os.path: z.b. dirname, basename, join, exists, isdir os.system: Programme wie von der Shell aufrufen os.rename/os.remove: Dateien umbenennen / löschen os.mkdir/os.rmdir: erzeugen / entfernen von Verzeichnissen A. Arnold Computergrundlagen 65/88

78 GUI: das Tkinter-Modul import Tkinter # main window and connection to Tk root = Tkinter.Tk() root.title("test program") # a simple button, ending the program end = Tkinter.Button(root, text = "Quit", command = root.quit) end.pack({"side": "bottom"}) root.mainloop() bietet Knöpfe, Textfenster, Menüs, einfache Graphik usw. mit Tk.mainloop geht die Kontrolle an das Tk-Toolkit danach eventgesteuertes Programm (Eingaben, Timer) lehnt sich eng an Tcl/Tk an ( A. Arnold Computergrundlagen 66/88

79 Numerik mit Python numpy numpy ist ein Modul für effiziente numerische Rechnungen Nicht fester Bestandteil von Python, aber Paket in allen Linux-Distributionen Alles nötige unter Bietet unter anderem mathematische Grundoperationen Sortieren, Auswahl von Spalten, Zeilen usw. Eigenwerte, -vektoren, Diagonalisierung diskrete Fouriertransformation statistische Auswertung Zufallsgeneratoren Wird bei ipython --pylab automatisch unter dem Kürzel np geladen A. Arnold Computergrundlagen 67/88

80 np.ndarray n-dimensionale Arrays >>> A = np.identity(2) >>> print A [[ 1. 0.] [ 0. 1.]] >>> v = np.zeros(5) >>> print v [ ] >>> print type(a), type(v) <type numpy.ndarray > <type numpy.ndarray > NumPy basiert auf n-dimensionalem Array numpy.ndarray Technisch zwischen Array und Tupel Kein append/remove Aber elementweiser lesender und schreibender Zugriff Alle Elemente vom selben (einfachen) Datentyp Entspricht mathematischen Vektoren, Arrays, Tensoren,... A. Arnold Computergrundlagen 68/88

81 Eindimensionale Arrays Vektoren >>> import numpy as np >>> print np.array([1.0, 2, 3]) [ 1., 2., 3.] >>> print np.ones(5) [ 1., 1., 1., 1., 1.] >>> print np.arange(2.2, 3, 0.2, dtype=float) [ 2.2, 2.4, 2.6, 2.8] np.array erzeugt ein ndarray aus einer (geschachtelten) Liste np.arange entspricht range für beliebige Datentypen np.zeros/ones erzeugen 0er/1er-Arrays dtype setzt den Datentyp aller Elemente explizit float IEEE-Fließkommazahlen bool Wahrheitswerte complex Komplexe Fließkommazahlen int ganze Zahlen ansonsten der einfachste für alle Elemente passende Typ A. Arnold Computergrundlagen 69/88

82 Mehrdimensionale Arrays >>> print np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] >>> print np.array([[[1,2,3],[4,5,6]], [[7,8,9],[0,1,2]]]) [[[1, 2, 3], [4, 5, 6]], [[7, 8, 9], [0, 1, 2]]] np.array erzeugt ein mehrdimensionales ndarray aus einer (geschachtelten) Liste Alle Zeilen müssen die gleiche Länge haben Entsprechen Matrizen, Tensoren,... A. Arnold Computergrundlagen 70/88

83 Mehrdimensionale Arrays >>> print np.zeros((2, 2)) array([[ 0., 0.], [ 0., 0.]]) >>> print np.identity(2) [[ 1. 0.] [ 0. 1.]] >>> print np.outer([1,2],[3,5]) [[ 3 5] [ 6 10]] np.zeros/ones mit Tupeln von Dimensionen np.identity liefert die Identitätsmatrix (immer zweidimensional) np.outer ist das äußere Produkt von Vektoren: a b = a 1 b 1 a 1 b a n b 1 a n b A. Arnold Computergrundlagen 70/88

84 Array-Informationen >>> v = np.zeros(4) >>> print v.shape (4,) >>> I = np.identity(2) >>> print I.shape (2, 2) >>> print I.dtype float64 array.shape gibt die Größen der Dimensionen als Tupel zurück Anzahl der Dimensionen (Vektor, Matrix,... ) ergibt sich aus Länge des Tupels array.dtype gibt den gemeinsamen Datentyp aller Elemente Wichtig beim Debuggen (Warum passen die Matrix und der Vektor nicht zusammen?) A. Arnold Computergrundlagen 71/88

85 Elementzugriff >>> a = np.array([[1,2,3,4,5,6], [7,8,9,0,1,2]]) >>> print a[0] [ ] >>> print a[1] [ ] >>> print a[1,2] 9 [] indiziert Zeilen und Elemente usw. Anders als bei Pythonlisten können geschachtelte Indizes auftreten (wie bei Matrizen) a[1,2] entspricht mathematisch a 2,3 wegen der verschiedenen Zählweisen (ab 0 bzw. ab 1) Achtung: in der Mathematik bezeichnet a 1 meist einen Spaltenvektor, hier a[1] einen Zeilenvektor Es gilt wie in der Mathematik: Zeilen zuerst, Spalten später! A. Arnold Computergrundlagen 72/88

86 Subarrays >>> a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]) >>> print a[1:,1:] [[5 6] [8 9]] >>> print a[:,2] [3 6 9] Wie bei Listen lassen sich auch Bereiche wählen, in allen Dimensionen a[1:,1:] beschreibt die 1,1-Untermatrix, also ab der 2. Zeile und Spalte a[:,2] beschreibt den 3. Spaltenvektor Achtung, dies sind keine Kopien! A. Arnold Computergrundlagen 73/88

87 Flache und tiefe Kopien von ndarray >>> a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9]]) >>> b = a.copy() # tiefe Kopie >>> a[:,0] = np.zeros(3) # flache Kopie, ändert a >>> print a [[0 2 3] [0 5 6] [0 8 9]] >>> print b [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]] Anders als bei Python-Arrays sind Unterlisten keine Kopien! Kopien gibt es nur explizit durch copy A. Arnold Computergrundlagen 74/88

88 Manipulation von ndarrays >>> a = np.array([[1,2], [3,4]]) >>> a = np.concatenate((a, [[5,6]])) >>> print a.transpose() [[1 3 5] [2 4 6]] >>> print a.max() 6 >>> a = np.array([1 + 2j]) >>> print a.conjugate() [ 1.-2.j] np.concatenate hängt Matrizen aneinander transpose(): Transponierte (Spalten und Zeilen vertauschen) conjugate(): Komplex Konjugierte min(),max() berechnen Minimum und Maximum aller Elemente A. Arnold Computergrundlagen 75/88

89 np.dot: Matrix-Matrix-Multiplikation >>> a = np.array([[1,2],[3,4]]) >>> i = np.identity(2) # Einheitsmatrix >>> print a*i # punktweises Produkt [[1 0] [0 4]] >>> print np.dot(a,i) # echtes Matrixprodukt [[1 2] [3 4]] >>> print np.dot(a[0], a[1]) # Skalarprodukt der Zeilen 11 Arrays werden normalerweise punktweise multipliziert np.dot entspricht bei zwei eindimensionalen Arrays dem Vektor-Skalarprodukt bei zwei zweidimensionalen Arrays der Matrix-Multiplikation bei ein- und zweidim. Arrays der Vektor-Matrix-Multiplikation Die Dimensionen müssen passen A. Arnold Computergrundlagen 76/88

90 Lineare Algebra >>> a = np.array([[1,0],[0,1]]) >>> print np.linalg.det(a) 1 >>> print np.linalg.eig(a) (array([ 1., 1.]), array([[ 1., 0.], [ 0., 1.]])) numpy.cross: Vektorkreuzprodukt numpy.linalg.det,.trace: Determinante und Spur numpy.linalg.norm,.cond: Norm und Kondition numpy.linalg.eig: Eigenwerte und -vektoren numpy.linalg.inv: Inverse einer Matrix berechnen numpy.linalg.cholesky,.qr,.svd: Matrixzerlegungen numpy.linalg.solve(a, b): Lösen von Ax = b A. Arnold Computergrundlagen 77/88

91 Beispiel: Rücksubstitution Problem Gegeben: Gesucht: Rechte obere Dreiecksmatrix A, Vektor b Lösung des linearen Gleichungssystems Ax = b a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n x n = b a nn x n = b n Zum Beispiel aus dem Gaußschen Eliminationsverfahren Methode: Rücksubstitution Letzte Gleichung: a nn x n = b n Vorletzte Gleichung: = x n = b n /a nn x n 1 = (b n 1 a n 1,n x n )/a n 1,n 1 Und so weiter... A. Arnold Computergrundlagen 78/88

92 Implementation import numpy as np def backsubstitute(a, b): rows = b.shape[0] # length of the problem x = np.zeros(rows) # solution, same size as b for i in range(1, rows + 1): # looping the rows reversel row = rows - i x[row] = b[row] - np.dot(a[row,row+1:], x[row+1:]) x[row] /= A[row,row] return x A = np.array([[1, 2, 3], [0, 4, 5], [0, 0, 6]]) b = np.array([1, 2, 3]) print backsubstitute(a, b), np.linalg.solve(a, b) Ausgabe [ ] [ ] A. Arnold Computergrundlagen 79/88

93 Analyse und Visualisierung Zeit Winkel Geschw. Energie Zahlen anschauen ist langweilig! Graphen sind besser geeignet Statistik hilft, Ergebnisse einzuschätzen (Fehlerbalken) Histogramme, Durchschnitt, Varianz A. Arnold Computergrundlagen 80/88

94 Durchschnitt und Varianz >>> samples= >>> z = np.random.normal(0, 2, samples) >>> print np.mean(z) >>> print np.var(z) Arithmetischer Durchschnitt z = len(z) z i /len(z) i=1 Varianz σ(z) = (z z ) 2 A. Arnold Computergrundlagen 81/88

95 Histogramme >>> zz = np.random.normal(0,1,100000) >>> werte, rand = np.histogram(zz, bins=100, normed=true) Histogramme geben die Häufigkeit von Werten an In bins vielen gleich breiten Intervallen werte sind die Häufigkeiten, raender die Grenzen der Intervalle (ein Wert mehr als in werte) A. Arnold Computergrundlagen 82/88

96 Malen nach Zahlen matplotlib Ein Modul zum Erstellen von Graphen, mächtiger als Gnuplot 2D oder 3D, mehrere Graphen in einem Speichern als Bitmap Kann auch animierte Kurven darstellen A. Arnold Computergrundlagen 83/88

97 2D-Plots import matplotlib import matplotlib.pyplot as pyplot... x = np.arange(0, 2*np.pi, 0.01) y = np.sin(x) pyplot.plot(x, y, "g", linewidth=2) pyplot.text(1, -0.5, "sin(2 pi x)") pyplot.show() pyplot.plot erzeugt einen 2D-Graphen pyplot.text schreibt beliebigen Text in den Graphen pyplot.show() zeigt den Graphen an Parametrische Plots mit Punkten (x[t], y[t]) für Funktionen Punkte (x[t], y(x[t])) mit x Bereich Farbe und Form über String und Parameter ausprobieren A. Arnold Computergrundlagen 84/88

98 Mehrfache Graphen bild = pyplot.figure() graph_1 = bild.add_subplot(121, title="sinus und Cosinus") graph_1.plot(x, np.sin(x)) graph_1.plot(x, np.cos(x)) graph_2 = bild.add_subplot(122, title="sinh und Cosh") graph_2.plot(x, np.sinh(x), x, np.cosh(x)) Mehrere Kurven in einem Graphen: plot(x_1,y_1 [,"stil"], x_2,y_2,...)! Oder mehrere plot-befehle Mehrere Graphen in einem Bild 1.0 mit Hilfe von add_subplot Sinus und Cosinus Sinh und Cosh A. Arnold Computergrundlagen 85/88

99 Logarithmische Skalen 20 normal 20 x logarithmisch y logarithmisch 10-1 logarithmisch voll y = exp(x) y = x 2 y = log(x) set_xscale("log") bzw. set_yscale("log") y logarithmisch: y = exp(x) wird zur Geraden y = log(y) = x x logarithmisch: y = log(x) = x ist eine Gerade x + y logarithmisch: Potenzgesetze y = x n werden zu Geraden, da y = log(x n ) = n log(x) = nx A. Arnold Computergrundlagen 86/88

100 3D-Plots import matplotlib import matplotlib.pyplot as pyplot import mpl_toolkits.mplot3d as p3d... bild = pyplot.figure() z = np.arange(0, 10, 0.1) x, y = np.cos(z), np.sin(z) graph = p3d.axes3d(bild) graph.plot(x, y, z) Spirale Oberflaeche plot: wie 2D, nur mit 3 Koordinaten x, y, z plot_wireframe: Gitteroberflächen contourf3d: farbige Höhenkodierung Achtung! 3D ist neu und das Interface ändert sich noch A. Arnold Computergrundlagen 87/88

101 Interaktive Visualisierung import matplotlib matplotlib.use( TkAgg ) import matplotlib.pyplot as pyplot... abb = pyplot.figure() plot = abb.add_subplot(111) kurve, = plot.plot([],[]) def weiter(): abb.canvas.manager.window.after(1000, weiter) kurve.set_data(x, np.sin(x)) abb.canvas.draw()... abb.canvas.manager.window.after(100, weiter) pyplot.show() Update und Timing durch GUI (hier TkInter) set_data um die Daten zu verändern A. Arnold Computergrundlagen 88/88