Zusammenhangsmaße II

Transkript

1 Sommersemester 2009

2 Wiederholung/ Eine nominale und eine intervallskalierte Variable χ 2 =?!?

3 Übung von Simone Reutzel Heute im HS1, altes ReWi-Haus

4 Zum Nachlesen Agresti/Finlay: Kapitel 8.5, 9.4 Gehring/Weins: Kapitel Schumann: Kapitel 8.2

5 Was ist ein Zusammenhang? Zusammenhang = Verteilungen zweier Variablen nicht unabhängig voneinander Kategorien treten häufiger gemeinsam auf als bei rein zufälliger Verteilung zu erwarten Zusammenhangsmaße quantifizieren Stärke und ggf. Richtung des Zusammenhangs Unterschiedliche Maße für unterschiedliche Skalenniveaus PRE-Maß λ betrachtet Verbesserung gegenüber naiver Vorhersage und ist asymmetrisch

6 Warum unterscheiden sich λ und V? Beide gehen von Kreuztabelle (bivariate Verteilung) aus V basiert auf χ 2 Weichen interne/randverteilungen voneinander ab Alle Zellen werden berücksichtigt Vergleichbar mit arithmetischem Mittel: gesamte Information wird genutzt λ betrachtet Modus der Randverteilung (abhängige Variable) Vergleich mit Modus innerhalb von Subgruppen, definiert durch Ausprägungen unabhängige Variable (z. B. Ost/West) Anschaulicher, aber weniger Information genutzt Wenn Modus in Randverteilung und in Gruppen identisch λ = 0 Höhe von λ hängt ab von Häufigkeit Modus vs. Häufigkeit aller anderen Kategorien zusammen innerhalb von Subgruppen

7 λ = 0.57 vs. λ = 0 Kanzlerpräferenz Wahlabsicht Merkel Steinmeier Σ Union SPD Andere Σ

8 λ = 0.57 vs. λ = 0 Kanzlerpräferenz Wahlabsicht Merkel Steinmeier Σ Union SPD Andere Σ Modus in den Subgruppen unterscheidet sich Innerhalb der Subgruppen Modus sehr häufig, alle anderen eher selten

9 λ = 0.57 vs. λ = 0 Kanzlerpräferenz Wahlabsicht Merkel Steinmeier Σ Union SPD Andere Σ Modus in den Subgruppen unterscheidet sich Innerhalb der Subgruppen Modus sehr häufig, alle anderen eher selten In der Randverteilung auch andere Antworten ( Fehler ) häufig Große Fehlerreduktion, hohes λ

10 λ = 0.57 vs. λ = 0 Kanzlerpräferenz Wahlabsicht Merkel Steinmeier Σ Union SPD Andere Σ Modus in den Subgruppen unterscheidet sich Innerhalb der Subgruppen Modus sehr häufig, alle anderen eher selten In der Randverteilung auch andere Antworten ( Fehler ) häufig Große Fehlerreduktion, hohes λ Einfluß der Kategorienbildung

11 λ = 0.57 vs. λ = 0 Region Wahlabsicht West Ost Σ PDS Andere Σ

12 λ = 0.57 vs. λ = 0 Region Wahlabsicht West Ost Σ PDS Andere Σ Modus in Randverteilung und beiden Subgruppen identisch

13 λ = 0.57 vs. λ = 0 Region Wahlabsicht West Ost Σ PDS Andere Σ Modus in Randverteilung und beiden Subgruppen identisch Keine Fehlerreduktion, λ = 0

14 λ = 0.57 vs. λ = 0 Region Wahlabsicht West Ost Σ PDS Andere Σ Modus in Randverteilung und beiden Subgruppen identisch Keine Fehlerreduktion, λ = 0 Aufteilung Andere λ > 0 möglich

15 λ = 0.57 vs. λ = 0 Region Wahlabsicht West Ost Σ PDS Andere Σ Modus in Randverteilung und beiden Subgruppen identisch Keine Fehlerreduktion, λ = 0 Aufteilung Andere λ > 0 möglich Aber nur wenn anderer Modus innerhalb von Subgruppe (einfache Mehrheit für PDS)

16 Warum sind Maße für ordinale Daten wichtig? Viele politikwissenschaftlich interessante Variablen ordinal Umfragedaten: stimme voll zu, stimme zu, lehne ab lehne voll ab Freedom house ranking: free, partly free, not free Politische Parteien: links, Mitte, rechts Effektivität internationaler Umweltschutzregime: none, some... Berechnung nominaler Maße (V, λ) möglich Aber: Information über Ordnung der Kategorien wird ignoriert

17 Was ist ein ordinaler Zusammenhang? Richtung Mehr x, mehr y; weniger x, weniger y positiver Zusammenhang Mehr x, weniger y; weniger x, mehr y negativer Zusammenhang

18 Was ist ein ordinaler Zusammenhang? Richtung Mehr x, mehr y; weniger x, weniger y positiver Zusammenhang Mehr x, weniger y; weniger x, mehr y negativer Zusammenhang Wie mißt man das?

19 Was ist ein ordinaler Zusammenhang? Richtung Mehr x, mehr y; weniger x, weniger y positiver Zusammenhang Mehr x, weniger y; weniger x, mehr y negativer Zusammenhang Wie mißt man das? Vergleich von Paaren von Beobachtungen

20 Was ist ein ordinaler Zusammenhang? Richtung Mehr x, mehr y; weniger x, weniger y positiver Zusammenhang Mehr x, weniger y; weniger x, mehr y negativer Zusammenhang Wie mißt man das? Vergleich von Paaren von Beobachtungen Land A hohes Bildungsniveau hohes Wirtschaftswachstum Land B niedriges Bildungsniveau niedriges Wirtschaftswachstum +

21 Zusammenhangsmaß Systematisiert Paarvergleich Symmetrisch Kann ebenfalls als PRE-Maß interpretiert werden Vorzeichen

22 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden

23 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A

24 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A Diskonkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) als A, aber weniger von y (z. B. politisches Interesse) als A

25 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A Diskonkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) als A, aber weniger von y (z. B. politisches Interesse) als A : Verhältnis konkordante diskonkordante Paare

26 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A Diskonkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) als A, aber weniger von y (z. B. politisches Interesse) als A : Verhältnis konkordante diskonkordante Paare Konkordante Paare überwiegen: positiver Zusammenhang Diskonkordante Paare überwiegen: negativer Zusammenhang

27 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A Diskonkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) als A, aber weniger von y (z. B. politisches Interesse) als A : Verhältnis konkordante diskonkordante Paare Konkordante Paare überwiegen: positiver Zusammenhang Diskonkordante Paare überwiegen: negativer Zusammenhang Paare mit identischen Werten für eine oder beide Variablen: ties

28 Wie wird berechnet? Paare von Objekten bilden Konkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) und mehr von y (z. B. politisches Interesse) als A Diskonkordantes Paar A B: B hat mehr von x (z. B. Bildung) als A, aber weniger von y (z. B. politisches Interesse) als A : Verhältnis konkordante diskonkordante Paare Konkordante Paare überwiegen: positiver Zusammenhang Diskonkordante Paare überwiegen: negativer Zusammenhang Paare mit identischen Werten für eine oder beide Variablen: ties Werden bei ignoriert

29 Wie berechnet man die Anzahl der Paare? Kreuztabelle aufstellen Anordnung der Kategorien: niedrigste oben/links, höchste unten/rechts Bildung konkordanter Paare möglich mit allen Objekten rechts und unterhalb der eigenen Zelle Bildung diskonkordanter Paare möglich mit Objekten in den Zellen links und unterhalb der eigenen Zelle Zahl der möglichen Paare für zwei Zellen: Produkt der Häufigkeiten beider Zellen Z. B. 10 Personen in der ersten Zelle, 5 in der zweiten Zelle, 10 5 verschiedene Paare möglich Auf diese Weise Summe aller konkordanten und dann aller diskonkordanten Paare bilden

30 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie?

31 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare?

32 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare? Z. B. hier...

33 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare? Z. B. hier... oder hier...

34 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare? Z. B. hier... oder hier... oder hier

35 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare? Z. B. hier... oder hier... oder hier Diskonkordante Paare...

36 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Wo sind die konkordanten Paare? Z. B. hier... oder hier... oder hier Diskonkordante Paare... oder hier

37 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Konkordant:

38 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Konkordant: 115 ( )= ( ) = ( )= (260+58)= (138+58)= =

39 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Konkordant: ( )= ( ) = ( )= (260+58)= (138+58)= =

40 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Diskonkordant:

41 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Diskonkordant: 128 ( )= ( )= ( )= ( )= = ( )=

42 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Diskonkordant: ( )= ( )= ( )= ( )= = ( )=

43 Beispiel : Bildung und Nationalstolz Was erwarten Sie? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz = N c N D = N C + N D = 0.375

44 Interpretation von N c = N D = 0

45 Interpretation von N c = N D = 0 meist relativ hoch = 0.5

46 Interpretation von N c = N D = 0 meist relativ hoch = 0.5 Ties werden komplett ignoriert Potentiell viel verlorene Information Irreführende Werte möglich reagiert u. U. nicht auf Veränderungen in Tabelle

47 Was sind ties? niedrig mittel hoch gar nicht stolz nicht sehr stolz ziemlich stolz sehr stolz Paare mit identischem Wert für Spaltenvariable (x) tied in x, T x Paare mit identischem Wert für Zeilenvariable (y) tied in y, T y Paare mit identischen Werten für beide Variablen relativ uninteressant Verschiedene alternative Koeffizienten berücksichtigen ties

48 τ b τ b = N C N D (NC + N D + T x ) (N C + N D + T Y )

49 τ b τ b = N C N D (NC + N D + T x ) (N C + N D + T Y ) Identisch mit wenn keine ties

50 τ b τ b = N C N D (NC + N D + T x ) (N C + N D + T Y ) Identisch mit wenn keine ties Ansonsten kleiner als weil Nenner größer

51 τ b τ b = N C N D (NC + N D + T x ) (N C + N D + T Y ) Identisch mit wenn keine ties Ansonsten kleiner als weil Nenner größer Somers D asymmetrische Variante von τ b

52 Somers D Wiederholung/ D yx = N C N D N C + N D + T Y mit y als abhängiger Variable Identisch mit wenn keine ties Ansonsten kleiner als weil Nenner größer Somers D asymmetrische Variante von τ b

53 Somers D Wiederholung/ D yx = N C N D N C + N D + T Y mit y als abhängiger Variable Identisch mit wenn keine ties Ansonsten kleiner als weil Nenner größer Somers D asymmetrische Variante von τ b Zahlreiche andere Maße

54 Warum nominale/intervallskalierte Variable? Viele Variablen (näherungsweise) intervallskaliert Z. B. Einkommen, Testwerte, LRS... Vergleich über Gruppen (Geschlecht, Länder etc.) Zusammenhangsmaß: η bzw. η 2 PRE-Maß/asymmetrisch Kann Gruppenzugehörigkeit Vorhersage der abhängigen Variablen verbessern?

55 Wie wird η berechnet? Beste Prognose für intervallskalierte Variable?

56 Wie wird η berechnet? Beste Prognose für intervallskalierte Variable? Arithmetisches Mittel Summe einfache Abweichungen = 0 Summe quadrierte Abweichungen minimal

57 Wie wird η berechnet? Beste Prognose für intervallskalierte Variable? Arithmetisches Mittel Summe einfache Abweichungen = 0 Summe quadrierte Abweichungen minimal Maß für Vorhersagefehler: SAQ

58 Wie wird η berechnet? Beste Prognose für intervallskalierte Variable? Arithmetisches Mittel Summe einfache Abweichungen = 0 Summe quadrierte Abweichungen minimal Maß für Vorhersagefehler: SAQ Reduktion SAQ bei Kenntnis der Gruppenzugehörigkeit? Vorhersage globaler Mittelwert Vs. Vorhersage Gruppenmittelwerte

59 Wie wird η berechnet? SAQ gesamt : Summe der quadrierte Abweichungen vom gemeinsamen Durchschnitt SAQ Kategorien : Summe der Summen der quadrierten Abweichungen vom jeweiligen Gruppendurchschnitt η 2 η 2 = SAQ gesamt SAQ Kategorien SAQ gesamt

60 Ein Beispiel: FN 2004 (drei Regionen) Region x (x x kat ) (x x kat ) 2 (x x ges ) (x x ges ) 2 Basse-Normandie x B N = Σ Limousin x L = Σ Picardie x P = Σ ΣΣ x ges = 15.5

61 Ein Beispiel: FN 2004 (drei Regionen) Region x (x x kat ) (x x kat ) 2 (x x ges ) (x x ges ) 2 Basse-Normandie x B N = Σ Limousin x L = Σ Picardie x P = Σ ΣΣ x ges = 15.5 η 2 = = 0.91

62 Warum zwei intervallskalierte Variablen? Wenn Intervallskalierung plausible Annahme, eine der häufigsten Konstellationen LRS Konservatismus-Skala Proportionalität des Wahlsystems (effektive) Zahl der Parteien (Relative) Größe des tertiären Sektors Anteil der Postmaterialisten Arbeitslosenquote Stimmenanteil Extreme Rechte

63 Was ist die Logik von Pearson s r (Korrelationskoeffizient)? Beste unkonditionale Vorhersage: arithmetisches Mittel; SAQ = Vorhersagefehler zwei Mittelwerte, zwei SAQ Visualisierung durch Streudiagramm Positiver Zusammenhang: überdurchschnittliche Werte von x, überdurchschnittliche Werte von y und umgekehrt Negativer Zusammenhang: überdurchschnittliche Werte von x, unter durchschnittliche Werte von y und umgekehrt Starke Zusammenhänge mit bloßem Auge erkennbar r: quantifiziert Stärke, symmetrisch, PRE-Maß

64 ALQ und FN 2004 in 9 Départements 25 FN x = 6.7; ȳ = ALQ

65 ALQ und FN 2004 in 9 Départements 25 FN x = 6.7; ȳ = ALQ

66 Wie läßt sich die gemeinsame Streuung zweier Variablen erfassen? Ein Fall ist nicht mit dem Mittelwert identisch Für eine Variable: quadrierte Abweichung vom Mittelwert x Für zwei Variablen: Produkt der Abweichungen von beiden Mittelwerten x, ȳ Abweichungsprodukt Positives Abweichungsprodukt: bezüglich beider Variablen über- oder unterdurchschnittlich Negatives Abweichungsprodukt: überdurchschnittlich bei einer, unterdurchschnittlich bei anderer Variablen Vgl. mit

67 Abweichungsprodukt für einen Fall 25 FN ALQ AP = (x i x) (y i ȳ) = ( ) ( ) = 15.6

68 Abweichungsprodukte für alle Fälle: Summe Abweichungsprodukte No. x i x i x y i y i ȳ (x i x) (y i ȳ)

69 Kovarianz und Korrelation Kovarianz = SAP n = = 5.9 = cov(x, y) Wertebereich ; + Vgl. χ 2 Abhängig von Stärke und Skalierung Kovarianz durch Produkt beider Standardabweichungen teilen Korrelationskoeffizient r Korrelationskoeffizient r = cov(x, y) s x s y = SAP n SAQ x n SAQy n = SAP SAQx SAQ y

70 Kovarianz und Korrelation II Korrelationskoeffizient SAP SAQx SAQ y = 52.8 = = 0.82 Bringt Kovarianz auf standardisierten Wertebereich Wertebereich [-1;+1] 0 = kein Zusammenhang r 2 symmetrisches PRE-Maß Wie stark reduziert Kenntnis von x Vorhersagefehler von y (SAQ) und umgekehrt? η 2 r 2, unterschiedliche Skalenniveaus/Berechnungsvorschriften

71 Zusammenhang gemeinsame Verteilung zweier Variablen Vielzahl von Zusammenhangsmaßen Skalenniveau beachten