Mathematisches Kaleidoskop SS15 Materialien Teil 3. Dr. Hermann Duerkop

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1 Mathematisches Kaleidoskop SS15 Materialien Teil 3 Dr. Hermann Duerkop 1

2 2 Ein bisschen Kryptographie Möchte man jemandem eine geheime Botschaft zukommen lassen, so muss man zweierlei Dinge tun: 1. Die mitzuteilende Information muss zunächst in eine Folge von Zeichen gewandelt werden, deren Bedeutung zwischen Empfänger und Sender verabredet ist, so dass der Empfänger den Inhalt der Botschaft verstehen kann. Zu diesem Zweck verwendet man meist standardisierte Zeichenmengen, z.b. Zahlen, Buchstaben, Bitfolgen, die allgemein verwendet werden. Den Prozess der Umwandlung der Information in die entsprechenden Zeichenfolgen sowie deren Rückwandlung in Information nennt man Codierung bzw. Decodierung. Ein Romanautor codiert den Inhalt seines Romans in der Schriftsprache z.b. seines Landes, der Leser in diesem Land decodiert den Schrifttext durch das Lesen und erhält damit den Inhalt des Romans. Diese Art der Informationsverarbeitung soll natürlich das Gegenteil von geheimnisumwittert sein. 2. Die codierte Information wird nun in einem zweiten Schritt so verfremdet, dass die dabei entstehende Zeichenfolge für nichteingeweihte Personen nicht mehr decodiert werden kann, wodurch diesen der Zugriff auf die enthaltene Information verwehrt wird. Die dazu verwendete Umcodierung nennt man Verschlüsselung oder Chiffrierung, den umgekehrten Vorgang Entschlüsselung oder Dechiffrierung. 2.1 Codierung In der Geschichte der Kommunikations- und Informationstechnik haben sich recht früh Standardverfahren für die Codierung von sprachlichem Material herausgebildet. Eines der ersten Codierungssysteme (in elektromagnetischer Zeit ) war das berühmte Morse-Alphabet, das als Grundzeichen (als Alphabet) Punkt- und Strichfolgen, sowie Zwischenräume verwendet: = SOS. Als die Technik der Fernschreiber ausgereifter wurde, wurde in den USA der zu übertragende Zeichensatz in einer mittlerweile international gebräuchlichen Tabelle festgelegt. Dies ist der von EDV-Leuten verwendete 7-Bit ASCII-Code: 2

3 Quelle: Wikipedia In den ersten beiden Zeilen der ASCII-Tabelle befinden sich die sogenannten Control-Codes. Diese dienten dazu, beim Empfängerfernschreiber bestimmte Aktionen auszulösen, z.b. konnte man mit Zeichen 07 = BEL den empfangenden Fernschreiber klingeln (bell) lassen. Das Zeichen 09 = HT bewirkte einen horizontalen Tabulatorsprung (die Tab-Taste), 0A = LF einen Zeilenvorschub (line feed) und 0D = CR einen Wagenrücklauf (carriage return, daher die Return-Taste). Auf heutigen PC s werden manche dieser Control- Codes durch gleichzeitiges Drücken der Strg-Taste und einer Buchstabentaste erzeugt (zumindest gilt dies in gewissen Programmen). So wird etwa durch Strg-G ein Computerpiepsen (BEL) erzeugt. Strg heißt Steuerung entsprechend dem englischen Wort Control. In der vorliegenden ASCII-Tabelle sind die Zeilen und Spalten mit Hexadezimalzahlen durchnumeriert. Dies ist eine Zahldarstellung, die gern von EDV-Leuten benutzt wird, weil diese 2-er Potenzen so lieben und daher nicht die 10 als Basis ihres Stellensystems, sondern die 16 = 2 4 als Basiszahl nehmen. Die bei dieser Zahldatrstellung verwendeten Ziffern sind die Zeichen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 und F=15. Die obige ASCII-Tabelle beginnt dabei mit dem Zeichen Hex 00 = = dezimal 0 und endet mit dem Zeichen Hex 7F = = dezimal 127. Für die folgenden Seiten wird das Hexadezimalsystem keine wichtige Rolle spielen. Vielmehr benötigen wir hier das Dualzahlensystem, auch Binärzahlensystem genannt. 3

4 2.2 Dualzahlen, Bits und Bytes Die kleinste Informationseinheit ist die Unterscheidung zwischen diskreten sich gegenseitig ausschließenden 2 Werten, wie etwa Ja-Nein oder Wahr- Falsch oder es fließt Strom - es fließt kein Strom. Diese kleinste Informationseinheit nennt man ein Bit. Die beiden Zustände, die ein Bit annehmen kann, bezeichnet man meist mit 0 und 1. Welche Bedeutung die 0 und die 1 haben, ist je nach Kontext festgelegt. Interessanter als das einzelne Bit sind natürlich Bitfolgen, sozusagen Wörter, die man aus den Buchstaben 0 und 1 zusammensetzt. Um z.b. die Zahlen 0 bis 7 mit Bitfolgen der Länge 3 zu codieren, kann man sich auf folgende Zuordnung einigen: 0 = = = = = = = = 111 Eine Bitfolge der Länge 8 nennt man ein Byte. Offenbar kann ein Byte 256 verschiedene Werte annehmen ( , ,..., , ). Eine Folge von 1024 = 2 10 Bytes - also etwa 1000 Bytes - heißt ein Kilobyte. Entsprechend gibt es dann Megabytes (2 20 ), Gigabytes (2 30 ), Terabytes (2 40 ), Petabytes (2 50 ), etc.. Damit können Sie sich so ungefähr vorstellen, wie lang die Bitfolgen sind, die z.b. auf einen USB-Stick passen. Die obige Zuordnung zwischen den Zahlen 0 bis 7 und den 3-Bitfolgen habe ich nicht ganz willkürlich getroffen; denn offenbar steckt hier Methode dahinter: ich habe die Dezimalzahlen 0 bis 7 als Dualzahlen (= Binärzahlen) geschrieben, d.h. im Stellenwertsystem zur Basis 2: 0 = = = = = = = = Die Koeefizienten der 2-er Potenzen liefern gerade unsere Bitfolgen. Mit Dualzahlen kann man nun genauso gut (wenn nicht gar besser) rechnen wie mit Dezimalzahlen. Hier je ein Beispiel für Addition und Multiplikation : (= 13) (= 6) Übertrag 1 1 = (= 19) 4

5 Multiplikation (Überträge sind hier nicht extra aufgeführt): In der Tat ist = 78 = Neben dieser Dualzahlrechnerei gibt es noch eine ganz andere Arithmetik, in der nur die Ziffern 0 und 1 vorkommen. Hier sind die Ziffern zugleich auch die einzigen Zahlen. Diese Menge {0, 1} bezeichnet man mit Z/2Z oder auch F 2 und nennt sie den Restklassenring modulo 2. Hier gelten die simplen Rechenregeln: 2.3 Verschlüsselung Caesar-Code Schon im Altertum war es nötig, geheime Botschaften auf einigermaßen sichere Weise zu übermitteln. So wird in der antiken Literatur überliefert, dass z.b. Caesar viele seiner militärischen Befehle verschlüsselt hat. Er soll dabei einen sogenannten Verschiebecode verwendet haben. Dabei legt man zunächst eine Verschiebungszahl fest und ersetzt dann jeden einzelnen Buchstaben durch denjenigen, der um die Verschiebungszahl weiter rechts im Alpohabet steht. Kommt man dabei an das Ende des Alphabets, so beginnt man wieder mit A, also insgesamt verschiebt man das Alphabet zyklisch. Wenn etwa die Verschiebungszahl 5 ist, liefert das die folgende Verschlüsselungstabelle: ABCDEF GHIJKLMNOP QRST UV W XY Z F GHIJKLMNOP QRST UV W XY ZABCDE VERTINGETORIX KOMMT hätte Caesar also so verschlüsselt: AJWYNRLJYTWNC PTRRY. Dieser Verschiebecode ist sehr leicht zu knacken aus zweierlei Gründen. Erstens gibt es nur 26 verschiedene und 5

6 darunter nur 25 brauchbare Schlüssel (Verschiebungszahlen), die man ja alle nur durchprobieren muss, bis man den Geheimtext lesen kann. Ferner verraten sich bei längeren Geheimtexten manche Buchstaben durch ihre Häufigkeit, in der sie vorkommen. Wenn man z.b. weiß, dass der Originaltext in deutscher Sprache geschrieben ist, kann man bei dem am häufigsten vorkommenden Zeichen schon mal vermuten, dass dieser ein E oder ein N ist, da diese beiden Buchstaben in deutschen Texten die häufigsten sind Bezeichnungen und Begriffe Wir gehen von einer Grundmenge von Zeichen aus, mit denen wir unseren Text codieren, diese Grundmenge bezeichnen wir mit Σ (sprich: Sigma) und nennen sie unser Alphabet. Die aus den Elementen von Σ gebildeten Zeichenfolgen, die sogenannten Wörter der Länge n bilden die Menge Σ n, die Menge aller Wörter werde mit Σ bezeichnet. Unseren Klartext (englisch: Plain Text) bezeichnen wir mit P, den verschlüsselten Text nennen wir Schlüsseltext oder Chiffre-Text und bezeichnen ihn mit C. Um P zu verschlüsseln bzw. um C zu entschlüsseln benötigen wir die passenden geheimen Schlüssel. Die Menge dieser Schlüssel (Keys) bezeichnen wir mit K. Ist nun e K ein solcher Schlüssel, so gibt es eine Verschlüsselungsfunktion E e : P C (E steht für Encryption). Ist d K derselbe oder ein anderer Schlüssel, so gibt es eine Entschlüsselungsfunktion D d : C P (D steht für Decryption). Als Beispiel für diese Bezeichnungen betrachten wir nochmal die Caesar- Chiffre: Wir codieren die Buchstaben A bis Z durch ihre Position (beginnend mit 0) im Alphabet: A = 0, B = 1,..., Z = 25, d.h. es ist Σ = {0, 1,..., 25} = Z/26Z. Mit Z/26Z bezeichnen wir die Reste, die entstehen, wenn wir die ganzen Zahlen mit Rest durch 26 teilen, d.h. z.b. ist 33 in Z/26Z dasselbe wie 7, da 33 geteilt durch 26 den Rest 7 liefert: 33 = Wir sagen auch, wir rechnen modulo 26 und schreiben 33 7 mod 26. Damit können wir die Caesar-Chiffre so beschreiben: Zu e Z/26Z gehört die Verschlüsselungsfunktion E e : Σ Σ, x x + e mod 26 Entsprechend gehört zu d Z/26Z die Entschlüsselungsfunktion D d : Σ Σ, x x d mod 26 6

7 2.3.3 Permutationen Schon die Caesar-Chiffre macht deutlich, dass es bei der Chiffrierung zu einem wesentlichen Teil darauf ankommt, auf mehr oder minder ausgeklügelte Weise Zeichen zu vertauschen. Daher wollen wir kurz ein paar Eigenschaften und Begrifflichkeiten von Vertauschungsoperationen betrachten. Es sei dazu M eine Menge, die endlich viele Elemente enthält, z.b. ist M = {1, 2,..., n} so eine Menge, die aus n Elementen besteht. Eine Vertauschung dieser n Elemente besteht nun darin, dass man jedem Element ein Element zuordnet, das sozusagen an seine Stelle tritt. Dabei sollen alle Elemente wieder vorkommen, d.h. man hat eine tabellarische Darstellung folgender Art (hier als Beispiel n = 4): ( ) Eine solche Vertauschungsoperation wollen wir eine Permutation nennen. Seien nun π und σ zwei Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4}: π = ( ) und σ = ( ) Was passiert nun, wenn man erst die Permutation σ auf die Zahlen 1,2,3,4 loslässt und hernach auf das Ergebnis die Permutation π? Betrachten wir einmal das Schicksal der Zahlen 1 bis 4: σ : 1 3, π : 3 3 σ : 2 2, π : 2 4 σ : 3 4, π : 4 1 σ : 4 1, π : 1 2 Wir wollen diese Hintereinanderausführung π nach σ mit π σ (sprich: Pi kringel Sigma) bezeichnen, und erhalten so: π σ = ( ) Die Permutationen der Menge {1, 2,...n} bilden mit der Hintereinanderausführung eine algebraische Struktur, die man Gruppe nennt. Die Permutationsgruppe der n-elementigen Menge {1, 2,...n} wird meist mit S n bezeichnet und symmetrische Gruppe genannt. Wir wollen uns noch kurz überlegen, wieviele Elemente S n hat, also auf wieviele verschiedene Weisen man n Gegenstände anordnen kann. Wir haben also n Gegenstände, die wir auf n Plätze verteilen wollen. Für den ersten Platz haben wir n Gegenstände zur Verfügung. Nachdem wir den 7

8 ersten Platz besetzt haben, bleiben für den zweiten Platz nur noch n 1 Gegenstände übrig, da ja ein Gegenstand für den ersten Platz genommen wurde. Wir haben also für Platz 1 n Möglichkeiten, für Platz 2 n 1 Möglichkeiten, d.h. für Platz 1 und 2 n (n 1) Möglichkeiten, etc.. Insgesamt ergeben sich für die Anordnungen der n Gegenstände n (n 1) (n 2) 2 1 Möglichkeiten. Dieses Produkt aller Zahlen aus {1, 2,..., n}: 1 2 (n 1) n wird mit n! bezeichnet und n-fakultät genannt. Mit zunehmendem n wachsen die Fakultäten sehr rasch an, so dass Verschlüsselungsfunktionen, die auf die Menge aller Permutationen setzen, immer sehr große Schlüsselmengen besitzen, was es dem Angreifer schwer macht, den richtigen Schlüssel zu erraten. 8