Probleme mit der klassischen Physik

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1 Probleme mit der klassischen Physik Thermodynamik (Wärmestrahlung) Photoeffekt Comptoneffekt Stabilität von Atomen

2 Wärmestrahlung (aus Physik I) In Analogie (die in der Quantenmechanik begründet wird) mit unserer Überlegung für die barometrische Höhenformel oder die Maxwell-Boltzmann-Verteilung nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, die Energie E = ihν aufzuweisen auch von der Form exp( Energie/kT) ist, nämlich p i = exp( ihν/kt). Damit ist N 1 = N 0 exp( hν/kt), und allg.n i = N 0 exp( ihν/kt). Wir definieren x. = exp( hν/kt). Die totale Energie des Systems stammt aus der Summe der Energien aller Oszillatoren. Vom Grundzustand kommt kein Beitrag, vom ersten angeregten Zustand kommt N 1 hν = N 0 hνx, vom zweiten N 2 2hν = 2N 0 hνx 2,...,N i ihν = in 0 hνx i. Die mittlere Energie des Systems ist also die totale Energie geteilt durch

3 die Anzahl Oszillatoren E = E tot = N ( 0hν 0 + x + 2x 2 + 3x ) N tot N 0 (1 + x + x 2 + x ) = hν i=0 ixi i=0 xi Die auftretenden Summen können einfach berechnet werden. Oben steht x mal die Ableitung nach x von der unteren. Die Ableitung ist eine lineare Operation und kann vor die Summe gezogen werden. Die Summe i=0 x i = 1 1 x kann nun eingesetzt werden und man erhält nach wenig Rechnen die für die

4 Schwarzköperstrahlung wichtige spektrale Abhängigkeit 1 e hν/kt 1. Eine Konsequenz dieser Abhängigkeit ist die Beobachtung, dass Elektronenaustritt aus Oberflächen nicht von der Intensität des Lichtes, sondern von der Frequenz, also der Energie, der Photonen abhängt (Photoeffekt). Die erforderliche Energie des Photons ist E γ > W A, wo W A die Austrittsarbeit des Materials ist.

5 Atome griechisch ατoµoς Leukipp (ca. 440 v. Chr.) und Demokrit (ca v. Chr.). Stoffe sind aus unveränderbaren Atomes zusammengesetzt (statische Elemente (Parmenides)), die Zusammensetzung kann sich aber ändern (Heraklit alles fließt ). Mehr davon in D2. Chemie und dann Clausius (p V = n 3 mv v 2 V ), Maxwell (κ = C p Boltzmann = Atome, bzw. Moleküle! C V = f+2 f ), Dalton ( ), Massenverhältnisse konstant (z. B. Wasser 1:8 = H:O) = 3 Hypothesen: elementare Stoffe bestehen aus Atomen

6 Atome desselben Elementes sind identisch chemische Verbindungen jeweils in ganzzahligem Mengenverhältnis, Einheit ist 1 amu. = 1/12 der Masse von 12 C = 1, kg Avogadro ( ) Moleküle bestehen aus zwei oder mehr Atomen Größe von Atomen aus verschiedenen Methoden: flüssige ein-atomige Gase: V a V Fl N = r m A Van-der-Vaals Gleichung: ( p + a ) VM 2 (V M b) = R T, aus b = 4N A V A folgt V A = b/(4n A ). Transportkoeffizienten (Diffusion, Wärmeleitung, Viskosität) hängen von mittlerer freier Weglänge Λ = 1/( 2nσ) ab, wobei σ = πr 2 A.

7 Aufbau von Atomen Atome müssen aus elektrisch geladenen Teilchen bestehen: elektrolytische Stromleitung in Flüssigkeiten Gasentladungen im Magnetfeld Ladungstrennung z. B. im Hall-Effekt Radioaktivität (Unterschiede α- und β-strahlung)

8 Der Hall-Effekt U H b I = b d j v D I e B U 0 j = n e e v D Ladungsträger (elektronen oder Löcher) werden durch Lorentzkraft e ( v D B) abgelenkt. Daraus ergibt sich eine Ladungstrennung und es baut sich ein elektrisches Feld E Hall auf, welches die lorentzkraft gerade kompensiert. Hall-Spannung U H = E H b.

9 Kathodenstrahlen K + A R + e Kathodenstrahlen gehen von der Kathode (negativer Pol) aus. Sie müssen also negativ geladen sein. Das Verhältnis e/m kann durch Anlegen einer Spannung über dem Kondensator bestimmt werden, oder durch Anlegen eines Magnetfeldes (Fadenstrahlrohr). - L

10 Kanalstrahlen A + Füllgas R K - Ion Mittels Wien-Filter wurde e/m der Kanalstrahlen gemessen (Wien, 1897), es war wesentlich kleiner als bei Kathodenstrahlen, damit mussten die Ionen (Wandernden) wesentlich schwerer als die Elektronen sein. + L

11 Bestimmung der Elementarladung Millikan (1910): Öltröpfchen in Luft zwischen Kondensatorplatten. n e E m g = m g F Auftrieb Tropf bleibt stehen, = F Auftrieb + F Reibung Tropf sinkt mit v = const., F Auftrieb = ρ Luft 4π 3 r3, F Reibung = 6πηrv Stokes. Durch Umladung (n n + n) des Tröpfchens folgt U U + u und n U = (n + n) (U + U) und damit n = n U/(U + U). Minimales N = 1, damit n und e bekannt. = e = C

12 Atomare Massen φ Start MCP Secondary electrons Carbon foil Hyperbola Stop MCP "Vee" Bestimmung der Masse einzelner Atome mittels Massenspektrometern. Links ein Beispiel eines weltraum-gestützten isochronen Flugzeitmassenspektrometers, SWIMS, auf der NASA Mission ACE (Advanced Composition Explorer, Start 1997). Post acceleration V f Stepped E/q analyzer entrance/deflection system Solar wind ions (E,m,q)

13 Data for 2000 counts per channel summed data sum of fits fit to sum not fitted 1000 background not free fitting parameter ADC problem rebinned ToF channel

14 Integraler Streuquerschnitt σ = πr 2 θ Integraler Streuquerscnitt σ definiert als Fläche um Streuzentrum herum, durch die ein Teilchen fliegen muss, um um einen Winkel θ oder mehr gestreut zu werden. dṅ = Ṅ σ n dx Also folgt r dx Ṅ = Ṅ0 e nσx, wo Ṅ 0 = Ṅ(x = 0). Mittlere freie Weglänge Λ. = 1/(nσ))

15 Streuung in dω: Differentieller Streuquerschnitt dn dφ N 2π = bdb dθ da = R 2 dω = R 2 sin θdθdφ dθdφ pro streuendes Teilchen dω dφ db b v dφ r θ R da = 2πbdb n streuende Teilchen pro Fläche A streuen ndx mal mehr in Raumwinkel dω. Total pro Fläche A also dn N tot = ndxb dθ db dθdφ und damit dσ dω = bdb dθ sin 1 θ

16 Das Thomsonsche Atommodell Atom aus positiv und negativ geladenen Elementarteilchen zusammengesetzt. Es ist bekannt, dass die Anzahl von Elektronen im Atom ungefähr mit der Hälfte der Massenzahl A skaliert. Damit das Atom elektrisch neutral ist, muss es auch dem Elektron entgegengesetzte Ladungsträger, Protonen, enthalten. Damit beträgt die Kernladungszahl Z ungefähr A/2. Atome sind elektrisch sehr neutral - würde es uns geben, wenn sie es nicht wären. Eine obere Grenze an die elektrische Neutralität kann einfach gefunden werden (Vergleich mit Reibungskraft, die uns nebeneinander im Hörsaal hält, Vergleich mit molekularen Bindungsenergien, bzw. van der Waals Kräften (die Luft wäre zu dünn zum Atmen!)). Im Thomsonschen Atommodell würde Emission von Licht (elektromagnetischer

17 Strahlung) durch Vibrationen der angeregten Elektronen im Hintergrundfeld der Protonen erklärt. Beispiel: Berechne die Bahn eines Elektrons in einem homogenen Hintergrundsfled eines Thomsonschen Atomkerns. ( 4π 3 a3 r F = 1 4πɛ 0 F = aρe = ka 3ɛ 0 ) e a2, wo ρ die Ladungsdichte ist. also wird das Elektron immer eine harmonische Bewegung im Atom vollführen! Für einen Atomradius von m ergibt sich eine Frequenz ν von ca Hz. Mit λ = c/ν ergibt sich λ 1200Å, also ultraviolette Strahlung. Dummerweise ist die Frequenz und damit die Wellenlänge abhänging von der Größe des Atoms und ist damit vollständig definiert. Es besteht keine Möglichkeit, dass ein Stoff (ein Atom) verschiedene Frequenzen (abgesehen von den harmonischen) emittiert.

18 Streuexperimente Zur genaueren Untersuchung des Atommodells wurden Streuexperimente durchgeführt, in denen He- α liumkernen (Alpha-Teilchen) auf dünne Goldfolien geschossen wurden. Erwartet wurden kleine Ab- θ lenkungen der α-teilchen um einen Winkel, der gemäß dem Prinzip des random walk (siehe Physik I) proportional zur Wurzel der Anzahl streuenden Atome, N, sein sollte, Θ2 = N θ 2,

19 wo Θ 2 die root mean square Ablenkung ist und θ 2 die root mean square Ablenkung durch ein einzelnes Atom ist. Man findet für θ rad. Beispiel: Geiger und Marsden (1909) fanden mit ca.10 6 m dicken goldfolien einen mittleren Ablenkwinkel von ca. einem grad, also etwa rad. Mit N 10 6 m/10 10 m 10 4 folgt eine mittlere Ablenkung pro Atom von ca.10 4 rad, was mit dem Modell übereinstimmt. Mehr als 99% aller α-teilchen wurden in Winkel kleiner als 3 gestreut, aber die Teilchen, die in größere Winkel gestreut wurden waren viel zu häufig! Die Statistik des random walk sagt uns, dass in ein Winkelindervall dθ eine Anzahl N(θ)dΘ = 2IΘ 2 / Θ 2 Θ 2 e Θ dθ

20 gestreut werden muss. Einsetzen für Θ > 90 N(Θ > 90 ) I = N(Θ)dΘ I = e (90)2 = , beobachtet wurden ca Das Modell von Thomson musste falsch sein.

21 Das Rutherfordsche Atommodell Die Schwierigkeiten mit dem Thomsonschen Atommodell wurden durch die Rutherfordschen Experimente offensichtlich und konnten bald durch das Rutherfordsche Atommodell beseitigt werden. In diesem Modell sind schwere Kerne und leichte Elektronen getrennt.

22 Herleitung des Rutherfordschen Streuquerschnittes Aus den geometrischen Beziehungen p i θ/2 b θ p f der Energierehaltung a b = tan θ 2 ; b c = cos θ 2, a E = p2 i 2m = p2 f 2m = p2 A 2m Ze 4πɛ 0 1 c a

23 und der Drehimpulserhaltung L = p i b = p f b = p A (c a) folgt Damit und b = Ze 4πɛ 0 1 2E db dθ = 1 Ze 1 2 4πɛ 0 2E dσ dω = bdσ 1 dθ sinθ = tan θ 2. 1 sin 2 θ 2 ( ) 2 Ze 1 1 4πɛ 0 2E sin 4 θ. 2

24 Franck-Hertz