Franz Embacher. Elemente der theoretischen Physik

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1 Franz Embacher Elemente der theoretischen Physik

2 Franz Embacher Elemente der theoretischen Physik Band 1: Klassische Mechanik und Spezielle Relativitätstheorie Eine Einführung für das Lehramts- und Bachelorstudium STUDIUM

3 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Doz. Dr. Franz Embacher Franz Embacher ist Dozent für theoretische Physik an der Universität Wien. Neben seiner Forschungstätigkeit in allgemeiner Relativitätstheorie, Supergravitation, Stringtheorie, Kosmologie und Quantengravitation entwickelte er seit langem ein besonderes Interesse an der Didaktik der Physik und der Mathematik, zeitgemäßen Lehr- und Lernformen sowie der Modernisierung der im Lehramtsstudium vermittelten Inhalte. Seit vielen Jahren ist er in der mathematischen Grundausbildung der Lehramtsstudierenden aktiv und hält Lehrveranstaltungen zum Thema Moderne Physik und Schule ab. Er ist Mitautor der Mathematik-Plattform Zwischen 2005 und 2010 leitete er das elearning-projekt elearnphysik an der Fakultät für Physik der Universität Wien erschien bei Vieweg+Teubner das von ihm verfasste Lehrbuch Mathematische Grundlagen für das Lehramtsstudium Physik. 1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2010 Lektorat: Ulrich Sandten Kerstin Hoffmann Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne Zustimmung des Verlags unzuläs sig und straf bar. Das gilt ins be sondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN

4 Vorwort von Walter Thirring Jede Generation erlebt die klassische Physik für sich aufs Neue und erarbeitet ihr Verständnis dessen, was eine gute Theorie will und kann. Dieses Verständnis zu übermitteln, verlangt, auf die Bedürfnisse des potentiellen Lesers einzugehen. Durch die Umstellung auf das Bakkalaureatsstudium und die entsprechende Reorganisation der Lehramtsausbildung haben sich neue Anforderungen ergeben. Das vorliegende Buch geht auf die neuen Bedingungen ein. In ihm wird das Wittensche Prinzip verwirklich. Edward Witten ist einer der Physik-Heroen der Gegenwart. Wenn er verrät, wie er an die Spitze gekommen ist, verdient das Aufmerksamkeit. Er sagt: Um in etwas Neues einzudringen, muss man einmal drei Beispiele bis ins kleinste Detail durchrechnen. Erst dann ist man in der Lage, nach allgemeineren Prinzipien Ausschau zu halten. Genau diesen Grundsatz verfolgt das vorliegende Buch. Ausführlichere und zahlreichere Beispiele wird man in anderen Lehrbüchern finden. Aber hier wird der Leser kritisch angeregt, anhand ausgewählter Beispiele grundlegende Prinzipien zu erkennen, und zu verstehen, was eine Theorie ausmacht. Jede Theorie muss von Annahmen ausgehen, aus denen sich dann die Details ableiten lassen. Wie diese Annahmen zu erkennen sind und eventuell zu hinterfragen sein werden, wird dem Leser in eindrucksvoller Weise klar gemacht. Walter Thirring Wien, Juli 2010

5 VI Vorwort des Autors Dieses Buch ist das erste einer auf mehrere Bände geplanten Serie, die versucht, eine Lücke zu füllen. Eine Lücke, die im Lehramtsstudium Physik schon immer bestanden hat und mit der Einführung der neuen europäischen Studienarchitektur (Bachelor Master Ph. D.) in der universitären Physik-Ausbildung generell auftritt: Für das Lehrangebot im Bereich der theoretischen Physik steht im Bachelor- und im Lehramtsstudium nur wenig Zeit zur Verfügung, um die wichtigsten konzeptuellen Grundlagen und mathematischen Strukturen der modernen Physik zu vermitteln. Auch die mathematische Grundausbildung, auf der die theoretische Physik aufbauen sollte, ist von ähnlichen Problemen betroffen. Andererseits sind aber viele der heute in deutscher Sprache erhältlichen Lehrbuchwerke über theoretische Physik am früheren Diplomstudium orientiert und eignen sich hinsichtlich der benötigten mathematischen Voraussetzungen, des formalen Schwierigkeitsgrades und der in ihnen abgehandelten Stofffülle nicht immer optimal zur Begleitung von Lehrveranstaltungen des Bachelor- und Lehramtsstudiums. Die mit dem vorliegenden Buch eröffnete Serie von Bänden versucht, eine angemessene Antwort auf dieses Problem darzustellen. Sie wird die theoretischen Grundpfeiler der Physik, soweit sie im Lehramts- und Bachelorstudium benötigt werden, vermitteln. Besonderes Gewicht liegt hierbei auf dem konzeptuellen Verständnis und auf Zugängen, die sowohl eine adäquate Orientierung über das Ganze des Stoffs als auch in einem sinnvollen Umfang eigenständiges Operieren ermöglichen. Der Einsatz des mathematischen Formalismus ist diesen Zielen untergeordnet. Der erste Band ist den zwei großen Theorieentwürfen gewidmet, die vor dem Siegeszug der Quantentheorie (die der Gegenstand des zweiten Bandes sein wird) entwickelt wurden: der klassischen Mechanik und der Speziellen Relativitätstheorie. Die klassische Mechanik gilt zu unrecht als trocken und langweilig. In ihrem Rahmen hat das Weltbild der neuzeitlichen Physik einschließlich des theoretischen Standpunkts, auf den ein Lehrbuch über theoretische Physik besonderes Gewicht zu legen hat zum ersten Mal Gestalt angenommen. Vordergründig geht es dabei um die quantitative Beschreibung einer Reihe physikalischer Phänomene, die in mechanischen Systeme auftreten. Besondere Bedeutung besitzt die klassische Mechanik aber darüber hinaus, weil in ihr die Art und Weise, wie physikalische Gesetze formuliert und reflektiert werden, besonders klar zum Ausdruck kommt und dabei über manche Strecke mehr als dies in Theorien wie der Elektrodynamik oder der Quantentheorie der Fall ist durch unsere Alltagsvorstellungen unterstützt wird. Insbesondere haben Überlegungen, die über die Formulierung einer Theorie hinausweisen und eher auf der Ebene von Gestaltungsprinzipien für Theorien anzusiedeln sind, die moderne Physik nachhaltig beeinflusst. Sie werden in diesem Buch des Öfteren aufgegriffen, diskutiert und stellen gewissermaßen den roten Faden dar, dem die Entwicklung der Inhalte folgt. Das mit ihnen verbundene Orientierungswissen soll angehenden Physikerinnen und Physikern und angehenden Physik-Lehrkräften ein solides Fundament für ihre Weiterentwicklung und für die Ausübung ihres zukünftigen Berufs ermöglichen. Um diesen Aspekt zu verdeutlichen, sei ein Beispiel erlaubt: Woher kommt eigentlich der Satz von der Erhaltung der Energie? Ist er ein Ausgangspunkt oder eine Folgerung von etwas

6 VII anderem? Falls er ein Ausgangspunkt ist warum wird er dann Satz genannt und nicht Postulat? Falls er eine Folgerung von etwas anderem ist was ist dann dieses Andere? Die Antwort darauf werden Sie in diesem Buch finden. Sie ist verbunden mit dem so genannten Lagrangeformalismus, der oft fälschlicherweise als bloße Umformulierung der Newtonschen Mechanik angesehen wird. Tatsächlich bildet er den Schlüssel zum Verständnis einer Reihe physikalischer Prinzipien, die in unterschiedlichem Gewand auch die späteren physikalischen Theorien wie die Elektrodynamik, die Quantentheorie, die Teilchenphysik und die Allgemeine Relativitätstheorie prägen. Ganz in diesem Sinn wird auch die Speziellen Relativitätstheorie im Hinblick auf ihre Bedeutung für die gesamte nach ihr kommende Physik behandelt. Wann immer möglich, werden die im Mechanik-Kapitel erarbeiteten Methoden angewandt, um nicht nur das umwälzend Neue an der Relativitätstheorie zu verdeutlichen, sondern auch um zu vermitteln, inwieweit sich manche ihrer Strukturen bestens in die klassischen Mechanik einfügen. An manchen Stellen des Buches sind Bezüge zu physikalischen Phänomenen nötig, die als solche nicht in die zwei behandelten Gebiete fallen und gewissermaßen Vorgriffe auf die nachfolgenden Bände darstellen. Insbesondere werden des Öfteren elektromagnetische Felder auftreten (für deren eingehende Behandlung der dritte Band vorgesehen ist). Aufgrund der Vernetzung der physikalischen Teildisziplinen bestünde die Alternative darin, interessante und für die Physik wesentliche Aspekte unter den Tisch fallen zu lassen. Wann immer ein solcher Vorgriff nötig ist, werden Sie gebeten, den einen oder anderen Sachverhalt vorerst einfach zu akzeptieren. Wieviel mathematischer Formalismus ist nötig, um die wichtigsten Elemente der theoretischen Physik in einer für das Bachelor- und Lehramtsstudium geeigneten Weise zu vermitteln? Nach der Aufführung von Wolfgang Amadeus Mozarts Oper Die Entführung aus dem Serail soll der österreichische Kaiser Joseph II mit einem kritischen Unterton bemerkt haben, dass sie gewaltig viel Noten enthalte. Der Komponist antwortete darauf: Gerade so viel als nötig sind, Euer Majestät. So verhält es sich auch mit dem in diesem Buch betriebenen formalen Aufwand. Mathematik ist hier nicht Selbstzweck, sondern dient dazu, (i) physikalische Gesetze zu formulieren, (ii) das Formulierte zu verstehen und (iii) Folgerungen daraus zu ziehen, und zwar jeweils in einer Tiefe, die einem auf das Ganze der Physik zielenden Anspruch angemessen ist. Da sich ein solides Orientierungswissen nicht mit oberflächlichen Mitteln erreichen lässt, wird Ihnen ein bestimmtes Ausmaß an Mathematik nicht erspart bleiben. Um Ihnen dies zu erleichtern, wurde versucht, wichtige formale Argumentationen möglichst transparent darzustellen. Ein mathematischer Anhang mag Ihnen dabei zusätzlich behilflich sein. Lehramts-Studierenden sei versichtert, dass sich dieses Buch nicht als Empfehlung versteht, Physik in der Schule so zu unterrichten, wie Sie es hier lesen werden! Es wird sich dennoch für die souveräne Gestaltung eines spannenden Physikunterrichts bezahlt machen, wenn Sie sich auf die theoretische Sichtweise einlassen, und es wird Ihnen die Aneignung zukünftiger Entwicklungen in der Physik erleichtern. Zu jedem der beiden Kapitel wird eine Reihe von Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades angeboten. Ein Teil davon bezieht sich direkt auf den Text des Buches und soll Sie ein

7 VIII bisschen dazu drängen, wichtige Berechnungen oder Argumentationsschritte selbst durchzuführen. Ein anderer Teil hat den Charakter von Anwendungen, Ergänzungen oder Vertiefungen. Im Anhang finden Sie für die meisten der Aufgaben Lösungen oder Lösungshinweise und in manchen Fällen ausgearbeitete Lösungswege. Generell versucht das Buch, Schwächeren zu helfen und Interessierte zum Nachdenken anzuregen. Um den Kerntext so schlank wie möglich zu halten, sind einige vertiefende Abschnitte und Aufgaben mittels eines Doppelsternsystems als Ergänzungen gekennzeichnet: Ein einfacher Stern kennzeichnet Teile, die nach meiner Einschätzung weniger relevant für Lehramts-Studierende, aber von Interesse für Bachelor-Studierende sind. Ein doppelter Stern kann von allen Leserinnen und Lesern ohne Verlust des Zusammenhangs übersprungen werden. Sowohl für Bachelor- als auch für Lehramts-Studierende soll das Buch nicht nur zur Begleitung einschlägiger Lehrveranstaltungen in theoretischer Physik dienen, sondern auch in späteren Phasen ihres Studiums bzw. in der beruflichen Praxis verwendbar sein. Über Rückmeldungen jeder Art bin ich dankbar. Hinweise auf Fehler werden im Web unter der Adresse veröffentlicht. Franz Embacher Wien, Juli 2010

8 Inhaltsverzeichnis 1 Klassische Mechanik Was bedeutet eigentlich klassisch? Zur Bedeutung mathematischer Modelle Womit beschäftigt sich die klassische Mechanik? Newtonsche Mechanik Bewegung, Geschwindigkeit und Beschleunigung Die Kraft als Ursache der Bewegungsänderung Wovon Kräfte abhängen Die Grundgleichungen der Newtonschen Mechanik Bewegungsgleichungen lösen Definition von Impuls, kinetischer Energie und Drehimpuls Dynamik eindimensionaler Bewegungen Dynamik dreidimensionaler Bewegungen Dynamik von Mehrteilchensystemen Der Zustandsbegriff in der klassischen Mechanik Der Observablenbegriff in der klassischen Mechanik Mechanik des starren Körpers Bezugssysteme und das Raumzeit-Konzept der Newtonschen Mechanik Galileitransformationen und Inertialsysteme Rotierende Bezugssysteme Lagrangeformalismus Ein neuer Zugang das Wirkungsprinzip Beispiel: der harmonische Oszillator Lagrangefunktion Verallgemeinerte Koordinaten und verallgemeinerte Geschwindigkeiten Verallgemeinerte Impulse und die Euler-Lagrange-Gleichungen Symmetrien und Erhaltungssätze Beispiel: Das gravitative Zweikörperproblem und die Keplerbewegung Systeme mit Zwangsbedingungen: Pendelbewegungen Einige weitere Lagrangefunktionen Mehrteilchensysteme und Galilei-Invarianz im Lagrangeformalismus Hamiltonformalismus Hamiltonfunktion Die Hamiltonschen Gleichungen Phasenraum, Wirkungsprinzip und Poissonklammern Kanonische Transformationen Hamilton-Jacobi-Theorie

9 X Inhaltsverzeichnis 1.8 Aufgaben Spezielle Relativitätstheorie Warum eine neue Theorie? Raum und Zeit in relativistischer Sicht Lorentztransformationen Relativistische Effekte von Raum und Zeit Die Raumzeit und ihre Geometrie Relativistische Mechanik Kräftefreie Bewegung Masselose Teilchen Wechselwirkungen, Poincaré-Invarianz und Erhaltungsgrößen Relativistische Bewegung im äußeren elektromagnetischen Feld Relativistische Stoßgesetze Die Äquivalenz von Masse und Energie Vierervektoren, Viererschreibweise und relativistische Kovarianz Die Bedeutung der Speziellen Relativitätstheorie für die Physik Aufgaben Anhang 251 A Lösungen und Lösungstipps zu den Aufgaben 253 A.1 Klassische Mechanik A.2 Spezielle Relativitätstheorie B Mathematischer Anhang 287 B.1 Vektoren B.1.1 Skalarprodukt B.1.2 Einsteinsche Summenkonvention B.1.3 Vektorprodukt B.2 Epsilon-Symbol (Epsilon-Tensor) B.3 Matrizen: Beschreibung von Drehungen und Drehspiegelungen B.4 Krummlinige Koordinaten B.4.1 Ebene Polarkoordinaten B.4.2 Kugelkoordinaten B.4.3 Zylinderkoordinaten B.5 Differenzieren B.5.1 Kettenregel B.5.2 Leibnizsche Kettenregel B.6 Ein bisschen Vektoranalysis B.6.1 Skalar- und Vektorfelder B.6.2 Gradient und Richtungsableitung B.6.3 Rotation B.6.4 Beziehungen zwischen Gradient und Rotation

10 Inhaltsverzeichnis XI B.6.5 Laplace-Operator B.7 Integrieren B.7.1 Volumsintegrale B.7.2 Linienintegrale B.8 Griechisches Alphabet C Einheiten und Konstanten 319 C.1 Massen- und Energieeinheiten C.2 Fundamentale Naturkonstanten C.3 Auf Himmelskörper bezogene Konstanten Index 325