Charles Livingston. Knotentheorie ftir Einsteiger

Transkript

1 Charles Livingston Knotentheorie ftir Einsteiger

2 Charles Livingston Knotentheorie fiir Einsteiger Aus dem Amerikanischen iibersetzt von Frank HauBer II Vleweg

3 Titel der Originalausgabe: Knot Theory Authorized translation from English language edition published by The Mathematical Association of America (Incorporated) Copyright All Rights Reserved. Aile Rechte vorbehalten Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbh, BraunschweiglWiesbaden, 1995 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Das Werk einschiiebiich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf saurefreiem Papier ISBN-13: e-isbn-13: DOl: /

4 v Danksagung Ich danke Don Albers fur die Anregung, dieses Buch zu schreiben und fur seine auberordentliche Geduld, die er seitdem bewiesen hat. Dank schulde ich auberdem meinen Kollegen Jim Davis und Allan Edmonds fur viele wertvolle Ideen und Pat Gilmer und Richard Skora fur ihre wertvollen VorschHige. Kommentare von Thomas Banchoff, Marjorie Senechal und Philip Straffin waren ebenfalls von gro8em Nutzen. Ich bin Swatee Naik, Joel Lash, Steve Paris und Kevin Pilgrim dankbar fur das sorgfaltige Korrekturlesen. Die Ratschlage meines Bruders Eric Livingston und meiner Freundin Elena Fraboschi waren von unschatzbarem Wert, und ich stehe bei ihnen wegen ihrer standigen Unterstiitzung in tiefer Schuld. Elena war mir auberdem in vielerlei Hinsicht beim Erstellen des Manuskripts behilftich, und Mary Jane Wilcox erledigte einen groben Teil des Maschinenschreibens.

5 VI Vorwort Die Knotentheorie ist ein ungewohnliches Gebiet. Einerseits ist ihr Gegenstand jedem vertraut; die schwierigsten Fragen in bezug auf Knoten sind leicht zu formulieren und ergeben sieh so narurlich wie kaum irgendwelche Probleme in der Mathematik. Andererseits scheint das Thema ganz anders zu sein, als die, die fiblicherweise in den Bereich der Mathematik fallen; sogar ausgebildeten Mathematikem ist oft nicht klar, wie strenge mathematische Methoden dazu benutzt werden konnen, die grundlegendsten Fragen fiber Knoten zu modellieren. Dieses Buch beschreibt einige der mathematischen Techniken der Knotentheorie und illustriert ihre Anwendung auf eine Vielzahl von Problemen. In den ersten Kapiteln wird erortert, wie den Knoten eine formale mathematische Beschreibung gegeben werden kann, und es werden drei der grundlegenden Methoden der Theorie vorgestellt, sowie deren Beziehungen untereinander untersucht. Die Darstellung geht dann dazu fiber, Eigenschaften von Knoten zu untersuchen, wobei auch ein genauer Blick auf Symmetrien geworfen wird. Hoherdimensionale Knoten werden als nachstes behandelt. Das Buch schliebt mit einem Uberblick fiber neuere Fortschritte in der kombinatorischen Knotentheorie. Die Erwartungen an mathematische Vorkenntnisse wurden auf ein Minimum beschrankt. Einfache Lineare Algebra wird haufig benutzt und eine gewisse Vertrautheit mit elementarer Gruppentheorie ist gelegentlich gefragt. Die Ubungen sind ein wesentlieher Bestandteil der Darstellung; viele zentrale Ideen werden dort entwiekelt. Noch wiehtiger ist aber, dab die Ubungen Gelegenheit dazu geben, die schone Erfahrung des Arbeitens in der Knotentheorie zu machen. Ziel ist es, einen Querschnitt der vielen faszinierenden Seiten der Knotentheorie vorzustellen; die Themen wurden so ausgewiihlt, dab eine Vielfalt von Techniken und deren Ineinandergreifen gezeigt wird, aber nieht, urn einen vollstandigen Uberblick zu geben. Die Beweise dienen dazu, die Methoden der Theorie zu erlautem, und verwirrende technische Beweisfiihrungen werden gewohnlich zusammengefabt. Die Art der vorgeffihrten Beweise erstreckt sieh von detaillierten Argumentationen bis hin zu kurzen Skizzen. Ffir diejenigen, die dem Material in groberer Tiefe oder Breite nachgehen wollen, geben die Referenzen einen Uberblick fiber die vielen zuganglichen Quellen zu diesem Thema.

6 VII Zusammenfassung des Inhaltes Dieses Buch setzt sich aus drei HauptteiIen zusammen. 1m ersten TeiI, bestehend aus KapiteI 2 bis 5, werden die GrundIagen der Knotentheorie entwickeit. KapiteI 1 behandeit die neuere Geschichte des Studiums der Knoten. Dabei werden einige der interessantesten ProbIeme der Knotentheorie beschrieben. Kapitel 2 konzentriert sich auf die grundlegenden Begriffe der Theorie - die prazise Definition der Knoten und ihrer Deformationen. Dies ist die Stelle, an der man zu sehen beginnt, wie mathematische Methoden bei der Untersuchung von Knoten angewandt werden konnen. In den nachsten drei Kapiteln werden die drei Haupttechniken der Knotentheorie sichtbar: Kapitel 3 ist den kombinatorischen Methoden gewidmet, in Kapitel4 werden geometrische Techniken dargestellt, und Kapitel 5 eriautert algebraische Hilfsmittel. Diese Kapitel zeigen das Wesen der einzelnen Techniken, und auf welche Art von Problemen sie jeweils anwendbar sind. Der zweite Teil stellt fortgeschrittene Themen der Knotentheorie vor. In Kapitel6 werden Beziehungen zwischen den Methoden aus den vorangegangenen Kapiteln beschrieben. Die Ursachen fur diese Beziehungen sind ziemlich tiefliegend und subtil. Daher ist diese Aufgabe heikel, aber die ResuItate gewahren viele neue Einsichten. In KapiteI 7 werden verschiedene Eigenschaften der Knoten vorgestellt. Die Absicht ist hierbei, einige der sehr nattirlichen Fragen, die im Zusammenhang mit Knoten auftauchen, zu beschreiben, und zu erklaren, wie die bisher entwickeiten Methoden detaillierte Antworten auf diese Fragen geben konnen. Kapitel 8 ist dem Studium der Symmetrie gewidmet - eine der schonsten Eigenschaften der Knotentheorie. An dieser Stelle wird die gewaltige Kraft der zuvor entwickelten Techniken besonders offensichtlich. Der dritte Teil ist unabhangig von dem Stoff des zweiten Teils. In diesen abschliebenden Kapiteln werden zwei moderne Aspekte der Theorie untersucht. In Kapitel 9 wird eine EinfUhrung in die hochdimensionale Knotentheorie gegeben und kurz angedeutet, wie man die Methoden der klassischen Knotentheorie anwenden kann. Kapitel 10 beschreibt neuere kombinatorische Methoden. Diese Methoden gehen we it tiber jene aus Kapitel3 hinaus; die Untersuchung dieser kombinatorischen Invarianten ist heute eines der aktivsten und faszinierendsten Gebiete der Knotentheorie.

7 VIII Inhaltsverzeichnis Danksagung Vorwort 1 Ein Jahrhundert Knotentheorie 2 Was ist ein Knoten? 2.1 "Wilde" Knoten und triviale Knoten 2.2 Die Definition eines Knotens Aquivalenz von Knoten, Deformationen. 2.4 Diagramme und Projektionen 2.5 Orientierungen... v VI Kombinatorische Techniken Reidemeister-Bewegungen Farbungen Eine Verallgemeinerung der Farbbarkeit: Etikettierungen modulo p Matrizen, Etikettierungen und Determinanten Das Alexander-Polynom Geometrische Techniken Flachen und Homoomorphismen Die Klassifikation von Flachen Seifert-Flachen und das Geschlecht eines Knotens Chirurgie auf Flachen Zusammenhangende Summen von Knoten und Primzerlegungen 69 5 Aigebraische Techniken Symmetrische Gruppen Knoten und Gruppen Die Konjugation und der Etikettierungssatz Gleichungen in Gruppen und die Gruppe eines Knotens Die Fundamentalgruppe

8 6 Geometrie, Algebra und das Alexander-Polynom Die Seifert-Matrix Seifert-Matrizen und das Alexander-Polynom Die Signatur eines Knotens und andere S-Aquivalenzinvarianten Knotengruppen und das Alexander-Polynom IX 7 Numerische Invarianten 7.1 Zusammenfassung numerischer Invarianten 7.2 Neue Invarianten Zopfe und Brucken Beziehungen zwischen numerischen Invarianten. 7.5 Unabhangigkeit numerischer Invarianten Symmetrien von Knoten 8.1 Amphicheirale und umkehrbare Knoten 8.2 Periodische Knoten Die Murasugi-Bedingungen Periodische Seifert-Flachen und der Satz von Edmonds Anwendungen der Murasugi- und der Edmonds-Bedingungen Hochdimensionale Knotentheorie Die Definition von Knoten in hoheren Dimensionen Drei Dimensionen aus einer 2-dimensiona1en Perspektive dimensionale Querschnitte eines 4-dimensionalen Knotens Scheibenknoten Die Knotenkonkordanzgruppe Neue kombinatorische Invarianten Das Conway-Polynom Neue polynomiale Invarianten Kauffmans Klammerpolynom 194 Anhang 1: Knotentafel 198 Anhang 2: Alexander-Polynome 205 Literaturhinweise 209 Sachwortverzeichnis 213