Biostatistik, Sommer 2017

Transkript

1 1/37 Biostatistik, Sommer 2017 Einführung, Quadratische Gleichungen Prof. Dr. Achim Klenke 1. Vorlesung:

2 2/37 Inhalt 1 Organisatorisches Themen Literatur 2 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) Vorgehen (anspruchsvoll) 3 Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung Potenzen und Wurzeln Bruchrechnung 4 Quadratische Gleichungen Theorie Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht

3 3/37 Organisatorisches Orte, Zeiten, Übungen, Zulassungskriterien,... Übungen: elektronisch via ilias, von Timo Schlüter betreut. Abgabe jeweils bis Freitag. Tutorien für Fragen, Besprechung der Übungsaufgaben, etc. Klausur (Modul 4-1): , Uhr.

4 4/37 Organisatorisches Tutoriumstermine und -räume Es wird vier Tutorien geben. Voraussichtliche Termine: 1 Di 12 14, Raum Lukas Metzdorf 2 Mi 12 14, Raum Lukas Metzdorf 3 Do 14 16, Raum Fabio Frommer 4 Fr 12 14, Raum Fabio Frommer Räume im Institut für Mathematik, Staudingerweg 9 Anmeldung elektronisch.

5 Themen Organisatorisches Themen Wiederholung Schulmathematik Dreisatz, Zahlen, quadratische Gleichungen, Folgen Exponential- und Logarithmusfunktion Differential- und Integralrechnung Beschreibende Statistik Mittelwert, Median, Quantile, Standardfehler Lineare Regression Histogramme etc. Schließende Statistik Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Schätzer Konfidenzintervalle Tests (t, χ 2, Rangtests) 5/37

6 6/37 Organisatorisches Literatur Literaturhinweise (UB Lehrbuchsammlung) 1 Steland, Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung, Springer Bohl, Mathematik in der Biologie, Springer H. Vogt, Grundkurs Mathematik für Biologen, 2. Aufl., Teubner, A. Riede, Mathematik für Biologen, Vieweg, F. Bärlocher, Biostatistik, Thieme, W. Timischl, Biostatistik : eine Einführung für Biologen und Mediziner, 2. Aufl., Springer, W. Köhler, G. Schachtel, P. Voleske, Biostatistik : eine Einführung für Biologen und Agrarwissenschaftler, 4. Aufl., Springer, (Auch als E-Book vorhanden)

7 7/37 Organisatorisches Quellen Diese Vorlesung basiert in Teilen auf Material von Brooks Ferebee (Universität Frankfurt) Gaby Schneider (Universität Frankfurt) Anton Wakolbinger (Universität Frankfurt) Martin Hutzenthaler und Dirk Metzler (LMU München) Matthias Birkner (Uni Mainz)

8 8/37 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) Was ist Mathematik? Mathematik ist Sprache und Kalkül. Drei Schritte: (1) konkretes Problem formalisieren (2) formales Problem lösen (3) formale Lösung im Kontext interpretieren

9 9/37 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) Beispiel: Ansetzen einer chemischen Lösung. Es sollen 20ml einer 2% igen wässrigen Lösung angesetzt werden. Im Regal finden Sie: 15% ige Lösung reines Wasser

10 10/37 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) (1) Formalisieren: Wir definieren Symbole x und y durch x = Volumen der 15% igen Lösung, die verwendet wird y = Volumen des Wassers, das verwendet wird Es ergeben sich zwei Gleichungen 15% x 20 ml = 2%, x + y = 20 ml.

11 11/37 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) 15% x 20 ml (2) Formale Lösung: = 2%, x + y = 20 ml. 15% x 20 ml = 2% = 15% x = 2% 20 ml = x = 2% 15% 20 ml = 8 ml 2.67 ml. 3 Aus der zweiten Gleichung (x + y = 20 ml) folgt y = 20 ml x = 52 ml ml. 3

12 12/37 Mathematik anwenden Vorgehen (einfach) (3) Interpretation Es müssen 2.67 ml der 15% igen Lösung in ml Wasser pipettiert werden.

13 13/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) Anspruchsvollere Verwendung von Mathematik Fünf Schritte: (1) Modell bilden (2) Modell formalisieren (3) formales Modell mathematisch analysieren (4) formale Ergebnisse interpretieren (5) Vergleich mit der Natur bzw. Schätzen von Modellparametern (hier kommt Statistik ins Spiel)

14 14/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) Beispiel: Verseuchung des Edersees. Durch einen Chemie-Unfall ist der Edersee mit PCB verseucht. Konzentration c = 1µg/l. Wie groß ist die Belastung nach einem Jahr?

15 15/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) (1) Modell bilden. Konstanter Wasserzufluss. Jeden Tag durchmischt sich das zugeflossene Wasser komplett mit dem Inhalt des Stausees und fließt dann ab. Alternativen: Das zugeflossene Wasser fließt ab, ohne sich zu durchmischen. Das zugeflossene Wasser verdrängt das vorhandene Wasser....

16 16/37 Mathematik anwenden (2) Modell formalisieren. Volumen des Sees: V = 200 Mio m 3. Zufluss eines Jahres: Z = 600 Mio m 3. Vorgehen (anspruchsvoll) Konzentration am Tag n = 0, 1,..., 365: c n. Speziell c 0 = c = 1µg/l. Modellannahme konstanter Zufluss liefert Zufluss eines Tages: Z T = Z 365. Modellannahme täglich perfekte Vermischung liefert c n+1 = c n V V + Z T.

17 17/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) (3) Formales Modell analysieren. Wir haben c 0 = 1 und V 200 Mio c n+1 = c n = c n V + Z T 200 Mio Mio/365 1 = c n 1 + 3/365. Also 1 c 1 = c /365 ( ) 2 1 c 2 = c /365 = c /365 ( ) 2 1 c 3 = c /365 = c / /365 ( ) 3 1 = c /365

18 18/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) (3) Formales Modell analysieren. Also für jedes n: ( ) n 1 c n = c /365 Speziell ist ( ) c 365 = c 0 = µg/l /365

19 19/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) (4) Formales Ergebnis interpretieren. Nach einem Jahr beträgt die Konzentration PCB im Edersee noch µg/l (falls das Modell realistisch ist).

20 20/37 Mathematik anwenden Vorgehen (anspruchsvoll) (5) Vergleich mit der Realität.

21 21/37 Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung Schreibweisen für reelle Zahlen: 3, 1 2, π, e (das lieben Mathematiker) , , (das versteht der Taschenrechner) 5/3 = 1.6 = = , denn 10 5 = = , denn und 10 4 = E5 = E 4 = (manche ältere Messinstrumente)

22 22/37 Zehnerpotenzen Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung 10 1 Zehn deka da 10 1 dezi d 10 2 Hundert hekto h 10 2 zenti c 10 3 Tausend kilo k 10 3 milli m 10 6 Million mega M 10 6 mikro µ 10 9 Milliarde giga G 10 9 nano n Billion tera T pico p Billiarde peta P femto f Trillion exa E atto a

23 23/37 Zehnerpotenzen Zahlen und Rechenregeln Zahlendarstellung 10 1 Zehn deka da 10 1 dezi d 10 2 Hundert hekto h 10 2 zenti c 10 3 Tausend kilo k 10 3 milli m 10 6 Million mega M 10 6 mikro µ 10 9 Milliarde giga G 10 9 nano n Billion tera T pico p Billiarde peta P femto f Trillion exa E atto a Gelbes Licht, Wellenlänge 440nm = m = m.

24 Zehnerpotenzen Zahlen und Rechenregeln 10 1 Zehn deka da 10 2 Hundert hekto h 10 3 Tausend kilo k 10 6 Million mega M 10 9 Milliarde giga G Billion tera T Billiarde peta P Trillion exa E Zahlendarstellung Stromerzeugung in Deutschland (2015): 646 TWh = Wh = kwh. 1Wh = 3600 J, also wurden erzeugt: 10 1 dezi d 10 2 zenti c 10 3 milli m 10 6 mikro µ 10 9 nano n pico p femto f atto a J = J = 2.32 EJ. 24/37

25 Zahlen und Rechenregeln Potenzen und Wurzeln Für n = 1, 2, 3,... und a R (reelle Zahl) Regeln Wir setzen a n = a a a a a m a n = a m+n. (a m ) n = a mn. a n b n = (ab) n. a 0 = 1 (n Faktoren). und a m = 1 falls a 0. a m Wir definieren n a = a 1/n durch (a 1/n ) n = a falls a 0. Rechenregeln gelten dann auch für a x mit x R. 25/37

26 Bruchrechnung Zahlen und Rechenregeln Bruchrechnung a, b, c, d reelle Zahlen, b, d 0. Rechenregeln a b c = a c b a c b d = a c b d a b d = a b c d a b d = a d b c, falls c 0 a b + c ad + bc =. d b d Brüche Kürzen erfordert Geschick. 26/37

27 27/37 Quadratische Gleichungen Theorie Seien a, b, c reelle Zahlen, a 0. Gesucht: Lösungen von 0 = ax 2 + bx + c. Definiere Diskriminante = b 2 4ac. Quadratische Ergänzung liefert die Lösungen x 1 = b 2a, x 2 = b +. 2a Satz Es tritt stets genau einer der drei Fälle auf: (i) = 0: x 1 und x 2 sind reell und x 1 = x 2. (ii) > 0: x 1 und x 2 sind reell und x 1 x 2. (iii) < 0: Dann sind x 1 und x 2 keine reellen Zahlen.

28 28/37 Beispiel 1 Quadratische Gleichungen Theorie 0 = 2x 2 4x + 2. a = 2, b = 4, c = 2. = b 2 4ac = ( 4) = = 0. Nach dem Satz: Einzige Lösung ist x = b 2a = ( 4) = 1.

29 29/37 Beispiel 1 Quadratische Gleichungen Theorie f (x) = 2x 2 4x + 2. f(x)

30 30/37 Beispiel 2 Quadratische Gleichungen Theorie x 2 3x + 2 = 0. a = 1, b = 3, c = 2. = b 2 4ac = ( 3) = 9 8 = 1 > 0. Nach dem Satz: Die zwei Lösungen sind x 1 = b 2a x 2 = b + 2a = ( 3) 1 2 = ( 3) = 1 = 2.

31 31/37 Beispiel 2 Quadratische Gleichungen Theorie f(x) f (x) = x 2 3x

32 32/37 Beispiel 3 Quadratische Gleichungen Theorie x 2 + 2x + 2 = 0. a = 1, b = 2, c = 2. = b 2 4ac = (2) = 4 8 = 4 < 0. Nach dem Satz: Es gibt keine reellen Lösungen.

33 33/37 Beispiel 3 Quadratische Gleichungen Theorie f (x) = x 2 + 2x + 2. f(x)

34 Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht Idealisierte Population: sehr groß, diploid, hermaphroditisch. Annahme: Neutralität (keine Selektion) rein zufällige Paarungen Mendel sche Segregation zwei Allele A und a Genotypenhäufigkeiten heute: Genotyp AA Aa aa Anteil x AA x Aa x aa (x AA + x Aa + x aa = 1) Allelhäufigkeiten heute Allel A a Anteil p A = x AA x Aa p a = 1 2 x Aa + x aa Genotypenhäufigkeiten in der nächsten Generation? 34/37

35 35/37 Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht Heute: Genotyp AA Aa aa Anteil x AA x Aa x aa Allel A a Anteil p A = x AA x Aa p a = 1 2 x Aa + x aa Nächste Generation: Genotyp AA Aa aa Anteil x AA x Aa x aa Allel A a Anteil p A p a x AA = p2 A p A = p A x Aa = 2 p A p a p a = p a. x aa = p 2 a

36 36/37 Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht Hardy-Weinberg-Gleichgewicht Allelhäufigkeiten sind konstant über die Generationen. Unabhängig von den ursprünglichen Genotyphäufigkeiten stellt sich für die Genotypen AA, Aa, aa nach einer Generation das Verhältnis p 2 : 2p(1 p) : (1 p) 2 ein und ändert sich dann nicht mehr.

37 Quadratische Gleichungen Beispiel: Hardy-Weinberg-Gleichgewicht Hardy-Weinberg Gleichgewicht: Heterozygoten Kann man p A berechnen, wenn man nur den Anteil der Heterozygoten (x Aa ) kennt? also x Aa = 2p A (1 p A ) = 2p A 2p 2 A, p 2 A p A x Aa = 0. Auflösen nach p A (quadratische Ergänzung) gibt p A = 1 ± 1 2x Aa. 2 (Zusatzinformation erforderlich, um die Lösung auswählen, z.b. welches der beiden Allele häufiger ist.) 37/37