Grundlagen der Informatik II

Transkript

1 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1 Professor Dr. Hartmut Schmeck KIT Die Forschungsuniversität in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 elearning Konzept 2 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

3 Lehrvideos Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

4 Lehrbuch Erschienen im September 2016 Einfache praxisorientierte Einführung in die schwierigen (bzw. oft als schwierig empfundenen ) theoretischen Inhalte Verknüpfung mit den Aufgaben des Aufgabenpools Verknüpfung mit dem XWizard Viele Hinweise zu Verständnis und Klausurvorbereitung 4 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

5 Kurzinfo: Neues Bonuskonzept Es können bis zu 5 Zusatzpunkte erreicht werden, die auf eine bestandene Klausur angerechnet werden 1 Punkt pro korrekt gelöster Aufgabe in der Bonusklausur 2 Punkte für: Besuch von 4 von 6 Tutoriumstermine (zum richtigen Termin) und Vorstellen der Lösung einer interaktiven Aufgabe Die interaktiven Aufgaben sind auf den Übungsblättern gekennzeichnet Termin Bonusklausur am Montag, den 15. Januar um 19:30 Uhr Anmeldung per YouSubscribe Start: Anmeldung läuft schon! Ende: Eine nachträgliche Anmeldung ist nicht möglich!!! 5 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

6 Für die Fleißigen Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 2: Endliche Automaten ohne Ausgabe (15 Aufgaben), Kapitel 3: Minimierung endlicher Automaten (7 Aufgaben), Kapitel 4: RL. Gramm. und reg. Ausdrücke (erste 5 Aufgaben), Kapitel 7: Pumping-Lemma (4 Aufgaben: PUM-AA, PUM-AB, PUM-AC, PUM-AF). Auf Übungsblatt 1 (4 Aufgaben) Aufgaben, die mit Für zuhause markiert sind HU-1-1, HU-1-2, HU-1-3, HU-1-4 Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben nutzen Sie die Diskussionsplattformen oder fragen Sie Ihren Tutor. Klick 6 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

7 Für die Fleißigen Weitere Aufgaben zu den Themen dieses Tutoriums Aus dem Aufgabenpool bzw. Übungsbuch: Kapitel 2: Endliche Automaten ohne Ausgabe (15 Aufgaben), Kapitel 3: Minimierung endlicher Automaten (7 Aufgaben), Kapitel 4: RL. Gramm. und reg. Ausdrücke (erste 5 Aufgaben) Kapitel 7: Pumping-Lemma (4 Aufgaben: PUM-AA, PUM-AB, PUM-AC, PUM-AF). Diskussions-Plattformen zu den Aufgaben Auf Übungsblatt 1 (4 Aufgaben) Aufgaben die mit Für zuhause markiert sind HU-1-1, HU-1-2, HU-1-3, HU-1-4 Bei Fragen oder Kommentaren zu allen Aufgaben nutzen Sie die Diskussions-Plattformen oder fragen Sie Ihren Tutor. Klick 7 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

8 Einführungsaufgabe: Grammatiken Was ist eine formale Grammatik? Formales System zur Beschreibung von Sprachen (erzeugend) Beispiel: 4-Tupel: G = (N, T, P, S) Welche Bedeutung haben die Nonterminalsymbole in der Menge N und Terminalsymbole in der Menge T? Ergeben hintereinander geschrieben Symbolketten (Wörter). Symbolketten (oder Teile davon) können durch Regeln/Produktionen aus P in andere Symbolketten überführt werden. Eine abgeleitete Symbolkette w, die ausschließlich aus Terminalsymbolen besteht, heißt Wort der Sprache der Grammatik : w L(G) Was für eine Besonderheit hat das Nonterminalsymbol S? Startsymbol: Mit diesem Symbol beginnt die Ableitung. Was ist die Regelmenge P? Enthält Regeln der Form j y, wobei j und y Symbolketten sind. N = {S, A} T = {a, b} P = { S λ, S SA, A ab} Ableitung: S SA SAA SAAA ababab L(G) Nonterminale Terminale Eine Grammatik generiert Wörter einer Sprache 8 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

9 Einführungsaufgabe: Grammatiken Was ist eine formale Grammatik? Ab S. 143 Formales System zur Beschreibung von Sprachen (erzeugend) Beispiel: 4-Tupel: G = (N, T, P, S) Welche Bedeutung haben die Nonterminalsymbole in der Menge N und Terminalsymbole in der Menge T? Ergeben hintereinander geschrieben Symbolketten (Wörter). Symbolketten (oder Teile davon) können durch Regeln/Produktionen aus P in andere Symbolketten überführt werden. Eine abgeleitete Symbolkette w, die ausschließlich aus Terminalsymbolen besteht, heißt Wort der Sprache der Grammatik : w L(G) Was für eine Besonderheit hat das Nonterminalsymbol S? Startsymbol: Mit diesem Symbol beginnt die Ableitung. Unter diesem Symbol finden Sie einen Verweis zu diesem Thema im neuen Lehrbuch. Theoretische Informatik Nonterminale ganz praktisch (Hier: Ab Seite 143) Was ist die Regelmenge P? Enthält Regeln der Form j y, wobei j und y Symbolketten sind. N = {S, A} T = {a, b} P = { S λ, S SA, A ab} Ableitung: S SA SAA SAAA ababab L(G) Terminale Eine Grammatik generiert Wörter einer Sprache 9 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

10 Aufgabe 1: Grammatiken Geben Sie Grammatiken G 1 und G 2 (vollständig) an, sodass gilt: L(G 1 ) = L 1 und L(G 2 ) = L 2 und geben Sie die Produktion des jeweiligen Testworts an. (a) L 1 = w 0,1 Testwort: 0110 u, v 0,1 : w u00v} Lösung: G = N, T, P, S N = {S} T = {0,1} P = {S λ, S 0, S 1S, S 01S} Skript ID-2734 Testwort: S 01S 011S Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

11 Aufgabe 1: Grammatiken (b) L 2 = w 0,1 + w 1 mod 3 = 0} (Für ein Alphabet * E, w E, a E bezeichne die Anzahl der a s in w.) Testwort: w a Der Bonus ist mit dem Vorstellen einer interaktiven Aufgabe viel leichter zu erreichen! Traut euch! 11 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

12 Aufgabe 1: Grammatiken (b) L 2 = w 0,1 + w 1 mod 3 = 0} (Für ein Alphabet * E, w E, a E bezeichne die Anzahl der a s in w.) Testwort: Drei Lösungsmöglichkeiten (monoton vs. kontextfrei vs. rechtslinear): G = N, T, P, S G = N, T, P, S G = N, T, P, S N = S, E N = {S, E, A} N = S, A, B T = 0,1 T = {0,1} T = 0,1 P = { Testwort: S 0, S 111, S SEEE, S 0S, E 1, 0E E0} Skript ID-2765 S SEEE 0SEEE 00EEE P = { S 0, S EEE, S SS, E A1 A, A AA, A 0, A } S EEE A1 AEE A1 AA1 AE A1 AA1 AA1 A 0E0EE 010EE 0101E AA1 AA1 A 010A1 AA1 A w a MiniEx ID-2794 P = { Skript ID-2799 S 0S 1A0, A 0A 1B, B 0B1S 1} S 0S 01A 010A 0101B Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

13 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Alle Grammatiken, die eine Sprache L vom Typ i erzeugen, sind auch selbst vom Typ i (i {0, 3}). WAHR FALSCH 13 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

14 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Alle Grammatiken, die eine Sprache L vom Typ i erzeugen, sind auch selbst vom Typ i (i {0, 3}). WAHR X FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Eine Grammatik vom Typ i kann eine Sprache vom Typ j mit j i erzeugen, aber nicht vom Typ k mit k < i. Bspw. kann eine Typ-2-Sprache von einer Grammatik vom Typ 1 erzeugt werden, aber nicht von einer Grammatik vom Typ 3, da bei dieser zu starke Einschränkungen der Regelbildung vorliegen. 14 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

15 Einführungsaufgabe: Endlicher Automat Was ist ein Endlicher Automat (EA)? Formales System zur Beschreibung von Sprachen (erkennend) Definieren Sie die Elemente des abgebildeten EA 5-Tupel: A = (E, S, δ, s 0, F) E ist das Eingabealphabet: E = {a, b} S ist die Zustandsmenge des EA (s 0 der Startzustand): S = {s 0, s 1 } ist die Zustandsüberführungsfunktion (durch Diagramm gegeben) F ist die Menge der akzeptierenden Endzustände: F = {s 1 } Ein (endlicher) Automat erkennt Wörter einer Sprache Was ist endlich an einem EA? Menge der Informationen, die er sich über seinen Berechnungsprozess merken kann. Im Ggs. zu anderen Automatentypen hat der EA kein unendliches Arbeitsband, auf dem er Informationen zwischenspeichern kann. 15 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

16 Aufgabe 3: Endliche Automaten (EA) Geben Sie je einen Endlichen Automaten (EA) Ai ( Ei, Si, i, s0i, Fi ) an, sodass gilt: L. Geben Sie diese vollständig an. i L( Ai )für i {3, 4,5} * (Für ein Alphabet E, w E, a E bezeichne die Anzahl der a s in w.) w a (a) L 3 = w 0,1 + w 1 mod 3 = 0} Lösung: Anmerkung: A mit δ 3 : Gleiche Idee wie bei Aufgabe 1(b), rechtslineare Grammatik: ({ 0,1},{ s0,..., s3}, 3, s0,{ 1}) 3 s MiniEx ID-2935 G = N, T, P, S N = S, A, B T = 0,1 P = { S 0S 1A0, A 0A 1B, B 0B1S 1} Ab S Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

17 Aufgabe 3: Endliche Automaten (b) L 4 = w 0,1 w 1 > 0} Lösung: A ({ 0,1},{ s0, s1}, 4, s0,{ 1}) 4 s mit δ 4 : MiniEx ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

18 Aufgabe 3: Endliche Automaten (c) L 5 = w 0,1 w 1 3} Traut euch! MiniEx ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

19 Aufgabe 3: Endliche Automaten (c) L 5 = w 0,1 w 1 3} Traut euch! Lösung: Anmerkung: Hier lohnt es sich, den Automaten für mindestens 4 Einsen zu bauen und dann die End- und Nicht-Endzustände zu invertieren, um den komplementären Automaten, welcher L 5 erkennt, zu erhalten. A ({ 0,1},{ s0,..., s4}, 5, s0,{ s0,..., 3}) 5 s mit δ 5 : Wenn 4 Einsen eingegeben wurden, landet man im Senken-Zustand s 4. Skript ID Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

20 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Zu jeder rechtslinearen Grammatik G gibt es einen endlichen Automaten A, mit L(A) = L(G) und umgekehrt. WAHR FALSCH 20 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

21 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Zu jeder rechtslinearen Grammatik G gibt es einen endlichen Automaten A, mit L(A) = L(G) und umgekehrt. x WAHR FALSCH Entspannender, aber wichtiger Relax-Hintergrund: Die Menge der Sprachen, die von endlichen Automaten erkannt werden können, ist genau dieselbe, wie die der Sprachen, die durch rechtslineare Grammatiken erzeugt werden können. (Es gibt auch Algorithmen, die zu einem endlichen Automaten die zugehörige rechtslineare Grammatik ausgeben und umgekehrt. Die Richtung EA Grammatik ist im XWizard implementiert.) 21 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

22 Einführungsaufgabe: PPL Welche Idee liegt dem Pumping-Lemma (PPL) für EA-Sprachen zugrunde? Ein endlicher Automat A mit n Zuständen muss, um Wörter mit mindestens n Zeichen zu erkennen, mindestens eine Schleife haben. e 1 e e n 1 Beispiel: n e Was folgt daraus? n Dass es eine Zeichenfolge v in einem solchen Wort geben muss, die man pumpen kann, also 0-fach, 1-fach, 2-fach, schreiben, sodass der EA diese resultierenden Wörter auch akzeptiert: uvw L(A) uv i w L(A) für alle i {0, 1, 2, 3, } und? vv Da jede von einem endlichen Automaten erkannte uvv vvw L(A) Sprache diese Eigenschaft hat, kann man das Fehlen dieser Eigenschaft als Beweis ansehen,! dass die Sprache nicht von einem endlichen Automaten erkannt werden kann. Ab S Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

23 Einführungsaufgabe: PPL Welche Idee liegt dem Pumping-Lemma (PPL) für EA-Sprachen zugrunde? Ein endlicher Automat A mit n Zuständen muss, um Wörter mit mindestens n Zeichen zu erkennen, mindestens eine Schleife haben. e 1 e e n 1 Beispiel: n e Was folgt daraus? n Dass es eine Zeichenfolge v in einem solchen Wort geben muss, die man pumpen kann, also 0-fach, 1-fach, 2-fach, schreiben, sodass der EA diese resultierenden Wörter auch akzeptiert: Was ist v in dem Beispiel? uvw L(A) uv i w L(A) für alle i {0, 1, 2, 3, } und? vv Da jede von einem endlichen Automaten erkannte uvv vvw L(A) Sprache diese Eigenschaft hat, kann man das Fehlen dieser Eigenschaft als Beweis ansehen,! dass die Sprache nicht von einem endlichen Automaten erkannt werden kann. Ab S Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

24 Einführungsaufgabe: PPL Welche Idee liegt dem Pumping-Lemma (PPL) für EA-Sprachen zugrunde? Ein endlicher Automat A mit n Zuständen muss, um Wörter mit mindestens n Zeichen zu erkennen, mindestens eine Schleife haben. e 1 e e n 1 Beispiel: n e Was folgt daraus? n Die Schleife kann natürlich Dass auch es früher eine Zeichenfolge v in einem solchen Wort geben muss, die man als bei pumpen Zustand kann, n also 0-fach, 1-fach, 2-fach, schreiben, sodass der EA auftreten diese resultierenden Wörter auch akzeptiert: uvw L(A) uv i w L(A) für alle i {0, 1, 2, 3, } und? vv Da jede von einem endlichen Automaten erkannte uvv vvw L(A) Sprache diese Eigenschaft hat, kann man das Fehlen dieser Eigenschaft als Beweis ansehen,! dass die Sprache nicht von einem endlichen Automaten erkannt werden kann. Ab S Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

25 Aufgabe 6: Pumping-Lemma Zeigen Sie mithilfe des Pumping-Lemmas (PPL), dass kein Endlicher Automat existiert, der L 6 bzw. L 7 erkennt. (a) L 6 = 0 k 1 2k k 1} Lösung: Wähle ein beliebiges n. Dazu das Wort w = 0 n 1 2n L 6. Es ist w n. Betrachte eine beliebige Partition von w bzw. x, y, z mit w = xyz = 0 n 1 2n mit (1) xy n, (2) y 1. Daraus folgt xy = 0 j mit 1 j n, da xy n und y 1, y = 0 k mit 1 k j und x = 0 j k, z = 0 n j 1 2n. Wähle als Pumpvariable i = 2, dann ist xy 2 z = 0 j k 0 2k 0 n j 1 2n = 0 n+k 1 2n L 6. Demnach kann L 6 von keinem EA akzeptiert werden (es existiert also kein EA, der L 6 erkennt). 25 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

26 Aufgabe 6: Pumping-Lemma (b) L 7 = uu u {a, b} } Lösung: Wähle ein beliebiges n. Dazu das Wort w = a n b n a n b n L 7. Es ist w n. Betrachte eine beliebige Partition von w bzw. x, y, z mit w = xyz = a n b n a n b n mit (1) xy n, (2) y 1. Daraus folgt xy = a j mit 1 j n, da xy n und y 1, y = a k mit 1 k j und x = a j k, z = a n j b n a n b n. MiniEx ID-3027 Wähle als Pumpvariable i = 0, dann ist xy 0 z = xz = a j k a n j b n a n b n = a n k b n a n b n L 7. Demnach kann L 6 von keinem EA akzeptiert werden (es existiert also kein EA, der L 7 erkennt). 26 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

27 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit dem Pumping-Lemma für EA-Sprachen kann für eine Sprache L bewiesen werden, dass ein endlicher Automat A existiert, mit L = L(A). WAHR FALSCH 27 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

28 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Mit dem Pumping-Lemma für EA-Sprachen kann für eine Sprache L bewiesen werden, dass ein endlicher Automat A existiert, mit L = L(A). WAHR x FALSCH Entspannender, aber etwas unintuitiver Relax-Hintergrund: Das PPL ist keine Genau-Dann-Wenn -Eigenschaft, sondern gilt nur in eine Richtung: Wird eine Sprache von einem endlichen Automaten erkannt gilt auch das PPL Zu zeigen, dass das PPL für eine Sprache gilt, heißt also nicht zu beweisen, dass es einen EA für die Sprache gibt. Nur wenn es für eine Sprache nicht gilt, gibt es ganz sicher keinen EA für diese Sprache. 28 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

29 Einführungsaufgabe: EA-Minimierung Was ist ein minimaler EA für eine Sprache? Ein Automat, der die Sprache erkennt und höchstens so viele Zustände hat wie jeder andere Automat, der die Sprache erkennt. Wie kann man den minimalen EA zu einer Sprache erzeugen? Man gibt einen beliebigen EA zu der Sprache an, findet heraus, welche Zustände äquivalent sind, und fasst sie zusammen. Wie findet man äquivalente Zustände? Zwei Zustände sind äquivalent, wenn man von beiden ausgehend über dasselbe Wort immer im selben Zustandstyp (Endzustand bzw. Nicht- Endzustand) landet. Ein Algorithmus kennzeichnet zunächst alle Zustandspaare, die nicht 0-äquivalent, dann nicht 1-äquivalent usw. sind, wobei die Zahl 0, 1, für die minimale Wortlänge steht, für die die Zustände sich unterscheiden. Wenn der Algorithmus in einer Iteration keine Veränderung erzeugt, sind alle nicht als nicht äquivalent (X i ) gekennzeichneten Zustände äquivalent. 29 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

30 Aufgabe 8: Minimierung Minimieren Sie den EA A = E, S, δ, s 0, F mit dem aus der Vorlesung bekannten Algorithmus. Es gilt: E = 0,1, S = s 0, s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7, F = s 4 mit δ Skript ID-3081 Traut euch! 30 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1 (Beachten Sie, dass für diese Aufgabe die Minimierungsmethoden im Skript deaktiviert sind.) Ab S. 72

31 Aufgabe 8: Minimierung Lösung: Zustandsübergangsdiagramm des Automaten: 0 1 s 0 s 1 s 3 s 1 s 1 s 2 s 2 s 5 s 5 s 3 s 1 s 6 s 4 s 2 s 4 s 5 s 4 s 4 s 6 s 5 s 7 s 7 s 4 s 4 31 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

32 Aufgabe 8: Minimierung Nun wird die Tabelle erstellt, welche nach Fertigstellung diejenigen Zustände angibt, die äquivalent sind. Beachten Sie hierbei, dass bei der Tabelle nur der Bereich ausgefüllt wird, der unterhalb der Diagonalen liegt. 0 1 s 0 s 1 s 3 s 1 s 1 s 2 s 2 s 5 s 5 s 3 s 1 s 6 s 4 s 2 s 4 s 5 s 4 s 4 s 6 s 5 s 7 s 7 s 4 s 4 s 1 s 2 X3 s 2 X2 X2 s 3 s 3 X3 X2 s 4 X0 X0 X0 X0 s 4 s 5 X1 X1 X1 X1 X0 s 5 s 6 X2 X2 X2 X0 X1 s 6 s 7 X1 X1 X1 X1 X0 X1 s 0 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 1 ~s 3, s 2 ~s 6, s 5 ~s 7 32 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

33 Aufgabe 8: Minimierung Der resultierende minimierte EA hat also folgende Form: A = (E, S,, s 0, F ) mit E = {0, 1}, S = {s 0, s 1, s 2, s 4, s 5 }, F = {s 4 }, mit s 1 {s 1, s 3 }, s 2 {s 2, s 6 }, s 5 {s 5, s 7 } MiniEx ID-3101 : 33 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

34 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Zwei Zustände s und t eines EA sind genau dann k-äquivalent, wenn in der entsprechenden Zelle in der Tabelle des Minimierungsalgorithmus entweder X i mit i > k eingetragen oder die Zelle leer ist. WAHR FALSCH 34 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1

35 Multiple-Choice-Relax-Aufgabe Zwei Zustände s und t eines EA sind genau dann k-äquivalent, wenn in der entsprechenden Zelle in der Tabelle des Minimierungsalgorithmus entweder X i mit i > k eingetragen oder die Zelle leer ist. x WAHR FALSCH Entspannender Relax-Hintergrund: Mehr gibt es dazu nicht zu sagen. Rest des Tages: Relaxen. 35 Grundlagen der Informatik II Tutorium 1