Technische Universität Dortmund

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1 Technische Universität Dortmund FB Mathematik Seminar: Proseminar Lineare Algebra LA-Gym Semester: Wintersemester 2013 Seminarleiter: Prof. Dr. L.Schwachhöfer Metrische Räume 2 Stetige Abbildungen / Konvergente Folgen Referent(in): Michael Holzäpfel Matrikelnummer: michael.holzaepfel@tu-dortmund.de Studiengang: Lehramt BK (Mathematik, Informatik), LPO 2003 Fachsemester: 6

2 Inhaltsverzeichnis 1. Stetige Abbildungen 3 2. Konvergente Folgen 8 3. Trennungseigenschaften in Metrischen Räumen Literatur 14 2

3 1. Stetige Abbildungen 1.1 Definition Es seien (X, d) und (X, d ) metrische Räume. Eine Abbildung f: X X heißt stetig in x X, wenn es für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass aus d(x, x) < δ folgt d f x, f x < ε für jedes x. Wenn f in jedem Punkt x X stetig ist heißt f stetig auf X. Anschauliche Hilfe: Kleine Änderungen der Argumente führen nicht zu großen Änderungen der Funktionswerte. Beispiel anhand der Betragsfunktion: R R, f x = x = x, x 0 x, x < 0 Betragsfunktion mit der Stelle x 0 =2 Der Graph der Funktion f x = x ist rot eingezeichnet. Der horizontale güne Streifen legt fest, wie stark f(x) von f(x ) abweichen darf. Der vertikale gelbe Streifen gibt an, wie nahe x bei x liegen muss, um zu erreichen, dass der Punkt (x, f(x)) innerhalb des gestreiften Bereiches liegt. Es liegt dann der gesamte Abschnitt des Graphen, der den Stellen x mit d x, x < δ entspricht, innerhalb des gestrichelten Bereiches. Das Verhalten der Funktion in größerer Entfernung von der Stelle x ist irrelevant für die Beurteilung der Stetigkeit an dieser Stelle. 3

4 Als Metrik wird die Euklidische Metrik angenommen, daher gilt: d x, x = x x. x R: Sei ε > 0 vorgegeben, dann gilt für δ = ε: Voraussetzung: d x, x < δ Die Betragsfunktion ist somit stetig. f x f x = x x x x = x x < δ = ε 1.2 Beispiele für (nicht) stetige Funktionen Beispiel 1, stetige Funktion R R R R, x x sin 1 x, x 0 0, x = 0 Beweis: Sei ein ε > 0 gegeben; gesucht sei ein δ > 0 mit 0 < x < δ woraus folgt x sin < ε. Setze ε = δ: dann gilt für x mit 0 < x < δ: x sin 1 x 0 = x sin 1 x = x sin 1 x x Die Funktion ist daher stetig. < δ = ε 4

5 1.2.2 Beispiel 2, unstetige Funktion R R R R, x sin 1 x, x 0 0, x = 0 Beweis: Man betrachte die Menge M= x R: sin = 1 und die Folge x = Die ". Folge x konvergiert gegen 0, man findet aber immer ein f(x ) M für ein beliebig großes x, d.h. wegen der gegen 0 stärker werdenden Oszillation der Funktion lässt sich immer ein Funktionswert nahe 0 finden, der den Wert 1 annimmt Beispiel 3, unstetige Funktion R R R R, (x, y) xy x, (x, y) 0 + y 0, (x, y) = 0 5

6 Anschaulicher Beweis der Unstetigkeit : 1. Überlegung: Welche Stellen sind problematisch? Punkte, bei denen der Nenner des Bruchs 0 wird (wg. Definitionsbereich), hier also x + y = 0. Dies gilt in R nur, wenn x = 0 und y = 0 sind, also im Punkte (0,0). Hier gilt wenn x, y = 0, dann f x, y = 0 heißt, der Funktionswert an der Stelle x = (0,0) ist 0 2. Überlegung: Was passiert, wenn sich x und y dem Wert 0 nähern? Durch gleichsetzten von x = y, erhält man: xy x + y = x 2x = 1 2 Man erhält an der Stelle (0,0) den Grenzwert, der Funktionswert an der Stelle (0,0) ist vorgegeben. Da der Grenzwert f x, x = von f 0,0 = 0 verschieden ist, ist die Funktion nicht stetig Beispiel 4, stetige Funktion R R R R, (x, y) x y x, (x, y) 0 + y 0, (x, y) = 0 6

7 1.3 Grundlegende Eigenschaften stetiger Funktionen Sind 𝑓: 𝑋 𝑌 und 𝑔: 𝑌 𝑍 stetige Räumen, so ist 𝑔 𝑓 stetig. (𝑋, 𝑑) sei ein metrischer Raum. Sind 𝑓, 𝑔: 𝑋 ℝ stetig, so sind auch folgende Abbildungen von 𝑋 ℝ stetig: o o o o o Abbildungen zwischen metrischen 𝑓 + 𝑔 :𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 :𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑓 :𝑥 𝑓 𝑥 ℎ : 𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑓 𝑥, 𝑔 𝑥 ℎ : 𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝑓 𝑥, 𝑔 𝑥 i) Beweis zu 𝑓: 𝑋 𝑌 und 𝑔: 𝑌 𝑍 stetige 𝑔 𝑓 stetig Sei ein 𝜀 > 0 gegeben; 𝑥 𝑋, 𝑦 𝑓(𝑥 ) 𝑌 da 𝑔 stetig ist, existiert ein 𝛿 > 0 so dass aus 𝑑(𝑦, 𝑌) < 𝛿 folgt 𝑔 𝑦, 𝑔 𝑦 𝜀. da 𝑓 stetig ist existiert ein 𝜎 mit 𝑑 𝑓 𝑥, 𝑓 𝑥 𝑑 𝑓 𝑥, 𝑓 𝑥 < < 𝛿 für alle 𝑥 mit 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝜎, < 𝛿, d.h. 𝑑 𝑓 𝑥, 𝑓 𝑥 <𝛿 für alle 𝑥 mit 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝜎 gilt 𝑑 𝑔(𝑓 𝑥 ), 𝑔(𝑓 𝑥 ) < 𝜀. 𝑔 𝑓 stetig ii) Beweis: 𝑓 + 𝑔 :𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 : Seien 𝑓 𝑥 und 𝑔 𝑥 2 stetige Funktionen, dann ist auch 𝑓 + 𝑔 stetig. Sei 𝜀 > 0, und 𝜀 = 𝜀 = Sei 𝛿 so gewählt, dass für 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝛿 gilt 𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) < 𝜀 und sei 𝛿 so gewählt, dass für 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝛿 gilt 𝑔 𝑥 𝑔(𝑥) < 𝜀 wobei 𝛿 und 𝛿 nach Voraussetzung existieren. Definiere 𝛿: = min 𝛿, 𝛿, dann folgt für alle 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝛿 𝑓 + 𝑔 𝑥 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 ) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 ) 𝑔(𝑥) (𝑓 𝑥 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 𝑔(𝑥) 𝜀 + 𝜀 = 𝜀 7

8 1.4 Satz Eine Abbildung 𝑓: (𝑋, 𝑑) (𝑋, 𝑑 ) ist genau dann stetig in 𝑥 𝑋, wenn das Urbild jeder Umgebung von 𝑓 𝑥 eine Umgebung von 𝑥 ist. 𝑓 ist genau dann in 𝑋 stetig, wenn für jede offene (abgeschlossene) Menge aus 𝑋 das Urbild in 𝑋 offen (abgeschlossen) ist. WDH: offene Kugel, Umgebung 𝐵 𝑎, 𝑟 = 𝑥 𝑋: 𝑑 𝑎, 𝑥 < 𝑟 heißt offene Kugel um 𝑎 𝑈 𝑋 heißt Umgebung von 𝑎 𝑋 genau dann wenn die offene Kugel um 𝑎 eine Teilmenge von 𝑈 ist ( 𝑟 > 0 sodass 𝑥 𝑋 mit 𝑑 𝑥, 𝑎 < 𝑟 𝑥 𝑈) Beweis: " Voraussetzung: 𝑓: (𝑋, 𝑑) (𝑋, 𝑑 ) ist stetig in 𝑥 𝑋 U ist Umgebung von 𝑓 𝑥, d.h. 𝜀 > 0, 𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 𝑈 𝑓 (𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) 𝑓 (𝑈) aus Stetigkeit in 𝑥 folgt: 𝛿 > 0, 𝑑(𝑥, 𝑥) < 𝛿 𝑑 𝑓 𝑥, 𝑓 𝑥 < 𝜀 𝑥 𝐵(𝑥, 𝛿) 𝑓(𝑥)𝜖𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) 𝐵(𝑥, 𝛿) 𝑓 (𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) 𝑓 (𝑈) Es gibt also ein 𝛿 > 0, so dass 𝐵 𝑥, 𝛿 𝑓 (𝑈) und somit ist 𝑓 (𝑈) eine Umgebung von 𝑥. " Voraussetzung: Sei 𝜀 > 0 gegeben, sei 𝑈 = (𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) und nach Voraussetzung ist 𝑓 (𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) eine Umgebung von 𝑥. Dann folgt 𝛿 > 0 mit 𝐵(𝑥, 𝛿) 𝑓 (𝐵(𝑓 𝑥, 𝜀) 𝑓 𝐵 𝑥, 𝛿 𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 falls 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝛿 𝑥 𝐵 𝑥, 𝛿 𝑓(𝑥) 𝑓(𝐵(𝑥, 𝜀)) Dies ist äquivalent zur Stetigkeit von 𝑓 in 𝑥. 8

9 2. Konvergente Folgen WDH: Definition Eine Folge ist eine Abbildung aus den natürlichen Zahlen ℕ oder ℕ in eine beliebige Wertemenge 𝑋. ℕ 𝑋 𝑎 𝑛 𝑎 Sehr häufig ist 𝑋 eine Zahlenmenge, z.b. ℝ oder ℤ. Man spricht dann konsequenter Weise von Zahlenfolgen. In dem Zusammenhang ist eine weitere gebräuchliche Schreibweise (𝑎 ) ℕ. 2.1 Definition Eine Folge (𝑥 ) ℕ in einem metrischen Raum (𝑋, 𝑑) heißt konvergent gegen 𝑥 𝑋, in Zeichen (𝑥 ) 𝑥, wenn es zu jedem 𝜀 > 0 ein 𝑁(𝜀) ℕ gibt mit 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝜀 für alle 𝑛 𝑁(𝜀). Der Punkt 𝑥 heißt Grenzwert der Folge (𝑥 ). Ein Punkt 𝑦 𝑋 heißt Häufungspunkt der Folge (𝑥 ), wenn in jeder Umgebung von 𝑦 unendlich viele Folgeglieder liegen, d.h. für unendlich viele 𝑛 liegen 𝑥 in der Umgebung. 2.2 Satz Eine konvergente Folge in einem metrischen Raum hat höchstens einen Grenzwert Beweis: Annahme: es existieren 2 zwei Grenzwerte 𝑥 und 𝑥 der Folge (𝑥 ) ℕ Dann existiert für alle 𝜀 > 0 ein 𝑁 ℕ mit der Eigenschaft, dass 𝜀 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝑛 𝑁 2 Da aber auch 𝑥 ein Grenzwert der Folge sein soll, existiert für alle 𝜀 > 0 ein 𝑁 ℕ mit der Eigenschaft, dass 𝜀 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝑛 𝑁 2 Sei 𝑛 𝑚𝑎𝑥 𝑁, 𝑁 Die Abschätzung 𝑑(𝑥, 𝑥 ) 𝑑(𝑥, 𝑥 ) + 𝑑(𝑥, 𝑥 ) < 𝜀 𝜀 + = 𝜀 2 2 ergibt : 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝜀 für jedes 𝜀 > 0 Daraus folgt: 𝑑(𝑥, 𝑥 ) = 0 𝑥 = 𝑥 9

10 2.3 Beispiele Die Folge (( 1) ) ℕ hat die Häufungspunkte 1 und -1, sie hat aber keinen Grenzwert. In metrischen Räumen lassen sich Begriffe wie abgeschlossen und Stetigkeit durch konvergente Folgen beschreiben. 2.4 Satz Es seien 𝑋, 𝑑 und 𝑋, 𝑑 metrische Räume und 𝐴 𝑋. a) 𝑥 𝐴 gilt genau dann, wenn es eine Folge (𝑥 ) ℕ in 𝐴 gibt, die gegen x konvergiert. b) Eine Abbildung 𝑓: (𝑋, 𝑑) (𝑋, 𝑑 ) ist genau dann stetig in 𝑥 𝑋, wenn für jede gegen 𝑥 konvergierende Folge (𝑥 ) ℕ die Folge 𝑓(𝑥 ) ℕ gegen 𝑓(𝑥) konvergiert. WDH: innerer Punkt, Randpunkt, abgeschlossene Hülle 𝑥 ist innerer Punkt von 𝐴 𝐴 ist Umgebung von 𝑋, d.h. 𝑈(𝑥) mit 𝑈(𝑥) 𝐴. 𝑥 ist Randpunkt von 𝐴 jede Umgebung 𝑈(𝑥) hat wenigstens einen Punkt mit 𝐴 und einen Punkt mit 𝐴 gemeinsam 𝐴 {innere Punkte von A} heißt das Innere von 𝐴. 𝐴 {Randpunkte von A} heißt der Rand von 𝐴. 𝐴 {innere Punkte und Randpunkte von A} heißt abgeschlossene Hülle von 𝐴. Beweis: a) " Sei 𝑥 𝐴. Dann ist wegen 𝐴 = 𝑥 𝑋: 𝑈 𝐴 𝑈 𝑈(𝑥) 𝐵(𝑥, ) für alle 𝑛 ℕ. Wähle (𝑥 ) ℕ 𝐴 𝐵(𝑥, ).Dann ist 𝑑 𝑥, 𝑥 Somit ist lim 𝑥 = 𝑥. " Sei lim 𝑥 = 𝑥 mit 𝑥 𝐴. Sei 𝑈 𝑈 𝑥. Dann gibt es ein 𝑛 sodass 𝑥 𝑈 für alle 𝑛 > 𝑛. Aus 𝐴 = 𝑥 𝑋: 𝑈 𝐴 𝑈 𝑈 𝑥 𝑥 𝐴. 𝐴 <. ℕ, folgt b) Sei 𝑓 stetig in 𝑥 und in (𝑥 ) ℕ 𝑥 𝑋. Für die offene Kugel 𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 ist 𝑓 (𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 ) eine offene Umgebung von 𝑥. Daher gibt es ein 𝑛 ℕ mit 𝑥 𝑓 (𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 ), also auch 𝑓(𝑥 ) 𝐵 𝑓 𝑥, 𝜀 für alle 𝑛 𝑛, d.h. 𝑓(𝑥 ) ℕ 𝑓(𝑥). Ist 𝑓 nicht stetig in 𝑥 𝑋, so gibt es ein 𝜀 > 0 mit 𝑓(𝐵 𝑥, 𝛿 ) 𝐵(𝑓(𝑥), 𝜀) für alle 𝛿 > 0. Zu jedem 𝑛 ℕ existiert daher ein 𝑥 𝐵(𝑥, ) mit 𝑓(𝑥 ) 𝐵(𝑓(𝑥), 𝜀). Also konvergiert 𝑓(𝑥 ) ℕ nicht gegen 𝑓(𝑥). 2.5 Definition Eine Folge (𝑥 ), ℕ in einem metrischen Raum (𝑋, 𝑑) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem 𝜀 > 0 ein 𝑁(𝜀) ℕ gibt, mit 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝜀 für alle 𝑝, 𝑞 𝑁 𝜀. Eine CauchyFolge ist also eine Folge, deren Elemente mit zunehmenden Index immer weiter zusammenrücken. 10

11 2.6 Satz Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Beweis: Sei (𝑥 ), 𝑛 ℕ eine konvergente Folge mit Grenzwert 𝑥, dann gibt es für alle 𝜀 > 0 ein 𝑁(𝜀) ℕ mit 𝑑 𝑥, 𝑥 < für alle 𝑛 > 𝑁(𝜀) 𝑑 𝑥, 𝑥 < für alle 𝑛 > 𝑁(𝜀) Daraus folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung: 𝑑 𝑥, 𝑥 𝑑 𝑥, 𝑥 + 𝑑 𝑥, 𝑥 < 𝜀 für alle 𝑝, 𝑞 𝑁 𝜀 3. Trennungseigenschaften in Metrischen Räumen WDH: Abstand zweier Teilmengen Seien 𝐴, 𝑋. Der Abstand von 𝐴 und 𝐵 ist definiert durch: 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑖𝑛𝑓{𝑑(𝑥, 𝑦) 𝑥 𝐴, 𝑦 𝐵} Wenn 𝐴 eine einelementige Menge (𝐴 = {𝑥}) ist gilt: 𝑑(𝑥, 𝐵) = 𝑑(𝐴, 𝐵). 3.1 Satz In einem metrischen Raum (𝑋, 𝑑) gilt: a) Zwei verschiedene Punkte 𝑥,𝑥 𝑋 besitzen disjunkte Umgebungen. 2 verschiedene Punkte,disjunkte Umgebung 1 11

12 b) Sind 𝐴, 𝑖 = 1,2, disjunkte, abgeschlossene Teilmengen von 𝑋, so gibt es disjunkte, offene Mengen 𝑂, 𝑖 = 1,2, mit 𝑂 𝐴. Disjunkte, abgeschlossene Teilmengen 1 c) Sind 𝐴 und 𝐵 abgeschlossene, disjunkte, nichtleere Teilmengen von 𝑋, so gibt es eine stetige Funktion 𝑓: 𝑋 0,1 mit 𝑓 𝐴 = 0 und 𝑓 𝐵 = 1. Disjunkte, abgeschlossene Teilmengen 2 Beweis: a) Zu zeigen: 𝑥,𝑥 𝑋, 𝑥 𝑥 Umgebung 𝑈 von 𝑥 und Umgebung 𝑉 von 𝑥, so dass 𝑈 𝑉 =. 𝑥 𝑥 𝑑 𝑥, 𝑥 = 𝑟 > 0. Wähle 𝜀 < und 𝐵(𝑥, 𝜀) = 𝑈 und 𝐵(𝑥, 𝜀) = 𝑉. Damit ist sichergestellt, dass 𝑈 𝑉 =, denn: sei 𝑧 𝑈 dann: 2𝜀 < 𝑑 𝑥, 𝑥 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑥 < 𝜖 + 𝑑 𝑧, 𝑥 𝑑 𝑧, 𝑥 > 𝜀, also 𝑧 𝐵(𝑥, 𝜀) b) 𝑥 𝐴 𝑟 > 0 mit 𝐵 𝑥, 2𝑟 𝐴 =, 𝑖, 𝑗 1,2, 𝑖 𝑗.Die 𝐵(𝑥, 𝑟) sind wie gefordert offen und disjunkt. Mengen 𝑂 = 12

13 c) f x = (,), (,), liegt x in A dann gilt wegen Abgeschlossenheit der Mengen A, B, dass d x, A = 0 f x = 0. Liegt x in B gilt wegen Abgeschlossenheit: d x, B = 0 f x = d(x, A) d x, A + 0 = 1 Da die Mengen A und B disjunkt und abgeschlossen sind, ist der Nenner der Funktion immer 0. f ist somit nach 1.4 stetig und 0 f(x) 1. 13

14 4. Literatur Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN Mengentheoretische Topologie, Martin Ewers, Ausarbeitung/Skript / 15.oo Uhr) Elemente der Topologie, Wolfgang Arendt, Universität Ulm, gie.pdf.( , 15.oo Uhr) 14