A.1 Grundlagen und intitutioneller Rahmen. s=0. 1. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Nutzenfunktion!

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1 Anhang A Aufgabensammlung A.1 Grundlagen und intitutioneller Rahmen Aufgabe 1: Die Konsum Euler Gleichung Ein Haushalt habe in jeder Periode t eine Nutzenfunktion u t (.) nur abhängig vom gegenwärtigen Konsum C t U t = E t s=0 β s 1 1 σ C1 σ t+s Sein Einkommen besteht aus dem Output Y t und einer Anleihe B t, die in der B Vorperiode zum Preis t 1+i t 1 erworben wurde, wobei i t 1 der Nominalzins ist. Seine Ausgaben sind gegenwärtiger Konsum C t, sowie neue Anleihen. 1. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Nutzenfunktion! 2. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts aus! 3. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf, die zur Maximierung des erwarteten Lebensnutzens notwendig ist. Dabei soll zukünftiger Nutzen pro Periode mit dem Faktor 0 < β < 1 diskontiert werden. 4. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für das Optimierungsproblem. 5. Wie lautet die Konsum-Euler-Gleichung in diesem Modell? 6. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Konsum Euler Gleichung! 111

2 112 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 2: Differenzgleichungen Ricardianische Äquivalenz besagt, dass Konsumenten zukunftsorientiert planen und daher wissen, dass eine Erhöhung der Staatsverschuldung in der Gegenwart stets mit einer Steuererhöhung in der Zukunft verbunden ist um die Staatsschuld zurückzuzahlen. Veränderung von Steuersatz und Staatsverschuldung sind äquivalent. Betrachten außerdem Sie die folgende Budgetbedingung des Staates G t + (1 + r t )D t = T t + τ t Y t + D t+1 In jeder Periode kauft der Staat Güter und Dienstleistungen G t und zahlt (1+r t )D t an Zinsen auf ausstehende Staatsschuld. Die Regierung finanziert diese Ausgaben durch eine pro Kopf-Steuer T t, Einkommensteuern 0 < τ t < 1 und Aufnahme neuer Kredite D t+1. Betrachten Sie die folgende Budgetbedingung eines repräsentativen Agenten C t + D t+1 = (1 + r t )D t + (1 τ t 1 )Y t T t Das Einkommen des Agenten besteht aus dem Output Y t und Bonds D t. r t ist der reale Zinssatz. Der Agent verwendet sein Einkommen für gegenwärtiger Konsum C t und Ersparnis D t+1. Nehmen Sie an, dass r t = r und τ t = Leiten Sie die intertemporale Budgetgleichung des Staates her! 2. Leiten Sie die intertemporale Budgetgleichung des Agenten her! 3. Unter welcher Annahme gilt die Ricardianische Äquivalenz?

3 A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN 113 Aufgabe 3: Nehmen Sie an, dass ein risikoaverser Investor ein Portfolio aus (riskanten) nominalen und realen Bonds hält. Die Inflationsrate sei Normalverteilt. Der Investor sei durch die folgende Nutzenfunktion charakterisiert u(c) = 1 γ exp( γc) 1. Diskutieren Sie die Eigenschaften der Nutzenfunktion! 2. Bestimmen Sie den Anteil riskanter 0 < α < 1 und risikofreier Wertpapiere im optimalen Portfolio. 3. Nehmen Sie an das γ = 0, 05, σ 2 π = 0, 64 und α = 0, 97. Bestimmen Sie die Risikoprämie auf riskante Wertpapiere und interpretieren Sie das Ergebnis! Aufgabe 4: Lineare Algebra - der OLS Schätzer Betrachten Sie das folgende Regressionsmodell y 1 1 x 12 x 1k β 1 ɛ 1... = y t ɛ t... 1 x t2 x tk Unter welchen Annahmen ist der OLS-Schätzer BLUE? Leiten Sie den OLS- Schätzer für k = 2 in Summen- und Matrixschreibweise her. Warum ist bei mehr als zwei erklärenden Variablen die Matrixschreibweise sinnvoller?... β k

4 114 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 5: Intertemporale Optimierung; 2 Perioden Ein Haushalt gewinnt ausschliesslich durch Konsum Nutzen, U(c t ) = ln C t. Nehmen Sie an, der Haushalt lebt zwei Perioden und disktontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate β. Der Haushalt erhält in beiden Perioden ein Einkommen von Y t. Zudem kann er in der ersten Periode sparen um in der zweiten Periode ein zusätzliches Einkommen von (1 + r 1 )B 1 zu erhalten. 1. Stellen Sie die Nutzenfunktion des Haushalt über zwei Perioden dar 2. Stellen Sie die Budgetbeschränkung des Haushalts dar 3. Stellen Sie die Lagrangefunktion des Haushalt auf und bestimmen Sie die optimale Verwendung des Konsums in beiden Perioden. Aufgabe 6: Intertemporale Optimierung; unendlicher Horizont Nehmen Sie an, der Haushalt aus Aufgabe 2, lebt nun unedlich lange. 1. Stellen Sie die Nutzenfunktion des Haushalt über den unendlichen Zeitraum dar 2. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalt dar. Nehmen Sie dabei an, dass der Haushalt bereits Einkommen aus Bonds in Höhe von (1 + i t 1 )B t 1 geerbt hat. 3. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf und ermitteln Sie die Konsum-Euler Gleichung

5 A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN 115 Aufgabe 7: Intertemporale Budgetrestriktion Betrachten Sie die folgende Budgetbedingung eines repräsentativen Agenten B t + M t P t + C t = (1 + r t 1 )B t 1 + M t 1 P t + Y t Das Einkommen des Agenten besteht aus seinem Lohn Y t, Anleihen B t 1 und nominaler Geldhaltung M t 1 aus der Vorperiode. Der Agent verwendet sein Einkommen für Konsum C t, Kauf neuer Anleihen B t und nominale Geldhaltung M t. 1. Schreiben Sie die Budgetrestriktion für zwei Perioden fort und setzten Sie diese rekursiv ein. Zeigen Sie, dass sich damit folgende intertemporale Budgetbedingung ergibt: s=t ( ) s t [ 1 C s + i ] s M s = (1 + r)b t 1 + M t r 1 + i s P s P t Hinweis: Verwenden Sie die Fisher-Gleichung wie folgt: i t P t = i t P t+1 (1 + r t ) s=t ( ) s t 1 Y s 1 + r Aufgabe 8: Differenzengleichung erster Ordnung Betrachten Sie folgende Differenzengleichung erster Ordnung: x t+1 = ax t + b t für t = 0, 1,..., T Wobei a eine beliebige Konstante ist und x 0 bekannt ist. 1. Ermitteln Sie durch Vorwährtsiteration den Wert für x T. 2. Nehmen Sie nun an, dass b t = b t = 0, 1,..., T gilt. Welche Annahmen müssen über a getroffen werden, damit die Folge x t, x t+1, x t+2,..., x T konvergiert?

6 116 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 9: Zeitinvarianz des Fisher-Indexes Zeigen Sie anhand des folgenden Beispiels, dass der Fisher-Preisindex zeitinvariant ist, der Laspeyers und der Paasche Preisindex jedoch nicht! Was versteht man unter der Zeitinvarianz und Faktorinvarianz von Preisindizes? Preis Menge t t + 1 t t + 1 Gut Gut Gut Aufgabe 10: Intertemporale Optimierung; unendlicher Horizont Ein Haushalt erlangt nun auch durch Geldhaltung Nutzen, damit hat er folgende Nutzenfunktion: U(C t, M t P t ) = ln C t ɛ ( ) 1 ɛ Mt C t ist der Konsum, M t die nominale Geldmenge, P t das Preisniveau, ɛ > 0 ein positiver Parameter und 0 < β < 1 der Diskontfaktor. Das Einkommen des Agenten besteht aus seinem Lohn Y t, Anleihen B t 1 und nominaler Geldhaltung M t 1 aus der Vorperiode. Der Agent verwendet sein Einkommen für Konsum C t, dem Kauf neuer Anleihen B t und nominaler Geldhaltung M t. 1. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts auf 2. Welche intertemporale und welche intratemporale Entscheidung muss der Haushalt treffen um seinen Nutzen zu maximieren? 3. Ermitteln Sie die Bedingungen erster Ordnung und interpretieren Sie diese P t

7 A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN 117 Aufgabe 11: Ein repräsentativer Haushalt habe in jeder Periode t eine Nutzenfunktion u t (.) nur abhängig vom gegenwärtigen Konsum C t U t (j) = E t s=t β s t ln C s Sein Einkommen besteht aus dem Output Y t und einer Anleihe B t, die in der B Vorperiode zum Preis t 1+i t 1 erworben wurde, wobei i t 1 der Nominalzins ist. Seine Ausgaben sind gegenwärtiger Konsum C t, sowie neue Anleihen. 1. Stellen Sie die Lagrangefunktion auf, die zur Maximierung des erwarteten Lebensnutzens notwendig ist. Dabei soll zukünftiger Nutzen pro Periode mit dem Faktor 0 < β < 1 diskontiert werden. 2. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für das Optimierungsproblem. 3. Wie lautet die Konsum-Euler-Gleichung in diesem Modell? Aufgabe 12: Ein Haushalt habe folgende Nutzenfunktion für die Güter c 1,2 u (c 1, c 2 ) = c α 1 1 c α 2 2. Die Güterpreise seien p 1,2. Der Haushalt konsumiert ein gegebenes Einkommen y. Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion. Aufgabe 13: Ein Haushalt habe folgende Perioden-Nutzenfunktion u (c t ) = γ c1+γ t. Der Haushalt lebt 2 Perioden und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate β ab. Er erhält nur in der ersten Periode ein Einkommen y. Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.

8 118 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 14: Ein Haushalt lebe 2 Perioden und habe in jeder Periode folgende Nutzenfunktion für die Güter c 1,2 u (c 1t, c 2t) = log c 1tc 2t. Die Güterpreise seien in beiden Perioden p 1,2. Der Haushalt erhält in der ersten Periode ein von y und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate β ab. (a) Bestimmen Sie zunächst die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion für die zweite Periode unter der Annahme, dass der Haushalt ein Perioden-Konsumbudget C 2 konsumiert. (b) Nutzen Sie das Ergebnis aus (a) um die Aufteilung des Einkommens auf beide Perioden zu bestimmen. Schreiben Sie dazu zunächst das Problem rekursiv in der Form V 1 (Y 1 ) = max p 1 c 11 +p 2 c 21 Y 1 Y 2 1+r u (c 11, c 21 ) + βv 2 (Y 2 ) V 2 (Y 2 ) = max u (c 11, c 21 ) p 1 c 12 +p 2 c 22 Y 2 (c) Zeigen Sie, dass das Ergebnis aus (b) identisch ist mit der direkten Maximierung von max U (c 11,..., c 22 ) = log c 11 c 21 + β log c 12 c 22. s.t. p 1 c 11 +p 2 c 21 + p 1 c 12 +p 2 c 22 y 1+r

9 A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN 119 Aufgabe 15: Ein Haushalt habe folgende instantane Nutzenfunktion u(c t ) = log c t Einzige Einkommesquelle des Haushalts ist sein Kapitaleinkommen, das Güter mit folgender Produktionsfunktion produziert: Die Bellmangleichung ist Nehmen Sie an, dass V (k t ) = f(k t ) = k a t 0 < a < 1 max [log c t + βv (k t+1 )] {c t,k t+1 } s.t.k a t = c t + k t+1 V (k t ) = ( d + aβ ) 1 aβ log k t. (Verm.) (a) Bestimmen Sie die optimale Spar-Konsumentscheidung des Haushalts unter Annahme (V erm.). (b) Bestimmen Sie d, so dass die Bellmann Gleichung unter der Vermutung gilt. Aufgabe 16: Ein Haushalt habe folgende Nutzenfunktion für die Güter c 1,2 u (c 1, c 2 ) = c α 1 1 c α 2 2. Die Güterpreise seien p 1,2. Der Haushalt konsumiert ein gegebenes Einkommen y. Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion. Aufgabe 17: Ein Haushalt habe folgende Perioden-Nutzenfunktion u (c t ) = γ c1+γ t. Der Haushalt lebt 2 Perioden und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate β ab. Er erhält nur in der ersten Periode ein Einkommen y. Bestimmen Sie die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion.

10 120 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 18: Ein Haushalt lebe 2 Perioden und habe in jeder Periode folgende Nutzenfunktion für die Güter c 1,2 u (c 1t, c 2t) = log c 1tc 2t. Die Güterpreise seien in beiden Perioden p 1,2. Der Haushalt erhält in der ersten Periode ein von y und kann sich zum Realzins r verschulden wie sparen. Der Haushalt diskontiert zukünftigen Nutzen mit der Rate β ab. (a) Bestimmen Sie zunächst die Nachfrage des Haushalts und die indirekte Nutzenfunktion für die zweite Periode unter der Annahme, dass der Haushalt ein Perioden-Konsumbudget C 2 konsumiert. (b) Nutzen Sie das Ergebnis aus (a) um die Aufteilung des Einkommens auf beide Perioden zu bestimmen. Schreiben Sie dazu zunächst das Problem rekursiv in der Form V 1 (Y 1 ) = max p 1 c 11 +p 2 c 21 Y 1 Y 2 1+r u (c 11, c 21 ) + βv 2 (Y 2 ) V 2 (Y 2 ) = max u (c 11, c 21 ) p 1 c 12 +p 2 c 22 Y 2 (c) Zeigen Sie, dass das Ergebnis aus (b) identisch ist mit der direkten Maximierung von max U (c 11,..., c 22 ) = log c 11 c 21 + β log c 12 c 22. s.t. p 1 c 11 +p 2 c 21 + p 1 c 12 +p 2 c 22 y 1+r

11 A.1. GRUNDLAGEN UND INTITUTIONELLER RAHMEN 121 Aufgabe 19: Ein Haushalt habe folgende instantane Nutzenfunktion u(c t ) = log c t Einzige Einkommesquelle des Haushalts ist sein Kapitaleinkommen, das Güter mit folgender Produktionsfunktion produziert: Die Bellmangleichung ist V (k t ) = f(k t ) = k a t 0 < a < 1 max [log c t + βv (k t+1 )] {c t,k t+1 } s.t.k a t = c t + k t+1 Nehmen Sie an, dass V (k t ) = ( d + aβ ) 1 aβ log k t. (Verm.) (a) Bestimmen Sie die optimale Spar-Konsumentscheidung des Haushalts unter Annahme (V erm.). (b) Bestimmen Sie d, so dass die Bellmann Gleichung unter der Vermutung gilt.

12 122 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG A.2 Der Geldmarkt Aufgabe 1: Friedman s k Prozentregel Gegeben sei das folgende loglineare Modell y A t = ȳ + α(π t E t 1 π t ) + a t y N t = β(i t π t ) + n t i t = ȳ + m t wobei die Parameter α, β > 0, π die Inflationsrtate, y der Output, m die Geldmenge, a t, N(0, σ 2 a) ein Produktivitätsschock und n t, N(0, σ 2 n) ein Nachfrageschock ist. Die Produktivitäts- und Nachfrageschocks seien voeinander unabhängig. 1. Nehmen Sie an die Zentralbank folge der Friedman regel m t = k. In jeder Periode wächst die Geldmenge mit der konstanten Rate k. Leiten Sie die Inflationsrate, die erwartete Inflationsrate, die Lösung für den Output, sowie die Varianz der inflationsrate und des Outputwachstums her! 2. Nehmen Sie nun an, das die Geldnachfrage nicht stabil ist. Daraus folgt für die Änderung der Geldmenge m t = k + ɛ t. Wobei ɛ t, N(0, σ 2 ɛ) ein Geldnachfrageschock ist. Leiten Sie die Inflationsrate, die erwartete Inflationsrate, Die Lösung für den Output, sowie die Varianz der Inflationsrate und des Outputwachstums her! Was bedeutet dies für die Varianz von Inflationsrate und Outputwachstum? 3. Wie bewerten sie die Ergebnisse im Hinblick auf die Anwendung von Friedman s k Prozentregel in der Praxis? Was könnte für eine solche Regel sprechen? 4. Was könnten die Gründe dafür sein, dass praktisch keine Zentralbank jemals einer solchen Regel gefolgt ist?

13 A.2. DER GELDMARKT 123 Aufgabe 2: Fiskalische Dominanz Gegeben die reale Budgetrestriktion des Staates Ĝ t + (1 + r) ˆB t 1 = ˆT t + Ŝt + ˆB t unter der Annahme das Haushalte nur bereit sind Staatschuld zu kaufen, wenn diese in der Zukunft beglichen wird. 1. Erläutern Sie den Begriff der fiskalischen Dominanz! 2. Für wie realistisch halten Sie dieses Konzept? Aufgabe 3: Nehmen Sie an, die Geldnachfragefunktion sei gegeben durch M D t = ae bit mit a, b > 0 als positiven Parametern. Nehmen Sie an, die Ökonomie befände sich permanent im Steady State. Die Geldmengenwachstumsrate ist µ und es gilt eine Fisher-Beziehung 1 + r = 1+i, wobei der Realzins r eine exogene Konstante ist. 1+π 1. Schreiben Sie die Seignorage als Funktion der Inflationsrate 2. Unterstellen Sie positive Inflationsraten π. Zeigen Sie, dass Seignorage bei geringem π mit π wächst, bei großem π dagegen abnimmt, wenn π weiter ansteigt. Interpretation? 3. Nehmen Sie an, der Realzins sei r = 0.02 und die Zinselastizität der Geldnachfrage bei einer Inflationsrate von zehn Prozent sei Wie groß ist der Parameter b? Unterstellen Sie weiterhin positive Inflationsraten π. Welche Inflationsrate maximiert die Seignorage?

14 124 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG A.3 Modelle der Geldtheorie ohne Mikrofundierung Aufgabe 1: Instrumente der Geldpolitik/Poole s Analyse Nehmen Sie an die Geldpolitik minimiere Abweichungen des Outputs von seinem Trend V t = E t [y t ȳ] 2 Die Ökonomie sei durch das folgende IS-LM Modell charakterisiert: y t = αi t + u t m t = y t βi t + ɛ t Es seien α, β > 0 die Parameter, i der Zinssatz, y der Output, m die Geldmenge und u N(0, σ u ), ɛ N(0, σ ɛ ) zwei unabhängige normalverteilte Störterme. 1. Bestimmen Sie den erwarteten Output und die Outputvarianz für den Fall, dass die Zentralbank den Zinssatz bzw. die Geldmenge als Instrument wählt! 2. Vergleichen Sie die Ergebnisse miteinander!

15 A.3. MODELLE DER GELDTHEORIE OHNE MIKROFUNDIERUNG 125 Aufgabe 2: Zeitkonsistenzproblem, Barro und Gordon (1983) Nehmen Sie an die Zentralbank habe die folgende loglineare Verlustfunktion mit α > 0, 0 < β < 1 L = β t [y t α ] 2 π2 t t=0 Es gelte die folgende Lucas-Outputangebotsfunktion: mit b > 0 y t = ȳ + b(π t π e t) Die Agenten bilden Ihre Erwartungen nach folgender Regel: { ˆπ wenn π e πt = ˆπ = sonst b a 1. Beschreiben Sie das Gleichgewicht in allen zukünftigen Perioden, wenn π t ˆπ. 2. Nehmen Sie an die Zentralbank hat in allen vergangenen Perioden π = ˆπ gesetzt und plant nicht dieses Verhalten in Zukunft zu ändern. Beschreiben Sie den erwarteten Verlust der Zentralbank. 3. Sofern die Zentralbank in t von ihrem Verhalten abweicht, welche Inflationsrate wird sie wählen? Beschreiben Sie den erwarteten Verlust der Zentralbank bei Abweichung! 4. Wann wählt die Zentralbank π t = ˆπ? Gibt es eine Parameterkonstellation a, b, β unter der die Zentralbank π t = ˆπ wählt, wenn ˆπ = 0?

16 126 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 3: Nehmen Sie an, der reale Output Y sei beeinflusst von einem realen Schock e (z.b. Technologie, Staatsnachfrage,...) und (falls α 0) eventuell von der Geldpolitik (repräsentiert durch M) Y t = αm t + e t und die Geldpolitik passe die nominale Geldmenge M an gemäss einer Politikregel M t = βy t + u t mit β > 0, worin u ein monetärer Schock ist, der durch unvollkommene Kontrollmöglichkeit des Instruments M durch die Zentralbank ins Spiel kommt. Die Schocks haben einen Mittelwert von Null (E(e t ) = 0, E(u t ) = 0) und sind voneinander unabhängig (d.h. E(e t u t ) = E(e t )E(u t )). 1. Ermitteln Sie die Kovarianz zwischen Y t und M t. (Hinweis: die Kovarianz zwischen zwei Variablen x 1,2 ist cov(x 1, x 2 ) = E(x 1 x 2 ) E(x 1 )E(x 2 ), die Varianz ist var(x) = E(x 2 ) [E(x)] 2.) 2. Wie hoch ist die Kovarianz, wenn α = 0 ist? Kommentieren Sie: wie informativ ist die Korrelation zwischen Y und M, für die Frage, ob Geldpolitik den realen Output beeinflusst?

17 A.3. MODELLE DER GELDTHEORIE OHNE MIKROFUNDIERUNG 127 Aufgabe 4: Barro und Gordon (1983) Nehmen Sie an die Zentralbank hat die Zielfunktion [ a (π t ) = E t q s 2 π2 t+s + b ] 2 (α + π t+s E t+s π t+s+1 ) 2 L ZB t s=0 die Zielfunktion der Agenten sei L HH t = a 2 π2 t + c 2 (α + π t π e t ) 2 Das Instrument der Zentralbank ist die Inflationsrate. 1. Interpretieren die Verlustfunktionen! Was mißt α? Für welche Inflation wird die Verlustfunktion der Haushalte minimal? 2. Welche Inflationsrate π D folgt, wenn die Zentralbank den Zinssatz diskretionär setzt? 3. Nehmen Sie nun an, dass die Zentralbank sich verpflichtet in Zukunft der Regel π R = 0 zu folgen. Die Agenten bilden Ihre Erwartungen nach { π e π R wenn π t 1 = π e t t = π D sonst Ist die Regel glaubwürdig? Welche Inflationsrate wird die Zentralbank setzen? 4. Nehmen Sie nun an, die Zentralbank beobachtet Schocks auf den Mark-up ε t, die das Output gap verschieben, so dass nun die Verlustfunktionen die Form [ a = E t q s 2 π2 t+s + b ] 2 (α + π t+s E t+s π t+s+1 + ε t+s ) 2 L ZB t s=0 haben. Wie ändert sich die Situation im Vergleich zu 3.?

18 128 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG A.4 Modelle der Geldtheorie mit Mikrofundierung A.4.1 Das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell Aufgabe 1: Betrachten Sie eine Ökonomie, in der der repräsentative Haushalt β t U(C t, L t, M t /P t ) t=0 (A.1) maximiert; hierin ist C t der Konsum, L t die Freizeit (es gilt L t = 1 N t mit N t der Arbeitszeit), M t ist die nominale Geldmenge, P t das Preisniveau, und 0 < β < 1 ist der Diskontfaktor. Die Nutzenfunktion u(.) lautet U(C t, L t, M t /P t ) = log C t γ 1 + η (1 L t) 1+η + δ 1 σ ( Mt P t ) 1 σ (A.2) worin γ, η, δ, σ positive Parameter sind. Der Haushalt bezieht Einkommen aus dem Verkauf von Arbeitszeit zum Reallohn W t, residualen Unternehmensgewinnen D t, Zinseinnahmen mit dem Nominalzins i t 1 auf nominale Staatswertapiere B t 1, und verwendet dies fur den Konsum, die Zahlung von Kopfsteuern τ t, und die Investition in Wertpapiere B t B t 1 sowie Geld M t M t 1 (die Budgetrestriktion lautet also P t C t + M t + B t P t W t N t + (1 + i t 1 )B t 1 + M t 1 P t τ t + P t D t ). 1. Finden Sie die Bedingungen erster Ordnung für die optimalen Nachfragen nach Konsum, Freizeit, Wertpapieren und Geld. 2. Ermitteln Sie eine logarithmisch lineare Version der Eulergleichung für den privaten Konsum. 3. Nehmen Sie an, dass die aggregierte Ressourcenrestriktion Y t = C t + G t lautet, wobei Y t der Output und G t die Staatsausgaben sind, für die G t = αy t (mit 0 < α < 1) gilt. Ermitteln Sie eine loglineare Eulergleichung für den Output.

19 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 129 Aufgabe 2: Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. [ ] U (C t, N t ) = β t Ct 1 σ 1 σ N 1+ϕ t 1 + ϕ t=0 C t ist der Konsum, N t die Arbeitszeit, 0 < β < 1 der Diskontfaktor und σ, ϕ > 0 Parameter. Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Nominallohn W t und kann über den Handel mit zero Bonds sparen. Jeder Schuldtitel B t kostet (1 + r t ) 1 in Periode t und zahlt eine Geldeinheit in t + 1 aus. Er verwendet sein Einkommen für Konsum und Investition in reale Wertpapiere die reale Budgetrestriktion ist P t C t + (1 + r t ) 1 B t B t 1 + W t N t (a.) Leiten Sie die Optimalitätsbedingungen des representativen Haushalts her! Ein repräsentatives Unternehmen nutze die folgende Produktionstechnologie Y t = A t N 1 α t in jeder Periode maximiert das Unternehmen P t Y t W t N t (b.) Bestimmen Sie die Optimalitätsbedingung des Unternehmenssektors!

20 130 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 3: Betrachten Sie weiter das klassische dynamische Gleichgewichtsmodell mit der IS Kurve y t = E t y t+1 1 σ (i t E t π t+1 ρ) der LM Kurve Es gelte die Fisher Gleichung m t p t = y t ηi t r t = i t E t π t+1 und der reale Zinssatz ist bestimmt durch r t = ρ + σψe t a t+1 (a.) Zeigen Sie das die Inflationsrate eindeutig bestimmt ist, wenn die Geldpolitik einer Regel i t = ρ + φ 1 π π t mit φ π > 1 folgt. (b.) Diskutieren Sie das Taylor Prinzip! (c.) Zeigen Sie, dass unter der Annahme a t = ρ a a t 1 + ɛ a t, wobei der Störterm i.i.d. ist, die Lösung für die Infaltionsrate π t = σψ(1 ρ a) a t φ π ρ a ist. Interpretieren Sie dieses Ergebnis! Nehmen sie nun an, dass die Geldpolitik einen exogenen Pfad {m t } für das Geldangebot festlegt. (d.) Zeigen Sie das die Lösung für das Preisniveau p t = η k=0 ( ) k η E t m t+k + t.i.p. 1 + η ist. Wobei unter t.i.p. Terme zusammengefasst sind die von der Geldpolitik nicht beeinflusst werden. (e.) Bestimmen Sie den aus dieser Politik folgenden Nominalen Zinssatz! (f.) Nehmen Sie nun an das Geldangebot folge m t = ρ m m t 1 + ɛ m t Der Störterm ist i.i.d., wir nehmen an das y t = r t = 0. Bestimmen Sie die Lösung für das Preisniveau und den nominalen Zinssatz.

21 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 131 Aufgabe 4: Monopolistische Konkurrenz Betrachten Sie das Modell monopolistischer Konkurrenz bei Preisflexibilität aus der Vorlesung. Das i-te Unternehmen hat die Nachfragefunktion Y i = ( ) ɛ Pi Y (A.3) P (Y i individueller Output, Y aggregierte Output, P i individueller Preis, P aggregiertes Preisniveau), seine Produktionsfunktion ist Y i = N γ i (A.4) (N i Arbeitsinput) mit 0 < γ < 1. alle Unternehmen müssen ihren Beschäftigten denselben Nominallohn W n zahlen. 1. Finden Sie den gewinnmaximierenden Preis des i-ten Unternehmens. 2. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Lösung existiert? 3. Nehmen Sie γ = 1 an. Zeigen Sie, dass der Reallohn im Gleichgewicht kleiner als eins ist.

22 132 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 5: Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Nehmen Sie an die Haushalte haben die Nutzenfunktion [ ] c 1 σ U(c t, l t, m t ) = β s t+s 1 σ l1+η t+s 1 + η ψ m1 ψ t+s s=0 c t ist der Konsum, l t die Arbeitszeit, m t die reale Kassenhaltung, 0 < β < 1 der Diskontfaktor und σ, η, ψ > 0 positive Parameter. Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Reallohn w t, residualen Unternehmensgewinnen d t, Zinseinnahmen mit dem Realzins r t auf reale Bonds b t 1. π t ist die Inflationsrate. Er verwendet sein Einkommen für Konsum, Investition in Wertpapiere und Realkasse, die Budgetrestriktion ist c t + b t + m t w t l t + m t π t + (1 + r t )b t 1 + d t 1. Charakterisieren Sie das Optimierungsproblem des Haushalts. 2. Leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung und die Konsum Euler Gleichung her! 3. Interpretieren Sie die Konsum Euler Gleichung! 4. Die ZB lässt die Geldmenge mit der Rate µ wachsen. Finden Sie die Bedingungen, die das Gleichgewicht charakterisieren. 5. Was versteht man unter Superneutralität? Liegt diese hier vor? Aufgabe 6: Die Preisindexgleichung Der Preisindex ( 1 P = 0 ) 1 P (i) 1 η 1 η di ist definiert als das zum Kauf einer realen Konsumeinheit erforderliche Mindestbudget. Daraus folgt das Optimierungsproblem min Z = C(i) 1 0 ( 1 P (i)c(i)di s.t. C = 0 ) η C(i) η 1 η 1 η di = 1 wobei Z = P C das nominale Budget des Agenten ist. Zeigen Sie das der im Skript angegebene Preisindex das angegebene Minimierungsproblem löst!

23 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 133 Aufgabe 7: Das klassische Modell Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Die Haushalte haben die nicht-seperable Nutzenfunktion ( U C t, M ) [ t, N t = β s 1 ( ) ] 1 σ 1 ν 1 ν (1 θ)ct 1 ν Mt + θ 1 P t 1 σ 1 + ϕ N 1+ϕ t s=0 C t ist der Konsum, N t die Arbeitszeit, Mt P t die reale Kassenhaltung, 0 < β < 1 der Diskontfaktor und 0 < θ < 1, σ, ν, ϕ > 0 Parameter. Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit zum Nominallohn W t, Zinseinnahmen mit dem Realzins i t 1 auf reale Bonds B t 1 die in der vorangegangenen Periode in das Portfolio des Agenten genommen wurden. Er verwendet sein Einkommen für Konsum, Investition in Wertpapiere und Geld, die nominale Budgetrestriktion ist P t C t + B t + M t M t 1 + (1 + i t 1 )B t 1 + W t N t P t 1. Leiten Sie die Optimalitätsbedingungen des representativen Haushalts her! 2. Nehmen Sie an es gibt einen Unternehmenssektor. Die Unternehmen haben Zugang zu einer linearen Produktionstechnologie Y t = N t und die Geldpolitik beschränkt sich darauf die nominale Geldmenge mit einer konstanten Rate 0 < γ < 1 wachsen zu lassen. Leiten Sie den steady state der Ökonomie her unter der Annahme vollkommenen Wettbewerbs her! 3. Diskutieren Sie die Effekte einer Änderung von γ auf die Inflationsrate und Output! 4. Ist Geldpolitik unter den gemachten Annahmen Superneutral?

24 134 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 8: Ein Cash-in-advance Modell Nehmen Sie an, der repräsentative Haushalt maximiere s=0 [ β s ln C t + γ ] 1 + η N 1+η t mit γ, η > 0, und habe die Budgetrestriktion C t + M t + B t = W t N t π t Mt I t π t Bt 1 + T t + D t Es existiert eine cash-in-advance constraint der Form P t C t M t d.h. Haushalte müssen Geld haben, wenn sie konsumieren wollen (Konsumgüter werden nicht auf Kredit gehandelt). 1. Erläutern Sie inhaltlich, unter welcher Bedingung wird die Cash-in-advance constraint mit Gleichheit gelten? 2. Finden Sie die Optimalitätsbedingungen des Haushalts unter der Annahme, das die Cash-in-advance constraint mit Gleichheit erfüllt ist. 3. Nehmen Sie an, dass der Unternehmenssektor durch die Produktionsfunktion Y t = N t beschrieben ist, so dass der Reallohn w t = 1 und die Ressourcenrestriktion Y t = N t = C t lautet. Die Zentralbank lässt die nominale Geldmenge mit der Rate µ wachsen. Finden Sie die Bedingungen, die den Steady State charakterisieren. 4. Gilt Superneutralität? Kommentieren Sie Ihr Ergebnis.

25 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 135 A.4.2 Ein einfaches neu-keynesianisches Gleichgewichtsmodell Aufgabe 1: Das Calvo Model für verzögerte Preisanpassung Betrachten Sie das Calvo Modell für verzögerte Preisanpassung. Wir nehmen an, dass ein Unternehmen in jeder Periode mit der Wahrscheinlichkeit 0 < θ < 1 die Möglichkeit hat seinen Preis anzupassen. Firmen stehen in monopolistischer Konkurrenz und setzen ihre Preise vorausschauend. (a.) Erläutern Sie kurz das Optimierungsproblem eines Unternehmens! (b.) Erläutern Sie den Unterschied zwischen dem ex ante erwarteten und den ex post realisierten Preisaufschlag! (c.) Wie kann die Geldpolitik in diesem Modellrahmen die reale Ökonomie beeinflussen? (d.) Zeigen Sie das eine Erhöhung des Outputs eine Erhöhung der Inflationsrate zur Folge hat! Aufgabe 2: Das neu-keynesianische Modell Betrachte Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung. (a.) Diskutieren Sie wie zu welchen Verzerrungen die Annahmen monopolistischen Wettbewerbs und verzögerter Preisanpassung verursachen. Unter welcher Annahme kann die Wirtschaftspolitik die effi ziente Gleichgewichtsallokation wiederherstellen? (b.) Zeigen Sie anhand der neu-keynesianischen IS-Kurve das die Stabilisierung von Output und Inflationsrate nicht im Widerspruch zueinander stehen!

26 136 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 3:Das neu-keynesianische Modell Betrachten Sie die neu-keynesianische IS Kurve x t = φ(i t E t π t+1 ) + E t x t+1 + g t wobei x t die Outputgap ist, und die neu-keynesianische Phillipskurve π t = ξx t + βe t π t+1 + u t g t, u t sind AR(1) Schocks mit g t = ρ g g t 1 + ɛ g,t und u t = ρ u u t 1 + ɛ u,t wobei 0 < ρ g, ρ u < 1 und ɛ g,t, ɛ u,t i.i.d. mit Mittelwert Null und konstanter Varianz. Das Ziel der Geldpolitik ist die Minimierung des Wohlfahrtsverlusts, gegeben durch [ min E t β i ( αx 2 t+i + π 2 ) ] t i=0 (a.) Interpretieren Sie die IS Kurve und die neu-keynesianische Phillipskurve. (b.) Diskutieren Sie das Ziel der Geldpolitik. Wodurch unterscheidet sich das Wohlfahrtskriterium im neu-keynesianischen Modell von der Verlustfunktion wie sie ad hoc Modellen unterstellt wurden, gibt es Unterschiede zum Barro- Gordon Modell? (c.) Leiten Sie die optimale diskretionäre Geldpolitik her und zeigen Sie das es einen trade-off zwischen Inflations- und Outputvarianz gibt! (d.) Wie reagiert die Geldpolitik auf Veränderungen der erwarteten Inflationsrate? Aufgabe 4: Das neu-keynesianische Modell Betrachten Sie folgendes Modell x t = E t x t+1 1 γ (i t E t π t+1 r n t ) π t = βe t π t+1 + x t r n t = ρ + e t Die Zentralbank folgt einer Regel i t = ρ+φπ t +d t worin die exogenen Schocks d t, e t nicht autokorrelierte und voneinander unabhängige Zufallsvariablen mit Mittelwert 0 und konstanter Varianz sind; es gilt also E t d t+1 = E t e t+1 = 0. Ermitteln Sie die Wirkung eines einmaligen unvorhergesehenen Schocks d t, e t auf die Inflationsrate und die Outputgap. Diskutieren Sie die Wahl des Parameters φ!

27 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 137 Aufgabe 5: Das neu-keynesianische Modell Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung. Die neu-keynesianische Phillipskurve ergibt sich als π t = βe t π t+1 + ŷ t + c t. Hierin ist π t die Inflationsrate, ŷ t das wohlfahrtsrelevante Output Gap, also der Unterschied von tatsächlichem und erst-bestem Output, und c t ein exogener Kostenschock zum Zeitpunkt t. Dabei sind {c t } t=0 unabhängig und identisch verteilt mit E t c t+s = µ > 0, E t (c t+s µ) 2 = σ 2 c für alle s > 0 und E t c t = c t. Nehmen Sie an, die Zentralbank beeinflußt die gesamtwirtschaftliche Aktivität indem sie direkt die Inflationsrate setzt. Finden Sie die optimale diskretionäre Politik (in Abhängigkeit von E t π t+1 und c t ) für eine Zentralbank die versucht die Verlustfunktion 1 2 (αŷ2 t + π 2 t ) zu minimieren. a) Bestimmen Sie die erwartete Inflation π t indem Sie die sich ergebende Differenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen lösen. Lösen Sie dann für ŷ t. (Hinweis: es ist hilfreich, die Schocks als Abweichungen von ihrem Erwartungswert zu schreiben: c t+s = c t+s E t c t+s + µ). Nehmen Sie nun an, die optimale Zentralbankpolitik führe zu π t = ŷ t = α 1 + α (1 β) µ + α 1 + α (c t µ) α (1 β) µ α (c t µ) b) Interpretieren Sie die Annahme E t c t+s = µ > 0, indem Sie (für α = 0) eine Situation mit dauerhafter Null-Inflation betrachten. Was gilt dann für das erwartete wohlfahrtsrelevante Output-gap E 0 ŷ t? Wann bzw. wodurch kann es im neukeynesianischen Modell zu µ > 0 kommen? c) Erläutern Sie die Rolle des Parameters α. Vor welcher Schwierigkeit steht die Regierung in der Wahl des Zentralbankers (charakterisiert durch α)? Argumentieren Sie der Einfachheit halber für β = 1 und nehmen Sie an, die gesamtwirtschaftliche Verlustfunktion sei gegeben durch E ( α 0 ŷ 2 t + π 2 t ). Inwiefern unterscheidet sich die Situation von der Behandlung des Zeitinkonsistenzproblem in der Vorlesung?

28 138 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 6: Betrachten Sie das neukeynesianische Modell in der Notation der Vorlesung: ŷ t = E t y t+1 ˆ (i t E t π t+1 r η t ) mit κ > 0. π t = βe t π t+1 + κŷ t 1. Erläutern Sie inhaltlich den Zusammenhang zwischen Realzins und output gap in der IS Gleichung 2. Erläutern Sie inhaltlich den Zusammenhang zwischen Inflation und output gap in der neu-keynesianischen Phillipskurve. Was bestimmt die Höhe des Parameters κ? 3. Erläutern Sie inhaltlich die Wirkung einer Senkung des (hier als exogen unterstellten) Nominalzinses durch die Zentralbank. Aufgabe 7: Die Nachfragegleichung Im neu-keynesianischen Modell (ohne Staat) ist die Nachfrage nach den Produkten von Firma i gegeben durch ( ) η P (i) C(i) = C t P Die Nachfrage folgt aus dem maximierenden Verhalten der Agenten. Diese maximieren Ihren Konsum gegeben ihr individuelles nominales Budget Z = P C. Zeigen sie, dass die angegebene Nachfragegleichung das Optimierungsproblem ( 1 max C = C(i) 0 ) η C(i) η 1 η 1 η di s.t. löst und Interpretieren Sie die Nachfragegleichung! 1 0 P (i)c(i)di = Z

29 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 139 Aufgabe 8: Betrachten Sie das folgende neu-keynesianische Modell dessen Gleichgewicht durch die folgende neu-keynesianische Phillipskurve und die dynamische IS Kurve π t = βe t π t+1 + κŷ t + ɛ t ŷ t = E t ŷ t+1 (r t r n t ) charakterisiert ist. Dabei ist π t die Inflation, r t der reale Zinssatz (Tipp: Fisher Gleichung!), rt n der natürliche reale Zinssatz, ɛ t ein exogener Kostenschock und ŷ t die outputgap. Nehmen Sie an, die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der Taylor-Regel mit dem Kontrollfehler ν t. i t = απ t + ν t 1. Sei κ = 1 und z t = (ŷ t, π t ) T. Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine Differenzgleichung der Form [ ] νt rt z t = AE t z t+1 + B n ɛ t darstellen lässt und bestimmen Sie die Konstanten! 2. Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, Kostenschock und natürlicher Realzins i.i.d. sind und dass E t rt+s n = E t ν t+s = E t ɛ t+1 = 0 für s 1. Lösen Sie die Differenzgleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form hat. ] [ŷt π t = α [ ] νt rt n αɛ t ν t r n t + ɛ t 3. Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von α gestellt?

30 140 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 9: Quadratische Preisanpassungskosten, Rotemberg (1982) Betrachten Sie ein Zwei-Perioden-Modell (Perioden t und t + 1, alle Variablen in Logarithmen) in dem die Firmen quadratischen Preisanpassungskosten haben. Sie minimieren also ihre Verlustfunktion L = β ( j (p t+j p t+j ) 2 + φ 1 (p t+j p t+j 1 ) 2) j=0 wobei p der optimale Preis in Abwesenheit nominaler Friktionen sei und φ 1 > 0 ein Parameter ist, der die Höhe der Preisänderungskosten angibt. 1. Wie lautet die Bedingung erster Ordnung für die Wahl des Preises p t? 2. Angenommen, der gewünschte relative Preis eines Unternehmens steige in der Outputmenge y t, p t p t = ky t mit k > 0. Verwenden Sie diese Information (und π t = p t p t 1 ) um eine Philipskurve herzuleiten. 3. Erläutern Sie die Rolle des Parameters φ 1 in der Phillipskurve. 4. Diskutieren Sie die Nachteile und Vorteile dieses Preissetzungsmodells relativ zu dem von Calvo (1983).

31 A.4. MODELLE DER GELDTHEORIE MIT MIKROFUNDIERUNG 141 Aufgabe 10: Betrachten Sie folgendes Modell (x t output gap, π t Inflationsrate, i t Nominalzins [letzterer ist das Instrument der Zentralbank]): π t = βe t π t+1 + κx t + u t (A.1) u t = ρu n t 1 + ɛ t (A.2) mit κ > 0, worin ɛ t ein Kostenschock ist (mit 0 < ρ < 1 und e t einer nicht autokorrelierten Zufallsvariablen mit Mittelwert null und konstanter Varianz, so dass E t e t+1 = 0 gilt). Die Zentralbank minimiert E t i=0 L t+i, worin die Verlustfunktion L t = 1 2 [ π 2 t + α x (x t z) 2] (A.3) mit α x > 0 lautet. Hierin ist z der konstante Zielwert der Zentralbank für das Outputgap. 1. Ermitteln Sie die Bedingungen erster Ordnung für die optimale diskretionäre Politik und stellen Sie das Resultat als eine Beziehung zwischen Inflation und Outputgap dar. 2. Unterstellen Sie, dass die Lösung für die Inflationsrate die Form π t = c + bu t haben wird und bestimmen Sie die unbekannten Koeffi zienten c und b. 3. Zeigen Sie: wenn z > 0 ist, wird die Inflation bei Abwesenheit von Schocks (d.h. in allen Perioden, in denen u t = 0 gilt) positiv sein, das Outputgap hingegen nicht. 4. Geben Sie in einem Satz eine inhaltliche Begründung für das Ergebnis unter 3.

32 142 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 11: Betrachten Sie das folgende neu-keynesianische Modell dessen Gleichgewicht durch die folgende neu-keynesianische Phillipskurve und die dynamische IS Kurve π t = βe t π t+1 + κŷ t + ɛ t ŷ t = E t ŷ t+1 (r t r n t ) charakterisiert ist. Dabei ist π t die Inflation, r t der reale Zinssatz (Tipp: Fisher Gleichung!), rt n der natürliche reale Zinssatz, ɛ t ein exogener Kostenschock und ŷ t die outputgap. Nehmen Sie an, die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der Taylor-Regel mit dem Kontrollfehler ν t. i t = απ t + ν t 1. Sei κ = 1 und z t = (ŷ t, π t ) T. Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine Differenzgleichung der Form [ ] νt rt z t = AE t z t+1 + B n ɛ t darstellen lässt und bestimmen Sie die Konstanten! 2. Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, Kostenschock und natürlicher Realzins i.i.d. sind und dass E t rt+s n = E t ν t+s = E t ɛ t+1 = 0 für s 1. Lösen Sie die Differenzgleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form hat. ] [ŷt π t = α [ ] νt rt n αɛ t ν t r n t + ɛ t 3. Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von α gestellt?

33 A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN 143 A.5 Sammlung alter Klausuraufgaben Diese Aufgabensammlung enthält Aufgaben aus den Klausuren und Übungsklausuren der vergangenen zwei Jahre. Die Punktangaben dienen jeweils zur Orientierung wieviel Zeit für die Aufgaben in der Klausur vorgesehen ist. Die Klausur dauert 60 Minuten, ein Punkt entspricht jeweils einer Minute. Aufgabe 1 Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion U(C t, N t, M t /P t ) = C1 σ t 1 σ N 1+η t 1 + η + (M t/p t ) 1 ψ. 1 ψ und erzielt Einkommen aus Arbeit, N t und einer staatlichen Transferzahlung τ t. (C t ist Konsum, M t /P t die reale Geldmenge) a) (12 Punkte) Leiten Sie die Geld Nachfragegleichung her und interpretieren Sie diese! b) (8 Punkte) Angenommen der Staat kann die staatliche Transferzahlung τ t durch Schulden B t, durch eine Konsumsteuer T c,t = t c tc t oder durch die Begebung von Geld finanzieren. Stellen Sie die kurzfristige (reale) Budgetgleichung des Staates auf und erläutern Sie kurz, was man unter dem Begriff Seignorage versteht. Betrachten Sie den steady state, in dem C t = T c,t = T. C, Mt P t = m, τ t = τ, i t = ī und c) (8 Punkte) Leiten Sie die langfristige Budgetgleichung des Staates her und zeigen Sie den Zusammenhang zwischen primärem Budgetdefizit ( T τ ) und Inflation auf! d) (8 Punkte) Was sagt die Friedman Regel und warum gilt sie hier nicht unbedingt?

34 144 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 2 (10 Punkte) Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell. Der Haushalt habe eine Nutzenfunktion der Form U(C t, N t, M t ) = C1 σ t P t 1 σ L1+ϕ t 1 + ϕ + δ 1 ɛ ( ) 1 ɛ Mt wobei σ, ϕ, ɛ, δ > 0 positive Parameter sind. Der Haushalt plant über einen unendlich langen Zeitraum, zukünftiger Nutzen wird mit dem Faktor 0 < β < 1 diskontiert. C t + M t P t P t + B t = (1 + r t 1 )B t 1 + W t L t + M t 1 P t + D t M t P t ist die reale Geldhaltung, L t das Arbeitsangebot des Haushalts und C t sein Konsum. Der Haushalt bezieht Einkommen aus Arbeit W t L t, residualen Unternehmensgewinnen D t und Zinseinnahmen r t 1 auf reale Bonds B t 1, die er in der vorangegangenen Periode erworben hat. Zu Beginn jeder Periode verfügt er zudem über nominale Kasse aus der Vorperiode, M t 1. Der Haushalt kann daher durch Kassenhaltung oder den Handel mit Bonds sparen bzw. sich verschulden. a) Leiten Sie die Konsum Euler Gleichung her und interpretieren Sie diese!

35 A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN 145 Aufgabe 3 (34 Punkte) Betrachten Sie folgende neu-keynesianische Phillipskurve und die dynamische IS Kurve π t = βe t π t+1 + x t + k t x t = E t x t+1 1 σ (i t E t π t+1 r n t ) wobei π t die Inflationsrate, x t die wohlfahrtsrelevante Outputgap, rt n der natürliche Realzins, k t ein Kostenschock und i t der nominale Zinssatz zum Zeitpunkt t sind. Der natürliche Realzins ist gegeben als r n t = ρ + e t wobei e t ein Schock auf den Realzins und ρ > 0. Die Zentralbank setzt den Nominalzins nach der folgenden Taylor Regel i t = ρ + φ 1 π ˆπ t wobei wir annehmen, dass Sie die Inflationsrate nicht direkt beobachten kann ˆπ t = π t + ξ t ξ t ist der Beobachtungsfehler der Zentralbank. Wir nehmen an, dass der Kostenschock, der Zinsschock und der Beobachtungsfehler i.i.d. mit E t ξ t+s = E t e t+s = E t k t+1 = 0 für s 0 ist a) Stellen Sie das Modell in Matrixform dar und bestimmen Sie die Lösung für Inflationsrate und Outputgap! b) Bestimmen Sie den Wert von φ 1 π der die Varianz von π t minimiert!

36 146 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG Aufgabe 4 (15 Punkte) Betrachten Sie das folgende klassische dynamische Gleichgewichtsmodell. Nehmen Sie an die Haushalte haben die folgende Nutzenfunktion U(C t, N t, M t ) = ln C t + 1 ( ) 1 ɛ Mt ln N t P t 1 ɛ C t ist der Konsum, N t die Arbeitszeit, M t die nominale Geldmenge, P t das Preisniveau, ɛ > 0 ein positiver Parameter und 0 < β < 1 der Diskontfaktor. Der Haushalt bezieht Einkommen aus dem Verkauf von Arbeitszeit zum Reallohn W t, residualen Unternehmensgewinnen Π t, Zinseinnahmen mit dem Nominalzins i t 1 auf nominale Wertpapiere B t 1. Er verwendet sein Einkommen für Konsum, die Zahlung von Kopfsteuern T t und Investitionen in Wertpapiere und Geld. a) Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushalts auf! b) Leiten Sie die Bedingungen erster Ordnung und die Konsum Euler Gleichung her! c) Interpretieren Sie die Konsum Euler Gleichung! P t

37 A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN 147 Aufgabe 5 Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell aus der Vorlesung, wobei die Haushalte folgende Nutzenfunktion haben U(C t, N t, M t /P t ) = C1 σ t 1 σ N 1+η t 1 + η + (M t/p t ) 1 ψ. 1 ψ Die neu-keynesianische Phillipskurve ergibt sich als π t = βe t π t+1 + ŷ t + c t. Hierin ist π t die Inflationsrate, ŷ t das wohlfahrtsrelevante Output Gap, also der Unterschied von tatsächlichem und erst-bestem Output, und c t ein exogener Kostenschock zum Zeitpunkt t. Dabei sind {c t } t=0 unabhängig und identisch verteilt mit E t c t+s = µ > 0, E t (c t+s µ) 2 = σ 2 c für alle s > 0 und E t c t = c t. a) (10 Punkte) Leiten Sie die Konsum-Eulergleichung her und interpretieren Sie diese. Nehmen Sie an, die Zentralbank beeinflußt die gesamtwirtschaftliche Aktivität indem sie direkt die Inflationsrate setzt. Finden Sie die optimale diskretionäre Politik (in Abhängigkeit von E t π t+1 und c t ) für eine Zentralbank die versucht die Verlustfunktion 1 2 (αŷ2 t + π 2 t ) zu minimieren. b) (14 Punkte) Bestimmen Sie die erwartete Inflation π t indem Sie die sich ergebende Differenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen lösen. Lösen Sie dann für ŷ t. (Hinweis: es ist hilfreich, die Schocks als Abweichungen von ihrem Erwartungswert zu schreiben: c t+s = c t+s E t c t+s + µ). Nehmen Sie nun an, die optimale Zentralbankpolitik führe zu π t = ŷ t = α 1 + α (1 β) µ + α 1 + α (c t µ) α (1 β) µ α (c t µ) c) (8 Punkte) Interpretieren Sie die Annahme E t c t+s = µ > 0, indem Sie (für α = 0) eine Situation mit dauerhafter Null-Inflation betrachten. Was gilt dann für das erwartete wohlfahrtsrelevante Output-gap E 0 ŷ t? Wann bzw. wodurch kann es im neukeynesianischen Modell zu µ > 0 kommen? d) (8 Punkte) Erläutern Sie die Rolle des Parameters α. Vor welcher Schwierigkeit steht die Regierung in der Wahl des Zentralbankers (charakterisiert

38 148 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG durch α)? Argumentieren Sie der Einfachheit halber für β = 1 und nehmen Sie an, die gesamtwirtschaftliche Verlustfunktion sei gegeben durch E ( α 0 ŷ 2 t + π 2 t ). Inwiefern unterscheidet sich die Situation von der Behandlung des Zeitinkonsistenzproblem in der Vorlesung?

39 A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN 149 Aufgabe 6 Betrachten Sie das neu-keynesianische Modell. In diesem Modell habe der Haushalt eine Nutzenfunktion der Form U (C, N, M/P ) = ln (C) + f(n, M/P ). Die zentralen Gleichungen dieses Modells sind die neukeynesianische Phillipskurve π t = βe t π t+1 + κŷ t + c t und die dynamische IS Kurve ŷ t = E t (ŷ t+1 ) (r t r n t ), wobei π t die Inflation, r t der Realzins, r n t der natürliche Realzins, c t ein exogener Kostenschock und ŷ t das output gap zum Zeitpunkt t sind. a) (8 Punkte) Erläutern Sie kurz das Konzept des output gaps! Was gilt bezüglich der realen Grenzkosten, wenn das öutput gap"gerade gleich 0 ist? b) (6 Punkte) Leiten Sie die Konsum-Eulergleichung her! c) (6 Punkte) Erläutern Sie kurz, welchen Zusammenhang die IS Kurve im neu-keynesianischen Modell abbildet! (16 Punkte) Nehmen Sie an, die Zenralbank setze den Nominalzins nach der Taylor-Regel i t = απ t + ν t mit einem Kontrollfehler ν t. Im Folgenden sei κ = 1. d) Sei z t := ( ŷ t π t ). Zeigen Sie, dass die Ökonomie durch eine Differenzengleichung der Form z t = AE t z t+1 + B ( νt r n t c t ) also durch ( ŷt π t ) ( a11 E = t ŷ t+1 + a 12 E t π t+1 a 21 E t ŷ t+1 + a 22 E t π t+1 ) ( b11 (ν + t rt n ) + b 12 c t b 21 (ν t rt n ) + b 22 c t ) darstellen läßt und bestimmen Sie a 11,..., a 22 und b 11,..., b 22!

40 150 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG e) Nehmen Sie an, dass Kontrollfehler, ( ) Kostenschock und natürlicher Realzins i.i.d. sind und dass E t r n t+s = Et (v t+s ) = E (c t+s ) = 0 für s 1. Lösen Sie die Differenzengleichung durch Vorwärtseinsetzen in Matrixform. Argumentieren Sie, dass die Lösung die Form hat. ( ŷt π t ) = 1 α + 1 ( νt r n t αc t ν t r n t c t f) Vor welche Schwierigkeit sieht sich die Zentralbank in der Wahl von α gestellt? )

41 A.5. SAMMLUNG ALTER KLAUSURAUFGABEN 151 Aufgabe 7 (je 4 Punkte) Begründen Sie in maximal 2 Sätzen ob die folgenden Aussagen korrekt sind. 1. Die Geldpolitik im klassischen Modell legt das Preisniveau fest, sofern sie dem Taylor Prinzip folgt, sie hat jedoch keinerlei Einfluss auf die reale ökonomische Aktiviät. 2. Die Seignorage kann als eine Steuer auf die nominale Geldhaltung bezeichnet werden. 3. Das (neo-)klassiche und das neu-keynesianische Modell sind beide mikrofundiert. 4. Nominale Rigiditäten, wie z.b. verzögerte Preissetzung nach Calvo (1983), sind eine Quelle von Ineffi zienzen im klassischen Modell. 5. Im klassischen Modell ist die Geldpolitik superneutral. 6. Ein Vorteil von ad hoc postulierten Modellen ist dass ihre Politikimplikationen auf dem optimierenden Verhalten von Agenten wie Unternehmen und Haushalten beruhen. 7. Unter der Annahme monopolistischer Konkurrenz setzen die Unternehmen Preise die den marginalen Produktionskosten entsprechen. 8. Die Fisher Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Inflationsrate und Outputgap. 9. Das Zeitkonsistenzproblem der Geldpolitik bezieht sich darauf, dass eine ex ante angekündigte Geldpolitik ex post nicht optimal sein muss. 10. Im neu-keynesianischen Modell hat erwartete Geldpolitik eine reale Wirkung. 11. Veränderungen in der Geldmenge beruhen immer auf Änderungen der Geldpolitik der Zentralbank. 12. Dass viele Zentralbanken Zinsen als geldpolitische Instrumente wählen, liegt darin begründet, dass die Geldnachfrage stabiler ist als die Investitionsnachfrage. 13. Das Zeitinkonsistenzproblem in der Geldpolitik bezieht sich darauf, dass eine Zentralbank nicht in jeder Periode die gleiche Politik betreiben will. 14. Bei Calvo Preisanpassungskosten passen die Firmen in jeder Periode ihre Preise an, die am meisten von der Anpassung der Preise profitieren.

42 152 ANHANG A. AUFGABENSAMMLUNG 15. Im neu-klassischen dynamischen Gleichgewichtsmodell hat die institutionelle Ausgestalltung der Zentralbank keinen Einfluss auf die reale Ökonomie. 16. Eine Zentralbank sollte unterproportional mit ihrer Zinspolitik auf Schwankungen in der Inflation reagieren, da sie sonst die Stabilität der Ökonomie gefährdet. 17. Aus einer signifikant positiven Korrelation von Geldmengenänderungen und Outputänderungen kann man schließen, dass eine systematische Geldpolitik zu realwirtschaftlicher Stabilität beitragen kann. 18. Die Friedman Regel besagt, dass man die Inflationsrate bei Null stabilisieren sollte. 19. Die Lucas Kritik besagt, dass Geldpolitik immer wirkungslos ist. 20. Unter rationalen Erwartungen ist es der Geldpolitik möglich Abweichungen des Outputs von seinem natürlichen Niveau gezielt herbeizuführen. 21. Ein zentrales Argument der Lucas Kritik ist das die Geldpolitik nicht exogen, sondern ein Teil des ökonomischen Rahmens in dem die Wirtschaftssubjekte sich optimal Verhalten ist. 22. Das Calvo Modell der Preisanpassung basiert auf der Annahme vollkommenen Wettbewerbs, d.h. Marktmacht bei der Preissetzung. 23. Wir bezeichnen die dauerhafte Refinanzierung bestehender Schulden durch die Aufnahme von Krediten als ein Ponzi Schema. 24. Das Baumol-Tobin Modell liefert eine theoretische Begründung für eine Geldnachfragefunktion. 25. Die Fisher Gleichung beschreibt einen Zusammenhang zwischen Nominalzins, Realzins und der Inflationsrate. 26. Nach der Quantitätstheorie besteht kein Zusammenhang zwischen Geldmenge und Inflationsrate. 27. Die Konsum Euler-Gleichung ist eine zentrale Gleichung der modernen Makroökonomik. Sie beschreibt den Zusammenhang zwischen realem Lohn und dem Arbeitsangebot.