Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M GK HT 4 Seite 1 von 8. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Grundkurs

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1 Seite 1 von 8 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 01 Mathematik, Grundkurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie ohne Alternative. Aufgabenstellung 1 siehe Prüfungsaufgabe 3. Materialgrundlage entfällt 4. Bezüge zu den Vorgaben Inhaltliche Schwerpunkte Lineare Gleichungssysteme für n >, Matrix-Vektor-Schreibweise, systematisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Geraden- und Ebenengleichungen in Parameterform und Koordinatenform, Lagebeziehung von Geraden und Ebenen Standard-Skalarprodukt mit den Anwendungen Orthogonalität und Länge von Vektoren. Medien/Materialien entfällt 5. Zugelassene Hilfsmittel Wissenschaftlicher Taschenrechner (ohne oder mit Grafikfähigkeit) Mathematische Formelsammlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 1 Die Aufgabenstellung deckt inhaltlich alle drei Anforderungsbereiche ab.

2 Seite von 8 6. Vorgaben für die Bewertung der Schülerleistungen 6.1 Modelllösungen Modelllösung a) (1) Da es sich um eine gerade Pyramide mit zur x-y-ebene parallelen Grundfläche handelt, stimmen die x- und y-koordinaten der Pyramidenspitze S mit denen des Mittelpunkts M (4,5 4,5 1) ihrer quadratischen Grundfläche ABCD überein. Zur z-koordinate von M ist die Höhe der Pyramide zu addieren, so dass sich S (4,5 4,5 ) ergibt. () AB 1m wie vorausgesetzt. Das Dreieck ABS ist gleichschenklig mit AS BS 0,5 0,5 1 m 1, m (3) Das Volumen der Pyramide beträgt V Gh 11m m Ihre Oberfläche besteht aus der 1m großen Grundfläche und der Mantelfläche. Die Mantelfläche besteht aus vier [kongruenten] Dreiecken mit der Grundseitenlänge 1 m und der Höhe somit h 1 0,5 m 1,5m. Der Inhalt jeder Dreiecksfläche beträgt 1 1 1,5m A. Der Oberflächeninhalt der Pyramide ist 1 O 1m 4 1 1,5m 3,4m. Modelllösung b) Die Lichtquelle befindet sich im Punkt L 4,5 1. Offenbar wird nur die Pyramidenfläche BCS von den Lichtstrahlen getroffen. Daher sind die Schnittpunkte B, C und S der Geraden LB, LC und LS mit der x-z-ebene ( y 0 ) die Eckpunkte des Schattendreiecks BCS : 4,5 0,5 LB : x t schneidet für 4 t die x-z-ebene in 5, B. 4,5 0,5 LC : x u schneidet für 4 u die x-z-ebene in 3, C.

3 Seite 3 von 8 4,5 0 LS : x v 4,5 1 1 schneidet für v die x-z-ebene in 4,5 0 3 S. Das Dreieck BCS ist wegen gleichschenklig. BS 1,15 m CS Es hat die Grundseitenlänge BC,5m und die Höhe m. Sein Flächeninhalt beträgt daher,5 m. Modelllösung c) (1) Die Seitenhalbierende der Dreiecksseite AB ist die Strecke SM AB, wobei M AB 5 4,5 1 der Mittelpunkt von AB ist. Der Mittelpunkt der Strecke SM AB ist 4,5 5 4,5 4,5 1 M M(4,75 4,5 1,5). Damit ist gezeigt, dass M Mittelpunkt der Seitenhalbierenden der Dreiecksseite AB ist. () Der Vektor v 0 1 ist wegen 0 v AB und 0,5 v AS 0 0, orthogonal zu den beiden Seitenvektoren AB und AS und somit orthogonal zur Dreiecksfläche ABS. Daher verläuft der Laserstrahl in Richtung des Vektors v. 4,75 Der Laserstrahl verläuft entlang der Geraden l : x 4,5 r 0 parallel zur 1,5 1 x-z-ebene. Offenbar befindet sich die gesuchte Position P der Laser-Lichtquelle an der vorderen Hallenwand (vgl. Abbildung). Daher gilt für die x-koordinate von P: xp. 4,75 Aus xp yp 4,5 r 0 ergibt sich r,15 und zp 3,65. z P 1,5 1 P ( 4,5 3,65) ist die gesuchte Position der Laser-Lichtquelle an der Wand der Halle.

4 Seite 4 von 8 Modelllösung d) (1) Zeichnung: z * E 1 m 1 m 1 m D A S B C L Position der Lichtquelle aus b) y x Abbildung () Die Ebenengleichung von für ; 4,5;1,5 S S * E liefert für B; B 5; r s den Ortsvektor des Punktes B, r s den Ortsvektor des Punktes S. Daher liegen die Punkte B und S und mit ihnen auch die Strecke BS sowohl [per definitionem] in der Ebene auch in der Ebene * E und somit auf der Schnittgeraden g von * E und E BCS. E BCS als [Alternativ kann auch zuerst eine Gleichung der Schnittgeraden g berechnet werden.]

5 Seite 5 von 8 6. Teilleistungen Kriterien Teilaufgabe a) 1 (1) zeigt, dass die Pyramidenspitze die Koordinaten S (4,5 4,5 ) hat. 4 () berechnet die Seitenlängen des Dreiecks ABS. 4 3 (3) bestimmt das Volumen und den Oberflächeninhalt der Pyramide. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe b) 1 ermittelt die Koordinaten der Eckpunkte des Schattendreiecks. 6 zeigt, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt. 3 3 berechnet seinen Flächeninhalt. 3 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe c) 1 (1) zeigt, dass M der Mittelpunkt der Seitenhalbierenden der Dreiecksseite AB ist. 6 () zeigt, dass der Laserstrahl in Richtung des Vektors l verläuft. 4 3 () ermittelt die Koordinaten der Position der Laser-Lichtquelle an der Wand der Halle. 6 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet. Teilaufgabe d) 1 (1) zeichnet die Spur des rotierenden Laserstrahls in die Abbildung ein. 4 () entscheidet, ob die Pyramidenkante BS auf der Schnittgeraden g liegt. 4 Der gewählte Lösungsansatz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Sachlich richtige Alternativen werden an dieser Stelle mit entsprechender bewertet.

6 Seite 6 von 8 7. Bewertungsbogen zur Prüfungsarbeit Name des Prüflings: Kursbezeichnung: Schule: Teilaufgabe a) 1 (1) zeigt, dass die 4 () berechnet die Seitenlängen 4 3 (3) bestimmt das Volumen 6 sachlich richtige Alternativen: (14) Summe Teilaufgabe a) 14 EK ZK DK Teilaufgabe b) 1 ermittelt die Koordinaten 6 zeigt, dass es 3 3 berechnet seinen Flächeninhalt. 3 sachlich richtige Alternativen: (1) Summe Teilaufgabe b) 1 EK ZK DK EK = Erstkorrektur; ZK = Zweitkorrektur; DK = Drittkorrektur

7 Seite 7 von 8 Teilaufgabe c) 1 (1) zeigt, dass M 6 () zeigt, dass der 4 3 () ermittelt die Koordinaten 6 sachlich richtige Alternativen: (16) Summe Teilaufgabe c) 16 EK ZK DK Teilaufgabe d) 1 (1) zeichnet die Spur 4 () entscheidet, ob die 4 sachlich richtige Alternativen: (8) Summe Teilaufgabe d) 8 EK ZK DK Summe insgesamt 50 Festlegung der Gesamtnote (Bitte nur bei der letzten bearbeiteten Aufgabe ausfüllen.) Übertrag der Punktsumme aus der ersten bearbeiteten Aufgabe 50 Übertrag der Punktsumme aus der zweiten bearbeiteten Aufgabe 50 der gesamten Prüfungsleistung 100 aus der Punktsumme resultierende Note Note ggf. unter Absenkung um ein bis zwei Notenpunkte gemäß 13 Abs. APO-GOSt EK ZK DK Paraphe

8 Seite 8 von 8 ggf. arithmetisches Mittel der Punktsummen aus EK und ZK: ggf. arithmetisches Mittel der Notenurteile aus EK und ZK: Die Klausur wird abschließend mit der Note: ( Punkte) bewertet. Unterschrift, Datum Grundsätze für die Bewertung (Notenfindung) Für die Zuordnung der Notenstufen zu den en ist folgende Tabelle zu verwenden: Note Punkte Erreichte sehr gut plus sehr gut sehr gut minus gut plus gut gut minus befriedigend plus 6 65 befriedigend befriedigend minus ausreichend plus ausreichend ausreichend minus mangelhaft plus mangelhaft 3 7 mangelhaft minus ungenügend 0 1 0

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