Graphentheorie und Anwendungen. Peter Eichelsbacher, Ruhr-Universität Bochum

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1 Graphentheorie und Anwendungen Peter Eichelsbacher, Ruhr-Universität Bochum 2005

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation, Beispiele 3 2 Grundbegriffe der Graphentheorie 7 3 Hamiltonkreise und Eulertouren 15 4 Bäume 25 1

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5 KAPITEL 1 Motivation, Beispiele Wir wollen im Rahmen dieses kurzen Einblicks in das mathematische Teilgebiet Graphentheorie einige Fragen stellen und beantworten, frei nach einem berühmten Mathematiker, Georg Cantor, der 1867 bemerkte: In der Mathematik ist die Kunst des Fragestellens öfter gebräuchlich als die des Lösens! Wir wollen z.b. die folgenden Fragen stellen bzw. lösen. (1) Königsberger Brückenproblem, 1736, Leonhard Euler Fluss: Pregel, 18. Jahrhundert A B D C Kann man einen Spaziergang durch die Stadt machen und dabei über jede Brücke gehen, aber über jede nur einmal? Und nach dem Spaziergang möchte man wieder nach Hause, d.h. zum Ausgangspunkt zurückkehren. 3

6 (2) Das Haus vom Nikolaus Entscheide, ob man das Bild zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu ziehen! (Bei der späteren Betrachtung Eulerscher Kreise und Wege werden wir den Unterschied zwischen (1) und (2) klar herausarbeiten.) (3) Reisepläne Berlin Amsterdam Köln Frankfurt Paris Wien Städtetour mit Euro - Ticket: Start in Berlin, Fahrt durch alle im Plan eingezeichneten Städte, durch jede nur einmal, und Fahrt soll in Berlin enden (jede Stadt einmal besuchen, es muss nicht jede Strecke abgefahren werden; Hamilton Graph/Kreis). Dies muss keine eulersche Tour sein. (4) eine günstigste Rundreise Das Problem ist als Problem des Handlungsreisenden (Traveling Salesman Problem, (TSP) ) bekannt: Ein Geschäftsmann muss in mehreren Orten Kunden betreuen und danach in sein Büro zurückkehren. Er möchte seine Fahrtroute so planen, dass er durch jeden Ort nur einmal kommt und dass außerdem die zurückgelegte Strecke möglichst kurz wird ( kürzester hamiltonscher Kreis ). 4

7 (5) Chinese Postman Problem Suche geschlossenen Weg durch Zufallsgebiet, möglichst kurz (in (3) und (4): nur an den Straßenecken Briefkästen ). (6) aufspannende Bäume In einer ländlichen Gegend sollen zwischen mehreren Ortschaften Straßen neu gebaut werden. Es soll jeder Ort von jedem anderen Ort auf einer der Straßen erreicht werden können. (7) minimal aufspannender Baum Wenn in (6) noch die gesamten Baukosten möglichst niedrig sein sollen, sucht man einen minimalen aufspannenden Baum. ( aufspannender Baum: Minimallösung) (8) kürzeste Wege Wir haben einen Straßenplan vor uns und befinden uns an einer Stelle u. Wir möchten von u in möglichst kurzer Zeit nach v kommen. (9) Das Labyrinth - Problem Labyrinth an einer Stelle betreten, alle Wege im Labyrinth erkunden und wieder herausfinden. Sollten wir zu den gestellten Problemen Lösungen finden können, so sind wir jeweils auch an einem Verfahren interessiert, die jeweilige Lösung zu finden, also an einem Algorithmus. Wir versuchen, die allermeisten der genannten Probleme zu lösen, hier und da werden wir richtig beweisen. Zunächst benötigen wir eine Sprache. Wir führen ein paar Grundbegriffe der Graphentheorie ein. Mathematik treiben heißt hier, eine klare Sprache einzuführen und mit Hilfe dieser Sprache die gestellten Probleme zu lösen, und zwar nicht ad hoc, sondern zu beweisen, dass die Probleme gelöst sind bzw. die vorgestellten Algorithmen immer funktionieren! Es bleibt im Rahmen dieser Einführung keine Zeit, die Lösungsverfahren zu implementieren. 5

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9 KAPITEL 2 Grundbegriffe der Graphentheorie Wir wollen nun Grundbegriffe der Graphentheorie einführen. Ein Graph besteht aus Ecken (Knoten) und Kanten, wobei eine Kante genau zwei Ecken verbindet. Je zwei Ecken können also durch keine, eine oder mehr als eine Kante verbunden sein. Notation: G(E, K); E: Knotenmenge; K: Kantenmenge. Anwendungen: Man denke an Straßennetze; Städteverbindungen; chemische Moleküle - C n H 2n+1 OH (Summenformel) - graphischer Aufbau (Strukturformel); elektrische Netzwerke. 2.1 Beispiele (1) Königsberger Brückenproblem A B C D Lösung des ersten Problems? (2) Haus vom Nikolaus 7

10 (3) Labyrinth Start S Ziel Z Repräsentation als Graph (4) vollständige Graphen Ein Graph heißt vollständig, wenn jede Ecke mit jeder anderen Ecke durch genau eine Kante verbunden ist. K n bezeichnet den vollständigen Graphen mit n Ecken. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 (5) Schlingen und Mehrfachkanten sind grundsätzlich zugelassen. Graphen heißen einfach genau dann, wenn keine Schlingen und keine Mehrfachkanten enthalten sind. (Wir wollen fast immer einfache Graphen studieren.) 8

11 (6) verschiedene Diagramme für den selben Graphen aus (2) p q t s r q t p r s (7) Weitere Beispiele: Gittergraphen (M m,n ) m n Knoten wie in einem Gitter mit m Zeilen und n Spalten verbinden Kreis (C n ) n Knoten, die zyklisch miteinander verbunden sind Weg/Pfad (P n ) n + 1 Knoten und n Kanten, die aufeinanderfolgende Knoten miteinander verbinden. d-dimensionaler Hyperwürfel Q d Knoten: Menge aller 0 1-Folgen der Länge d; zwei solche Knoten sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sich ihre Folgen an genau einer Stelle unterscheiden. (Übung: K 5, M 4,5, C 5, P 4, Q 3 zeichnen) Weitere Grundbegriffe: Die Anzahl der Kanten, die von einer Ecke e E ausgehen, bezeichnet man als Grad der Ecke, in Notation deg(e). deg(e) = 0: isolierte Ecke deg(e) = 1: Blatt Beispiele: K n : deg(e) = n 1 C n : deg(e) = 2 für alle e für alle e Wir betrachten einfache Graphen: 9

12 2.2 Satz (Mathematische Formel / Handschlaglemma) deg(e) = 2 K, e E denn jede Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu der Summe der Grade. Also folgt auch: 2.3 Korollar In endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. (Sonst wäre die Summe der Grade ungerade, was nach obiger Formel nicht geht.) Ein paar Begriffe noch: 2.4 Definition G(E, K) sei ein Graph; ein Graph G(F, L) mit F E und L K heißt Untergraph, Teilgraph, Subgraph. Im Fall E = F heißt G(F, L) aufspannender Untergraph (spanning subgraph). 2.5 Definition G(E, K) heißt zusammenhängend genau dann, wenn je zwei Knoten e, f E durch einen Weg verbunden werden können (ein Weg von e nach f existiert). Größte zusammenhängende Teilgraphen von G(E, K) heißen Komponenten (Wenige Kanten sind ein Hinweis auf viele Komponenten). 3 Komponenten Ein schönes Resultat: 2.6 Satz Jeder Graph G(E, K) enthält mindestens E K viele Komponenten. 2.7 Korollar Für jeden zusammenhängenden Graphen G(E, K) gilt K E 1. (Denn hier haben wir genau eine Komponente und mit Satz 2.6 ist E K 1.) 10

13 Wir wagen einen Beweis des obigen Satzes: Sei m := K. Ist m = 0, so hat G(E, K) keine Kante, jede Ecke ist eigene Komponente, also gibt es E Komponenten. Es sei nun G(E, K) ein Graph mit K = m + 1. Es sei k K und K = K \ {k}, also K = m und betrachte G(E, K ),. K hat (nach Induktionsvoraussetzung) mindestens E m viele Komponenten. Nun nehmen wir die Kante k wieder hinzu. Liegen beide Ecken von k in G(E, K ) in der gleichen Komponente, so ist die Anzahl der Komponenten unverändert; andernfalls verringert sie sich um eins (wenn beide Ecken von k in G(E, K ) in verschiedenen Komponenten liegen). Also hat G(E, K) mindestens E m 1 viele Komponenten. 2.8 Definition Zwei Graphen G(E 1, K 1 ) und G(E 2, K 2 ) heißen isomorph, wenn es eine 1-1-Abbildung ϕ : E 1 E 2 gibt mit e, f E 1 mit: e durch Kante verbunden mit f ϕ(e), ϕ(f) E 2 mit: ϕ(e) durch Kante verbunden mit ϕ(f). Notation: G(E 1, K 1 ) = G(E 2, K 2 ) 2.9 Bemerkung Zwei Graphen sind genau dann isomorph, wenn der eine Graph aus dem anderen Graphen durch Umbenennung der Knoten hervorgeht. Weitere Diagramme: ein zusammenhängender Graph ein nichtzusammenhängender Graph 11

14 Graph und Eckengrade A D A B C isomorph zu B D C nicht isomorph zu nicht isomorph zu 12

15 nicht isomorph zu nicht isomorph zu Beide Graphen haben 5 Ecken und 6 Kanten, davon 3 Ecken mit Grad 2, 2 Ecken mit Grad 3. Im linken Graphen sind die Ecken mit Grad 3 verbunden, rechts hingegen nicht. 13

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17 KAPITEL 3 Hamiltonkreise und Eulertouren Wir machen uns nun daran, die gestellten Probleme (1) - (5) aus Kapitel 1 zu lösen. Wir führen dazu die Begriffe Hamiltonkreis und Eulertour ein. Sir William Rowan Hamilton ( ) erfand 1859 das Spiel Around the world. Die Punkte eines Dodekaeders stellen Städte dar. Die Aufgabe besteht darin, entlang der Kanten des Dodekaeders eine Rundreise zu unternehmen, bei der man jede Stadt genau einmal besucht. Seit Platon ist bekannt, dass es nur fünf reguläre konvexe Polyeder gibt. (Alle seine Oberflächen bestehen aus denselben regelmäßigen Vielecken und in jeder Ecke stoßen gleich viele dieser Vielecke zusammen.) Tetraeder (4 Dreiecke) (tetra) Hexaeder (6 Quadrate) (hexa) Oktaeder (8 Dreiecke) (okta) Pentagon: Dodekaeder (12 Fünfecke) (pentagon)(gr. dodeka = 12) Ikosaeder (20 Dreiecke) (gr. eikosa = 20) Wir betrachten einfache, endliche Graphen ( E < ). 15

18 3.1 Definition Es sei G(E, K) ein endlicher Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Weg; ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Kreis oder Hamiltonkreis. G(E, K) heißt hamiltonsch genau dann, wenn G einen hamiltonschen Kreis enthält. Siehe Kapitel 1, Beispiele (3) und (4), (Traveling Salesman Problem). Welche Algorithmen für das Auffinden eines Hamiltonkreises gibt es? Das Entscheidungsproblem Gegeben sei ein Graph, enthält er einen Hamiltonkreis? ist N P-vollständig (Richard Karp; 1972). Dies bedeutet in etwa: Man wird keinen Algorithmus finden können, der entscheidet, ob ein Graph hamiltonsch ist und dessen Laufzeit polynomial in der Größe des Graphen (Anzahl Knoten und Kanten) ist. Man wendet alternativ heuristische und nicht exakte Verfahren an. 3.2 Satz von Dirac Erfüllt ein Graph G(E, K) die Bedingung deg(x) + deg(y) E für alle x, y E, x y, {x, y} K, so enthält er einen Hamiltonkreis. Intuitiv ist plausibel, dass die Existenz eines Hamiltonkreises umso wahrscheinlicher ist, je mehr Kanten der Graph hat. Erfüllt ein Graph deg(e) E /2 für jeden Knoten, so ist er hamiltonsch (Dirac). Wir wollen einen Beweis uns zumindest plausibel machen. Zuvor wollen wir hamiltonsche Graphen noch etwas diskutieren. Betrachte 16

19 Ein hamiltonscher Kreis dieses Graphen = F A E D C B Entfernt man eine Ecke und mit ihr alle Kanten, die zu dieser Ecke führen, so bleibt der Graph zusammenhängend. Daraus folgt: Ist es möglich, in einem Graphen eine Ecke zu entfernen und mit ihr alle Kanten, die in ihr enden, und zerfällt der Graph dann in zwei oder mehr Teile, die nicht mehr zusammenhängend sind, so ist der Graph nicht hamiltonsch. K n ist hamiltonsch und wir zählen die hamiltonschen Kreise: K 3 enthält einen hamiltonschen Kreis. K 4 enthält 3 hamiltonsche Kreise. K n enthält (n 1)! 2 hamiltonsche Kreise. Daraus folgt 3.3 Satz Die Anzahl der hamiltonschen Kreise eines einfachen Graphen mit n Ecken ist höchstens (n 1)! 2. (Wir überlegen uns gemeinsam eine Begründung.) Beweis von Satz 3.2: Angenommen, es existiert G(E, K), der die Bedingungen des Satzes erfüllt, aber keinen Hamiltonkreis enthält. Unter allen Gegenbeispielgraphen mit Knotenmenge E wählen wir einen Graphen G, für den K maximal ist. Da K n einen Hamiltonkreis enthält, ist G K n. Folglich enthält G mindestens eine Nichtkante, also Knoten x, y, die nicht durch eine Kante verbunden sind. Wähle ein solches Paar und füge die verbindende Kante hinzu. Der neue Graph G erfüllt die Voraussetzungen des Satzes, denn G ist ein maximales 17

20 x = v 1 v n = y v 2 v n 1 v 3 v i v i+1 Gegenbeispiel. G enthält also einen Hamiltonkreis C. C muss die Kante xy enthalten. Nummeriere nun die Knoten in C so, dass Setze y = v n S T S T < E = n C = (x = v 1, v 2,..., v n = y). S := {v i 1 i n; xv i+1 ist Kante ( K)} T := {v i 1 i n; yv i ist Kante} Weiter ist S = deg(x), T = deg(y). S T > 0 nach Voraussetzung. Also ist S T nicht leer. Es sei v i S T. Ersetze xy und v i v i+1 durch xv i+1 und yv i. Man erhält einen Hamiltonkreis in G. Dies ist ein Widerspruch! 3.4 Beispiele (1) Sitzordnungen: Sechs Personen sollen so an einem runden Tisch Platz nehmen, dass jeder zwischen zwei Personen sitzt, die er schon kennt. {A,..., F } A, B, D, E; }{{} hier kennt jeder jeden B, C, F ; }{{} A, F ; }{{} C, D }{{} Kann man die Personen wie gewünscht plazieren? 18

21 Der Bekanntschaftsgraph E D F C A B ist hamiltonsch. Setze die Leute entsprechend einem hamiltonschen Kreis an den Tisch: dann sitzt jeder wie gewünscht neben zwei Bekannten. B A F E D C Dies ist eine mögliche Sitzordnung. (2) Traveling Salesman Problem: geplante Rundreise mit möglichst niedrigem Gesamtwert (bewertete Graphen) 6 Städte: 60 Rundfahrten möglich = 5! 2 20 Städte: / 2 riesige, utopische Laufzeit für Algorithmus 3.5 Definition Eine Eulertour in einem Graphen ist ein Weg, der jede Kante des Graphen genau einmal enthält und dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Enthält der Graph eine Eulertour, so nennt man ihn eulersch (eulerscher Kreis). zu den Beispielen (1) und (2) aus Kapitel 1: (1) scheint nicht eulersch zu sein und auch keinen eulerschen Weg zu enthalten. Das Haus des Nikolaus enthält einen eulerschen Weg (man fange links oder rechts unten an, denn nur diese Knoten haben Grad 3). 19

22 Nikolaus mit Keller ist eulersch. Zu (1): alle Ecken haben ungeraden Grad. Wie bei (2) müsste jede Ecke Anfangs- oder Endpunkt des Spaziergangs sein! Vor einer Charakterisierung eulerscher Graphen ein Vergleich zu hamiltonsch: eulersch: jede Kante genau einmal hamiltonsch: jede Ecke genau einmal e + h e h e h e h 3.6 Satz Ein zusammenhängender Graph G(E, K) ist genau dann eulersch, wenn der Grad aller Knoten gerade ist. Beweis: Enthält G eine Eulertour, so ist der Grad deg(e) aller Knoten e E gerade, denn aus jedem Knoten geht man genauso oft heraus wie herein. Für die andere Richtung folgt ein algorithmischer Beweis. Der Knoten v 1 sei beliebig gewählt. Durchlaufe von v 1 aus Kanten des Graphen in beliebiger Reihenfolge, aber keine Kante mehr als einmal. Da alle Knotengrade gerade sind, gibt es zu jedem Knoten v 1, den wir auf dem Weg finden, eine noch unbenutzte Kante, über die wir diesen Knoten wieder verlassen. Der Weg (W 1 ) muss wieder in v 1 enden. Es kann passieren, dass man dann noch nicht alle Kanten durchlaufen hat. In diesem Fall existiert mindestens ein Knoten v 2 in W 1, der zu einer noch nicht benutzten Kante inzident ist, schließlich ist der Graph zusammenhängend. Starte in v 2 obigen Prozess, finde Weg W 2, der in v 2 beginnt und endet. W 1 20

23 und W 2 kann man zu einem neuen Weg verschmelzen. Man laufe auf W 1 von v 1 zu v 2, dann W 2 und zuletzt das verbliebene Teilstück von W 1. Wähle, falls noch nicht fertig, v 3 wie oben und fahre so fort. Dies ist der Algorithmus von Hierholzer, a b c d e h g f An diesem Graphen lässt dich der Algorithmus schön demonstrieren. Eigenschaften: Der Algorithmus ist korrekt Zeitkomplexität O( K ) (5) aus Kapitel 1 kann mit der Eulertour-Charakterisierung plus einer Lösung von (8) (siehe ebenfalls Kapitel 1) erhalten werden. Weitere Anwendungen: Beginn einer Ausstellung 21

24 wird repräsentiert durch den Graphen Da der Grad aller Ecken gerade ist, ist der Graph eulersch. Domino usw., Einträge {0,..., 6} Lege die Steine so aneinander, dass gleiche Zahlen benachbart sind. Gibt es eine Kette, die sich schließt, keine Verzweigungen enthält und bei der alle 28 Steine untergebracht werden? 22

25 0 zwei gleiche Augenzahlen Grad(Ecke) = 8 23

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27 KAPITEL 4 Bäume Wir machen uns nun an die Probleme, die mit sogenannten Bäumen zu tun haben. Dazu klären wir den Begriff Baum genau. 4.1 Definition Ein Graph heißt ein Baum, falls er zusammenhängend ist und keine Kreise enthält. Ein Graph, dessen Komponenten jeweils Bäume sind, heißt ein Wald. Bäume: H H C H Methan H Isobutan Kohlenwasserstoffverbindungen (Isomere) Cayley beschäftigte sich Ende des 19. Jahrhunderts mit der Frage, wie viele verschiedene Isomere einer bestimmten Zusammensetzung existieren. Bäume mit höchstens 5 Ecken: 25

28 auch Bäume: G(E, K) sei ein zusammenhängender Graph. Ein Teilgraph T, der ein Baum der Ordnung n = E ist, heißt ein aufspannender Baum (manchmal Gerüst). Jeder zusammenhängende Graph G besitzt aufspannende Bäume. Denn entweder ist G bereits ein Baum, dann sind wir fertig, oder G besitzt einen Kreis C. Entfernen wir aus C eine Kante k, so ist G 1 = G(E, K \ {k}) immer noch zusammenhängend. Entweder ist G 1 ein aufspannender Baum oder G 1 besitzt wieder einen Kreis, C 1. Wir entfernen eine Kante k 1 aus C 1 u.s.w. Nach endlich vielen Schritten erhalten wir einen aufspannenden Baum. (Anderer Weg: wähle aus G eine beliebige Kante aus, dann eine zweite, eine dritte usw. und achte jeweils darauf, dass kein Kreis entsteht. Wenn alle Ecken an einer dieser Kanten hängen, ist der aufspannende Baum fertig.) In der Anwendung bei Versorgungssystemen (Wasser, Strom, Telefon) benutzt man keine Bäume, denn bei defekten Leitungen muss das System noch mindestens ein aufspannender Baum sein! 4.2 Satz Es sind äquivalent (1) G(E, K) ist ein Baum. (2) Je zwei Ecken in G sind durch genau einen Weg verbunden. (3) G ist zusammenhängend und E 1 = K. (Erinnerung: in jedem zusammenhängenden Graphen ist K E 1, also: ein Baum hat eine minimale Kantenzahl.) 26

29 Wir sind jetzt schon geübter im Argumentieren und beweisen daher diesen Satz: Beweis: (1) (2) Wären u und v durch zwei Wege verbunden, so ergäbe dies einen Kreis. (2) (3) Ist C ein Kreis, so sind je zwei Ecken in C durch zwei verschiedene Wege verbunden. (1) (3) Ein Baum besitzt Ecken vom Grad 1, denn: ist P = u, u 1,..., v ein längster Weg in G, so sind alle Nachbarn von u in P, also ist deg(n) = 1 und auch deg(v) = 1, da G keine Kreise hat! Entferne u und die inzidente Kante uu 1, so erhalten wir einen Baum G 1 (E 1, K 1 ) auf n 1 Ecken mit E 1 K 1 = E K. Nach n 2 Schritten erhalten wir einen Baum G n 2 auf 2 Ecken, G n 2 = K 2 und es gilt E K = E n 2 K n 2 = 1. (3) (1) Sei T ein aufspannender Baum von G. Dann ist also K(G) = K(T ), also G = T. 1 = E(G) K(G) E(T ) K(T ) = 1, Wie viele aufspannende Bäume hat ein Graph G? Im allgemeinen ist diese Frage schwer zu beantworten. Für K n geben wir eine Formel an. Die Anzahl der aufspannenden Bäume von K n sei t(n). Dann gilt t(n) = n n 2 (Formel von Cayley) n = 2 t(2) = 1 n = 3 t(4) = t(3) = 3 (Übung: Liste erstellen) Wie viele Bäume auf n Ecken gibt es? (Jeder Baum mit n Ecken kann zu einem K n ergänzt werden, ist also ein aufspannender Baum des K n.) 4.3 Satz (Formel von Cayley) Aus n Ecken kann man n n 2 Bäume herstellen. Anwendung: Strategie für Labyrinthe, Straßenbahnnetze (ohne Details) 27

30 Beweis: E = {1,..., n}. Konstruiere eine Bijektion auf M = {(a 1,..., a n 2 ) mit 1 a i n, a i N}, M = n n 2. (I) Unter allen Ecken von Grad 1 suche jene mit minimaler Nummer v. Die Nummer des Nachbarn von v ist a 1. (II) Entferne v und die inzidente Kante, dies ergibt einen Baum auf n 1 Ecken. Gehe zu (I) und führe die Vorschrift (n 2) mal aus. Dies liefert a 1, a 2,..., a n (1, 8, 3, 1, 4, 4, 8) 5 Zeige weiter, dass zu jeder Folge (a 1, a 2,..., a n 2 ) genau ein Baum T existiert. Seit d i = Grad(i). Angenommen, i erscheint f i -mal in der Folge. Da jedesmal, wenn i in die Folge aufgenommen wird, eine Nachbarecke von i entfernt wurde, haben wir f i d i 1 (denn i ist nach wie vor im Restbaum, hat also Grad 1). Also ist n n n 2 = f i (d i 1) = 2n 2 n = n 2, i=1 i=1 also f i = d i 1 für alle i. Die Nummern, die überhaupt nicht in der Folge auftauchen, sind die Ecken vom Grad 1. Inverse Zuordnung: (I) Suche das minimale b 1, welches nicht in der Folge (a 1,..., a n 2 ) auftritt, dies liefert Kante b 1 a 1. (II) Suche b 2 b 1 minimal, welches nicht in (a 2,..., a n 2 ) erscheint, u.s.w. a = (2, 2, 7, 5, 3, 9, 1, 1) b = (4, 6, 2, 7, 5, 3, 8, 9)

31 Somit haben wir Beispiel (6) aus Kapitel 1 betrachtet und gehen nun zu Beispiel (7) über. Wir bemerken hier nur noch, dass es einen Algorithmus gibt (Breadth-First Suche / Depth-First Suche), der zu einem vorgegebenen Graphen G und seiner Nachbarschaftsliste einen aufspannenden Baum oder allgemein einen aufspannenden Wald findet und erkennt, ob G zusammenhängend ist. (7) Minimal aufspannende Bäume Kommunikationsnetz: Schaltelemente / Ecken, Verbindungen / Kanten. Kosten der Verbindung zwischen u und v : w(uv) Aufgabe: Schaltplan konstruieren, so dass jedes Element mit jedem anderen kommunizieren kann und die Gesamtkosten minimal sind! Gewichteter Graph G(E, K); w : K R Gesucht ist ein aufspannender Baum T mit mininalem Gewicht w(t ) = ω(k). k K(T ) Naiv: Wähle Kante von minimalem Gewicht. Hat man schon j Kanten bestimmt, so wähle man als nächstes eine Kante minimalen Gewichts, so dass kein Kreis entsteht. Nach n 1 Schritten (n = E ) ist ein Baum konstruiert. Ist dieser Baum optimal? Antwort: ja. Der Greedy-Algorithmus (greedy = gierig) stammt von Kruskal und hat eine Laufzeit von O(q log q); q = K. Bemerkung: (I) Zunächst müssen wir die Kanten k i nach ihrem Gewicht anordnen: w(k 1 ) w(k 2 )... w(k q ); q := K. Zum Sortieren der q Gewichte w(k i ) werden O(q log q) Vergleiche benötigt. (II) Haben wir einen zusammenhängenden Graphen G = G(E, K) mit w : K R und ist E E und u eine Kante zwischen E und E \ E mit minimalem Gewicht, dann existiert ein minimaler aufspannender Baum für G, der u enthält. Beweis: Ist T minimaler aufspannender Baum, der u nicht enthält, so nehmen wir u zu T hinzu und entfernen eine Kante v, die E und E \ E verbindet. Da u minimal ist, erhöhen wir das Gewicht des aufspannenden Baums nicht. Auf (II) basiert der Beweis, dass der Algorithmus von Kruskal funktioniert. Intermezzo: minimale aufspannende Bäume und TSP 4.4 Satz G(E, K) sei ein vollständiger Graph mit Gewichtsfunktion w : K N. 29

32 TSP MST optimale TSP-Tour sei ein minimal aufspannender Baum. Dann gilt: w(mst) w(tsp) Beweis: Entnehme TSP eine beliebige Kante, so ist dies ein hamiltonscher Weg. Ein hamiltonscher Weg ist ein aufspannender Baum. w(tsp) w(hamiltonweg) w(mst). (8) Kürzeste Wege: Nun wollen wir noch einen hübschen und berühmten Algorithmus kennenlernen. Finde in einem bewerteten Graph zwischen zwei vorgegebenen Ecken einen Verbindungsweg mit der kleinsten Bewertung. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit entspreche die Bewertung der Länge (kürzeste Wege). Idee: Von Startecke aus nach und nach einen Baum wachsen lassen, bis er an die Zielecke stößt. Weg von Start nach Ziel. Beachte bei der Konstruktion, dass nur Kanten mit möglichst kleinen Bewertungszahlen verwendet werden. Wir sehen uns das Vorgehen zunächst an einem Beispiel an. A C 7 F D G B 6 E Gesucht ist der kürzeste Weg von A nach G! (I) B und C sind Nachbarn von A. B ist näher an A als C. 30

33 A 1 B 1 (II) C, D, E sind Nachbarn von A und B Ergänze alle Kanten, die von A oder B zu C, D oder E führen, zu Wegen, die von A ausgehen! AC ABD ABE A 4 D 1 3 B 1 (III) Die Nachbarn von A, B oder D sind C, E, F. Kanten, die von ihnen zu A, B oder D führen: AC ABDC ABE ABDE ABDF C 5 A 4 D 1 3 B 1 (IV) Verbleibende Nachbarn: E, F 31

34 ACF ABDF ABE ABDE C 5 A 4 D 1 3 B 6 1 E 7 (V) ACF ABDF ABEG A C D 1 3 B G 3 E 7 (VI) Problem gelöst: Länge 10 Nebenergebnis: kürzeste Wege von A zu allen Ecken des Graphen (fehlt noch kürzester Weg von A zu F der Länge 12) gesammter aufspannender Baum: 25 Greedyalgorithmus: 20 A C F 2 6 D G B E Hier hat der Weg zur Ecke G die Länge 12! Mathematik: G(E, K) sei ein zusammenhängender Graph und w : K R + = {x R : x 0} eine Gewichtsfunktion, u E. Für einen 32

35 Weg P = P (u, v) von u nach v bezeichne mit l(p ) = k K(P ) w(k) die gewichtete Länge. Gesucht ist ein kürzester u, v Weg, für den also l(p ) minimal ist. d(u, v) sei die Länge eines kürzesten Weges. u sei fest gewählt. Algorithmus von Dijkstra: (I) u 0 = u, E 0 = {u 0 }, K 0 =, l(u 0 ) = 0. (II) Gegeben E i = {u 0,..., u i }, K i = {k 1,..., k i }. Falls i = n 1, so sind wir fertig. Andernfalls betrachte für alle Kanten k = vw mit v E i, w E \ E i den Ausdruck f(k) = l(v) + w(k) und wähle k mit f( k) = min f(k). Sei k = v w. Dann setze ui+1 = w, k i+1 = k, E i+1 = E i {u i+1 }, K i+1 = K i {k i+1 } und l(u i+1 ) = f( k). Iteriere (II)! 4.5 Satz In obiger Situation ergibt der Algorithmus von Dijkstra einen aufspannenden Baum T mit der Eigenschaft, dass der eindeutige Weg von u nach v stets ein minimaler u, v-weg in G ist mit d(u, v) = l(v) für alle v. Beweis: (nun aber noch einmal Luft holen) Der Algorithmus konstruiert einen aufspannenden Baum. Erster Schritt: Es wird eine Kante minimalen Gewichts von u = u 0 zu einem Nachbarn gewählt. Somit ist k 1 = u 0 u 1 minimaler u 0 u 1 -Weg mit l(u 1 ) = w(k 1 ) = d(u 0, u 1 ). Angenommen, T i (E i, K i ) habe die gewünschten Eigenschaften und (II) liefert k = v w. Wir müssen zeigen: l( w) = f( k) = l( v) + w( k) ist gleich d(u 0, w) für u 0 w - Weg P 0 ist l(p 0 ) = d(u 0, v) + w( k) = l( v) + w( k) = l( w). P sei ein kürzester u 0 w - Weg und v die letzte Ecke von E i in P mit w E \ E i als Nachfolger, k = vw. Dann sind Teilwege P (u 0, v), P (w, w) ebenfalls kürzes- 33

36 te Wege (!), also d(u 0, w) = l(p (u 0, v)) + w(k) + l(p (w, w)) = l(v) + w(k) + l(p (w, w)) = f(k) + l(p (w, w)) f( k) = l( w) = l(p 0 ), also ist P 0 ein kürzester Weg. Ergänzung zu (5): Chinese Postman Problem Traveling Salesman Problem Ist der Graph eulersch, kann der Briefträger jede eulersche Tour wählen: Sie enthält sämtliche Straßen genau einmal und kürzer als ihre gesamte Länge kann der Weg des Briefträgers nicht sein. Ist der Graph nicht eulersch, so mache den Graphen mit möglichst kurzen zusätzlichen Kanten eulersch. Es habe der Graph genau zwei Ecken mit ungeradem Grad. Gehe die Straße zweimal, die diese Ecken verbindet. Suche also (I) den kürzesten Weg zwischen den beiden Ecken mit ungeradem Grad. (II) Verdopple die Kanten dieses Weges (III) Es ist ein eulerscher Graph entstanden: suche in ihm eine eulersche Tour. 34

37 Index Algorithmus, 5 Greedy-, 29, 32 von Dijkstra, 33 Baum, 25 aufspannender, 5, 26 Beweis algorithmischer, 20 Blatt, 9 Cantor, Georg, 3 Cayley, Arthur, 25 Chinese Postman Problem, 5, 34 Diagramm, 9 Dijkstra Algorithmus von, 33 Dodekaeder, 15 Domino, 22 Ecke, 7 isolierte, 9 Eckengrad, 9, 12 Euler, Leonhard, 3 eulersch, 19 Eulertour, 15, 19 Gerüst, 26 Gittergraph, 9 Grad, 9, 12 Graph, 7 einfacher, 8 eulerscher, 19 Gitter-, 9 hamiltonscher, 4, 16, 20 nichtzusammenhängender, 11 Unter-, 10 vollständiger, 8 zusammenhängender, 10, 11 Graphentheorie, 5 Greedy-Algorithmus, 29, 32 Hamilton, William Rowan, 15 Hamiltonkreis, 4, 15, 16 Handlungsreisender, 4 Haus vom Nikolaus, 4, 7 Hierholzer, 21 Hyperwürfel, 9 Isomere, 25 Isomorphie, 11, 12 Königsberger Brückenproblem, 3, 7 Kante, 7 Mehrfach-, 8 Karp, Richard, 16 Knoten, 7 Kohlenwasserstoffverbindungen, 25 Komponenten, 10 Kreis, 9 hamiltonscher, 4, 16 Kruskal, 29 Länge gewichtete, 33 Labyrinth, 5 Mehrfachkante, 8 NP-vollständig, 16 Pfad, 9 Platon, 15 Schlinge, 8 35

38 Subgraph, 10 Teilgraph, 10 Traveling Salesman Problem, 4, 30 Untergraph, 10 aufspannender, 10 Wald, 25 Weg, 9 hamiltonscher, 16 kürzester, 5 36