SIMULINK. Lineare und nichtlineare Systeme

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1 SIMULINK Lineare und nichtlineare Systeme Simulation mit Simulink/Matlab WS/2

2 Inhalt SIMULINK Bibliothek Continuous Von der DGL zum Continuous-Block Linearisierung von Blockdiagrammen SIMULINK Bibliothek Discrete und Abtastsysteme SIMULINK Bibliotheken Discontinuities, Look Up Tables und User Defined Functions SIMULINK Bibliotheken Model Verification und Model Wide Utilities S Funktionen Simulation mit Simulink/Matlab WS/2

3 SIMULINK-Bibliothek Continuous Elemente zur Modellierung zeitkontinuierlicher Systeme Totzeiten /s Integrator x = Ax+Bu y = Cx+Du State Space u s 2 x dx Integrator, Second Order (s ) s(s+) Zero Pole PID(s) PID Controller Transport Delay s+ Transfer Fcn du/dt Derivative uvm. Simulation mit Simulink/Matlab WS/2

4 x L 0 SIMULINK Systeme Von der DGL zum Continuous-Block () Beispiel: Feder Masse Schwinger ohne Gewicht m m: Masse : Federkonstante x: Auslenkung aus Ruhelage Homogene DGL: m ẍ(t) }{{} Beschleunigende Kraft + κ x(t) }{{} Rückstellkraft der Feder = 0 }{{} u(t)=0 keine Anregung Lösung der homogenen DGL im Zeitbereich: x(t) = x 0 cos(ω 0 t) + v 0 ω sin(ω 0 0 t) mit ω 0 : Eigenfrequenz, ω 0 = κ m x 0 = x(t = 0): Anfangsauslenkung v 0 = ẋ 0 : Anfangsgeschwindigkeit Problem: Für jede Anregung u(t) 0 muss eine eigene spezielle Lösung der inhomogenen DGL berechnet werden! Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 2

5 Von der DGL zum Continuous-Block (2) x L 0 m m: Masse : Federkonstante x: Auslenkung aus Ruhelage Daher Übergang in den Frequenzbereich durch Laplacetransformation der Impulsantwort L { ẍ(t) + κ m }{{} Laplacetransformation x(t) = δ(t)} }{{} Anregung mit Dirac-Impuls Anwendung des Additions- und Differentiationssatzes (siehe z.b. Bronstein) ergibt mit x 0 = 0, ẋ 0 = 0: s 2 X(s) + κ m X(s) = Übertragungsfunktion: H(s) = X(s) (U(s)=) = X(s) = U(s) s 2 + ω0 2 In SIMULINK (z.b.): 0 s 2+2 Constant Transfer Fcn (with initial states) Scope Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 3

6 Zeitkontinuierliche Systeme und Continuous-Blöcke Beispiele zeitkontinuierlicher Systeme Zustandsdarstellung ) [ ] ( ) (ẋ 0 5 x = + ẋ x 2 y = [ 0 ] ( ) x + 0 u x 2 [ ] u 0. Realisierung in SIMULINK x = Ax+Bu y = Cx+Du State Space Übertragungsfunktion (Polynomform) H(s) = Y (s) U(s) = 4s3 + 5s 2 + 2s + s 4 + 8s 3 + 5s 2 + 4s + Übertragungsfunktion (faktorisierte Form) H(s) = Y (s) U(s) =.5 (s ) s(s + 3.)(s + 0.) Zusammengesetzte Übertragungsfunktionen H(s) = H (s) H 2 (s) = 3s + (s + 0.7) s(s + 3.) 4s 3+5s 2+2s+ s 4+8s 3+5s 2+4s+ Transfer Fcn.5(s+0.75) s(s+3.)(s+0.) Zero Pole 3s+ Transfer Fcn (s+0.7) s(s+3.) Zero Pole Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 4

7 Beispiel zu Continuous 0.5 Constant s xo Integrator 2 >= Relational Operator Scope Anfangswert Constant bsp continuous.mdl, S. 348 (6. Auflage), S. 358 (7. Auflage) Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 5

8 Linearisierung / Berechnung der Zustandsdarstellung () Linearisierung von nichtlinearen Simulinkmodellen an beliebigem Arbeitspunkt Berechnung der Zustandsdarstellung von linearen Simulinkmodellen aus Matlab / zeitkontinuierlich: Zustandsdarstellung: [A,B,C,D] = linmod( sys, x, u, para) Übertragungsfunktion: [num, den] = linmod( sys, x, u, para) Struktur: sys lin = linmod( sys, x, u, para) bzw. Zustandsdarstellung: [A,B,C,D] = linmod2( sys, x, u, para) Übertragungsfunktion: [num, den] = linmod2( sys, x, u, para) Struktur: sys lin = linmod2( sys, x, u, para) mit x, u, para optional Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 6

9 Linearisierung / Berechnung der Zustandsdarstellung (2) aus Matlab / zeitdiskret: Zustandsdarstellung:[Ad,Bd,Cd,Dd] = dlinmod( sys, Ts, x, u, para) Übertragungsfunktion: [numd, dend] = dlinmod( sys, Ts, x, u, para) Struktur: sysd lin = dlinmod( sys, Ts, x, u, para) mit x, u, para optional, Ts: Abtastzeit aus Simulink: Blöcke Time Based/Trigger Based Linearization Zuordnung Block Zustand [sizes,x0,xstring] = sys oder sys lin.statename Weitere Matlab Befehle zur Analyse anwendbar (ss, tf, zpk, bode, lsim) Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 7

10 Beispiel zur Linearisierung Anregung In 2s 2 +.5s+0. Strecke s+ Rückführpfad Scope Out 2 Out2 bsp linmod.mdl, S. 353 (6. Auflage), S. 362 (7. Auflage) Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 8

11 SIMULINK Abtastsysteme SIMULINK Bibliothek Discrete Elemente zur Modellierung zeitdiskreter Systeme Abtast- und Halteglieder K Ts z Discrete Time Integrator z+0.5 Discrete Transfer Fcn PID(z) Discrete PID Controller z z Difference y(n)=cx(n)+du(n) x(n+)=ax(n)+bu(n) Discrete State Space (z ) z(z 0.5) Discrete Zero Pole +0.5z Discrete Filter z Unit Delay uvm. Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 9

12 SIMULINK Abtastsysteme Von der Differenzengleichung zum Discrete Block L 0 Differenzengleichung des Feder-Masse- Schwingers: ( T 2 + κ m ) x k 2 T 2 x k + T 2 x k 2 = 0 x m z-transformation der zeitdiskreten Impulsantwort ergibt z-übertragungsfunktion: m: Masse : Federkonstante x: Auslenkung aus Ruhelage X(z) = ( T 2 + κ m ) 2 T 2z + T 2 z 2 in SIMULINK (z.b.): Step 2 20z +0z 2 Discrete Filter T = 0. Scope Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 0

13 SIMULINK Abtastsysteme Allgemeines Zeitdiskrete Blöcke: Abtaster am Eingang (intern) Zero-Order Hold am Ausgang (intern) vom Benutzer muß zugehörige Abtastzeit manuell eingetragen werden Abtastzeit: sample time = [T offset] t = k T + offset Vererbung: sample time = Simulation mit Simulink/Matlab WS/2

14 SIMULINK Abtastsysteme Simulationsparameter rein zeitdiskrete Systeme discrete Solver (führen keine Integration durch) variable Schrittweite: discrete (Variable Step) feste Schrittweite: discrete (Fixed Step), zero crossings werden nicht erkannt gemischt kontinuierliche und zeitdiskrete Systeme bekannte Solver ( SIMULINK Grundlagen) können verwendet werden ode5s und ode3 werden nicht empfohlen Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 2

15 SIMULINK Abtastsysteme Gemischte Abtastzeiten (multirate systems) Simulationsmodell enthält Blöcke mit unterschiedlichen Abtastzeiten discrete (Variable Step) Solver: alle Blöcke werden zu ihrer jeweiligen Abtastzeit ausgewertet discrete (Fixed Step) Solver: Abtastzeiten müssen ganzzahlige Vielfache der festen Schrittweite sein Übergänge zwischen Blöcken mit unterschiedlichen Abtastzeiten müssen beachtet werden Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 3

16 SIMULINK Abtastsysteme Simulation von Multitasking Systemen() Multitasking: Blöcke mit unterschiedlicher Abtastzeit haben unterschiedliche Prioritäten, Blöcke (= Tasks) mit höherer Priorität können Blöcke mit niedrigerer Priorität unterbrechen. Default: Kürzere Abtastzeit = höhere Priorität! Beispiel: Übergang von großer zu kleiner Abtastzeit In Simulink: In Echtzeit: Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 4

17 SIMULINK Abtastsysteme Simulation von Multitasking Systemen(2) Bei Verwendung eines Fixed-step Solver und Wahl von T asking mode f or periodic sample times zu Auto oder M ultit asking: Fehlermeldung bei direkter Verbindung von (zeitdiskreten) Blöcken mit unterschiedlicher Abtastzeit. Abhilfe: Einfügen eines Rate Transition-Blocks oder Aktivierung der Checkbox Automatically handle rate transition f or data transf er im Solver-Register der Conf iguration P arameters Dialogbox. Hinweis: beide Abhilfemaßnahmen gelten nicht nur für periodische Tasks (d.h. für Blöcke mit konstanter Abtastzeit), sondern auch für asynchrone Tasks (z.b. Interrupts). Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 5

18 SIMULINK Abtastsysteme Simulation von Multitasking Systemen(3) In Echtzeit mit RT: Beispiel: Constant Langsamer Block z+0.5 Discrete Transfer Fcn Ts=2sec. /z Rate Transition Schneller Block (z ) z(z 0.5) Discrete Zero Pole Ts=sec. Scope Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 6

19 SIMULINK Abtastsysteme Beispiel zu zeitdiskreten Systemen Sample time =0sec. Step Anregung s s+ Transfer Fcn kontinuierlich abgetastet Sine Wave Sample time =0sec. 0.29z Discrete Transfer Fcn Sample time =0.5sec. Zero Order Hold Sample time =0.5sec. z 2.562z pt2_diskret _zoh z z z 2.579z Discrete Transfer Fcn Sample time =0.5sec. pt2_diskret _tustin Scope bsp hybrid.mdl, S. 387 (6. Auflage), S. 400 (7. Auflage) Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 7

20 Discontinuities: Bibliothek und Beispiel Unterbibliothek Discontinuities: Elemente zur Modellierung physikalischer Nichtlinearitäten Rate Limiter Quantizer Saturation Backlash Coulomb & Viscous Friction Dead Zone Hit Crossing uvm. Signal Generator u y Rate LimiterBacklash ausgabe To Workspace Werkstück Deadband width u (Stift) Stift y (Werkstück) Constant bsp backlash.mdl, S. 360 (6. Auflage), S. 369 (7. Auflage) u = -0,5 u = 0 u = 0,5 Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 8

21 SIMULINK Bibliotheken Tables und Functions Lookup Tables: Modellierung von wertdiskreten, n-dimensionalen Kennfeldern D T(u) D Lookup Table 2 D T(u) u u2 2 D Lookup Table u 3 D T(u) u2 u3 n D Lookup Table k f k2 f2 2 D T(k,f) Interpolation Using Prelookup 2 D T[k] Direct Lookup Table (n D) u k k f f Prelookup uvm. User-Defined Functions: programmierbare Funktionen f(u) Fcn u y fcn MATLAB Function Interpreted MATLAB Fcn Interpreted MATLAB Function system S Function Builder system S Function S Function Examples matlabfile Level 2 MATLAB S Function Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 9

22 SIMULINK Bibliotheken Verification und Utilities Model Verification: Prüfblöcke max min sig Check Dynamic Gap min sig Check Dynamic Lower Bound Assertion Check Static Gap Check Static Lower Bound Check Discrete Gradient uvm. Model Wide Utilities: Hilfreiche Modell Ergänzungen Model Info DOC Text Block Support Table T= Timed Based Linearization Trigger Based Linearization Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 20

23 S Funktionen selbst programmierbare Funktionen Ausführung innerhalb eines SIMULINK Modells durch S Function/S Function Builder Blöcke programmierbar in Matlab (M Files) C, C ++, Fortran (MEX Files) Einbringen bereits vorhandenen Programm Codes Compiler-Suche mit mex -v -setup Compilieren der MEX Files mit mex name des MEXFiles.c Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 2

24 Beispiel zu S Funktionen () PT : Y (s) = + st U(s) oder ẋ = T x + T u y = x ptsfun_m2 Step Level 2 MATLAB S Function ptsfun_c S Function Scope Scope u0 ptsfun_csfb y0 S Function Builder Scope2 ptsfun_m S Function Scope3 ptfun.mdl, S. 374 (6. Auflage), S. 384 (7.Auflage) Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 22

25 Beispiel zu S Funktionen (2) Quellcode der Level-2 M-File S-Funktion ptsfun m2.m % Quellcode der Level-2 MATLAB S-Funktion ptsfun_m2.m, % für das MATLAB-Release R20a (Matlab 7.2, Simulink 7.7) function ptsfun_m2(block) % PTSFUN_M2 modelliert das Verhalten eines PT-Gliedes. Die Zeit- % konstante T wird als Parameter übergeben setup(block); %endfunction function setup(block) %%%% Beginn Block-Info %%%% % Eigenschaften (Anzahl I/Os, Dimension, Datentyp, Komplexität, % Direct Feedthrough Y/N etc.) sollen dynamisch bezogen werden block.setprecompinpportinfotodynamic; block.setprecompoutportinfotodynamic; % Anzahl der übergebenen Parameter block.numdialogprms = ; % Nur T wird übergeben Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 23

26 Beispiel zu S Funktionen (3) Quellcode ptsfun m2.m Fortsetzung block.dialogprmstunable = { Nontunable }; % T soll während der Simulation % nicht verstellbar sein % Anzahl der kontinuierlichen Zustandsgrößen (kann nicht dynamisch % bezogen werden) block.numcontstates = ; % Abtastzeit und Offset werden zu Null gesetzt, da System % zeitkontinuierlich gerechnet wird (könnte auch dynamisch bezogen werden) block.sampletimes = [0 0]; %%%% Ende Block-Info %%%% % Benötigte Callback Methoden in dieser S-Funktion block.regblockmethod( block.regblockmethod( block.regblockmethod( block.regblockmethod( block.regblockmethod( %endfunction Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 24

27 Beispiel zu S Funktionen (4) Quellcode ptsfun m2.m Fortsetzung % Überprüfe übergebenen Parameter function CheckPrms(block) if block.dialogprm().data <= 0 error( Die Zeitkonstante T muss größer Null gewählt werden ); end %endfunction % Definiere den Data Type Work Vector DWork als "globale" (d.h. von % allen Funktionen)lesbare Variable; DWork dient als Speicher für die % System-Matrizen. function DoPostPropSetup(block) block.numdworks = ; block.dwork().name = Systemmmatrizen ;% muss angegeben werden block.dwork().dimensions = 4; % A,B,C,D block.dwork().datatypeid = 0; % double block.dwork().complexity = Real ; % reell %endfunction Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 25

28 Beispiel zu S Funktionen (5) Quellcode ptsfun m2.m Fortsetzung % Definiere System-Matrizen als Elemente von DWork % und setze Anfangswert der Zustandsgröße function InitializeConditions(block) % Zustandsmatrix A (hier skalar) block.dwork().data() = [-/block.dialogprm().data]; % Eingangsmatrix B (hier skalar) block.dwork().data(2) = [ /block.dialogprm().data]; % Ausgangsmatrix C (hier skalar) block.dwork().data(3) = [ ]; % Durchschaltmatrix D (hier skalar und gleich Null, da sich beim PT % der Eingang nicht direkt auf den Ausgang auswirkt) block.dwork().data(4) = [ 0 ]; block.contstates.data() = zeros(size(block.dwork().data(),),); %endfunction % Berechne Systemausgang zu y = C*x+D*u function Outputs(block) x = block.contstates.data(); u = block.inputport().data; Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 26

29 Beispiel zu S Funktionen (6) Quellcode ptsfun m2.m Fortsetzung C = block.dwork().data(3); % Ausgangsmatrix C D = block.dwork().data(4); % Durchschaltmatrix D block.outputport().data = C*x + D*u; %endfunction % Berechne Zustandsableitung zu x = A*x+B*u function Derivatives(block) x = block.contstates.data(); u = block.inputport().data; A = block.dwork().data(); % Zustandsmatrix A B = block.dwork().data(2); % Eingangsmatrix B block.derivatives.data() = A*x + B*u; %endfunction Simulation mit Simulink/Matlab WS/2 27