Lokalkompakte Gruppen

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1 Ausarbeitungen des Seminars Lokalkompakte Gruppen aus dem Sommersemester 2010 Veranstaltet von Ralf Gramlich und Stefan Witzel mit Beiträgen von Sebastian Höfler, Chenfei Zhou, Stefan Schmid, Jonathan Weinberger, David Meffert, Markus-Ludwig Wermer und Andreas Mars

2 Contents 1 Definitionen und Beispiele Einleitung Grundlegende Definitionen und Beispiele Einfache topologische Eigenschaften topologischer Gruppen Der Abschluss von Teilmengen in Topologischen Gruppen Lokale Charakterisierung von Gruppentopologien Morphismen, Produkte und Untergruppen Homomorphismus Produkte Zentralisator und Normalisator Untergruppen Abschluss von Untergruppen Zusammenhang Quotients Separation Properties Extension Properties Topological Aspects of the Isomorphism Theorems & Cyclic Subgroups Topological Aspects of the Isomorphism Theorems Cyclic Subgroups Existenz und Eindeutigkeit des Haar-Integrals Motivation Das Haar-Integral Grundlagen und Definitionen Topologische Gruppen und Kompaktheit Die Existenz des Haar-Integrals Erster Ansatz ohne Additivität Die Additivität des Haar-Integrals Die Eindeutigkeit des Haarintegrals

3 1 Definitionen und Beispiele Sebastian Höfler, 2. August Einleitung Eine topologische Gruppe ist eine Zusammenführung einer Gruppe und eines topologischen Raumes unter bestimmten Verträglichkeitsbedingungen. In diesem Kapitel sollen grundlegende Definitionen eingeführt und an Beispielen diskutiert werden. Desweiteren werden erste Resultate bewiesen, welche bei der Betrachtung der Theorie lokal kompakter Gruppen von Nutzen sind. 1.2 Grundlegende Definitionen und Beispiele Definition Ein Paar (G, T ) heißt topologische Gruppe, wenn (G, µ, ι, e) eine Gruppe, (G, T ) ein topologischer Raum und die Abbildungen µ : (G, T ) (G, T ) (G, T ) : (x, y) xy ι : (G, T ) (G, T ) : x x 1 stetig sind, dabei ist G G mit der Produkttopologie versehen. Eine Untergruppe einer topologischen Gruppe wird ebenfalls zu einer topologischen Gruppe, wenn sie mit der induzierten Topologie versehen wird. Definition Eine topologische Gruppe (G, T ) heißt kompakt (lokal kompakt), wenn sie als topologischer Raum (G, T ) kompakt (lokal kompakt) ist. Definition Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Eine Menge B x von Umgebungen von x X wird Umgebungsbasis von x genannt, wenn jede Umgebung von x eine Umgebung aus B x enthält. Beispiel (i) Eine diskrete Gruppe ist eine Gruppe G, die mit der diskreten Topolgie D = P(G) auf G ausgestattet ist. Jede diskrete Gruppe ist eine lokal kompakte topologische Gruppe. Beweis. Sei G eine Gruppe mit der diskreten Topologie. Jede Teilmenge A G ist offen in G, da die diskrete Topologie auf G die Potenzmenge von G ist. Somit ist jede Abbildung von (G, D) in einen beliebigen topologischen Raum stetig, da jedes ihrer Urbilder in (G, D) offen ist. Demnach sind auch µ und ι stetig. Da jede Umgebung U von g die Menge {g} U überdeckt, lässt sich zu jeder beliebigen Überdeckung (U i ) i I von {g} mit offenen Mengen U i eine endliche Teilüberdeckung finden, indem einfach ein beliebiges U i gewählt wird. {g} ist demnach kompakt und bildet eine Umgebungsbasis von g. Somit macht die diskrete Topologie jede Gruppe zu einer lokal kompakten topologischen Gruppe. 3

4 1 Definitionen und Beispiele (ii) Die additive Gruppe (R, +) und die multiplikative Gruppe (R \ {0}, ), beide mit der natürlichen Topologie N ausgestattet, sind lokal kompakte topologische hausdorffsche Gruppen. Beweis. Jeder metrische Raum ist hausdorffsch. Desweiteren ist sind Addition, Multiplikation sowie additive und multiplikative Inversenbildung stetig. Die natürliche Topologie N wird durch die euklidische Metrik induziert. Sie wird durch die Basis B = {(a, b) a, b R} beschrieben und bildet gerade die Menge aller Vereinigungen offener Intervalle in R. Die Menge der abgeschlossenen Intervalle, die x im Innern enthalten, bildet eine Umgebungsbasis von x. Nach dem Satz von Heine-Borel bildet sie sogar eine Umgebungsbasis aus kompakten Umgebungen, da die abgeschlossenen Intervalle bezüglich der euklidischen Metrik beschränkt sind. Demzufolge ist (R, N ) als topologischer Raum lokal kompakt und (R, +, D) sowie (R\{0},, D) sind lokal kompakte topologische hausdorffsche Gruppen. (iii) Sei (R, T ) ein topologischer Ring. Wird der Ring R n n aller n n-matrizen mit Einträgen aus R mit der Produkttopologie ausgestattet, dann ist er ein topologischer Ring. Beweis. Zuerst sei erwähnt, dass es eine bijektive Abbildung 1 F : R n n R n2 gibt, die jeder n n-matrix einen Vektor in R n2 zuordnet. Hierdurch kann R n n als R n2 aufgefasst und mit der entsprechenden Produkttopologie für R n2 versehen werden. Die Produkttoplogie wird erzeugt durch die Basis B = i {1,...,n 2 } U i mit U i T i. Die Matrizenaddition, die Inversenbildung bezüglich der Addition sowie die Matrizenmultiplikation sind komponentenweise definiert und werden so auf die entsprechenden Abbildungen in R zurückgeführt. Durch Anwenden von Lemma (Eine Abbildung in einen Produktraum ist stetig, wenn ihre Projektionen stetig sind) folgt die Stetigkeit. (iv) Sei (R, T ) ein kommutativer topologischer Ring, bei dem die Inversenbildung bezüglich der Multiplikation auf der Menge der invertierbaren Elemente von R stetig ist. Dann ist die Gruppe GL(n, R) aller invertierbaren n n Matrizen mit Einträgen in R versehen mit der auf auf GL(n, R) induzierten Produkttopologie, eine toplogische Gruppe. Sie wird allgemeine lineare Gruppe genannt. Beweis. Die Matrizenmultiplikation ist stetig, da sie komponentenweise in R definiert ist. Die Inversenbildung kann mit Hilfe der Cramerschen Regel für Matrizen mit von Null verschiedener Determinante durch Addition, Multiplikation und Inversenbildung in R ausgedrückt 2 werden und ist somit ebenfalls stetig. Die zusätzliche Forderung nach stetiger Inversenbildung bezüglich der invertierbaren Elemente in R wird beispielsweise von topologischen Körpern erfüllt. a 11 a 1n 1 F : R n n R n2 : a n1 a nn a 11. a 1n a 21. a nn 2 A 1 = adj(a), wobei adj(a) die Adjunkte der Matrix A ist. det(a) 4

5 1 Definitionen und Beispiele (v) Die Gruppe SL(n, R) aller n n Matrizen mit Determinate 1 ist als Untergruppe von GL(n, R) mit der induzierten Topologie eine topologische Gruppe und heißt spezielle lineare Gruppe. Lemma (i) Ist R ein kompakter (lokal kompakter) Ring und n eine natürliche Zahl, dann ist R n n ein kompakter (lokal kompakter) Ring. (ii) Ist R ein kommutativer hausdorffscher Ring, dann ist SL(n, R) abgeschlossen in R n n und demzufolge kompakt (lokal kompakt), falls R kompakt (lokal kompakt) ist. (iii) Ist F ein kommutativer hausdorffscher Körper, dann ist GL(n, F ) offen in F n n. Demzufolge ist die Gruppe GL(n, F ) lokal kompakt, wenn F lokal kompakt ist. Beweis. (i) Sei R kompakt (lokal kompakt). Das Produkt kompakter Räume ist nach Theorem kompakt. Das endliche Produkt lokal kompakter Räume ist lokal kompakt [Bar07, Satz 5.3.8]. Somit ist auch R n n kompakt (lokal kompakt). (ii) Sei R ein kommutativer hausdorffscher Ring. Aus dem Hausdorff Trennungsaxoim folgt, dass einelementige Mengen abgeschlossen sind, insbesondere die Menge {1}. Wegen der Stetigkeit der Determinante ist det 1 ({1}) = SL(n, R) abgeschlossen in R n n. Nach (i) ist R n n kompakt (lokal kompakt) und als abgeschlossene Teilmenge SL(n, R) R n n ist dann SL(n, R) ebenfalls kompakt (lokal kompakt) (Lemma 1.4.4). (iii) Sei F kommutativer lokal kompakter hausdorffscher Körper. Nach (i) ist F n n lokal kompakt. F n n \ GL(n, R) = { A det A = 0 } ist das Komplement von GL(n, R) und als Urbild der abgeschlossenen Menge {0} abgeschlossen in R n n. Somit ist GL(n, R) offen in F n n und als offene Teilmenge GL(n, R) F n n lokal kompakt [Bar07, Satz 5.3.7]. Beispiel Ein weiteres Beispiel einer lokal kompakten Gruppe ist die reelle orthogonale Gruppe O(n, R) := {M R n n MM = 1}, wobei M die Transponierte der Matrix M ist. Die spezielle orthogonale Gruppe SO(n, R) ist als Schnitt von O(n, R) mit SL(n, R) definiert. Beide sind abgeschlossene Untergruppen von GL(n, R) und dementsprechend lokal kompakt. Es kann gezeigt werden, das beide Gruppen sogar kompakt sind. 1.3 Einfache topologische Eigenschaften topologischer Gruppen Lemma Sei (G, µ, ι, e) eine Gruppe und T eine Topologie auf G. Folgende Aussagen sind dann äquivalent: (i) (G, µ, ι, e, T ) ist eine topologische Gruppe. (ii) Die Abbildung α : (G, T ) (G, T ) (G, T ) : (x, y) α := (x, y ι ) µ ist stetig. (iii) Die Abbildung β : (G, T ) (G, T ) (G, T ) : (x, y) β := (x ι, y) µ ist stetig. 5

6 1 Definitionen und Beispiele Beweis. (i) (ii),(iii): µ und ι sind nach Definition stetig. α und β sind demnach als Verknüpfung stetiger Abbildungen ebenfalls stetig. (ii) (i): α ist für alle x, y G stetig, also insbesondere auch für e, y G: (e, y) α = (e, y ι ) µ = y ι. Dementsprechend ist ι stetig. Wird a = y ι G gesetzt, so ist (x, a) α = (x, (y ι ) ι ) µ = (x, y) µ und µ somit stetig. (iii) (i) Analog zu (ii) (i). Lemma Sei (G, T ) eine topologische Gruppe. Dann sind die Abbildungen (i) ρ g : (G, T ) (G, T ) : x (x, g) µ = xg (Rechtstranslation) (ii) λ g : (G, T ) (G, T ) : x (g, x) µ = gx (Linkstranslation) (iii) ι : (G, T ) (G, T ) : x x 1 (Inversenbildung) (iv) i g : (G, T ) (G, T ) : x ((g ι, x) µ, g) µ = g 1 xg für jedes g G Homöomorphismen von (G, T ) nach (G, T ). Beweis. (i) x ρg = (x, g) µ ist für x, g G nach Definition stetig. Die inverse Abbildung ist durch x ρg = x ρ g ι gegeben, für sie ergibt sich: (x ρg ) ρ g ι = ((x, g) µ ) ρ g ι = ((x, g) µ, g ι ) µ = x und (x ρι g) ρg = ((x, g ι ) µ ) ρg = ((x, g ι ) µ, g) µ = x. Da g ι G ist, ist die inverse Abbildung ebenfalls stetig. Dementsprechend ist die Rechtstranslation ein Homöomorphismus. (ii) Analog zur Rechtstranslation wird gezeigt, dass die Linkstranslation ein Homöomorphismus ist. (iii) Die Inversenbildung ist nach stetig. Ihre inverse Abbildung ist x ι = x ι, da (x ι ) ι = x gilt und ist dementsprechend stetig. (iv) Als Verknüpfung stetiger Funktionen ist x ig = ((g ι, x) µ, g) µ stetig. Die inverse Abbildung ist x ig = x i g 1. Als Verknüpfung stetiger Abbildungen ist sie ebenfalls stetig. Sei (G, T ) eine topologische Gruppe, x, y G und X, Y G. Ist X offen und Y beliebig, so sind die Mengen Xy := {xy x X} und yx offen, da Rechtsund Linkstranslation Homöomorphismen sind und demnach offene Mengen auf offene Mengen abbilden. XY := {xy x X, y Y } = x X xy = y Y Xy und Y X sind als Vereinigung offener Mengen ebenfalls offen. Ist Y abgeschlossen, dann sind Y x und Xy abgeschlossen, da Homöomorphismen auch abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbilden. XY und Y X müssen nicht abgeschlossen sein, selbst wenn Y und X abgeschlossen sind. Beispiel Die Gruppe der reellen Zahlen bildet mit der natürlichen Topologie versehen eine topologische Gruppe. Die Gruppen Z und rz (r ist eine irrationale Zahl) sind in R beide abgeschlossene Untergruppen der additiven Gruppe (R, +). Dennoch ist die Untergruppe Z + rz in R nicht abgeschlossen. Beweis. Z ist in R abgeschlossen, demnach auch rz als Linkstranslat. Die Menge Z + rz = {x + ry x Z, y Z, r ist eine irrationale Zahl} liegt dicht in R und ist abzählbar, damit gilt: Z + rz = R Z + rz. 6

7 1 Definitionen und Beispiele Folgerung Angenommen B g ist eine Umgebungsbasis von g G und x ist ein beliebiges Element aus G. Setze r = (g ι, x) µ und l = (x, g ι ) µ, dann sind {U ρr U B g } und {U λ l U B g } Umgebungsbasen von x. Beweis. Es gilt U ρr = (U, (g ι, x) µ ) µ = ((U, g ι ) µ, x) µ = (U ρ g 1 ) ρx (Assozitivität). Der Homöomorphismus ρ g 1 bildet Umgebungen von g auf Umgebungen von e ab. {U ρ g 1 U B g } ist somit eine Umgebungsbasis B e von e. Der Homöomorphismus ρ x bildet dann die Umgebungen aus B e auf Umgebungen von x ab. Damit ist {U ρr U B g } eine Umgebungsbasis von x. Analog wird gezeigt, dass {U λ l U B g } Umgebungsbasis von x ist. Folgerung Existiert in einer topologischen hausdorffschen Gruppe (G, T ) eine kompakte Umgebung eines Elements, dann ist (G, T ) lokal kompakt. Beweis. Stroppel zeigt in Proposition 6.6: In einer topologischen hausdorffschen Gruppe (G, T ) besitzt jedes Element x G eine Umgebungsbasis B x aus abgeschlossen Mengen. Existiert nun für ein beliebiges Element g G eine kompakte Umgebung V, so ist jede abgeschlossene Umgebung U i aus B g mit U i V kompakt und die Menge aller U i ist eine Umgebungsbasis von g, die aus kompakten Mengen besteht. Mit dem Homöomorphismus ρ g lässt sich nach Folgerung die für g gefundene Umgebungsbasis aus kompakten Mengen auf alle x G übertragen. 1.4 Der Abschluss von Teilmengen in Topologischen Gruppen Definition Sei (G, µ, ι, e) eine Gruppe. Eine Teilmenge S G wird normal genannt, wenn für jedes g G die Gleichheit S ig = S gilt. Da i g ein Homöomorphismus ist, erhält man: Lemma Der Abschluss einer normalen Teilmenge einer topologischen Gruppe ist eine normale Teilmenge. Beweis. Sei S G normal, dann ist S = S ig = S ig. Lemma Sei G eine topologische Gruppe und B e eine Umgebungsbasis von e G. Für jede Teilmenge X von G ist X = B B e XB = B B e BX und X = B B e XB = B B e BX. Beweis. Mit Folgerung ist {gb g G, B B e } eine Umgebungsbasis von g. Ein Element g G ist genau dann in X enthalten, wenn X jede Umgebung gb nichtleer schneidet [Bar07, Proposition 2.2.9]. Dies ist gleich bedeutend mit g B B e XB und somit ist X = B B e XB. Dass X = B B e BX gilt, wird analog gezeigt. Mit der Stetigkeit der Abbildung µ kann gezeigt werden, dass die Menge C e = {BC B, C B e } eine Umgebungsbasis von e ist (vgl. Lemma (M)). Hiermit ergibt sich B B e XB = B B e C B e (XB)C = D C e XD = X. Lemma Sei G eine topologische Gruppe. Angenommen U G ist offen und C U ist kompakt. Dann existiert eine Umgebung V von e in G, so dass V C CV U. 7

8 1 Definitionen und Beispiele Beweis. Für jedes c C gibt es eine offene Umgebung, welche in U enthalten ist. Mit dem Homöomorphismus aus Folgerung lässt sich eine offene Umgebung W c von e finden, so dass W c c und cw c in U liegen. Unter Ausnutzung der Stetigkeit von µ können offene Umgebung V c von e gefunden werden, so dass V c V c W c gilt (vgl. Lemma1.5.1 (M)). Die kompakte Menge C wird von den Familien von offenen Mengen (V c c) c C und (cv c ) c C überdeckt. Wegen der Kompaktheit von C gibt es eine endliche Menge F C, so dass C f F V f f und C f F fv f Überdeckungen sind. Setze V := f F V f. Da C von den Mengen V f f überdeckt wird, wird zu jedem c C ein f F mit c V f f gefunden. Nun gilt V c V V f f V f V f f W f f U und damit auch V C U. Analoges Vorgehen führt auf CV U und damit auf V C CV U. Lemma Sei G eine topologische hausdorffsche Gruppe. Ist B G abgeschlossen und ist C G kompakt, dann sind BC und CB abgeschlossen. Beweis. Für ein x G \ BC ist die Menge B ι x disjunkt zu C. Desweiteren ist die Menge B ι x abgeschlossen, da B abgeschlossen ist. Nach Lemma gibt es ein Umgebung V von e, so dass B ι x CV =. Daraus folgt xv ι BC =, für jedes x G \ BC existiert eine Umgebung xv ι die disjunkt zu BC ist, damit ist BC abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit von CB wird analog gezeigt. Lemma Ist (G, µ, ι, e, T ) eine topologische Gruppe, dann ist µ eine offene Abbildung. Beweis. Sei U offen in G G. Zu (x, y) U gibt es dann ein Paar offener Teilmengen (X, Y ) T T mit X Y U. Das Bild (X Y ) µ = XY ist offen in G. 1.5 Lokale Charakterisierung von Gruppentopologien Lemma Sei (G, T ) eine topologische Gruppe. Ist F eine Umgebungsbasis des neutralen Elements e, dann gilt: (FB) Für alle U, V F exisitiert ein W F mit W U V. Diese Aussage gilt für alle topologischen Räume. (M) Für jedes U F existieren V, W F mit V W U. (I) Für jedes U F existiert ein V F mit V 1 U. (K) Für jedes g G und jedes U F existiert ein V F, so dass g 1 V g U. Besteht die Umgebungsbasis F aus offenen Mengen, so erfüllt sie außerdem: (O) Für ein beliebiges U F und ein beliebiges g U existiert ein V F, so dass V g U. Beweis. (FB) Der Schnitt zweier Umgebungen ist wieder eine Umgebung, also ist für U, V F der Schnitt U V eine Umgebung von e. Nach Definition enthält U V eine Umgebung aus F. (M) Sei U F Umgebung von e = ee = (e, e) µ. Da µ stetig ist, gibt es eine Umgebung U µ G G von (e, e) und demzufolge V, W F mit V W U µ. Es ist dann (V W ) µ U und somit gilt V W U. 8

9 1 Definitionen und Beispiele (I) Sei U F Umgebung von e = e ι. Da ι stetig ist, gibt es eine Umgebung U µ G von e und ein V F mit V U ι. Somit ist V ι = V 1 U. (K) Der Beweis wird analog zu (M) und (I) geführt. Sei U F Umgebung von e = g 1 eg und g G. Durch die Stetigkeit von g 1 xg = i g gibt es ein V F mit V U ig und somit gilt g 1 V g U. (O) Sei U F offen, dann gibt es zu jedem g U eine Umgebung X von g, die in G enthalten ist. Mit Folgerung ist Xg 1 eine Umgebung von e und es gibt ein V F mit V Xg 1. Daraus folgt, dass V g X U für alle offenen Mengen aus F gilt. Satz Sei G eine Gruppe und F eine nichtleere Menge von Teilmengen von G, so dass 1 F. Erfüllt F die Bedingungen (M), (I), (FB), und (K) aus Lemma 1.5.1, dann ist T := {T G für allet T exisitertu F : Ut T } eine Topologie auf G und für ein beliebiges g G bildet die Menge B g (F) := {Ug U F} eine Umgebungsbasis von g für T. Weiterhin ist (G, T ) eine topologische Gruppe. Erfüllt F zusätzlich (O), dann ist B g (F) T ; das heißt, B(F) = g G B g(f) ist eine Basis von T. Beweis. (i) Zuerst wird gezeigt, dass T eine Topologie ist, dazu werden die Axiome überprüft: Die leere Menge enthält keine Elemente, erfüllt also die Bedingung und gehört daher zu T. Die Menge G erfüllt ebenfalls die Bedingung und gehört somit auch zu T. Seien S, T T, dann gilt V s S und Ut T für U, V F und für alle s S und t T. Mit V s Ut S T gehört auch S T zu T. Seien S, T T und t S T, was bedeutet, das t S und t T. Es finden sich daher U, V F mit Ut S und V t T. Da (FB) gilt, gibt es eine Menge W F, so dass W U V. Nun ist W t Ut V t S T und der Durchschnitt zweier Elemente aus T ist in T enthalten. (ii) Um zu zeigen, dass B g (F) für jedes g G Umgebungsbasis ist, wird für U F und g G die Menge T := {x Ug es existierts F : Sx Ug} betrachtet. Es gilt T T. Durch Anwendung von (M) finden sich V, W F, so dass V W S. Für alle x T und S F gilt damit V W x Sx Ug. Insbesondere gilt so V wx Ug für alle w W, d.h. wx T für alle w W und damit W x T. Für jede offene Menge T T lässt sich also eine Menge W x mit W F finden, so dass diese in T enthalten ist. Jede Umgebung eines beliebigen g G enthält ein T T mit g T und damit auch eine Menge Ug mit U F. Für jedes g G ist B g (F) also Umgebungsbasis von g. Erfüllt F zusätzlich die Eigenschaft (O), so sind alle Ug B g (F) offen und B g (F) somit für jedes g G in T enthalten. (iii) Nun muss noch gezeigt werden, dass (G, T ) eine topologische Gruppe ist, d.h. die beiden Gruppenabbildungen stetig sind. Für die Stetigkeit von ι : (G, T ) (G, T ) muss gezeigt werden, dass wenn T T gilt, also T offen ist, auch T ι offen ist, also T ι T. Sei dazu nun T T, d.h für alle g ι T existiert U F, so dass Ug ι T. Wird ein 9

10 1 Definitionen und Beispiele W F gefunden, so dass für alle g T ι : W g T ι, dann ist T ι T. Mit den Eigenschaften (I) und (K) und x ι = x ι gibt es V, W F, so dass T ι = T ι (Ug ι ) ι (V ι, g ι ) ι = gv gw ig = W g gilt. Damit ist T ι T und ι stetig. Die Stetigkeit von µ : (G, T ) (G, T ) (G, T ) wird ähnlich gezeigt. Hierzu sei T T. Für alle xy T existiert also eine Umgebung U F, so dass Uxy T. Zu zeigen ist, T µ T T. Mit (M) und (K) finden sich V, W, X F, so dass T µ (Uxy) µ (V W xy) µ (V X i x 1 xy) µ = (V xxy) µ = V x Xy gilt. Damit gibt es für alle (x, y) T µ Mengen V, X F, so dass V x Xy T µ T T gilt und µ ist stetig. Bemerkung: Die topologische Gruppe aus Satz ist genau dann T 1, wenn F = {1} gilt (vgl. Lemma 1.3.2). Lemma Sei (R, +,, 0) eine Gruppe und : R R R eine binäre Operation (gennant Multiplikation) auf R, so dass das Distributivgesetz gilt und per Vorraussetzung ein Element 1 R\ {0} existiert, so dass 1 x = x = x 1 für jedes x gilt. T sei eine Topologie auf R. Multiplikation und additive Inversenbildung sind in diesem Fall genau dann stetig, wenn folgendes gilt: (i) (R, +, T ) ist eine topologische Halbgruppe (d.h., die Addition ist stetig). (ii) Die Multiplikation ist stetig in (0, 0) R R. (iii) Für jedes a R sind die beiden Abbildungen stetig. ρ a : R R : x x a λ a : R R : x a x Beweis. : Folgt direkt aus den Annahmen. : Im Folgenden sei (a, b) R R beliebig. Infolge der Stetigkeitsannahmen in (i), (ii) und (iii) ist die Abbildung ϕ : (x, y) (x + a) (y + b) = xy + ay + xb + ab stetig in (0, 0) und (u, v) (u a, v b) ist nach (i) stetig für jedes (a, b) R R. Hieraus ergibt sich, dass die Multiplikation (u, v) u v = (u a, v b) ϕ stetig in (a, b) ist. Die Stetigkeit der additiven Inversenbildung ergibt aus der Stetigkeit von x λ 1 = 1 x = x. Die in gemachten Annahmen sind alle in einem Ring erfüllt. Da keine Annahmen über die Assoziativität der Multiplikation gemacht wurden und diese zur Beweisführung nicht notwendig war, kann das Ergebnis genutzt werden, um die Stetigkeit der Multiplikation zu zeigen, bevor die Assoziativität diskutiert wird. Danach kann die Setigkeit dann genutzt werden, um die Assoziativität zu zeigen. 10

11 2 Morphismen, Produkte und Untergruppen Chenfei Zhou, 2. August Homomorphismus Definition Seien (G, µ, ι, ν) und (G, µ, ι, ν ) Gruppen. Ein (Gruppen-)Homomorphismus ist eine Abbildung ϕ : G G, so dass (g, h) µϕ = (g ϕ, h ϕ ) µ gilt für alle g, h G. Definition Seien (X, T ) und (Y, T ) topologische Räume. Eine bijektive Abbildung ψ : (X, T ) (Y, T ) ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn ψ und ψ 1 stetig sind. Diese Definitionen sollten bereits bekannt sein. Es ist zu beachten, dass ein stetiger bijektiver Homomorphismus zwischen zwei topologischen Räumen noch kein Homöomorphismus sein muss. Betrachen wir dazu die Identität zwischen der additiven Gruppe der reellen Zahlen mit der diskreten Topologie, und der selben Gruppe mit der gewöhlichen Topologie. Die Identität ist natürlich ein bijektiver Homomorphismus, aber sie ist nur stetig wenn sie aus der disktreten Topologie in die gewöhliche abbildet. Ein Homomorphismus zwischen zwei topologischen Gruppen, der auch ein Homöomorphismus ist, heißt topologischer Isomorphismus. Ein Homomorphismus von einer topologischen Gruppe in sich selbst, der auch ein Homöomorphismus ist, heißt topologischer Automorphismus. Das Überprüfen der Stetigkeit von Homomorphismen wird durch folgene Beobachtung sehr erleichtert. Lemma Seien (G, µ, ι, ν, T ) und (G, µ, ι, ν, T ) topologische Gruppen. Ein Homomorphismus ϕ : G G ist genau dann stetig, wenn er stetig in einem Punkt ist. (z.b. das neutrale Element der Gruppe) Proof. Angenommen ϕ ist stetig in x G. Sei y G und z := (y ι, x) µ, dann ist ρ z ϕ mit y ρzϕ = (y, (y ι, x)) µϕ = x ϕ stetig in y. (Zur Erinnerung: ρ z ist Rechtstranslation um z) Somit ist auch ψ := ρ z ϕρ z ιϕ stetig in y, und da ϕ ein Homomorphismus ist, gilt ψ = ϕ, was wie folgt zu sehen ist: y ψ = y ρzϕρ z ιϕ = x ϕρ z ιϕ = x ϕρ (x ι,y) µϕ = (x ϕ, (x ι, y) µϕ ) µ = (x ϕ, (x ιϕ, y ϕ ) µ ) µ = y ϕ (2.1.1) 2.2 Produkte Theorem Sei ((G α, T α )) α A eine Familie von topologischen Gruppen. (i) Die Menge α A G α versehen mit der Produkttopologie und der Multiplikaton, definiert als (x α ) α A (y α ) α A = (x α y α ), ist eine topologische Gruppe. 11

12 2 Morphismen, Produkte und Untergruppen (ii) Die topologische Gruppe ( α A G α, α A T α) hat folgende universelle Eigenschaft, welche sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Für alle topologische Gruppen (H, H) und alle Familien ψ = (ψ α ) α A von stetige Homomorphismen ψ α : (H, H) (G α, T α ) existiert eine eindeutiger stetiger Homomorphismus ψ : (H, H) ( α A G α, α A T α), so dass ψπ α = ψ α gilt für alle α A, wobei π α die kanonische Projektion bezeichnet. Proof. ( α A G α, α A T α) π k π i π j (G i, T i ) (G i, T i ) (G i, T i )... ψ ψ j ψi ψ k (H, H) Sei µ α die Multiplitation in G α und µ die Multiplikation in α A G α. Es ist zu zeigen, dass µ stetig ist. Betrachte die kanonische Projektion π β : α A G α G β mit β A, und die Funktion ϕ β : ( α A G α ) ( α A G α ) G β G β definiert als ((x α ) α A, (y α ) α A ) ϕ β = (x β, y β ). ϕ β ist stetig und somit ist auch µπ β = ϕ β µ β stetig. Nach Lem 1.11 ist µ stetig, die Inversion ι ist auch stetig wegen ιπ β = π β ι β. Exitstenz, Eindeutigkeit und Stetigkeit von ψ folgt aus Lem Es bleibt zu zeigen, dass ψ ein Homomorphismus ist. Für x, y H gilt: x ψy ψ = ((x ψ) α A (y ψ) α A ) α A = (x ψα y ψα ) α A = ((xy) ψα ) α A = (xy) ψ (2.2.1) Dies zeigt dass ψ ein Homomorphismus ist Zentralisator und Normalisator Definition Sei G eine Gruppe, und X G eine Teilmenge. (i) Die Menge C G (X) := {g G x X : xg = gx} heißt Zentralisator von X G. C G (x) := C G ({x}) (ii) Die Menge N G (X) := {g G g 1 Xg = X} heißt Normalisator von X G. Proposition Sei G eine topologische Gruppe, und sei X G (i) Ist X abgeschlossen in G, so ist auch N G (X) abgeschlossen in G. (ii) Ist G Hausdorff, so ist C G (X) abgeschlossen in G. Proof. Die Kompression Halbgruppe ist definiert als: compr G (X) := {g G x X : g 1 xg X}. (2.2.2) 12

13 2 Morphismen, Produkte und Untergruppen (i) Es gilt N G (X) = compr G (X) (compr G (X)) 1, denn (2.2.3) Für jedes x G ist die Abbildung ɛ x : G G : g g 1 xg stetig. Aus der Definition folgt compr G (X) = x X Xɛx 1. Die Komprssion Halbgruppe ist also der Druchschnitt aller Urbilder von ɛ x. Ist X abgeschlossen in G, so ist auch sein Urbild unter ɛ x und der Schnitt aus Urbilder abgeschlossen in G. Somit ist N G (X) = compr G (X) (compr G (X)) 1 auch abgeschlossen in G. (ii) Ist G Hausdorff, so ist das Urbild C G (x) = {x} ɛx 1 C G (X) = x X C G(x) ebenso. abgeschlossen in G und der Schnitt 2.3 Untergruppen Ab diesem Abschnitt werden alle topologische Gruppen multiplikativ und einfach nur als G notiert. Definition Ist G eine Gruppe und X G eine Teilmenge, so bezeichnet X die kleinste Untergruppe und G, die X enthält. Man kann X als n N (X Xι ) n interpretieren, wobei Y n das Produkt aus n Elementen aus Y bezeichnet. Man nennt die Gruppe X auch die von X erzeugte Untergruppe Eine Gruppe G heißt zyklisch wenn sie von einem Element erzeugt wird. D.h. G = g für ein g G. Eine toplologische Gruppe heißt kompakt erzeugt, wenn eine kompakte Teilmenge C G existiert, so dass G = C gilt. Lemma Für jede Untergruppe H G, ist (H, T H ) eine topologische Gruppe. Proof. Die Operationen µ H H und ι H sind Einschränkungen stetiger Funktionen und sind somit auch stetig Abschluss von Untergruppen Lemma Für jede Untergruppe H G, ist der Abschluss H eine Untergruppe. Ist H Normalteiler in G, so ist auch H ein Normalteiler G. Proof. Es ist zu zeigen: H ι H und (H H) µ H. ι ist ein Homöomorphismus welches H invariant lässt. Daraus folgt H ι H. Als Hilfsresultat wollen wir H H = H H wie folgt einsehen: x H H u U(x) : u H H Definiere u := u 1 u 2 (u 1 u 2 ) (H H) (u 1 H) (u 2 H) (u 1 H) und (u 2 H) x H H Da µ stetig ist, gilt H H µ (H H) µ = H. Damit ist H eine Untergruppe. Ist H ein Normalteiler, dann lässt jeder Homöomorphismus i g (zur Erinnerung: i g ist die Konjugation mit g) H invariant. Lemma Ist H eine abelsche Untergruppe einer Hausdorff Gruppe G, so ist der Abschluss H auch abelsch. 13

14 2 Morphismen, Produkte und Untergruppen Proof. Die Abbildung ϕ : G G G : (a, b) ϕ = ab(ba) 1 ist stetig. H H ist im Abschluss des Urbildes der {1} unter ϕ enthalten. Also gilt (H H) ϕ = {1}, und somit ist H abelsch. Example Sei G nicht abelsch mit der Topologie (, G). Sei H = {1}, die Annahme G T 1 führt im obrigen Lemma zum Widerspruch. Lemma Eine Untergruppe H G ist genau dann abgeschlossen, wenn eine Umgebung U U(1) existiert, so dass U H abgeschlossen in G ist. Proof. Wähle V U(1), so dass V = V ι und V V U. Dies ist möglich wegen der Stetigkeit von ι und µ. Sei nun x H. Für alle W U(1) existiert ein h W W x H. Da x 1 H existiert ein y x 1 V H. Für W V erhalten wir h W y (W x) (x 1 V ) = W V V V U und h W y H. Also ist W xy (U H) für alle W U(1). D.h. xy U H Nun folgen zwei Folgerungen und ein Theorem ohne Beweis. Corollary Sei H G eine Untergruppe. Ist T T 1 und T H diskret, so ist H abgeschlossen in G. Corollary Sei H G eine Untergruppe. Ist T T 2 und T H lokal kompakt, so ist H abgeschlossen in G. Theorem Sei (G, T ) eine lokla kompakte Hausdorff Gruppe. EIne Untergruppe in G ist genau dann abgeschlossen in G, wenn sie lokla kompakt ist Zusammenhang Definition Zusammenhangskomponente Lemma Die Zusammenhangskomponente G 1 des neutralen Elements 1 ist ein abgeschlossener Normalteiler von G. Proof. Zusammenhangskomponenten, sind immer abgeschlossen, siehe 2.9 (Stoppel) oder Topologie. G 1 ι st wieder eine Zusammenhangskomponente die 1 enthält. Also gilt (G 1 ) ι G 1. Die Menge G 1 G 1 ist zusammenhängend, daher auch (G 1 G 1 ) µ, welches natürlich auch enthalten ist in G 1. G 1 ist also eine abgeschlossene Untergruppe in G. Ist γ : G H ein stetiger Homomorphismus, so ist (G 1 ) γ zusammenhängend in H und enthält die 1. Also (G 1 ) γ H 1. Sei G = H und γ = i g, so erhält man G 1 als Normalteiler in G. Lemma Sei H G eine Untergruppe. Enthält H eine Umgebung, so ist H offen und abgeschlossen in G, und H enthält G 1. Proof. Sei U offen in G. Ist U H, so gilt H HU HH = H, d.h. H ist offen. Für g GH, ist Hg offen und disjunkt von H. Also ist H abgeschlossen. Jede offene abgeschlossene Menge ist eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten. Lemma Sei C G eine kompakte Teilmenge. W U(1), so dass für alle c C, W ic V gilt. Für alle V U(1) existiert ein 14

15 2 Morphismen, Produkte und Untergruppen Proof. Sei ϕ : G G G : (x, y) ϕ := x 1 yx = y ix. Dann gilt (C {1}) ϕ {1} V und wegen der Stetigkeit von ϕ finden wir für alle c C ein V c U(c) und W c U(1), so dass (V c W c ) ϕ V. Da C kompakt ist, gibt es eine endliche Teilmenge F C, so dass C f F V f. W := f F W f genügt den Bedingungen. W ist somit offen da F endlich ist. Lemma Sei U G kompakt und offen, und 1 U. Dann existiert H G eine offene kompakte Untergruppe, so dass H U. Ist G kompakt, so existiert eine offener kompakter Normalteiler N G, so dass N U. Proof. Wähle V U(1) in G, so dass UV U gilt. Dies ist wegen 3.18 möglich. Daraus folgt V U, V V U und per Induktion mit V n+1 := V n V gilt für alle n N, V n V U. D.h. die durch V V ι erzeugte offene Untergruppe H ist in U enthalten. H := V V ι U. Offene Untergruppen sind abgeschlossen (4.5) und da U kompakt ist so auch H. Ist G kompakt, so existiert ein W U(1), so dass W ig V für alle g G (4.11). Dann ist N := g G W ig ein offener kompakter Normalteiler und es gilt N H U. Proposition Sei G eine lokal kompakte Gruppe, die total unzusammenhängend ist. Dann existiert eine Umgebungsbasis um 1, bestehend aus offene kompakte Untergruppen. Ist G kompakt, dann existiert B U (1) bestehend aus offene kompakte Normalteiler. Proof. Da G total unzusammenhängend ist, folgt G T 1. Aus 6.6 folgt G T 2. Sei W U(1) in G. Nach 2.10 existiert U U(1) eine offene und kompakte Umgebung, so dass U W. Mit 4.12 ergibt sich die Behauptung. 15

16 3 Quotients Stefan Schmid, August 2, 2010 In this section we are going to investigate some properties of topological spaces which are preserved under passage to quotients. Definition For a given topological group (G, τ) and subgroup H of G the natural surjection π H : G G/H is given by g π H = Hg. Throughout this chapter, the topology of the set G/H will be the quotient topology with respect to π H, G will be a topological group and H a subgroup of G, unless otherwise specified. Moreover, for the sake of brevity, π will denote the map π H. Lemma Let f : A B, g : B C and h: A C be maps such that fg = h. Moreover, suppose that f is continuous, open and onto. If h is continuous, then so is g. Proof. Evidently, fg is continuous. If U is open in C, then U h U g f is open. We have the identity U g = U g f f because f is surjective. This set is open since f is an open map. This proves the claim. Lemma (i) The map π : G G/H is open. (ii) The map µ: G/H G G/H which maps (Hx, g) to Hxg is continuous and open. (iii) If H is normal, then G/H is a topological group. Proof. Let U be open in G. The set hu is open since left multiplication is a homeomorphism by Thus, HU = h H hu is open as a union of open sets. Now, by definition, U π is open if and only if U ππ is open, but U ππ = HU is open. We have proved that π is open. Consider the map α: G G G/H G mapping (x, g) to (Hx, g). Obviously, the map is surjective, open by (i) and continuous. The maps π and µ are continuous, so is µπ, and we µ G G G have α µ = µπ as indicated in the commuting diagram. The α π previous lemma now shows that µ is continuous. If U is open µ in G/H G, then U α is open. The maps µ and π are open, G/H G G/H by and part (a), thus U α µπ = U α α µ is open. As α is ν onto, we have U µ = U α α µ. This proves assertion (b). β Let H be normal in G and let ν and j be the operations of multiplication and inversion in G/H. The map (Hx, y) β = G/H G/H (Hx, Hy) from G/H G onto G/H G/H is open by part (i) and continuous. We have that µ = βν. The preceding lemma implies that ν is continuous. Similarly, we infer from πj = ιπ that j is continuous. 16

17 3 Quotients We have shown that the quotient map π : G G/H is open, whenever G is a topological group and H a subgroup of G. Nevertheless, the quotient map does not have to be closed, as we will see in the following example: Example Consider the group G = R 2 with its usual topology, and with the subgroup H = R {0}. The set X = { (x, x 1 ) G; x R {0} } is closed in G, but the image of X under π is not closed since the set X ππ = R (R {0}) is not closed in G. In the following special case, we find the quotient map π to be closed. Lemma Let G be a topological Hausdorff group and H a compact subgroup. Then π is a closed map. Proof. Let C be a closed set in G. The image under π is the set {Hc; c C}, and the preimage of this set C ππ = HC is closed by Lemma For the set (G/H) \ C π being open is tantamount to ((G/H) \ C π ) π = G \ C ππ = G \ (HC) being open, which is open. We have thus shown that the image of C is closed. Lemma Let U be a neighborhood of 1 in G. Then there is a neighborhood W of 1 such that W W 1 U. Proof. In Lemma let F be the neighborhood basis of all neighborhoods of 1. By property (M) there are neighborhoods S and T of 1 such that ST is contained in U. There exists a neighborhood V F such that V 1 T, by (I). Moreover, by property (FB), there is a neighborhood W such that the intersection of S and V contains W. We get as required. 3.1 Separation Properties W W 1 SW 1 SV 1 ST U, Proposition Let G be a topological group and H a subgroup. The space G/H is in T 3 if and only if H is closed in G. Proof. Let G/H be a T 3 -space. Then G/H is T 1, and hence the singleton containing H is closed in G/H. The pre-image of this set is H. The set H is thus closed in G since π is continuous. Conversely, suppose H is closed in G, and thus every Hx is closed because right multiplication is a homeomorphism. Every coset is closed in G, hence the space G/H is in T 1. If U is a neighborhood of Hx in G/H, x G, then the pre-image of U is a neighborhood of x G. This implies that x 1 U π is a neighborhood of 1 in G. By Lemma , there is a neighborhood V of the neutral element in G so that V V 1 is contained in x 1 U π. For each a (xv ) ππ, we have that the neighborhoods (av ) π and (xv ) π of a π and x π, respectively, intersect nontrivially. Thus, there are v, w V such that Hav = (av) π = (xw) π = Hxw, hence a Hxwv 1 HxV V 1 Hxx 1 U π = HU π. This means that (xv ) π is contained in U. We have shown that every neighborhood in G/H contains a closed one and that G/H T 0, whence G/H T 3. 17

18 3 Quotients If we have a group G in T 1, then the proposition above implies that G is T 3 since G is homeomorphic to G/{0} and {0} is closed in G. In particular, any Hausdorff Group is in T 3. Example Let G be the topological Hausdorff group GL(n, R), and let H be the subgroup consisting of scalar matrices. Then H is the center of the group G. The center of a group is the centralizer of G in G. The group H is therefore closed by Proposition 3.39 (b) in [Str06]. It follows that the projective linear group PGL(n, R) = G/H is also Hausdorff. 3.2 Extension Properties With the preceding lemmas and the last proposition we are now able to prove some properties of the quotient space if the initial space has this property. But of greater interest is the following question: If the quotient G/H and the subspace H of G have a certain property P, does then G have this property? We start with the following. Theorem (i) If G is connected, then G/H is connected. If H and G/H are connected, then G is connected. (ii) If G is discrete, then G/H is discrete. If H and G/H are discrete, then G is discrete. Proof. Let G be connected. Then G/H is connected since π is continuous and onto. Let H, G/H be connected and let G 1 be the connected component of 1 in G. The map α: G/H G/G 1, (Hx) α = x π G 1 is well-defined, for H is contained in G 1, and therefore x π = y π implies x π G 1 = y π G 1. Furthermore, α is continuous since π G1 = πα and π, π G1 are open continuous surjections. Now G/G 1 is the continuous image under α of the connected set G/H. It follows that G/G 1 is connected. But G/G 1 is totally disconnected by [Str06, Lemma 2.9 (d)]. Hence G/G 1 = {G}, i. e. G 1 = G, proving (i). In order to prove (ii), let G be discrete. For a subset U of G/H to be open is equivalent to U π to be open in G. The latter is open in any case, thus G/H is discrete. Conversely, let G/H and H be discrete. 1 π is open in G/H, and hence H = 1 ππ is open. If U is open in H, then U = O H for some O open in G. But then U is open in G because it is the intersection of two open sets. Now let U be any subset of G. Then Ua 1 H H is open in G, and hence (Ua 1 H)a = U Ha is open since right multiplication is a homeomorphism. Thus, U = a G U Ha is open in G. Example (i) Let G = R, and let H be the subgroup consisting of the integers. G is connected, and therefore R/Z is connected by the theorem. R/Z is homeomorphic to the circle group T, thus T is connected. (ii) Let G = C := C {0}, and let H = {z C; z = 1} be the circle group. The group C /H is homeomorphic to the group (R +,, 1) of positive real numbers. It follows that C /H is connected, and therefore C is connected by (i) and the preceding theorem. Theorem Let G be a topological Hausdorff group, and H a subgroup of G. (i) If G is compact, then G/H is compact. If H and G/H are compact, then G is compact. (ii) If G is locally compact, then G/H is locally compact. If H and G/H are locally compact, then G is locally compact. 18

19 3 Quotients Proof. If G is compact, then G/H is compact as continuous image through π. Now let G be locally compact, let x G, and let B be a neighborhood basis at x consisting of compact sets. Let U be a neighborhood of Hx in G/H. Then U π contains a compact neighborhood C. C π is compact because π is open, and C π U. If follows that B π := {B π ; B B} is a neighborhood basis at Hx, and G/H is locally compact. Let H and G/H be locally compact. We may choose a neighborhood U of 1 in G such that U H is compact. Moreover, Lemma allows us to pick a neighborhood T of 1 such that T T 1 U. We may choose T to be closed since G is Hausdorff. Let x be an element of T. The set T Hx = (T x 1 H)x is closed in (U H)x since (U H)x T = T Hx and T is closed. U H is compact, so is (U H)x because right multiplication is a homeomorphism. Therefore, the set T Hx is compact as a closed subspace of a compact space. G/H is locally compact, so we may pick a compact neighborhood C of π(1) such that C is contained in the neighborhood T π. Again, we choose a closed neighborhood R of 1 G such that RR 1 is a subset of T. By (FB), we may choose R π to be contained in C. We are now going to show that R is compact. Let (V α ) α A be an open covering of R. We have T Hx G = (G\R) α A V α for any element x of T. Note that G \ R is open. There exists some finite subset F x of A such that T Hx (G \ R) α F x V α since T Hx is compact. Define V x = α F x V α. By Lemma 1.4.4, there is an open neighborhood W x of 1 in G so that (T Hx)W x (G \ R) V x. We may choose W x to be a subset of R by intersecting it with the interior of R. ((xw x ) π ) x T forms an open cover of C because C T π x T (xw x) π ). C is compact, thus there is a finite set E T such that C is covered by e E (ew e) π. But then C π e E HeW e, and therefore R = R C π R HeW e (RW 1 He)W e e E e E (T He)W e (G \ R) V e, e E i. e. R e E V e e E α F e V α is a finite subcover, and R is compact, as claimed. We have found a compact neighborhood of 1 in G. G is thus locally compact, by If H and G/H are compact, we may choose U = T = R = G and C = G/H, yielding G compact. Example The group GL(n, R) is locally compact and Hausdorff, (see 1.2.5). G = SL(n, R) is a closed subgroup, and thus a locally compact Hausdorff group. The quotient of G by the center, which is the subgroup consisting of all scalar matrices with determinant 1, is called the projective special linear group and is denoted by PSL(n, R). This group is locally compact by the theorem. Theorem If G is compact, then the connected component G 1 of 1 is the intersection of all open subgroups of G. If G is locally compact, then G 1 is the intersection of all open normal subgroups of G. Proof. G/G 1 is totally disconnected by [Str06, Lemma 2.9 (d)]. This means that {G 1 } is closed in G/G 1 since it is connected ([Str06, Lemma 2.9 (b)]). By Proposition 4.13 in [Str06], there exists a neighborhood basis B at 1 π G 1, consisting of open compact (normal) subgroups e E e 19

20 3 Quotients of G/G 1. The following equality holds in the group G/G 1 by Lemma {G 1 } = {G 1 } = {G 1 }B = B B B But the intersection of all open (normal) subgroups of G/G 1 is a superset of B B B because B is a neighborhood basis. Thus, the assertions are established for G/G 1. π G1 is continuous and a homomorphism, thus the pre-image of open (normal) subgroups of G/G 1 are open (normal) subgroups in G. Example The group G = R is locally compact. Let H be an open subgroup of G. Then there is a ɛ > 0 such that ( ɛ, ɛ) H. Choose x G with x > 0. Then there exists a natural number n such that nɛ x < (n+1)ɛ. But then 0 x nɛ < ɛ, and thus x nɛ H; this yields x H. The last theorem now implies that R is connected. Theorem If H and G/H are totally disconnected, then so is G. If G is locally compact and totally disconnected, and if H is a closed subgroup of G, then G/H is totally disconnected. Proof. First, let G be totally disconnected and locally compact. Consider an element x of G/H distinct to the element 1 π. If H is closed, then G/H is Hausdorff by Proposition Thus, there is a neighborhood U of 1 π in G/H such that x is not in U. The pre-image of U is a neighborhood of 1 in G, and by Proposition 4.13 in [Str06] we find an open compact subgroup S of G so that S is a subset of U π. Then S π is compact and open in G/H since π is continuous and open. Moreover, S π contains the connected component C of 1 π because G 1 = {1} S U π. But x S π and x was chosen arbitrarily we conclude that C = {1 π }. Assume that H is totally disconnected, and suppose G 1 is not the trivial subgroup. Then (G 1 ) π is a connected subset of G/H. (G 1 ) π has more than one element because G 1 is not a subset of H. Thus, G/H is not totally disconnected. Proposition If G is locally compact and H a closed subgroup of G, then the connected component C of 1 π in G/H is equal to the closure of (G 1 ) π. Proof. Let S := G 1 H. Note that S is a group since G 1 is normal. The quotient G/S is homeomorphic to (G/G 1 )/(S/G 1 ). Since G/G 1 is totally disconnected, so is (G/G 1 )/(S/G 1 ) by the previous theorem, and thus G/S is totally disconnected. Let κ: G/H G/S map Hx to Sx. This is well-defined because H is a subgroup of S. Note that π S = πκ, where π S : G G/S is the natural map. Since κ is continuous, and G/S is totally disconnected, we get κ(c) {1 π S}. Let c C. Then there is an element g of G such that g π = c. We have and hence g S. As a result, we get g π S = g πκ = c κ = 1 π S, B B C S π = HG 1 π (HG1 ) π = (G 1 ) π Conversely, (G 1 ) π is connected, whence is a subset of C because 1 π (G 1 ) π. The set C is closed, therefore (G 1 ) π C. Altogether C = (G 1 ) π, as required. 20

21 3 Quotients Example Consider the group G = O(n, R). It is Hausdorff and locally compact because G is closed in GL(n, R). Let H be the compact and closed subgroup {±1} of G. π H is a closed map by Therefore, the identity component, i. e. the component containing the identity matrix, in the projective orthogonal group PO(n, R) = G/H is the image of the special orthogonal group SO(n, R) under π. If n is even, then the image is the projective special orthogonal group PSO(n, R) = SO(n, R)/{±1}. Theorem Let G be a topological group, and let H be a subgroup of G. (i) If G is σ-compact, then G/H is σ-compact. (ii) If G is σ-compact and H is closed in G, then H is σ-compact. (iii) If H and G/H are locally compact and σ-compact, and if G is Hausdorff, then G is locally compact and σ-compact. Proof. (i) If G is σ-compact, then there are compact subspaces C n, n N, such that G = n N C n. But (C n ) π is also compact, and G/H = n N Cπ n, i. e. G/H is σ-compact. (ii) If H is closed, then C n H is compact, and H = n N (C n H) is σ-compact. (iii) Let G/H and H be locally compact and σ-compact. Then there exist compact subsets D n of G/H and compact subsets C n of H, for n N, such that G/H = n N D n and H = n N C n. Fix n N. Each element x in Dn π contains a compact neighborhood U x because G is locally compact by Theorem π is open, so each element of D n has a neighborhood Ux π for some x Dn π, and thus D n O x x D π n x D π n where O x Ux π is open with x O x. D n is compact, hence there is some finite subset F n Dn π such that D n is a subset of x F n O x x F n Ux π. But Dn π Ux ππ = HU x C m U x, x F n x F n x F n and therefore G = n N D π n = n N m N U π x m N x F n C m U x is a cover by countably many compact sets since C m U x is compact. Note that C m U x is compact by Tychonoff s theorem, and C m U x is the continuous image under µ, thereby compact. Example (i) Z is clearly σ-compact with the discrete topology. Then so is Z/mZ for any m Z. (ii) The additive group R with its usual topology is σ-compact. R/Z T is σ-compact by the theorem. Theorem If G is a topological group, and N a normal subgroup of G, then the following holds: (i) If G is compactly generated, then so is G/N. 21

22 3 Quotients (ii) If G is locally compact, N and G/N are compactly generated, then G is compactly generated as well. Proof. In order to prove (i), we take a compact subset C of G such that G = C. Then C π N is compact and G/N = C π N. Let G be locally compact and let C and D be compact subsets of N and G/N, respectively, such that N = C and G/N = D. Moreover, let E be the pre-image of D. Pick a compact neighborhood U of 1 in G. D is then a subset of e E (U e) π N since 1 U. D is compact, whence there is a finite subset F of E such that D (U e) π N (Ue) π N = (UF ) π N e F e F We may assume, without loss of generality, that the neutral element is included in F. Each of the sets C, U and F is compact, thus C U F is compact by Tychonoff s theorem. As a consequence, we get that CU F is compact since the operation of multiplication is continous. We claim G = CUF. Let g G. Then there are elements d 1,..., d k D and δ 1,..., δ k {±1} such that g π N = d δ 1 1 dδ k k. But d i = Nu i f i for some u i U and f i F, i = 1,..., k. Then g(u k f k ) δ k (u 1 f 1 ) δ 1 is in N, and therefore g = c ɛ 1 1 c ɛ l l (u 1f 1 ) δ1 (u k f k ) ɛ k for some c 1,..., c l C. We have g CUF. This proves the claim. Example G = (R, +, 0) is compactly generated by the set [0, 1]. It follows that R/Z is compactly generated, and therefore T is compactly generated. Corollary (i) Every subgroup generated by a compact neighborhood is open. In particular, every locally compact group contains an open compactly generated subgroup. (ii) Every connected locally compact group is compactly generated. Moreover, a locally compact group G is compactly generated if and only if G/G 1 is compactly generated. Proof. (i) Let C be a compact neighborhood, and define H := C. H is compactly generated. Furthermore, C is a neighborhood contained in H, hence H is both open and closed in G by 4.10 in [Str06]. (ii) Assume G is locally compact and connected. By Theorem 3.2.5, G has no proper open subgroups. Therefore, G is compactly generated by the first part. If G is merely locally compact, then so is G 1. G 1 is connected, and thus compactly generated. Assertion (ii) now follows from the previous theorem. Example From example we know that R has no open proper subgroups, thus R is generated by any compact neighborhood. Definition We say that a topological group G has no small subgroups if there is a neighborhood of 1 in G containing no subgroup but the trivial one. Example If n is a natural number, the topological group G = (R n, +, 0) has no small subgroups. For, we may choose the unit ball B as a neighborhood. If H is a subgroup of G contained in the unit ball, and if x is an element of H distinct to the origin, we may multiply x by a large natural number and get an element of H outside of B, contrary to H being contained in the unit ball. Lemma (i) If G is discrete, then G has no small subgroups. 22