Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt

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1 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungsamt Master of Economics, Finance and Philosophy Diplomprüfung Econometric Methods and Applications Wintersemester 2011/ Februar 2012 Prof. Dr. Ralph Friedmann B i t t e b e a c h t e n S i e F o l g e n d e s: 1. Kleben Sie bitte Ihr Namensschild auf die dafür vorgesehene Markierung auf dem Deckblatt des Klausurhefts! 2. Legen Sie einen Lichtbildausweis an Ihrem Platz aus. 3. Die Klausur besteht aus 5 Aufgaben, von denen die Aufgaben 1, 2 und 3 sowie eine der Aufgaben 4-5 zu bearbeiten sind (entspricht 120 Punkten). Prüfen Sie die Vollständigkeit Ihres Exemplares nach; spätere Reklamationen können nicht berücksichtigt werden. 4. Die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgaben kann beliebig gewählt werden, beginnen Sie aber für jede Aufgabe eine neue Seite. 5. Bei der Korrektur werden nur die Lösungen auf den dafür vorgesehenen Blättern im Klausurheft berücksichtigt. 6. Die Benutzung von zwei beidseitig beschriebenen bzw. vier einseitig beschriebenen DIN A4-Blättern sowie (auch programmierbaren) Taschenrechnern ist erlaubt. 7. Bei allen statistischen Tests sind die Hypothesen, die Teststatistik sowie deren Verteilung unter H 0, der kritische Bereich, die Realisation der Teststatistik sowie die Entscheidung anzugeben! Ist das Signifikanzniveau nicht explizit angegeben, so ist α = 0.05 zu verwenden. 1

2 1. Aufgabe (10 Punkte) Es sei Y ein dreidimensionaler normalverteilter Zufallsvektor mit: E(Y ) = 2 und V(Y ) = Bestimmen Sie die Verteilung von Z = Y

3 2.Aufgabe ( = 20 Punkte) Gegeben seien die identisch unabhängig verteilten Zufallsvariablen X 1, X 2,..., X n mit X 1 Exp(λ) und Es gelte weiter λ > 0 und n > 10. E(X 1 ) = 1 λ, Var(X 1) = 1 λ 2. (a) Es sei S eine Schätzfunktion für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X 1,..., X n der Form S = n γ i X i. Zeigen Sie, dass S genau dann erwartungstreu ist wenn gilt: n γ i = 1. (b) Entscheiden Sie für die folgenden Schätzfunktionen S 1 (X 1,..., X n ),..., S 6 (X 1,..., X n ), ob diese erwartungstreue Schätzer für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X 1,..., X n sind. S 1 (X 1,..., X n ) = 4X 1 2X n, S 2 (X 1,..., X n ) = X 1 + X 2, S 3 (X 1,..., X n ) = 1 4 (X 1 + X 4 + X 8 + X n ), S 4 (X 1,..., X n ) = 1 9 (X 1 + X 9 + X n ), S 5 (X 1,..., X n ) = n X i n, S 6 (X 1,..., X n ) = n 1 i X i (c) Überlegen Sie wie Sie die nicht-erwartungstreuen Schätzfunktionen aus Aufgabenteil (b) transformieren können, so dass diese die Eigenschaft der Erwartungstreue besitzen. (d) Gehen Sie kurz auf die Konsistenz einer Schätzfunktion ein. Welche der Schätzfunktionen aus (b) besitzt diese Eigenschaft? 3

4 3. Aufgabe ( = 60 Punkte) Mit Hilfe der Statistiksoftware R soll der Datensatz CPSSW9204 aus dem Paket AER untersucht werden, welcher Informationen bezüglich der Lohnverteilung von Vollzeitangestellten im Alter zwischen 25 und 34 in den Jahren 1992 und 2004 zur Verfügung stellt. Als abhängige Variable soll earnings verwendet werden, welche den durchschnittlichen Stundenlohn der Arbeiter repräsentiert, erklärende Variablen sollen aus dem Geschlecht (female,male ; binär), dem Alter (age) und den zwei Binärvariablen für den höchsten erreichten Abschluss (bachelor,highschool) gewählt werden. Folgender Output entstand bei der Analyse der Daten: Call: lm(formula = earnings ~ age + female + bachelor, data = CPSSW9204) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) ??? age <2e-16 *** female??? <2e-16 *** bachelor ??? <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared:??? F-statistic:??? on??? and??? DF, p-value: < 2.2e-16 (a) Formulieren Sie die Modellgleichung, durch deren Schätzung obiger Output entstanden ist. Warum wurden die Variablen male und highschool nicht auch in das Modell aufgenommen, beziehungsweise was hätte dies zur Folge gehabt? (b) Berechnen Sie die fehlenden Werte (???) im Output und treffen Sie eine Entscheidung, welche der Koeffizienten signifikant von Null verschieden sind bei einem Signifikanzniveau von α = Geben Sie weiterhin die Hypothesen H 0 und H 1 an, auf die sich die jeweilige t-statistik und der p-wert beziehen. (c) Können Sie eine Aussage zur Signifikanz des Erklärungsansatzes machen? Geben Sie auch hier die entsprechenden Hypothesen H 0 und H 1 an. 4

5 (d) Als ein Kritikpunkt der Schätzung wird angeführt, dass man die Daten der Jahre 1992 und 2004 nicht zusammen für eine Modellschätzung verwenden sollte, da eine zu große Zeitspanne besteht und man nicht die gleichen Koeffizienten für beide Jahre annehmen kann. Aus diesem Grund wurden zwei separate Schätzungen durchgeführt, zum einem mit den Daten aus dem Jahr 1992 und zum anderen mit denen aus dem Jahr 2004, was folgende zwei Outputs lieferte. Call: lm(formula = earnings ~ age + female + bachelor, data = CPSSW9204, subset = 1:7602) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) age <2e-16 *** female <2e-16 *** bachelor <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 7598 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 7598 DF, p-value: < 2.2e-16 Call: lm(formula = earnings ~ age + female + bachelor, data = CPSSW9204, subset = 7603:15588) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) * age <2e-16 *** female <2e-16 *** bachelor <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 7982 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.19, Adjusted R-squared: F-statistic: on 3 and 7982 DF, p-value: < 2.2e-16 Verwenden Sie einen geeigneten Test um die vorgebrachte Kritik entweder zu verifizieren oder zu entkräften. 5

6 (e) Im Weiteren werden nur noch die Daten für das Jahr 2004 verwendet. Ein weiterer Kritikpunkt des Modells bestehe nun in der Annahme homoskedastischer Störgrößen, wobei sich die Kritiker auf folgende Grafik stützen Residuen 25 Jährige 34 Jährige Verwenden Sie einen geeigneten Test zur Überprüfung der Hypothese, dass die Störtermvarianz für die Gruppe der 34-Jährigen größer ist als für die Gruppe der 25-Jährigen. Gehen Sie hierbei auf die einzelnen Schritte ein, die notwendig sind, um die Teststatistik berechnen zu können. Verwenden Sie folgende Ergebnisse für die Schätzung des Modells y i = β 0 + β 1 female i + β 2 bachelor i + u i, u i iid N(0, σ 2 ) für die Gruppe der 25-Jährigen mit einer Gruppenstärke von 725 Personen, û 25û 25 = , und für die Gruppe der 34-Jährigen mit einer Gruppenstärke von 939 Personen, û 34û 34 = (f) Aufgrund von (e) wird in Betracht gezogen die Modellannahmen bezüglich der Störterme zu verallgemeinern und u i N(0, σ 2 age i ), wobei age i {25, 26,..., 34} zu verwenden. Welche Gestalt hat bei diesen Annahmen die Varianz-Kovarianz-Matrix der Störterme,wenn die Beobachtungen nach dem Alter der Merkmalsträger geordnet werden? Geben Sie formal den erwartungstreuen und varianzminimalen Schätzer ˇβ und dessen Varianz-Kovarianz- Matrix an. Welche Schritte sind jetzt noch notwendig, um eine berechenbare Version des Schätzers ˇβ zu erhalten? 6

7 (g) Es wird eingewandt, dass die Heteroskedastizität nicht nur vom Alter der Merkmalsträger abhängig ist. Wird, wenn dieser Einwand zutrifft, dadurch die Gültigkeit des LS-Outputs und/oder des in (d) durchgeführten Strukturbruchtests beeinträchtigt? (kurze Erläuterung) Zur Lösung der Aufgabenteile (d) und (e) stehen Ihnen die folgenden Quantile zur Verfügung: F 936,722;0.95 = , F 3,15588;0.95 = , F 4,15580;0.95 = , F 4,7982;0.95 =

8 Wahlteil: Bearbeiten Sie genau EINE der verbleibenden ZWEI Aufgaben ( )! 4. Aufgabe ( = 30 Punkte) (a) Formulieren Sie (allgemein) ein Modell für Paneldaten indem Sie fixed effects sowohl für die Untersuchungseinheiten als auch die verschiedenen Perioden berücksichtigen. Auf was müssen Sie besonders achten? Bei einer großen Anzahl an Untersuchungseinheiten und Perioden kann die Schätzung des Modells eventuell sehr zeitintensiv werden; gehen Sie kurz darauf ein, wie man dieses Problem umgehen kann. (b) Ein Gastronom denkt über eine Umstrukturierung seines Geschäftskonzepts nach und plant unter Umständen verstärkt sogenannte Themen-Abende anzubieten. Da er sich über die Preisgestaltung an solchen Abenden noch nicht im Klaren ist, will er auch das Verhältnis von Rechnungsbetrag und Höhe des Trinkgeldes mit in seine Überlegungen einfliessen lassen, um eventuell seine Mehrkosten durch das erhöhte Trinkgeld abzufangen. Hierzu notiert er sich die Datenpaare (x i = Rechnungsbetrag, y i = Trinkgeld, beides in EUR) von vier seiner Stammgäste an insgesamt vier Abenden, wobei die ersten drei gewöhnliche Abende waren und es sich beim vierten Abend um ein Themen-Abend handelt. Gast 1 Gast 2 Gast 3 Gast 4 1. Abend (x 1, y 1 ) = (20, 2) (x 2, y 2 ) = (40, 2) (x 3, y 3 ) = (50, 4) (x 4, y 4 ) = (30, 3) 2. Abend (x 5, y 5 ) = (30, 3) (x 6, y 6 ) = (35, 1) (x 7, y 7 ) = (41, 3) (x 8, y 8 ) = (20, 2) 3. Abend (x 9, y 9 ) = (25, 2) (x 10, y 10 ) = (14, 1) (x 11, y 11 ) = (20, 1) (x 12, y 12 ) = (30, 2) 4. Abend (x 13, y 13 ) = (50, 7) (x 14, y 14 ) = (40, 4) (x 15, y 15 ) = (40, 5) (x 16, y 16 ) = (40, 6) i) Gehen Sie mit Hilfe der obigen Daten auf die Begriffe Zeitreihe,Querschnittsdaten und Paneldaten ein. Geben Sie je ein Beispiel mit konkreten Datenpaaren an. Handelt es sich hier um ein balanciertes Panel? ii) Formulieren Sie nun ein Modell für das konkrete Beispiel des Gastronoms, in dem nur zeitliche Effekte berücksichtigt werden, in zwei Varianten, derart, dass das Basisniveau der Höhe des Trinkgeldes am i ten Abend an den Koeffizienten abgelesen werden kann und alternativ dazu, derart, dass die Differenz der Höhe des Trinkgeldes zum Referenzabend an den Koeffizienten abgelesen werden kann. 8

9 iii) Es soll nun eine LS-Schätzung des Modells y i,t = β 0 + β 1 x i,t + δ 1 B 1 + δ 2 B 2 + δ 3 B 3 + u i,t { 1, Beobachtung am i-ten Abend mit B i = 0, sonst durchgeführt werden. Berechnen Sie den zur Durchführung der Schätzung benötigten Vektor X y. iv) Nachdem der fehlende Vektor berechnet wurde, konnte die Schätzung durchgeführt werden und lieferte den Koeffizientenschätzer β = (3.0468, , , , ) Wie hoch ist das Basisniveau der Höhe des Trinkgeldes am zweiten Abend? 9

10 5. Aufgabe ( = 30 Punkte) Ein lineares Modell der Form y i = β 1 + β 2 x 2,i + β 3 x 3,i + u i, u i iid N(0, σ 2 ) soll mit der Kleinst-Quadrate-Methode geschätzt werden. Die ursprünglichen Daten sind allerdings nicht mehr vorhanden, sondern nur noch die von den Daten erzeugten Summen x 2,i = 123, x 3,i = 96, x 2 2,i = 252, x 2 3,i = 167, x 2,i x 3,i = 125, y i = 460, und die Matrix y i x 2,i = 810, y i x 3,i = 615, yi 2 = (X X) 1 = (a) Berechnen Sie den KQ-Schätzer β und dessen Varianz-Kovarianz-Matrix. (b) Testen Sie mit einem geeigeneten Test auf die Signifikanz des Erklärungsansatzes. (c) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test jeweils die Hypothese i) H 1 : β 1 0. ii) H 1 : β 2 > 0. iii) H 1 : β 3 < 0. (d) Bestimmen Sie den Varianz-Inflations-Faktor für X 1 und X 2. Kann man bei diesen Daten sagen, dass Multikollinearität keine große Rolle spielt? Hinweis: Sie dürfen verwenden, dass im linearen Modell mit k = 3 Parametern folgende Beziehung besteht: Korr ( β2, β ) s x2,x 3 = 3 sx2,x 2 s x3,x 3 Zur Lösung der Aufgabenteile (b) und (c) stehen Ihnen die folgenden Quantile zur Verfügung: t 97;0.975 = , t 103;0.95 = , t 97;0.95 = , F 2,97;0.95 = , F 3,97;0.95 =

11 Viel Erfolg! 11