Aufgabe 1 (11 Punkte)

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Claudia Kappel
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1 Techn. Mechanik & Fahrzeugdynamik Otimierung Pro. Dr.-Ing. habil. Hon. Pro. (NUST) D. Bestle. Setember 06 Familienname Vorname Matrikel-Nummer Prüung Otimierung dynamischer Systeme Fachrichtung. Die Prüung umasst 8 Augaben au 5 Blättern.. Nur vorgelegte Fragen beantworten keine Zwischenrechnungen eintragen. 3. Alle Ergebnisse sind grundsätzlich in den gegebenen Größen auszudrücken. 4. Die Blätter der Prüung düren nicht getrennt werden. 5. Zugelassene Hilsmittel: Fachliteratur eigene Auzeichnungen Taschenrechner. Mobilteleone müssen ausgeschaltet sein! 6. Bearbeitungszeit: 90 min 7. Unterschreiben Sie die Prüung bitte erst beim Eintragen Ihres Namens in die Sitzliste. Augabe ( Punkte) Ein Kragbalken (Länge L Elastizitätsmodul E ) mit Rechteckquerschnitt (Breite b Höhe h ) wird durch eine Krat F belastet. Dadurch tritt an der Einsannstelle die Biegesannung B 6FL / ( bh ) und am reien Ende die Durchbiegung 4FL / ( Ebh ) au. Die Quer- 3 3 schnittsabmessungen sind im Bereich b0 b b h0 h h so estzulegen dass die Querschnittsläche A bh und die Biegesannung B minimal werden wobei die Durchbiegung einen vorgegebenen Wert nicht überschreiten dar. Um seitliches Ausknicken zu vermeiden soll das Höhen-Breiten Verhältnis h/ b kleiner gleich 8 bleiben. a) Formulieren Sie ein geeignetes Otimierungsroblem (zunächst Verwendung aller im Text deklarierten Variablen erlaubt). Entwursvariablen: Entwursziele: Nebenbedingungen: b) Wie lautet dieses Otimierungsroblem in Standardorm? (Setzen Sie jetzt alle Berechnungsormeln exlizit ein)... (Unterschrit) Punkte Note Gesamtunktzahl: 74 zum Bestehen erorderlich: 37

2 Augabe (5 Punkte) Normiert man in Augabe die Entwursvariablen bezüglich ihrer unteren Grenzen und bezieht die Kriterien au ihre Werte ür den Querschnitt b0 h0 entsteht unter Verwendung geeigneter Zahlenwerte das dimensionslose Otimerungsroblem min P mit a) Zeichnen Sie im Entwursraum die Nebenbedingungen ein und machen Sie den zulässigen Entwursraum P kenntlich. 0 P= c) Nebenstehendes Bild zeigt die Höhenlinien des Kriteriums. Berechnen Sie den Gradient und zeichnen Sie ihn an der Stelle 0 T maßstäblich ein. ( ) ( 0) Augabe 3 (8 Punkte) Um das Mehrkriterienroblem in Augabe zu lösen kann man den zulässigen Entwursraum aus Augabe a in den Kriterienraum abbilden. a) Welche Beziehungen lassen sich aus den Kriterien und / ( ) gewinnen? b) Transormieren Sie mithile der Kriterienunktionen und / ( ) olgende Nebenbedingungen in den Kriterienraum indem Sie Relationen der Form bzw in Abhängigkeit von bilden: b) Nebenstehendes Bild zeigt die Höhenlinien des Kriteriums. Berechnen Sie den Gradient und zeichnen Sie ihn an der Stelle 0 T maßstäblich ein. ( ) ( 0)

Augabe 4 (4 Punkte) Die Abbildung von zulässigen Entwursunkten mit den Kriterienunktionen in Augabe lieert das untenstehende Bild der erreichbaren Punkte im Kriterienraum.

3 Augabe 4 (4 Punkte) Die Abbildung von zulässigen Entwursunkten mit den Kriterienunktionen in Augabe lieert das untenstehende Bild der erreichbaren Punkte im Kriterienraum. a) Zeichnen Sie die Pareto-Front b) Zeichnen Sie die ideale Lösung P F ein. 0 ein. c) Mithile des Goal Attainment kann man das bi-kriterielle Problem skalarisieren. Konstruieren Sie den Gewichtungsvektor w 0 /00 T und die damit entstehende otimale Komromisslösung *. Augabe 5 ( Punkte) Das Mehrkriterienroblem in Augabe lässt sich au ein skalares Problem reduzieren indem man ür das Flächenkriterium einen esten Wert a vorgibt und nur das Sannungskriterium minimiert. Unter der Annahme dass die Parametergrenzen inaktiv sind ergibt sich das reduzierte Otimierungsroblem min P mit P= g : a 0 : 3 h 6 0 ür das die Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen ormuliert werden sollen. a) Wie lautet die Lagrange-Funktion des Otimierungsroblems? L b) Wie lauten die zugehörigen Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen? c) Wie viele Fälle sind zu untersuchen?

4 Augabe 6 (5 Punkte) Der Gradient des Kriteriums aus Augabe soll durch Automatisches Dierenzieren ermittelt werden. a) Erstellen Sie einen Funktionsgrahen ür unter Verwendung von einzelnen elementaren Rechenoerationen. b) Ergänzen Sie den Funktionsgrahen an den Kanten um die entsrechenden artiellen Ableitungen der Elementarunktionen. d) Erstellen Sie einen vollständigen Grahen zur Berechnung von im Rückwärtsmode des Automatischen Dierenzierens. Initialisierung: Grah: c) Ergänzen Sie den Grahen zur Gradientenberechnung von im Vorwärtsmode des Automatischen Dierenzierens um Kanten und Zwischenergebnisse. e) Aus welchen adjungierten Variablen setzt sich der Gradient zusammen?

5 Augabe 7 (6 Punkte) Nimmt man in Augabe 5 an dass die zweite Ungleichung inaktiv ist kann man das restringierte Otimierungsroblem ersatzweise durch Minimieren der Güteunktion lösen. +r a +r max 0 r r a) Wie nennt man diese Strategie? Skalarisierung SUMT PSO SQP b) Bestimmen Sie den Wert der obigen Güteunktion an den Entwursunkten T und 5 5 T 4 ür a 40 r 0 r 0. Augabe 8 (3 Punkte) Untenstehendes Bild zeigt die Höhenlinien der zu minimierenden Funktion aus Augabe 7. a) Bezeichnen Sie die Eckunkte des dargestellten Startsimlex in austeigender Reihenolge des Güteunktionswertes mit 0. b) Führen Sie zur Minimierung der Funktion ausgehend vom Startsimlex grahisch einen vollständigen Iterationsschritt des Simlex-Agorithmus von Nelder und Mead mit den Standardeinstellungen 0.5 durch. c) Nebenstehendes Bild zeigt die Höhenlinien von ür dieselben Parameterwerte. Zeichnen Sie das Otimum * ein. d) Wie würde lauten wenn man die Ungleichungsnebenbedingung durch eine Barriereunktion berücksichtigen würde? +r a +r

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