Ableitungsfunktion. Aufgabennummer: 1_031 Prüfungsteil: Typ 1 Typ 2. Aufgabenformat: Multiple Choice (x aus 5) Grundkompetenz: AN 3.

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1 Ableitungsunktion Augabennummer: _0 Prüungsteil: Typ Typ Augabenormat: Multiple Choice (x aus ) Grundkompetenz: AN. keine Hilsmittel erorderlich gewohnte Hilsmittel möglich besondere Technologie erorderlich In der nachstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsunktion ' einer Funktion dargestellt. Augabenstellung: Kreuzen Sie die zutreende(n) Aussage(n) an! Die Funktion hat im Intervall [ ; ] drei lokale Extremstellen. Die Funktion ist im Intervall (; ) streng monoton steigend. Die Funktion hat im Intervall [ ; 0] eine Wendestelle. Die Funktion '' hat im Intervall [ ; ] zwei Nullstellen. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 ein lokales Minimum.

2 Ableitungsunktion Lösung Die Funktion hat im Intervall [ ; ] drei lokale Extremstellen. Die Funktion hat im Intervall [ ; 0] eine Wendestelle. Die Funktion '' hat im Intervall [ ; ] zwei Nullstellen. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

3 Funktion Ableitungsunktion Augabennummer: _0 Prüungsteil: Typ S Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. S keine Hilsmittel erorderlich S gewohnte Hilsmittel möglich besondere Technologie erorderlich In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Ableitungsunktion ' einer Funktion dargestellt. ' ' x x x x x x Augabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! Jede Funktion mit der Ableitungsunktion ' hat an der Stelle x eine horizontale Tangente. Es gibt eine Funktion mit der Ableitungsunktion ', deren Graph durch den Punkt P = (0 0) verläut. Jede Funktion mit der Ableitungsunktion ' ist im Intervall [x ; x ] streng monoton allend. Jede Funktion mit der Ableitungsunktion ' ist im Intervall [x ; x ] streng monoton steigend. Die Funktionswerte jeder Funktion mit der Ableitungsunktion ' sind ür x [x ; x ] stets positiv.

4 Funktion Ableitungsunktion Lösungsweg Es gibt eine Funktion mit der Ableitungsunktion ', deren Graph durch den Punkt P = (0 0) verläut. S Jede Funktion mit der Ableitungsunktion ' ist im Intervall [x ; x ] streng monoton steigend. S Lösungsschlüssel Die Augabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die zwei zutreenden Aussagen angekreuzt sind.

5 Funktionseigenschaten* Augabennummer: _9 Prüungsteil: Typ Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. keine Hilsmittel erorderlich gewohnte Hilsmittel möglich besondere Technologie erorderlich Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsunktion einer Polynomunktion. y ' - x Augabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! Die Funktion hat an der Stelle x = einen lokalen Hochpunkt. Die Funktion ist im Intervall [; ] streng monoton allend. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine lokale Extremstelle. Die Funktion ist im Intervall [ ; 0] links gekrümmt. * Diese Augabe wurde dem im Oktober 0 publizierten Kompetenzcheck (vgl. entnommen.

6 Funktionseigenschaten Lösungsweg Die Funktion hat an der Stelle x = einen lokalen Hochpunkt. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.

7 Freier Fall eines Körpers Augabennummer: _7 Prüungsteil: Typ Typ Augabenormat: Multiple Choice (x aus ) Grundkompetenz: AN. keine Hilsmittel erorderlich gewohnte Hilsmittel möglich besondere Technologie erorderlich Die Funktion s mit s(t) = g t (g 0 m/s²) beschreibt annähernd den von einem Körper in der Zeit t (in Sekunden) im reien Fall zurückgelegten Weg s(t) (in m). Augabenstellung: Kreuzen Sie die zutreende(n) Aussage(n) an! Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t. Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Der Dierenzenquotient der Funktion s im Intervall [t ; t ] gibt den in diesem Intervall zurückgelegten Weg an. Der Dierenzialquotient der Funktion s an einer Stelle t gibt den Winkel an, den die Tangente an den Graphen im Punkt P = (t s(t)) mit der positiven x-achse einschließt. Der Dierenzenquotient der Funktion s im Intervall [t ; t ] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t ; t ] an.

8 Freier Fall eines Körpers Lösung Die erste Ableitung s der Funktion s an der Stelle t beschreibt die Momentangeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t. Die zweite Ableitung s der Funktion s an der Stelle t beschreibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Der Dierenzenquotient der Funktion s im Intervall [t ; t ] gibt die mittlere Änderung der Geschwindigkeit pro Sekunde im Intervall [t ; t ] an. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau drei Aussagen angekreuzt sind und alle Kreuze richtig gesetzt sind.

9 Lokale Eigenschaten einer Funktion Augabennummer: _6 Prüungsteil: Typ S Typ Augabenormat: Zuordnungsormat Grundkompetenz: AN. S keine Hilsmittel erorderlich gewohnte Hilsmittel möglich besondere Technologie erorderlich Gegeben ist der Graph einer Funktion. Die eingezeichneten Punkte A, B, C, D, E, F, G, H und I liegen au dem Funktionsgraphen; weiters sind die Tangenten in A, C, E und G eingetragen; in B, D, H und I ist die Tangente horizontal (waagrecht). Augabenstellung: Ordnen Sie den angegebenen Eigenschaten jeweils einen der markierten Punkte zu! > 0, = 0, < 0 A A > 0, > 0, = 0 B B = 0, = 0, > 0 C C > 0, < 0, > 0 D D E F E F

10 Lokale Eigenschaten einer Funktion Lösungsweg > 0, = 0, < 0 D A A > 0, > 0, = 0 C B B = 0, = 0, > 0 B C C > 0, < 0, > 0 A D D E F E F Lösungsschlüssel Die Augabe ist nur dann richtig gelöst, wenn alle Punkte korrekt zugeordnet wurden.

11 Graph einer Ableitungsunktion* Augabennummer: _0 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsunktion mit = x x einer Polynomunktion. 0 0 x Augabenstellung: Welche der olgenden Aussagen über die Funktion sind richtig? Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! Die Funktion hat im Intervall [ ; ] zwei lokale Extremstellen. Die Funktion ist im Intervall [; ] monoton steigend. Die Funktion ist im Intervall [ ; ] monoton allend. Die Funktion ist im Intervall [ ; 0] linksgekrümmt (d. h. > 0 ür alle x [ ; 0]). Die Funktion hat an der Stelle x = eine Wendestelle. * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin:. Mai 0

12 Graph einer Ableitungsunktion Lösungserwartung Die Funktion hat im Intervall [ ; ] zwei lokale Extremstellen. Die Funktion hat an der Stelle x = eine Wendestelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

13 Graph einer Ableitungsunktion* Augabennummer: _0 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsunktion einer Funktion. Die Funktion ist eine Polynomunktion zweiten Grades. ' ' x Augabenstellung: Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! Die Funktion ist eine Polynomunktion dritten Grades. Die Funktion ist im Intervall [0; ] streng monoton steigend. Die Funktion ist im Intervall [ ; ] streng monoton allend. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle. Die Funktion ist im Intervall [ ; ] linksgekrümmt. * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin:. September 0

14 Graph einer Ableitungsunktion Lösungserwartung Die Funktion ist eine Polynomunktion dritten Grades. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Wendestelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

15 Eigenschaten der Ableitungsunktion einer Polynomunktion. Grades* Augabennummer: _ Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomunktion dritten Grades. Die Koordinaten der hervorgehobenen Punkte des Graphen der Funktion sind ganzzahlig. 0 x 0 Augabenstellung: Welche der olgenden Aussagen treen au die Ableitungsunktion der Funktion zu? Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! Die Funktionswerte der Funktion sind im Intervall (0; ) negativ. Die Funktion ist im Intervall (; 0) streng monoton steigend. Die Funktion hat an der Stelle x = eine Wendestelle. Die Funktion hat an der Stelle x = ein lokales Maximum. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle. * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin:. Jänner 06

16 Eigenschaten der Ableitungsunktion einer Polynomunktion. Grades Lösungserwartung Die Funktionswerte der Funktion sind im Intervall (0; ) negativ. Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine Nullstelle. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

17 Funktionen und Ableitungsunktionen* Augabennummer: _79 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Zuordnungsormat Grundkompetenz: AN. Links sind die Graphen von vier Polynomunktionen (,,, ) abgebildet, rechts die Graphen sechs weiterer Funktionen (g, g, g, g, g, g 6 ). Augabenstellung: Ordnen Sie den Polynomunktionen bis ihre jeweilige Ableitungsunktion aus den Funktionen g bis g 6 (aus A bis F) zu! A B C D E F g g 0 g g 0 g g 0 g g 0 g g 0 g 6 g 6 0 * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 0. Mai 06

18 Funktionen und Ableitungsunktionen Lösungserwartung 6 g 0 6 E A g 0 g g 0 6 A F B C 0 g g 0 0 g x D D E g 0 g g 0 g 6 F g 6 0 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jedem der vier Graphen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist.

19 Dierenzierbare Funktion* Augabennummer: _0 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomunktion. Die Tangentensteigung an der Stelle x = 6 ist maximal x Augabenstellung: Kreuzen Sie die beiden ür die gegebene Funktion zutreenden Aussagen an! (6) = 0 () < 0 () < (0) (6) = 0 (7) < (0) * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 0. September 06

20 Dierenzierbare Funktion Lösungserwartung (6) = 0 () < 0 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.

21 Graphen von Ableitungsunktionen* Augabennummer: _0 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus 6) Grundkompetenz: AN. In den unten stehenden Abbildungen sind jeweils die Graphen der Funktionen, g und h dargestellt. Augabenstellung: In einer der sechs Abbildungen ist g die erste Ableitung von und h die zweite Ableitung von. Kreuzen Sie diese Abbildung an!, g, h, g, h g h g x x h, g, h, g, h h g x x g h, g, h, g, h h g h x x g * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 0. September 06

22 Graphen von Ableitungsunktionen Lösungserwartung, g, h h x g Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Abbildung angekreuzt ist.

23 Ableitungsregeln* Augabennummer: _0 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus 6) Grundkompetenz: AN. Über zwei Polynomunktionen und g ist bekannt, dass ür alle x R gilt: g = Augabenstellung: Welche der nachstehenden Aussagen ist jedenalls ür alle x R wahr? Kreuzen Sie die zutreende Aussage an! g = g = g = g = g = x g = * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 0. September 06

24 Ableitungsregeln Lösungserwartung g = Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Aussage angekreuzt ist.

25 Eigenschaten der zweiten Ableitung* Augabennummer: _6 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Gegeben sind die Graphen von ün reellen Funktionen. Augabenstellung: Für welche der angegebenen Funktionen gilt > 0 im Intervall [; ]? Kreuzen Sie die beiden zutreenden Graphen an! * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin:. Jänner 07

26 Eigenschaten der zweiten Ableitung Lösungserwartung 0 0 Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Graphen angekreuzt sind.

27 Krümmungsverhalten einer Polynomunktion* Augabennummer: _8 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus 6) Grundkompetenz: FA. Der Graph einer Polynomunktion dritten Grades hat im Punkt T = ( ) ein lokales Minimum, in H = ( ) ein lokales Maximum und in W = ( ) einen Wendepunkt. Augabenstellung: In welchem Intervall ist diese Funktion linksgekrümmt (positiv gekrümmt)? Kreuzen Sie das zutreende Intervall an! ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) (; ) * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 0. Mai 07

28 Krümmungsverhalten einer Polynomunktion Lösungserwartung ( ; ) Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich das laut Lösungserwartung richtige Intervall angekreuzt ist.

29 Zeit-Weg-Funktion* Augabennummer: _8 Augabentyp: Typ T Typ Augabenormat: Multiple Choice ( aus ) Grundkompetenz: AN. Die geradlinige Bewegung eines Autos wird mithile der Zeit-Weg-Funktion s beschrieben. Innerhalb des Beobachtungszeitraums ist die Funktion s streng monoton wachsend und rechtsgekrümmt. Augabenstellung: Kreuzen Sie die beiden ür diesen Beobachtungszeitraum zutreenden Aussagen an! Die Geschwindigkeit des Autos wird immer größer. Die Funktionswerte von s sind negativ. Die Funktionswerte von s sind negativ. Der Wert des Dierenzenquotienten von s im Beobachtungszeitraum ist negativ. Der Wert des Dierenzialquotienten von s wird immer kleiner. * ehemalige Klausuraugabe, Maturatermin: 8. September 07

30 Zeit-Weg-Funktion Lösungserwartung Die Funktionswerte von s sind negativ. Der Wert des Dierenzialquotienten von s wird immer kleiner. Lösungsschlüssel Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.