Elementar-Mathematik. W eickert-stolle Praktisches Maschinenrechnen

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1 W eickert-stolle Praktisches Maschinenrechnen Die wichtigsten Erfahrungswerte aus der Mathematik Mechani)r, Festigkeits- und Maschinenlehre in ihrer Anwendung auf den praktischen Maschinenbau Erster Teil Elementar-Mathematik Eine leichtfaßliche Darstellung der für Maschinenbauer und Elektrotechniker unentbehrlichen Gesetze von A. Weickert Oberingenieur und Lehrer an höheren Fachschulen für Maschinenbau und Elektrotechnik Zweiter Band: Planimetrie Zweite, verbesserte Auflage Mit 348 Textabbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1922

2 Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen vorbehalten ISBN ISBN (ebook) DOI /

3 Vorwort zur ersten Auflage. Der vorliegende Band "Planimetrie" des bereits sechs weitere Bände umfassenden ganzen Buches "Praktisches Maschinenrechnen" ist nach denselben Grundsätzen bearbeitet wie die -anderen Bände. Das Buch entstand auf Grund vielfacher Wünsche und Anregungen, welche aus Kreisen der Herren ]'achkollegen und Leser wiederholt an mich gerichtet wurden. Die Behandlung des Stoffes ist den neuzeitlichen Bestrebungen auf diesem Gebiete angepaßt. Von der sonst üblichen, strengen Beweisführung unter Voranstellung der "Lehrsätze" ist abgesehen. Es ist vor allem Wert auf Anschaulichkeit, zeichnerische Darstellung usw. gelegt, und sind aus diesen als Folge die maßgebenden Gesetze abgeleitet.. Auch sind nur die für die technischen Fächer wichtigsten Sätze behandelt. Beispiele, Aufgaben und Übungen sind dem Bedürfnis der Praxis entsprechend reichlich vorgesehen; sie sind zum Teil der Praxis entnommen, zum Teil auf diese zugeschnitten. Mit dem Erscheinen dieses Bandes richte ich, im voraus dankend, an die Herren Fachkollegen und Leser die Bitte, mich auf fehlende oder wünschenswerte Erweiterungen aufmerksam machen zu wollen. Unterlassen möchte ich nicht, meinem Herrn Verleger besonderen Dank für die große Bereitwilligkeit auszusprechen, die er auch bei dieser Veröffentlichung, trotz der außerordentlich erschwerten und nur unter Aufwendung erhöhter Herstellungskosten ermöglichte, in bezug auf zweckentsprechende, würdige und den bereits erschienenen Teilen angepaßte Ausstattung dieses Bandes zeigte. Berlin, im Januar A. Weickert.

4 Vorwort zur zweiten Auflage. Der schnelle Absatz der ersten Auflage machte die vorliegende Neubearbeitung notwendig. Einzelne Abschnitte wurden auf vielfache Anregungen aus Interessentenkreisen erheblich erweitert, der Abschnitt über den "Kreis" vollkommen umgearbeitet. Gänzlich neu hinzugefügt wurden die für den Techniker erforderlichen Sätze aus der "Ähnlichkeitslehre". Beispiele und Übungen wurden ganz erheblich vermehrt. Letztere treten bei dem Kreise und bei der Ähnlichkeitslehre mehr in den Vordergrund, da der Leser nach gewissenhaftem Durcharbeiten der vorhergehenden Abschnitte in der Lage ist, die in den Übungen enthaltenen Aufgaben selbständig zu lösen. Wiederholt sei dem Leser die Beachtung der "Fußnoten" empfohlen; er vermeidet dadurch Zeitverluste durch ein die Arbeit erschwerendes Herumsuchen in den anderen Bänden des ganzen Werkes. Die Bezugnahmen in diesen Fußnoten auf die einzelnen Bände betreffen: Arithmetik und Algebra, IX. Auflage, 1920 Trigonometrie, I. " 1919 Stereometrie, I Mechanik, VIII. " 1920 Mit der wiederholten Bitte an die Herren Fachkollegen und Leser, ihre Wünsche und Vorschläge zur Vervollkommnung und Verbesserung des Ganzen mir auch weiterhin zugehen zu lassen, verbinde ich besonderen Dank an den Herrn Verleger, welcher trotz~ Teuerung und Papiernot nichts unterlassen hat, um das Erscheinen dieses Bandes in der vorliegenden Form m ermöglichen. Berlin, im September A. Weickert.

5 Vorwort..... I. Vorbegriffe Raum. Inhalts verz eichni s. Körper. Ausdehnung Fläche. Linie. Punkt. Erster Teil. II. Band. Planimetrie. Bewegung des Punktes Bewegung der Linie Bewegung der Fläche. Dimension H. Die gerade Linie Gerade. Strahl. Strecke. Vektor. Messen. Längeneinheiten..... Das metrische System Addition 11nd Subtraktion von Strecken Messen gebrochener und krummer Linien ill. Die Ebene Ebene. Krumme Fläche. Sich schneidende Geraden. Parallele Geraden Parallelverschiebung Drehung einer Geraden Kreislinie. Kr-eisfläche Senkrechte Geraden. IV. Der Winkel Winkel. Winkelraum Bezeichnung der Winkel Gleiche und ungleiche Winkel. Winkelarten Komplement und Supplementwinkel Nebenwinkel.... Scheitelwinkel.. Messen von Winkeln Rechnen mit Winkeln Senkrecht. Lotrecht. W agerecht. Abstand Kreisbogen als Winkelmaß Seite IlljlV

6 VI Inhaltsverzeichnis. Kreisteilung Addieren, Subtrahieren, Vervielfachen und Teilen von Winkeln auf graphischem Wege Parallelverschiebung und Drehung von Gegenwinkel. Wechselwinkel.. Winkel an Parallelen..... Senkrechte auf Winkelschenkeln. Halbierte Nebenwinkel.. V. Das Dreieck..... Winkeln Bezeichnungen am Dreieck Winkelsumme im Dreieck. Außenwinkel Kongruenz oder Deckungsgleichheit Kongruenzsätze Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende im Dreieck. Das gleichschenklige Dreieck Das gleichseitige Dreieck Konstruktionsaufgaben... Grundaufgaben... Das rechtwinklige Dreieck Das gleichschenklige Dreieck Das gleichseitige Dreieck.. Das allgemeine Dreieck Das einfache Kurbelgetriebe VI. Das Viereck.... Bezeichnungen am Viereck Winkelsumme im Viereck. Das Parallelogramm.. Das Rechteck... Die Raute oder der Rhombus Das Quadrat Das Trapez.... Teilung einer Dreieckseite Teilung einer Geraden.. Konstruktionsaufgaben.. VII. Flächengleichheit und Flächeninhalt ebener Figuren..... Begriff der Flächengleichheit Messen von Flächen.... Flächeneinheiten Berechnung von Flächeninhalten. Das Rechteck.. Das Parallelogramm Das Quadrat Der Rhombus... Das Quadrat und der Rhombus Umfang geradlinig begrenzter, ebener Figuren. Das Dreieck Das rechtwinklige Dreieck Das Trapez.... Unregelmäßige Vierecke. Unregelmäßige Vielecke. geradlinig begrenzter, Seite

7 Inhaltsverzeichnis. Beliebig begrenzte, ebene Figuren Trapezformel..... Vereinfachte Trapezformel Simpsonsche Regel Pythagoreischer Lehrsatz Anwendung des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck. Das gleichschenklige Dreieck Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck Das gleichseitige Dreieck..... Rechteck, Quadrat und Rhombus. Heronsche Formel Vlll. Der Kreis A. Allgemeines und Bezeichnungen.. Halbmesser. Durchmesser. Umfang Sehne. Sekante. Tangente..... Kreisabschnitt. Kreisausschnitt. Halbkreis. Winkel. Halbkreis. Viertelkreis.... B. Gegenseitige Lage zweier Kreise Konzentrische und exzentrische Kreise Parallelverschiebung.... C. Geraden im und am Kreise. Sehne... Gleiche Sehnen Ungleiche Sehnen Tangente... D. Winkel im Kreise Zentri- oder Mittelpunktswinkel. Peripherie- und Zentriwinkel.. Peripheriewinkel über gleichen Bogen. Peripheriewinkel im Halbkreise. Sehnen- und Tangentenwinkel E. Tangenten-Konstruktionen Tangenten an einen Kreis.. Tangenten an zwei Kreise.. F. Einbeschriebene und umschriebene Figuren Sehnendreieck. Sehnenviereck.. Tangentenviereck Tangentendreieck Tangentenvieleck G. Regelmäßige Vielecke Regelmäßige Vielecke und Kreis Bestimmungsdreieck Winkel im regelmäßigen n-eck. Flächeninhalt des regelmäßigen n-ecks Quadrat... Regelmäßiges 8-, 16-, Eck Regelmäßiges 6-Eck..... Regelmäßiges 12-, 24-, Eck Regelmäßiges Dreieck..... Regelmäßiges 5-, 7-, 9-, Eck Berechnung regelmäßiger Vielecke. VII Seite '

8 Vlll Inhaltsverzeichnis. Seite H. Berechnung des Kreises 170 Umfang des Kreises Inhalt des Kreises Inhalt des Kreisringes IX. Proporti onalität der Linien und Ähnlichkeit geradlinig begrenzter, ebner Figuren. 180 A. Proportionalität von Strecken. 180 Messen. Aliquoter Teil Größtes gemeinschaftliches Maß Verhältnis zweier Strecken Kommensurabele und inkommensurabele Strecken 184 Teilung einer Strecke in gleiche Teile nach einem gegebenen Verhältnis Proportionale Teilung am Dreieck Konstruktion der vierten Proportionalen. B. Ähnlichkeit ebener, geradlinig begrenzter Figuren Begriff der Ähnlichkeit Transversalmaßstab 0. Ähnlichkeit der Dreiecke. Parallelsatz Konstruktion ähnlicher Dreiecke Ähnlichkeitssätze Höhensatz Mittellinien. Schwerlinien Mittlere Proportionale Kathetensatz..... Höhensatz.... Konstruktion der mittleren Proportionalen Stetige Teilung. Goldener Schnitt Umfänge ähnlicher Dreiecke.. Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke D.. Ähnlichkeit der Vier- und Vielecke Bedingungen der Ahnlichkeit E. Proportionalität am Kreise Sehnensatz.. Sekantensatz Tangentensatz.... Satz des Ptolemäus F. Proportionalität der Flächeninhalte ebener ]'iguren. Rechtecke.... Parallelogramme Allgemeine und ähnliche Dreiecke Ähnliche und regelmäßige Vielecke Kreise......,.. Verhältnis entsprechender Kreisteile zueinander Quadratwurzeln vielgebrauchter Zahlenwerte Griechisches Alphabet