Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen Empirische Untersuchungen im Rahmen des propädeutischen Unterrichts der Analysis

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1 Funktionales Denken mit dem Computer unterstützen Empirische Untersuchungen im Rahmen des propädeutischen Unterrichts der Analysis Andrea Hoffkamp, Technische Universität Berlin Herbsttagung des Arbeitskreises Mathematikunterricht und Informatik in Soest

2 Gliederung Funktionales Denken und Analysispropädeutik Computernutzung - Grundideen und Gestaltungsleitlinien Forschungsfragen und Studiendesign Auswertung und erste Ergebnisse

3 Funktionales Denken und Analysispropädeutik Meraner Reform (1905): (Krüger 2000)! Erziehung zum funktionalen Denken als Sonderaufgabe! gebietsübergreifende Denkgewohnheit (fundamentale Idee)! Denken in Variationen und funktionalen Abhängigkeiten! Blick auf Bewegung und Veränderlichkeit (,kinematisch -funktionales Denken)! Propädeutik zur Einführung in die Differential- und Integralrechnung Vollrath (1989):! Funktionales Denken ist eine Denkweise, die typisch für den Umgang mit Funktionen ist

4 Funktionales Denken und Analysispropädeutik Aspekte funktionalen Denkens (Vollrath, Malle)! Zuordnung, Änderung, Funktion als Ganzes/als Objekt Darstellungsformen von Funktionen! bildliche/sprachliche Beschreibung, Tabelle, Graph, Term! Begrifflicher Standort meines Ansatzes:! Funktionales Denken als Propädeutik zur Differential- und Integralrechnung (angelehnt an den Begriff aus Meraner Reform)! Wie wirkt der Umgang mit den Funktionen als Gegenständen auf das funktionale Denken zurück?

5 Vorstellungen von Schülerinnen und Schülern und Unterrichtsrealität Aufgabe: Dreiecksfläche (nach: Schlöglhofer 2000) Die gestrichelte Linie wird vom Punkte A um die Entfernung x nach rechts gezogen. Der Wert F(x) gibt die Größe der grau unterlegten Fläche an. Welcher Graph passt? Begründe Deine Wahl! Graph-als-Bild-Fehler (Bezeichnung nach Vogel)

6 Konzepte der Analysis ohne,korrekte dynamische Sicht

7 Unterrichtsrealität Zuordnungsaspekt dominiert, Weg über Tabellen als vorherrschende Technik Behandlung von bestimmten Funktionenklassen! Epistemologische Hürden (Sierpinska 1992) Funktionales Denken beginnt bei intuitiven Vorstellungen über funktionale Zusammenhänge wie Wenn man die eine Größe ändert, dann ändert sich die andere oder Je mehr..., desto mehr..., und es ist voll entwickelt bei Denkweisen der Analysis (Vollrath 1989)! Realität: kalkülorientierter Analysisunterricht, Verharren in Berechnungen, wenig inhaltliche Vorstellungen (Blum/Kirsch `79, Stellmacher `86, Bender `91 u.a.)! Plädoyer für eine stärkere Gewichtung der qualitativen Anfänge der Analysis (Krüger: Meraner Reform, Hahn/Prediger `08)

8 Interaktive Lernumgebungen - Grundideen und Gestaltungsleitlinien Grundidee:! interaktiv-experimentelle Computernutzung! Ziele: - dynamische Komponente funktionalen Denkens - Inhaltliche Vorstellungen im Hinblick auf Propädeutik zur Differentialund Integralrechnung Verknüpfung Situation - Graph Sprache als Vermittler (Janvier), kognitive (Vygotskij) und kooperative Funktion Zwei Variationsstufen! Visualisierung der Kovariation! Metavariation und Objektaspekt Kontiguität Geringer technischer Overhead und Praktikabilität

9 Forschungsfragen Welche Vorstellungen/Begriffe im Hinblick auf eine dynamische Sicht funktionaler Abhängigkeiten werden bei der Arbeit mit den Lernumgebungen entwickelt?! qualitative Beschreibung lokaler/globaler Funktionseigenschaften (Extrema, Wendestellen, Monotonie, Steigung, nicht-lineares Wachstum)! Conceptual-Change-Ansatz (Vosniadou, Schnotz u.a.) Wie sehen die Interaktionsprozesse aus und welche Rolle spielen dabei die Möglichkeiten der Applets (Variation, Metavariation)? Welche epistemologischen Hürden sind erkennbar?

10 Qualitative Studie - Studiendesign Interaktive Lernumgebungen: Dreiecksfläche, Einbeschriebene Rechtecke, Die Reise Zwei 10te Klassen an zwei Berliner Gymnasien im Juni/Juli 2009 zeitlicher Rahmen: drei Doppelstunden und eine Einzelstunde Eigenständige Arbeit mit den Lernumgebungen, Unterrichtsgespräch Videoaufnahmen (Schülergespräch und Bildschirmaktivität) von je zwei Schülerpaaren, Videoaufnahme des Unterrichtsgespräches Arbeitsbögen, Test und Fragebogen

11 Auswertung und erste Ergebnisse Interpretative Unterrichtsforschung (Maier/Voigt):! Lehren/Lernen von Mathematik sind Momente eines sozialen Prozesses: Aushandlung von Bedeutung, Konstitution mathematischen Sinns, aktive Konstruktion mathematischer Bedeutung! Ziel: Re-konstruktion der Bedeutungen aus Texten (Transkripte, Arbeitsbögen, Testlösungen)! Theoriegebundenheit von Interaktionsanalysen! Ergebnisse: - Erfassung von Ähnlichkeiten/Regelmäßigkeiten/Typizität - Sensibilisierung im Hinblick auf didaktisches Handeln und Wahrnehmung - Lernen aus Einzelfällen

12 Verfahren und Auswertungsstand Hauptauswertungsmaterial: Videos der Schülerpaare am Computer Lernumgebung Dreiecksfläche 4 Videos der Schülerpaare Arbeitsbögen Arbeitsbögen Fragebögen Test Rohdokumente (Zeit, Paraphrase, Computeraktion, Rohtranskript, erste Deutungsversuche) Episodenauswahl Warum hat der Graph diese Gestalt? Was geschieht am schwarzen Punkt über C? Transkripte und Analyse

13 Ausgewählte Ergebnisse (1) 3 Probleme: - Änderungsverhalten in Situation - Änderungsverhalten im Graphen - Verbindung Situation-Graph! schwer: Änderungsverhalten in Situation und Verbindung Bestand und Änderung und deren begriffliche Trennung Metavariation: - Testen/Überprüfen von Vermutungen - Verdeutlichung von Grapheneigenschaften! Filmausschnitt: Warum hat der Graph diese Gestalt? - Aussage von S1: Graph steigt zunächst, und er sinkt, sobald C überschritten ist. - Änderungsverhalten in Situation - 9 Minuten ohne Computeraktion

14 Ausgewählte Ergebnisse (1)

15 Ausgewählte Ergebnisse (2)

16 Ausgewählte Ergebnisse (3) Epistemologische Hürde Steigung in einem Punkt : 35 S1: [..] ich würde sagen der Anstieg der Funktion ändert sich 36 S2: Ne,ne, der Anstieg, die Funktion hat keinen Anstieg, weil, wenn 37 sie einen Anstieg hätte, wäre sie gerade [..] 39 S2: (verschiebt C horizontal ein paar Mal hin und her) Der guck mal, weil der das ääh, da gibt es 40 keinen Anstieg, weil der Anstieg ist überall unterschiedlich. Metavariation: - Hervorhebung von Grapheneigenschaften durch Invarianten (Monotonie,,Wendestelle,,S-Form,,Anstieg ) und Erklärungszwang - Verdeckung der Variation erster Stufe,L musste auf punktweise Sicht hinweisen - Fördert,scheinbare Begründungen Vom Punkt A bis zum Punkte C steigt der Graph stark an, weil der Flächeninhalt größer wird. Dann steigt er weniger stark an, weil Beta kleiner als Alpha ist und BC sinkt.

17 Kommentar Fragebogen

18 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Material: Kontakt: