Springer-Lehrbuch
Karl Mosler Rainer Dyckerhoff Christoph Scheicher Mathematische Methoden für Ökonomen 3., verbesserte und erweiterte Auflage
Karl Mosler Rainer Dyckerhoff Christoph Scheicher Universität zu Köln Institut für Ökonometrie und Statistik Köln, Deutschland ISSN 0937-7433 Springer-Lehrbuch ISBN 978-3-662-54245-3 ISBN 978-3-662-54246-0 (ebook) https://doi.org/10.1007/978-3-662-54246-0 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Gabler Springer-Verlag GmbH Deutschland 2009, 2011, 2018 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung: Iris Ruhmann Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Gabler ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH, Deutschland Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany
Vorwort Im Wirtschaftsleben wird gerechnet. Es geht um Stückzahlen und Preise, Umsätze und Gewinne und um ihre Beziehungen untereinander. Viele ökonomische Probleme lassen sich lösen, indem man Zahlen addiert und multipliziert und Prozente berechnet, aber nicht alle! Die moderne Wirtschaftswissenschaft benutzt mathematische Symbole und Begriffe, um ökonomische Sachverhalte allgemein und knapp darzustellen. Sie bedient sich dabei vor allem der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Modelle und Gleichungssysteme. Die ökonomische Literatur ist deshalb voller Formeln und mathematischer Herleitungen. Wer Betriebswirtschaftslehre oder Volkswirtschaftslehre studiert, mag das anfangs schrecklich finden oder zumindest gewöhnungsbedürftig. Doch braucht es für die Grundbegriffe kein vertieftes mathematisches Verständnis, und der Nutzen ist leicht einzusehen. Grundsätzlich kann man zwar alles, was sich durch eine mathematische Formel beschreiben lässt, auch mit bloßen Worten ausdrücken, doch braucht man dafür in der Regel sehr viel mehr Platz. Und: Wer will das alles so wie dieses Vorwort lesen und sich auch noch merken? Die mathematische Notation dient weitgehend lediglich als Kurzschrift, um Sachverhalte knapp und einprägsam zu formulieren. Hinzu kommt, dass die mathematische Sprache präziser ist als die gewöhnliche Sprache. Schließlich erlaubt die mathematische Formulierung Kalküle und Rechenverfahren, um etwa mit Hilfe der Differentialrechnung oder der linearen Programmierung optimale Lösungen für ein ökonomisches Problem zu berechnen. In diese Dinge soll das vorliegende Buch einführen. Es soll die Studierenden in die Lage versetzen, wirtschaftswissenschaftliche Texte zu lesen, ökonomische Modelle zu verstehen und Optimierungsverfahren einzusetzen. Das Buch richtet sich an Studierende im Bachelor- und Masterstudium der wirtschaftswissenschaftlichen Fächer. Es soll die Studierenden im gesamten Studium begleiten und als Nachschlagewerk neben Veranstaltungen zur Mikro- und Makroökonomie, zur Ökonometrie, zum Operations Research, zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und zu volks- und betriebswirtschaftlichen Spezialthemen dienen. Zahlreiche Lernhilfen, durchgerechnete Beispiele und
vi Vorwort Aufgaben mit Kurzlösungen ermöglichen ein Selbststudium. Voraussetzung für dieses Lehrbuch ist ein Grundkurs Mathematik, wie er an deutschen Gymnasien zum Abitur üblich ist, wobei die inhaltlichen Schwerpunkte des Abiturs (Funktionen, Grenzprozesse und Approximation, Modellierung, algorithmische Berechnung, Darstellung und Messung im Euklidischen Raum) in knapper Form aufgegriffen und wiederholt werden. Streng genommen setzen wir lediglich eine gewisse Erfahrung und Gewandtheit im Umgang mit mathematischen Begriffsbildungen und Formeln voraus. Anhänge über Mengen, Summen und Produkte sowie komplexe Zahlen enthalten Zusammenfassungen von speziellem Schulstoff. Das Literaturverzeichnis verweist auf geeignete Lehrbücher zu dessen Wiederholung sowie auf weiterführende Literatur. Eine Besonderheit des Buches ist die enge Verknüpfung von mathematischen Begriffen mit solchen der Volkswirtschaftslehre und des Operations Research. Produktions- und Nutzenfunktionen werden frühzeitig eingeführt, ebenso wie Modelle der Verzinsung und des Wachstums einer Volkswirtschaft. Dies soll die Rolle der mathematischen Methoden als Teil der Grundausbildung in den Wirtschaftswissenschaften klären und den Transfer in die übrigen ökonomischen Disziplinen erleichtern. Das Lehrbuch ist aus Vorlesungen entstanden, die die Autoren regelmäßig und seit vielen Jahren für Studierende der Wirtschaftswissenschaften in Hamburg und Köln gehalten haben und weiterhin halten. Der Stoff der Kapitel 1 bis 6 ist so aufgebaut, dass man in einem einführenden Kurs möglichst frühzeitig zur Optimierung in mehreren Variablen gelangt, wie sie in einem gegebenenfalls parallel dazu studierten Kurs Mikroökonomie benötigt wird. Falls die Mikroökonomie in ein späteres Semester fällt, kann es sich empfehlen, die in den Kapiteln 8 und 9 dargestellte lineare Algebra nach vorne zu ziehen. Außer für einführende Veranstaltungen im Bachelor- und Masterstudium der Wirtschaftswissenschaften eignet sich das Lehrbuch auch für speziellere Kurse, so etwa für einen Kurs Optimierung linearer Systeme, der aus Kapitel 2 und den Kapiteln 8 bis 11 besteht, oder einen Kurs Dynamische Systeme in stetigen Veränderlichen aus den Kapiteln 1, 3, 4, 7 und 12. Ebenso können die Kapital 2, 8, 9, 10 und 13 die Basis für einen Kurs Dynamische Systeme in diskreten Veränderlichen bilden. Dies ist die dritte, erheblich erweiterte Auflage des Lehrbuchs. Der gesamte Text wurde durchgesehen, korrigiert und ergänzt. Insbesondere werden nun die für die Analyse dynamischer Systeme benötigten Differential- und Differenzengleichungen sehr viel ausführlicher als zuvor in zwei eigenen Kapiteln dargestellt. Ergänzt wurden auch Anhänge zur Kombinatorik sowie zur Logik und Beweistechnik. Bei der Bearbeitung und Korrektur der verschiedenen Auflagen des Lehr-
Vorwort vii buchs haben uns die wissenschaftlichen Mitarbeiter und studentischen Hilfskräfte des Instituts für Ökonometrie und Statistik der Universität zu Köln stets tatkräftig unterstützt. Frau Ruhmann und Frau Herrmann vom Springer-Verlag haben das Entstehen der vorliegenden Auflage mit viel Engagement und großer Geduld begleitet. Ihnen allen gilt unser herzlicher Dank. Köln, im August 2017 Rainer Dyckerhoff Karl Mosler Christoph Scheicher
Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 1 1.1 Grundbegriffe........................... 2 1.2 Umkehrfunktion, Verkettung.................. 11 1.3 Bivariate Funktionen....................... 15 1.4 Multivariate Funktionen..................... 18 1.5 Weitere Eigenschaften multivariater Funktionen........ 20 1.6 Ordnungen und Äquivalenzrelationen.............. 22 Selbsttest................................ 29 Aufgaben................................ 30 2 Matrizen und Vektoren 33 2.1 Matrizen.............................. 34 2.2 Addition und Skalarmultiplikation von Matrizen....... 37 2.3 Multiplikation von Matrizen................... 41 2.4 Inverse Matrizen......................... 44 2.5 Lineare Abbildungen....................... 46 2.6 Geometrie des R n......................... 49 2.7 Weitere Eigenschaften von Mengen im R n........... 54 2.8 Orthogonale Matrizen und Abbildungen............ 57 Selbsttest................................ 61 Aufgaben................................ 62 3 Folgen und Reihen 65 3.1 Zahlenfolgen............................ 67 3.2 Mehrdimensionale Folgen.................... 75 3.3 Weitere Eigenschaften von Folgen................ 77 3.4 Reihen............................... 79 3.5 Geometrische Reihe....................... 80 3.6 Anwendung: Finanzmathematik................. 81 3.7 Konvergenzkriterien für Reihen................. 86 3.8 Stetigkeit von Funktionen.................... 90 3.9 Weitere Eigenschaften stetiger Funktionen........... 96
x Inhaltsverzeichnis 3.10 Fixpunkte einer Funktion.................... 99 3.11 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veränderlicher...... 102 Selbsttest................................ 106 Aufgaben................................ 107 4 Differenzierbare Funktionen einer Variablen 109 4.1 Ableitung, Differential, Elastizität............... 110 4.2 Ableitungsregeln......................... 118 4.3 Erste und zweite Ableitung................... 122 4.4 Nullstellen und Extrema..................... 124 4.5 Wendepunkte........................... 128 4.6 Monotonie, Konkavität, Konvexität............... 131 4.7 Höhere Ableitungen und Taylor-Polynom........... 134 4.8 Regel von L Hospital....................... 136 4.9 Mittelwertsatz.......................... 137 4.10 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung....... 139 Selbsttest................................ 148 Aufgaben................................ 150 5 Differenzierbare Funktionen mehrerer Variablen 153 5.1 Ableitung, Differential, Elastizitäten.............. 154 5.2 Ableitungsregeln......................... 161 5.3 Ableitung vektorwertiger Funktionen.............. 163 5.4 Kettenregel und totale Ableitung................ 167 5.5 Homogenität........................... 170 5.6 Implizite Funktionen....................... 175 5.7 Richtungsableitung........................ 182 5.8 Lokale lineare Approximation.................. 184 Selbsttest................................ 188 Aufgaben................................ 189 6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen 193 6.1 Extrema im Innern des Definitionsbereichs........... 194 6.2 Extrema am Rand des Definitionsbereichs........... 199 6.3 Globale Extrema......................... 200 6.4 Extrema unter Nebenbedingungen............... 205 6.5 Enveloppentheorem........................ 214 6.6 Hinreichende Bedingungen für Extrema unter Nebenbedingungen........................ 219 6.7 Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen............... 223 6.8 Taylor-Polynom.......................... 233 Selbsttest................................ 235 Aufgaben................................ 237
Inhaltsverzeichnis xi 7 Integralrechnung 241 7.1 Stammfunktionen......................... 242 7.2 Unbestimmte Integrale...................... 247 7.3 Bestimmte Integrale....................... 250 7.4 Weitere Rechenregeln für bestimmte Integrale......... 251 7.5 Berechnung von Flächen..................... 253 7.6 Partielle Integration....................... 257 7.7 Integration durch Substitution................. 260 7.8 Uneigentliche Integrale...................... 262 7.9 Integralrechnung in mehreren Variablen............ 267 7.10 Ableitung unter dem Integral.................. 274 Selbsttest................................ 276 Aufgaben................................ 277 8 Lineare Gleichungen 281 8.1 Lösung einer linearen Gleichung................. 281 8.2 Elementare Zeilenumformungen................. 282 8.3 Das Gauß-Jordan-Verfahren................... 283 8.4 Inversion einer Matrix...................... 291 Selbsttest................................ 294 Aufgaben................................ 295 9 Grundbegriffe der linearen Algebra 297 9.1 Linearkombinationen und Erzeugnis.............. 297 9.2 Lineare Unterräume....................... 300 9.3 Lineare Unabhängigkeit..................... 301 9.4 Basis und Dimension....................... 303 9.5 Rang einer Matrix........................ 306 9.6 Mehr über lineare Gleichungen................. 309 9.7 Vektorräume........................... 314 Selbsttest................................ 316 Aufgaben................................ 317 10 Determinanten und Eigenwerte von Matrizen 319 10.1 Determinanten.......................... 319 10.2 Eigenwerte und Eigenvektoren.................. 330 10.3 Eigenwerte symmetrischer Matrizen.............. 339 10.4 Komplexe Eigenwerte...................... 341 Selbsttest................................ 347 Aufgaben................................ 348 11 Lineare Optimierung 351 11.1 Grafische Lösung......................... 354 11.2 Das Simplexverfahren...................... 356
xii Inhaltsverzeichnis 11.3 Die Mathematik des Simplexverfahrens............. 359 11.4 Das Simplexverfahren in Tableauform............. 364 11.5 Die Zweiphasenmethode zur Gewinnung einer Anfangslösung 371 11.6 Dualität.............................. 377 Selbsttest................................ 387 Aufgaben................................ 388 12 Differentialgleichungen 391 12.1 Differentialgleichungen erster Ordnung............. 395 12.2 Lineare Differentialgleichungen m-ter Ordnung........ 410 12.3 Stabilität von Differentialgleichungen.............. 427 12.4 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung..... 432 12.5 Stabilität von Differentialgleichungssystemen......... 454 Selbsttest................................ 457 Aufgaben................................ 457 13 Differenzengleichungen 461 13.1 Lineare Differenzengleichungen 1.Ordnung........... 466 13.2 Lineare Differenzengleichungen m-ter Ordnung........ 469 13.3 Stabilität von Differenzengleichungen.............. 487 13.4 Systeme linearer Differenzengleichungen erster Ordnung... 495 13.5 Stabilität von Differenzengleichungssystemen......... 515 Selbsttest................................ 518 Aufgaben................................ 518 A Das griechische Alphabet 523 B Mengen 525 C Summen und Produkte 531 D Kombinatorik 537 E Komplexe Zahlen 541 F Aussagenlogik 549 G Beweistechnik 555 H Kurzlösungen zu den Selbsttests 561 I Kurzlösungen zu den Aufgaben 565 Ausgewählte Lehrbücher 591 Index 593