Institute of Operating Systems and Computer Networks Algorithms Group Q.E.D. Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 2018/2019 Übung#2, 01.11.2018 Christian Rieck, Arne Schmidt
Einführendes Beispiel Satz des Pythagoras r 2 + g 2 = b 2 Und das gilt? Klar, nimm einfach r = 3, g = 4, b = 5 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 Ist doch klar, oder nicht?
Einführendes Beispiel Satz des Pythagoras r 2 + g 2 = b 2 Und das gilt? Klar, nimm einfach r = 3, g = 4, b = 5 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5 2 Beispiel! Ist doch klar, oder nicht?
Einführendes Beispiel Satz des Pythagoras r 2 + g 2 = b 2 Na dann vielleicht so? Beispiel!
Einführendes Beispiel Satz des Pythagoras r 2 + g 2 = b 2 Na dann vielleicht so? Beispiel!
Einführendes Beispiel Satz des Pythagoras r 2 + g 2 = b 2 Okay, dann aber so Yay!!! q.e.d.
Zahlenmengen N = {0,1,2, } Z = {, 2, 1,0,1,2, } Q = { p q p Z, q N q > 0} R, I, C,
Mathematische Aussagen Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Die Zahl 13 ist ungerade. Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist n(n+1)/2. In einem zusammenhängenden, einfachen Graphen mit n Knoten und n-1 Kanten gibt es mindestens zwei Knoten vom Grad 1. Der Graph G ist eulersch. Balance zwischen Formalität und Bequemlichkeit. G
Mathematische Aussagen Die Zahl 13 ist ungerade. Es gibt eine natürliche Zahl k mit 2k+1 = 13.
Mathematische Aussagen Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist n(n+1)/2. Für alle natürlichen Zahlen n gilt: nx i=1 i = n(n + 1) 2
Mathematische Aussagen In einem zusammenhängenden, einfachen Graphen mit n Knoten und n-1 Kanten gibt es mindestens zwei Knoten vom Grad 1. Für alle zusammenhängenden, einfachen Graphen mit n Knoten und n-1 Kanten gilt: es gibt mindestens zwei Knoten vom Grad 1.
Mathematische Aussagen Der Graph G ist eulersch. Es existiert eine Eulertour in G. G
Logische Verknüpfungen Mathematische Aussagen lassen sich durch logische Junktoren verknüpfen, wobei das Ergebnis wieder eine Aussage ist. NICHT Ist p eine Aussage, dann ist nicht p definiert als wahr, wenn p falsch ist falsch, wenn p wahr ist Die Aussage nicht p heißt Negation von p. Die Schreibweise ist A.
Logische Verknüpfungen Mathematische Aussagen lassen sich durch logische Junktoren verknüpfen, wobei das Ergebnis wieder eine Aussage ist. ODER Sind p und q Aussagen, dann ist p oder q definiert als wahr, wenn p wahr ist, oder q wahr ist, oder p und q wahr sind falsch, wenn p und q falsch sind Das oder ist also nicht exklusiv und heißt auch Disjunktion. Die Schreibweise ist A _ B.
Logische Verknüpfungen Mathematische Aussagen lassen sich durch logische Junktoren verknüpfen, wobei das Ergebnis wieder eine Aussage ist. UND Sind p und q Aussagen, dann ist p und q definiert als wahr, wenn p und q beide wahr sind falsch, wenn p und/oder q falsch ist Das und heißt auch Konjunktion. Die Schreibweise ist A ^ B.
Logische Verknüpfungen Mathematische Aussagen lassen sich durch logische Junktoren verknüpfen, wobei das Ergebnis wieder eine Aussage ist. WENN DANN Sind p und q Aussagen, dann ist wenn p dann q definiert als wahr, wenn p und q beide wahr sind, oder p falsch ist falsch, wenn p wahr und q falsch ist Das wenn dann heißt auch Folgerung bzw. Implikation. Die Schreibweise ist A ) B.
Logische Verknüpfungen Mathematische Aussagen lassen sich durch logische Junktoren verknüpfen, wobei das Ergebnis wieder eine Aussage ist. GENAU DANN WENN Sind p und q Aussagen, dann ist p genau dann wenn q definiert als wahr, wenn p und q beide wahr oder beide falsch sind falsch, wenn einer von p,q wahr und der andere falsch ist Das genau dann wenn heißt auch Äquivalenz. Die Schreibweise ist A, B.
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Aussagen und Quantoren x ist gerade. Ist dies eine mathematische Aussage? Wenn x = 2 ist, ist x gerade. Für jede natürliche Zahl x gilt, x ist gerade. Es gibt eine natürliche Zahl x, so dass x gerade ist.
Quantoren Existenzquantor Es gibt eine natürliche Zahl x, so dass x gerade ist. ( x N) ( y N) : x = 2y Allquantor Für jede natürliche Zahl x gilt, x ist gerade. ( x N) ( y N) : x = 2y
Quantoren Die Reihenfolge der Quantoren ist wichtig! ( x Z) ( y Z) : x < y Für alle ganzen Zahlen x existiert ein y, so dass x kleiner ist als y. ( y Z) ( x Z) : x < y Es existiert eine ganze Zahl y, so dass diese kleiner ist als jedes x.
Quantoren und Negation Negation von Existenzaussage: Es gibt keine natürliche Zahl k mit 2k=7. Wird zu Allaussage: Für alle natürlichen Zahlen k gilt 2k 7. 9x A(x),8x A(x) Negation von Allaussage: Nicht alle natürlichen Zahlen sind prim. Wird zu Existenzaussage: Es gibt eine natürliche Zahl die nicht prim ist. 8x A(x),9x A(x)
Beweis von Existenzaussagen Existenzaussagen lassen sich durch die Angabe eines Beispiels (mit Begründung) beweisen. Es gibt eine natürliche Zahl k mit 2k+1 = 13. k = 6. Es gibt Graphen mit ausschließlich geraden Knotengraden, die keinen Hamiltonkreis besitzen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Beweis von Allaussagen Allaussagen lassen sich nicht mit einem Beispiel beweisen.
Allaussagen widerlegen! Gegenbeispiel. Aber: Allaussagen lassen sich durch ein Beispiel widerlegen! Behauptung: Alle Autos sind blau. (Nicht alle Autos sind blau.)
Allaussagen widerlegen! Gegenbeispiel. Behauptung: Sei n N und sei n prim. Dann ist 2 n 1prim. Gegenbeispiel: Für n=11 gilt: 2 11 1 = 2047 = 23 89 Da wir mindestens ein n gefunden haben, welches die Behauptung nicht erfüllt, ist die Behauptung widerlegt.
Allaussagen widerlegen! Gegenbeispiel. Behauptung: Alle einfachen Graphen mit V -1 Kanten sind Bäume. Gegenbeispiel: Für V =5 existiert zum Beispiel der folgende Graph:
Voraussetzung und Schlussfolgerungen Sehr oft ist eine Aussage der Form A B zu zeigen. Bevor man beginnt, sollte man klären was A und B sind. A sind die Voraussetzungen B sind die Schlussfolgerungen Für jede ungerade ganze Zahl n ist n² ungerade. Jeder kreisfreie Graph mit V -1 Kanten ist zusammenhängend. Sei n eine ungerade ganze Zahl. Dann ist n² ungerade. Sei G kreisfrei mit V -1 Kanten. Dann ist G zusammenhängend.
Wie beweisen wir etwas? - Das Battle Im Prinzip handelt es sich um einen Battle zwischen Alice und Bob. Alice möchte dabei Bob von einer mathematischen Wahrheit überzeugen, während Bob dies immer wieder hinterfragt. Behauptung: Sei n Z. Wenn n gerade ist, ist n² gerade. A: Ich habe gerade eine mathematische Wahrheit gefunden. B: Oh, wirklich? Welche ist es? A: Für jede gerade, ganze Zahl ist ihr Quadrat gerade. B: Hm. Bist du dir sicher? A: Natürlich, das ist doch trivial, oder nicht? B: Hmmm für mich nicht, nein.
Wie beweisen wir etwas? - Das Battle A: Okay, fordere mich heraus! Du sagst mir eine Zahl und ich zeige dir, dass das Quadrat der Zahl gerade ist. B: Oh, okay. Was ist mit, sagen wir, x = 13? A: Na ja, dies ist einfach. 13 ist ungerade, also ist die Aussage trivialerweise klar. B: Okay. Was ist mit x = 42? A: (zählt Finger um Finger, ) Wenn ich mich nicht verzählt habe, dann ist 42*42 = 1764; also gerade. Ha! B: Hmmm wieso ist 1764 gerade? Die Definition sagt doch eine Zahl x ist gerade, wenn es eine Zahl y gibt, so dass x = 2y? Also musst du mir schon ein y geben, welches funktioniert!
Wie beweisen wir etwas? - Das Battle A: Hm wie ist es mit y = 882? B: 2*882 = 1764. Okay, ich glaube dir. Du hast mir also gezeigt, dass für die Fälle x=13 und x=42 das Quadrat gerade ist. Aber es gibt soooooo viele Zahlen! Wie willst du das für alle zeigen? A: Machen wir es so: Sei x eine beliebige ganze Zahl. B: Okay. Welche? A: Irgendeine, es spielt keine Rolle. Ich zeige dir, dass x*x gerade ist, wenn x gerade ist, nur mit dem Wissen dass x eine ganze Zahl ist. B: Na dann mal los,
Wie beweisen wir etwas? - Das Battle A: So, angenommen x ist gerade. B: Und was wenn nicht? A: Na ja, wenn x nicht gerade ist, dann ist nichts zu zeigen, da die Aussage wenn x gerade ist, ist x*x gerade trivialerweise wahr ist. Ich muss mich also nur um gerade x kümmern. B: Alles klar, das glaube ich. Und weiter? Was machen wir wenn x gerade ist? A: Nach der Definition von gerade, wissen wir, dass mindestens ein y existiert, so dass x = 2y. B: Genau eins, oder?
Wie beweisen wir etwas? - Das Battle A: Ich denke ja, egal. Sei y eine Zahl so dass x = 2y gilt. Wenn wir beide Seiten quadrieren bekommen wir x² = 4y². Um zu zeigen, dass x² gerade ist, brauche ich nun eine Zahl, welche verdoppelt x² ergibt. B: Funktioniert 2y² nicht? A: Doch, die funktioniert. Also sind wir fertig. B: Und da du nichts darüber gesagt hast, was x ist, außer dass es eine ganze Zahl ist, wissen wir, dass dies für alle ganzen Zahlen funktioniert. A: Genau! B: Okay, das habe ich verstanden!
Direkter Beweis Bei dem direkten Beweis leiten wir die Schlussfolgerungen direkt durch eine logische Folgerungskette aus den Voraussetzungen her. Für alle x, y 2 R mit x, y 0 ist p xy apple x + y 2. Voraussetzungen: x, y 2 R ^ x, y 0 Schlussfolgerung: p xy apple x + y 2
Direkter Beweis - Beispiel #1 p xy apple x + y 2 ) xy apple x + y 2 2 = x2 +2xy + y 2 4 ) 4xy apple x 2 +2xy + y 2 ) 0 apple x 2 2xy + y 2 ) 0 apple (x y) 2 wahr! Dies ist leider KEIN Beweis. Wir sind von den Schlussfolgerungen ausgegangen und haben daraus etwas Wahres gefolgert. Das funktioniert so nicht.
Direkter Beweis - Beispiel #1 Es gilt: x 2 2xy + y 2 =(x y) 2 0 Addition von 4xy ergibt (x + y) 2 = x 2 +2xy + y 2 = x 2 2xy + y 2 +4xy 4xy also (x + y) 2 4 xy Monotonie der Wurzelfunktion ergibt die Behauptung (x + y) 2 p xy
Direkter Beweis - Beispiel #1 Es gilt: x 2 2xy + y 2 =(x y) 2 0 Addition von 4xy ergibt (x + y) 2 = x 2 +2xy + y 2 = x 2 2xy + y 2 +4xy 4xy Achtung: Es scheint so als hätten wir die Folgerungspfeile einfach umgekehrt um einen korrekten also Beweis zu bekommen. (x + y) 2 Dies funktioniert xy 4im Allgemeinen NICHT! Monotonie der Wurzelfunktion ergibt die Behauptung (x + y) 2 p xy
Direkter Beweis - Beispiel #2 Behauptung: Für jede ganze Zahl x gilt, x(x+1) ist gerade. Beweis: Sei x eine ganze Zahl. Dann ist x gerade oder ungerade. (Warum ist das so? Beweis!) Wir zeigen, dass in beiden Fällen x(x+1) gerade ist. Fall 1: Sei x gerade. Wähle k so, dass x = 2k gilt. Dann ist x(x+1) = 2k(2k+1). Sei y = k(2k+1), dann ist x(x+1) = 2y und gerade. Fall 2: Sei x ungerade. Wähle k so, dass x = 2k+1 gilt. Dann ist x(x+1) = (2k+1)(2k+2). Sei y = (2k+1)(k+1), dann ist x(x+1) = 2y und wieder gerade.
Kontraposition - Technik Manchmal ist es schwer, die Folgerung A B direkt zu zeigen. Dann bietet sich eventuell die Kontraposition an. (A ) B), ( B ) A) Wenn A B impliziert, dann kann A nicht gelten, wenn B nicht gilt. Äquivalent ist auch die folgende Aussage. (A ) B), ( A _ B)
Kontraposition - Technik Manchmal ist es schwer, die Folgerung A B direkt zu zeigen. Dann bietet sich eventuell die Kontraposition an. (A ) B), ( B ) A) A B A ) B B ) A A _ B Wenn A B impliziert, dann kann A nicht gelten, wenn B nicht gilt. 0 0 1 1 1 0 Äquivalent 1 1ist auch die folgende 1 Aussage. 1 1 0 (A 0) B), ( A 0 _ B) 0 1 1 1 1 1
Kontraposition - Technik Manchmal ist es schwer, die Folgerung A B direkt zu zeigen. Dann bietet sich eventuell die Kontraposition an. (A ) B), ( B ) A) Wenn A B impliziert, dann kann A nicht gelten, wenn B nicht gilt. Äquivalent ist auch die folgende Aussage. (A ) B), ( A _ B) Im Allgemeinen gelten folgende Äquivalenzen NICHT! (A ) B) 6, (B ) A) (A ) B) 6, ( A ) B)
Kontraposition - Beispiel Behauptung: Sei n Z. Wenn n² ungerade ist, ist n ungerade. A B B A Behauptung: Sei n Z. Wenn n gerade ist, ist n² gerade. Diese Aussage haben Alice und Bob vorhin schon diskutiert und bewiesen. Damit gilt dann auch die obere Behauptung.
Widerspruch - Technik Nutze die Tatsache, dass Aussagen entweder wahr oder falsch sind. Nimm an, die zu beweisende Aussage A sei falsch. Dann kann A als Voraussetzung genutzt werden. Nutze dies, um einen Widerspruch zu erzeugen. Dann kann die Annahme A nicht wahr sein, also gilt A.
Widerspruch - Beispiel #1 Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Angenommen es gäbe nur endlich viele Primzahlen, p 1,p 2,p 3,...p n. Betrachte das Produkt aller endlichen Primzahlen +1. q = p 1 p 2 p 3 p n +1 q darf keine Primzahl sein! (Warum?) Keine Primzahl teilt q (Warum?), also muss q prim sein. Widerspruch! Somit ist die Behauptung gezeigt.
Widerspruch - Beispiel #2 Behauptung: Wenn x rational und y irrational ist, ist x+y irrational. Beweis: Angenommen (x+y) ist rational, mit x rational und y irrational. Es gilt y = (x+y) - x. Da (x+y) und x jeweils rational sind, ist die Differenz auch rational, da folgendes gilt: p q p q = pq qp qq Also ist y rational. Dies steht aber im Widerspruch zu unserer Annahme. Damit können unsere Annahmen nicht wahr sein. Also ist x+y irrational, wenn x rational und y irrational ist.
Widerspruch - Beispiel #3 Behauptung: Die Wurzel aus 2 ist nicht rational. Beweis: Angenommen die 2 ist rational, dann gibt es p Z, q N, q > 0 p so dass 2 =. q p Seien p,q so gewählt, dass 2 = und sei q so klein wie möglich. q Quadrieren wir beide Seiten und multiplizieren mit q², erhalten wir 2q² = p². Da p² gerade ist, ist auch p gerade; also p = 2k für eine natürliche Zahl k. Damit ist p² = 4k² und q² = 2k². Da q² gerade ist, ist also auch q gerade. p q Da sowohl p als auch q gerade sind, sind auch a = und b = mit b>0 gerade. 2 2 Damit gilt aber 2 = a b b < q q war aber kleinst möglich gewählt, dies ist also ein Widerspruch. Damit kann die Wurzel aus 2 nicht rational sein.
Widerspruch - Beispiel #3 Diesen spezielle Fall von Widerspruchsbeweis nennt man auch Unendlicher Abstieg. Der Beweis zeigt, gäbe es zwei natürliche Zahlen p und q mit 2 = dann gäbe es auch zwei kleinere Zahlen a und b mit der gleichen Eigenschaft. Wiederholt man das Vorgehen, bekommen wir eine unendliche, absteigende Folge von natürlichen Zahlen, was unmöglich ist. p q Vergleiche: Wohlordnung der natürlichen Zahlen. (Es gibt ein kleinstes Element!)
Widerspruch - Beispiel #4 Behauptung: Besitzt ein zusammenhängender Graph eine Brücke, so besitzt er Knoten mit ungeradem Grad.
Widerspruch - Beispiel #4 Behauptung: Besitzt ein zusammenhängender Graph eine Brücke, so besitzt er Knoten mit ungeradem Grad. 2 x 1 x 1 x idea-instructions.com/euler-path/ v1.0, CC by-nc-sa 4.0 0 x
Widerspruch - Beispiel #4 Behauptung: Besitzt ein zusammenhängender Graph eine Brücke, so besitzt er Knoten mit ungeradem Grad. Beweis: Sei G ein Graph mit mindestens einer Brücke und angenommen alle Knoten des Graphen haben geraden Grad. Dann hat dieser Graph eine Eulertour. Sei e eine Brücke. Durch das Entfernen von e aus G zerfällt der Graph in zwei Komponenten. e muss auf der Eulertour liegen. Wird e benutzt, verlässt man eine Komponente und kommt nicht mehr zurück (ohne e doppelt abzulaufen); ansonsten wäre e keine Brücke in G. G besitzt also Knoten von ungeradem Grad.
Äquivalenz A B - Beispiel #1 Behauptung: Angenommen a < b < c sind drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Dann gibt es ein rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen a, b und c genau dann, wenn a = 3. Beweis: Sei a = 3. Dann sind b = 4 und c = 5. Das Dreieck mit den Seitenlängen a=3, b=4 und c=5 ist ein rechtwinkliges Dreieck; dies beweist den wenn Teil. Angenommen a < b < c sind drei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, welche ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Dann ist b = a+1, c = a+2 und a² + b² = c² nach Pythagoras. Es gilt: a 2 + (a + 1) 2 = (a + 2) 2 a 2 + a 2 + 2a + 1 = a 2 + 4a + 4 a 2 2a 3 = 0 (a 3)(a + 1) = 0 Also ist a = -1 oder a = 3. Da a eine natürliche Zahl sein muss, gilt a -1, also a = 3. Dies zeigt den genau dann Teil.
Äquivalenz A B - Beispiel #2 Behauptung: Ein einfacher Graph G ist genau dann eulersch, wenn dessen Kantengraph L(G) eulersch ist. Definition: Sei G = (V,E) ein einfacher Graph. Der Kantengraph L(G) = (V,E ) von G ist wie folgt definiert: jede Knoten in L(G) repräsentiert eine Kante in G zwei Knoten in L(G) sind genau dann benachbart, wenn die entsprechenden Kanten in G einen gemeinsamen Endknoten hatten e 1 e 2 e 1 e 4 e 5 e 5 e 2 e 3 e4 e 3 G L(G)
Äquivalenz A B - Beispiel #2 Behauptung: Ein einfacher Graph G ist genau dann eulersch, wenn dessen Kantengraph L(G) eulersch ist. Beweis: Sei G ein einfacher Graph. Betrachte eine Kante e i E(G). Da G eulersch, hat gerade viele Nachbarn, nämlich. e i e i δ(v j ) + δ(v k ) 2 Da ein Knoten in L(G) ist, ist der Grad von e i V(L(G)) gerade. G ist zusammenhängend, es gibt also einen Weg der beliebige Knoten aus G verbindet. Also gibt es auch in L(G) zwischen beliebigen Knoten einen Weg; also ist L(G) zusammenhängend. Da e i beliebig gewählt war haben alle Knoten in L(G) geraden Grad und L(G) ist damit eulersch.
Äquivalenz A B - Beispiel #2 Behauptung: Ein einfacher Graph G ist genau dann eulersch, wenn dessen Kantengraph L(G) eulersch ist. ABER: L(G) G Die Rückrichtung gilt nicht! Ist also L(G) eulersch, lässt sich nicht auf G schließen!