997 Runde ufgabe n jeder Kante eines Drahtwürfels wird ein Zettel mit einer der Zahlen + oder angebracht. Danach werden für jede der acht Ecken die Zahlen an den drei Kanten multipliziert, die zu dieser Ecke gehören. Die acht rodukte werden addiert. egründe: Die Summe der acht rodukte kann nur fünf Werte annehmen.. Lösung Zu jedem Eckpunkt gehören drei Kanten. Das rodukt der drei Zahlen, die an diesen Kanten stehen, ist entweder + oder. Sind alle Zahlen an den Kanten +, so sind die acht rodukte jeweils + und die Summe der acht rodukte ist +8. Sind alle Zahlen an den Kanten, dann sind die acht rodukte jeweils und die Summe der acht rodukte ist 8. Eine größere Summe als +8 und eine kleinere Summe als 8 ist nicht möglich. Gehen wir von einer beliebigen elegung der Kanten aus. Die Summe der acht rodukte sei S. Wenn wir nun die elegung an einer Kante verändern, d.h. anstelle von + nun, oder anstelle von nun + verwenden, so ändert sich nur das Vorzeichen der beiden rodukte an den beiden zugehörigen Eckpunkten. Dabei können drei verschiedene Fälle auftreten: - + - - - - - - + - - - + + + + + - + + + + + - S = + S = 0 S = - rodukte vorher rodukte nachher Änderung der Summe S beide + beide einmal +, einmal einmal, einmal + 0 beide beide + + Gehen wir beispielsweise von einer der beiden oben genannten elegungen aus und berücksichtigen, dass der Wert der Summe der acht rodukte mindestens 8 und höchstens +8 ist und die Änderung der Summe bei der Veränderung eines Vorzeichens laut Tabelle +, 0 oder sein kann, so sind theoretisch die fünf Summenwerte + 8, +, 0, und 8 möglich. Für die Summen + 8 und 8 ist oben bereits eine eschriftung des Würfels genannt. Die folgenden drei eispiele zeigen, dass auch die drei anderen Werte tatsächlich möglich sind. n den dick markierten Kanten steht jeweils die Zahl an den anderen die Zahl +. LWM 997 Runde Seite von

. Lösung eim robieren mit verschiedenen elegungen der Kanten mit den Zahlen + und wurde festgestellt, dass die nzahl der rodukte an den Ecken stets gerade ist. Diese Eigenschaft soll nun bewiesen werden. Wir bezeichnen die zwölf Zahlen an den Kanten mit k,k,...k und die acht rodukte an den Ecken mit e,e,...e8. Das rodukt e e... e8 aller Eckenzahlen lässt sich auch in der Form k k... k darstellen, da jede Kantenzahl bei genau zwei Ecken berücksichtigt wird. Da die Kantenzahlen nur die Werte + und haben, sind ihre Quadrate immer +. Das rodukt aller Eckenzahlen hat also unabhängig von der Wahl der Kantenzahlen immer den Wert +. Dies bedeutet, dass die nzahl der negativen Zahlen unter den Faktoren e,e,...e immer gerade, also 0,,, 6 oder 8 sein muss. 8 Die Summe der Eckenzahlen kann also nur die in der folgenden Tabelle angegebenen fünf Werte annehmen. nzahl der negativen Eckenzahlen Summe der Eckenzahlen 0 + + + + + + + = 8 + + + + + + ( ) + ( ) = + + + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0 6 + + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 8 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 8 3. Lösung Die ezeichnung der Zahlen an den Kanten des Drahtwürfels ist im nebenstehenden ild angegeben. Die acht rodukte lauten: aa b, aa b, aa b, aa b, 3 3 3 cc b, cc b,, cc b. 3 3 ccb 3 c 3 c c c b b 3 b b lle rodukte sind + oder. Die Summe S der acht rodukte ist also mindestens 8 und höchstens +8. a Es gilt: S= a a b + c c b + a a b + c c b + a a b + c c b + a a b + c c b 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = a a b + a b + a a b + a b + c c b + c b + c c b + c b 3 3 3 3. a 3 a a Es folgt nun eine Fallunterscheidung für die Vorzeichen der Zahlen b i.. Fall lle vier Zahlen b i haben das gleiche Vorzeichen. Für i b = + gilt dann = ( a + a ) + a ( a + a ) + c ( c + c ) + c ( c + c ) S a bzw. 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) S= a a + a + a a + a + c c + c + c c + c 3 3 für b i =. eide Darstellungen lassen sich zu S=± ( a + a )( a + a ) + ( c + c )( c + c ) 3 3 umformen. LWM 997 Runde Seite von

Jeder der Faktoren kann +, 0 oder sein. Jedes der beiden rodukte kann den Wert +, 0 oder annehmen. Der Summe S kann also + 8, +, 0, oder 8 sein. Die folgende Tabelle zeigt ein eispiel für jeden der fünf Werte. a a a 3 a b i c c c 3 c + + + + + + + + + + 8 + + + + + + + + + + + + + + + + 0 + + + + + + + + + + + + + + + 8 S. Fall Drei der Zahlen b i, z.. b, b und b 3 haben das gleiche Vorzeichen, für b gilt b = b. 3 Die Summe kann dann in der Form S=± a ( a + a ) + a ( a + a ) + c ( c c ) + c ( c c ) geschrieben werden. 3 3 Haben und a gleiches Vorzeichen, so ist die Summe + oder und die Differenz 0, im anderen a Fall ist es umgekehrt. Gleiches gilt für c und c. Die Summe kann also die Werte +, 0 oder annehmen. Für alle drei Werte sind in der Tabelle bereits geeignete elegungen angegeben. 3. Fall Jeweils zwei der Zahlen b i sind + und zwei. Hier sind zwei Fälle zu unterscheiden. Sind die gegenüberliegenden Zahlen b i gleich, so gilt b = b3 und = = : S=± a ( a a ) + a ( a a ) + c ( c c ) + c ( c c ) b b b 3 3 ( a a )( a a ) ( c c )( c c ) =± + + + 3 3. Haben zwei Zahlen an der gleichen Würfelseite das gleiche Vorzeichen, beispielsweise b = b und b3 = b = b, so folgt: S=± a( a + a) a3( a + a) + c( c + c) c3( c + c) ( a a )( a a ) ( c c )( c c ) =± + + + 3 3. In beiden Fällen ist jeder Klammerterm +, 0 oder. Die beiden rodukte also jeweils +, 0 oder und die Summe + 8, +, 0, oder 8. Zusammenfassung: Die Summe der acht rodukte kann nur die Werte + 8, +, 0, oder 8 annehmen. LWM 997 Runde Seite 3 von

ufgabe In der Figur ist M der Mittelpunkt des Halbkreises und der Mittelpunkt der Strecke MQ. estimme.. Lösung Mit den enennungen der nebenstehenden Figur und der ufgabenstellung gilt M = M = M = MQ = r und M = r. Q M Q Verbinden wir mit Q, so ist die Strecke die Mittelsenkrechte im Dreieck MQ, da nach ufgabenstellung der Mittelpunkt der Strecke MQ und orthogonal zu MQ ist. Das Dreieck MQ ist also gleichschenklig mit M = Q. Da außerdem MQ = M gilt, ist das Dreieck sogar gleichseitig. Es gilt also w(m) = w(mq) = 60 und w(m) = 30. M Das Dreieck M ist gleichschenklig mit M = M, deshalb gilt w(m) = w(m) =. Da die Winkel und M Wechselwinkel an den parallelen Geraden () und () sind, sind diese Winkel gleich groß und es gilt w(m) = w() + w(m) =. Zusammen mit w(m) = 30 folgt dann = 5.. Lösung Der unkt wird an der Geraden () gespiegelt. Der Schnittpunkt der Strecke mit der Strecke sei R. Da ein Durchmesser des Kreises ist, liegt der ildpunkt auf dem Kreis um M. Es gilt also M = M'. Die Strecke ist orthogonal zu und wird vom Schnittpunkt R halbiert. Da und MQ beide zu orthogonal sind, sind sie parallel zueinander. Es gilt deshalb R = M und damit ' = R = M = r. Das Dreieck M' ist also gleichseitig und M ist die Mittelsenkrechte von. Der Winkel M hat als ußenwinkel des Dreiecks M die Größe. Im gleichseitigen Dreieck M' gilt also: w( M) = und w('m) = 60, also ist = 5. Q M R ' 3. Lösung Das Dreieck MQ ist gleichseitig; außerdem ist das Dreieck M gleichschenklig. (Nachweise z.. wie in der ersten Lösung) In der nebenstehenden Figur gilt also w(mq) = 60, w(m) = 90 60 = 30, w(m) = 80 w(m) = 80 (80 ) =. us den beiden letzten Zeilen folgt = 30, also = 5. Q M LWM 997 Runde Seite von

ufgabe 3 In einem Viereck, bei dem alle Winkel kleiner als 80 sind, werden die vier Seiten in je drei gleich lange Stücke geteilt. Die acht Teilungspunkte bilden ein chteck. Welchen nteil vom Flächeninhalt des Vierecks nimmt der Flächeninhalt des chtecks ein?. Lösung Die Verbindungsstrecken der Teilpunkte benachbarter Seiten sind nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes parallel zu einer der beiden Diagonalen des Vierecks. Das Viereck D wird durch diese arallelen in Dreiecke und arallelogramme zerlegt. S D etrachten wir nun das Dreieck S mit den Teilfiguren. Die beiden arallelen zu S haben den gleichen bstand, da die Strecke durch die Teilpunkte nach ufgabenstellung in drei gleich lange Strecken zerlegt wird. Entsprechendes gilt für die arallelen zu S. Nach dem ersten Strahlensatz zerlegen diese arallelen deshalb auch die Dreieckseiten S und S jeweils in drei gleich lange Strecken. Die drei arallelogramme sind zueinander kongruent; gleiches gilt für die drei Teildreiecke. Verwenden wir die Teilstrecke auf S als Grundseite und den bstand der nächsten zu S parallelen Strecken als Höhe, so haben das schraffierte Dreieck und das schraffierte arallelogramm gleich lange Grundseiten und gleich lange Höhen. Der Flächeninhalt des arallelogramms ist deshalb doppelt so groß wie der des Dreiecks. Die gleichen Überlegungen gelten auch für die Teildreiecke S, DS und DS. Wird der Flächeninhalt eines Teildreieckes in den Dreiecken S, S, DS und DS mit,, 3 bzw. bezeich- net, so erhalten wir für die Flächeninhalte der gesamten Figur die nebenstehende ufteilung. Dies bedeutet: ( ) = 9 + + +, Viereck 3 ( ) = 7 + + +. chteck 3 D 3 S 3 3 3 3 3 Der Flächeninhalt des chtecks ist also 7 9 des Flächeninhalts des Vierecks. LWM 997 Runde Seite 5 von

. Lösung Nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes sind die Verbindungsstrecken Q und Q parallel zur Diagonalen D des Vierecks D. Das Dreieck D kann als ild des Dreiecks Q bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum und Streckfaktor 3 aufgefasst werden. ei einer zentrischen Streckung mit dem Streckfaktor k wird der Inhalt von Flächen um den Faktor k verändert. Deshalb ist der Flächeninhalt des Dreiecks D neunmal so groß wie der Inhalt des Dreiecks Q. Entsprechendes gilt auch in den Teildreiecken, D und D. Für den Flächeninhalt des chtecks folgt daraus: = 9 9 9 9 = + + 9 9 = D D D 9 9 7 = D. 9 chteck D D D D ( ) ( ) D D D D Q Q Der Flächeninhalt des chtecks ist also 7 9 des Flächeninhalts des Vierecks D. 3. Lösung Die Seiten des Vierecks D sind entsprechend der ufgabenstellung jeweils in drei gleich lange Teilstrecken zerlegt. Das Viereck kann auf zwei verschiedene Weisen durch seine Diagonalen in zwei Teildreiecke zerlegt werden. (Siehe bb.) D F F F F F F Verbindet man die Teilungspunkte der Vierecksseiten wie angegeben mit einem der gegenüberliegenden Eckpunkte des Vierecks, so entstehen Dreiecke, von denen jeweils drei über gleich lange Grundseiten und identische Höhe verfügen. Deshalb sind die mit der gleichen enennung versehenen Dreiecke inhaltsgleich. etrachtet man nun das schraffierte Dreieck Q in der rechten Figur, so ist dessen Inhalt nur ein Drittel des Flächeninhaltes von Dreieck Q, da die Höhe in den beiden Dreiecken über den Grundseiten bzw. übereinstimmt und nur ein Drittel der Länge von besitzt. Entsprechende Überlegungen gelten für die übrigen drei kleinen Teildreiecke an den Eckpunkten, und D, die vom Viereck D entfernt werden müssen, um das gewünschte chteck zu erhalten. Flächeninhalt des Vierecks D: = 3 ( F+ F + F3+ F ) Flächeninhalt des chtecks: 8 = ( F+ F + F3+ F) = 7 ( F+ F + F3+ F) 3 6 8 7 3 7 7 Für das Verhältnis der beiden Flächeninhalte gilt: = : = =. 6 6 3 9 D F 3 F F 3 F 3 F Q F LWM 997 Runde Seite 6 von

ufgabe Starte mit einer natürlichen Zahl, verdopple sie und addiere. Verdopple anschließend diese neue Zahl um addiere wieder. Setze dieses Verfahren fort. Wie viele Quadratzahlen kann eine solche Zahlenfolge enthalten? Vorüberlegungen Durch robieren mit kleinen Startzahlen erhalten wir Zahlenfolgen, die im berechneten ereich keine, eine oder zwei Quadratzahlen enthalten., 3, 7, 5, 3,..., 5,, 3, 7,... 3, 7, 5, 3, 63,..., 9, 9, 39, 79,... 5,, 3,7, 95,... Da auch die erechnung von weiteren Folgegliedern bei anderen Startzahlen a nie zu mehr als Quadratzahlen führt, drängt sich die folgende Vermutung auf: Eine Zahlenfolge mit dem angegebenen ildungsgesetz kann höchstens zwei Quadratzahlen enthalten.. Lösung Durch die ildungsvorschrift ist vorgegeben, dass höchstens die Startzahl gerade ist. Die zweite und alle folgenden Zahlen sind ungerade. Es wird nun gezeigt, dass jede Quadratzahl in dieser Folge eine gerade Zahl als Vorgängerin hat, falls sie nicht selbst die Startzahl ist. Es sei nun n eine natürliche Zahl in dieser Folge; die nächste Zahl ist n + und diese Zahl sei das Quadrat einer natürlichen Zahl q. n + = q n = q n = ( q ) ( q + ) Da n für jede natürliche Zahl eine gerade Zahl ist, ist das rodukt ( q ) ( q+ ) gerade. Nun sind für jede natürliche Zahl q die Zahlen q und q + entweder beide gerade oder beide ungerade. Das das q q+ sogar rodukt gerade ist, muss die erste Möglichkeit vorliegen. Damit ist das rodukt ( ) ( ) durch teilbar. Da nun n ein Vielfaches von ist, muss n eine gerade Zahl sein. Jeder Quadratzahl in dieser Folge geht also eine gerade Zahl voraus. Da aber nach dem ildungsgesetz höchstens die Startzahl gerade sein kann, kann also höchstens die Startzahl selbst oder die zweite Zahl der Folge eine Quadratzahl sein. Da oben bereits Folgen ohne eine Quadratzahl, mit genau einer bzw. mit genau zwei Quadratzahlen angegeben sind, gilt zusammenfassend: Es gibt Zahlenfolgen der angegebenen rt mit keiner, genau einer oder genau zwei Quadratzahlen. LWM 997 Runde Seite 7 von

. Lösung estimmung eines Terms zur eschreibung der Folge Die Startzahl z einer solchen Zahlenfolge sei a mit a. Entsprechend der angegebenen Vorschrift entstehen nacheinander die Folgeglieder z z z3 z = a = a+ = a+ 3 = 8a+ 7 z = 6a+ 5. 5 us dieser uflistung lässt sich erkennen, dass der Faktor vor der Startzahl a eine Zweierpotenz ist und der Summand um kleiner ist, als dieser Faktor. Das Folgeglied lässt sich durch a+ darstellen. z n n n Diese Eigenschaft "vererbt" sich von Folgeglied zu Folgeglied und gilt deshalb für alle weiteren. egründung Nach dem Wortlaut der ufgabenstellung gilt: ( ) n n n n n n n+ = n + = + + = + + = + z z a a a us der Darstellung des Folgeglieds Folgeglied. z n + z n ergibt sich also die entsprechende Darstellung für das nächste Nachweis, dass höchstens die ersten beiden Folgeglieder Quadratzahlen sein können. Nachweis. Zum Nachweis wird untersucht, welche Eigenschaft der Term Quadratzahl zu sein. Es sei n n a+ haben muss, um eine n n a+ = u n n a+ = u n n ( ) ( ) ( a+ = u+ u ). Die linke Seite ist eine gerade ganze Zahl. Deshalb muss auch das rodukt ( u+ ) ( u ) eine gerade Zahl sein. Da aber (u + ) und (u ) entweder beide gerade oder beide ungerade sind, kann das rodukt u+ u ist dann sogar durch nur dann gerade sein, wenn beide Faktoren gerade sind. Das rodukt ( ) ( ) teilbar. n n Da die rechte Seite durch teilbar ist, muss auch der Klammerterm a+ auf der linken Seite gerade sein. Ist n >, dann sind die ersten beiden Summanden jeweils gerade und der gesamte Term also ungerade. n n Der Term a+ kann also höchstens dann durch teilbar und eventuell eine Quadratzahl sein, wenn n ist. Daraus folgt aber, dass Quadratzahlen in einer solche Zahlenfolge höchstens als erstes oder als zweites Folgeglied auftreten können. Eine solche Zahlenfolge kann also höchstens zwei Quadratzahlen enthalten. LWM 997 Runde Seite 8 von

. Nachweis a+ berechnen. b dem zwei- Das n-te Glied der Zahlenfolge lässt sich mit Hilfe des Terms ten Folgeglied sind alle Zahlen ungerade. Für eine ungerade Quadratzahl gilt: ( ) ( ) k + = k + k + = k k + +. Da entweder k oder k + gerade ist, gilt ( ). k + mod 8 n n n n Wenn nun das n-te Glied der Folge a+ eine ungerade Quadratzahl sein soll, dann muss n n n a mod8, also a+ mod8 gelten. Dies ist aber nur möglich, wenn der Ex- + ( ) n ponent der Zweierpotenz höchstens ist, denn sonst enthält das rodukt ( a ) + unabhängig von a den rimfaktor mindestens zweimal. ei der Division durch 8 kann dann nicht der Rest entstehen. Dies bedeutet, dass für n > die Gleichung nicht erfüllt sein kann. Demnach können höchstens die ersten beiden Folgeglieder Quadratzahlen sein. Die nzahl der Quadratzahlen in der Folge kann also 0, oder sein. Zusammenfassung: Da allenfalls die ersten beiden Zahlen einer solchen Folge Quadratzahlen sein können, genügt es, die ersten beiden Zahlen zu betrachten. Wie die eispiele in den Vorüberlegungen zeigen, gibt es Folgen ohne Quadratzahl:, 5,, 3,... mit genau einer Quadratzahl:, 3, 7, 5,... mit genau zwei Quadratzahlen:, 9, 9, 39,... LWM 997 Runde Seite 9 von

ufgabe 5 In einer Raute D sind die Winkelvierteilenden der Innenwinkel eingezeichnet. Diese schneiden sich, wie in der bbildung gezeigt, in den unkten S, T, U und V. D U Von welcher rt ist das Viereck STUV? V T. Lösung S In jeder Raute stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht und halbieren sich gegenseitig. Daher sind die Dreiecke,, D und D rechtwinklig und nach dem Kongruenzsatz sws zueinander kongruent. D Nach Voraussetzung sind S und S zwei Winkelhalbierende im Dreieck. S ist damit der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Entsprechend sind die unkte T, U bzw. V die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden in den Dreiecken, D bzw. D. Die Geraden (S), (T), (U) und (V) halbieren die rechten Winkel der Teildreiecke bei. Die unkte S, und U, sowie die unkte T, und V liegen jeweils auf einer Geraden, denn die Winkel SU und TV sind jeweils gestreckte Winkel. V S U β β T w(su) = w(s) + w() + w(u) = 5 + 90 + 5 = 80 w(tv) = w(t) + w(d) + w(dv) = 5 + 90 + 5 = 80 ußerdem sind die Geraden (SU) und (TV) orthogonal zueinander, denn es gilt w(st) = w(s) + w(t) = 5 + 5 = 90. Die Strecken S, T, U und V sind entsprechend liegende Strecken in den kongruenten Dreiecken usw., sie sind daher gleich lang. Damit gilt aber auch SU = TV. Damit ist gezeigt, dass sich die Diagonalen im Viereck STUV gleich lang sind, sich gegenseitig halbieren und zueinander orthogonal sind. Das Viereck STUV ist also ein Quadrat.. Lösung Die Raute D ist achsensymmetrisch zu ihren beiden Diagonalen. uf Grund dieser Symmetrieeigenschaft sind die Strecken ST, TU, UV und VS orthogonal zu einer der beiden Diagonalen und werden von dieser halbiert. ußerdem sind die Teildreiecke,, D und D kongruente, rechtwinklige Dreiecke. Der unkt S ist Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck, da die Gerade (S) nach ufgabenstellung den Winkel und die Gerade (S) den Winkel halbiert. Entsprechendes gilt auch für die unkte T, U und V in den drei anderen Teildreiecken. Diese vier unkte sind also die Inkreismittelpunkte von vier kongruenten Dreiecken. Die Inkreisradien der kongruenten Dreiecke sind gleich groß. Die Seiten des Vierecks STUV setzen sich jeweils aus zwei Teilstrecken zusammen, deren Länge mit dem Inkreisradius übereinstimmt. lle vier Seiten sind also gleich lang. ußerdem sind die Seiten orthogonal zu den zueinander orthogonalen Diagonalen der Raute D. Die Seiten des Vierecks STUV sind deshalb ebenfalls zueinander orthogonal. Ein Viereck mit zueinander orthogonalen, gleich langen Seiten ist ein Quadrat. LWM 997 Runde Seite 0 von

ufgabe 6 Gegeben ist eine natürliche Zahl n > 0 und das Dreieck mit (0/0), (n/0) und (n/n). x y Wie viele unkte mit den Koordinaten / (x, y natürliche Zahlen) liegen innerhalb des Drei- n n ecks?. Lösung x y Die unkte mit den Koordinaten /, welche innerhalb des Dreiecks liegen, werden kurz als n n zulässige unkte (z) bezeichnet. ehauptung: Die nzahl der z im Innern des Dreiecks ist so groß wie die nzahl der z im Innern des Quadrats DE. egründung: Die nzahl der z im Innern des Dreiecks D und die nzahl der z im Innern des Dreiecks E stimmen überein, da die z des Dreiecks D durch Spiegelung an der Geraden (D) und anschließende Spiegelung an der Geraden () auf innere unkte des Dreiecks E mit entsprechender Koordinatendarstellung abgebildet werden. Es bleibt nachzuweisen, dass die nzahl der z auf der Strecke mit der nzahl der z auf der Strecke (0/0) D(n /0) (n/0) x y D übereinstimmt. Die unkte der Strecke mit der Koordinatendarstellung / sind z im n n Quadrat DE aber keine z im Dreieck. Für die entsprechenden unkte der Stecke D ist es genau umgekehrt. Stimmen diese beiden nzahlen überein, so wird die Gesamtzahl der z durch die Umwandlung des Dreiecks in das Quadrat DE nicht verändert. i i Da die Gerade die Steigung besitzt, liegen auf der Strecke die z / n n mit 0 < i < n, also n i unkte. lle z auf der Strecke D haben die Koordinatendarstellung n/ mit 0 < i < n, also n ebenfalls n unkte. Damit ist gezeigt, dass die nzahl der z im Dreieck und im Quadrat DE übereinstimmen. Im Quadrat sind die z aber leicht zu bestimmen. Sie sind in n Zeilen und in n Spalten angeordnet. Es gibt also insgesamt ( ) n zulässige unkte. E(0/n) (n / n ) LWM 997 Runde Seite von

. Lösung Wir betrachten zunächst das Rechteck Q. Für die x y unkte mit der Koordinatendarstellung / im Innern dieses Rechtecks gilt 0 < x < n und 0 < y < n mit n n natürlichen Zahlen x und y. Es gibt also n Reihen mit jeweils n z. Dies sind insgesamt ( n ) ( n ) n 3n + unkte., also Diese nzahl setzt sich zusammen aus der gesuchten nzahl der z im Dreieck, den inneren unkten mit der entsprechenden Koordinatendarstellung im Innern der Strecken und, sowie den inneren unkten in den Teildreiecken Q und. Mit usnahme der z auf der Strecke R können nun die z im Dreieck durch die Spiegelung an der Geraden () bzw. () genau einem inneren unkt im Dreieck Q bzw. zugeordnet werden und umgekehrt. Die nzahl der inneren unkte auf den Strecken, und R beträgt jeweils n. Der Nachweis kann für und R wie bei der ersten Lösung und für durch Symmetriebetrachtungen geführt werden. Die oben beschriebene nzahl der z im Rechteck Q kann damit auch in der Form dargestellt werden. Daraus folgt: ( (n )) + 3 (n ) n = n 3n + = n n + = n n + ( ) Q(0/n) (0/0) = n. (n /n ) R (n / 0 ) (n/n) (n/0) 3. Lösung Durch Streckung der chsen des Koordinatensystems mit dem Faktor n entsteht aus jedem unkt mit x y der Koordinatendarstellung / der unkt ' (x/y), wobei x und y natürliche Zahlen sind. n n Die Eckpunkte des neuen Dreiecks sind dann '(0/0), ' ( n /0) und ' ( n /n ). Es sind nun alle in diesem Dreieck enthaltenen Gitterpunkte zu zählen. Dazu betrachten wir die Gitterpunkte auf den zur y-chse parallelen Linien für den x-ereich von 0 bis n, die über der x-chse und unter der Winkelhalbierenden liegen. Ihre nzahl beträgt: 0 + 0 + + + 3 +...+ n. Da das Dreieck '' symmetrisch ist zur arallelen zur y-chse durch den unkt, ergeben sich insge- samt ( 3... n ) ( n ) + + + + Gitterpunkte im Dreieck, wobei die doppelt gezählten unkte auf der Symmetrieachse wieder einmal subtrahiert wurden. Mit der Summenformel für die natürlichen Zahlen und durch Zusammenfassen ergibt sich: ( ( )) ( ) ( ) n n ( ) ( ) ( ) ( + + 3 +... + n n = n = n n n = n ). LWM 997 Runde Seite von