Kombinatorik & Stochastik Übung im Sommersemester 2018
Kombinatorik Formeln & Begriffe
Begrifflichkeiten Permutation = Anordnung in einer bestimmten Reihenfolge Kombination = Anordnung ohne bestimmte Reihenfolge Variation = Auswahl in einer bestimmten Reihenfolge Vor allem in LaPlace Experimenten wichtig Abzählen möglicher Ereignisse
Kombinatorik Mit Wiederholung / Zurücklegen Ohne Wiederholung / Zurücklegen Reihenfolge wichtig (Permutation) n k n! n k! Reihenfolge egal (Kombination) n + k 1 k = n + k 1! k! n 1! n k = n! k! n k!
Zur besseren Herangehensweise Nicht danach fragen was auf was verteilt werden soll Größere Zahl ist N Reihenfolge ergibt sich durch Unterscheidbarkeit Sind Merkmale klar unterscheidbar (Farben) dann ist Reihenfolge wichtig
Beispielaufgaben
Aufgabe 1 In einer Urne befinden sich 7 unterschiedlich gefärbte Kugeln. Man zieht 4 dieser Kugeln und notiert sich die gezogene Farbe bevor man sie zurücklegt. Wie viele Möglichkeiten gibt es die 4 Kugeln aufzureihen. Mit Zurücklegen / Reihenfolge wichtig N = 7 K= 4 7 4 = 2401Möglichkeiten
Aufgabe 2 Aus einem Kartenspiel mit 10 Karten werden nacheinander 5 Karten gezogen und abgelegt. Wie viele unterschiedliche Kartenfolgen ergeben sich daraus? Ohne Zurücklegen / Reihenfolge wichtig 10! 10 5! = 3628800 120 N = 10 K= 5 = 30240 Möglichkeiten
Aufgabe 3 4 vermummte Einbrecher brechen in ein 7- stöckiges Hochhaus ein. Auf wie viele Arten können sie sich auf die Stockwerke verteilen? Ohne Zurücklegen / Reihenfolge egal 7! 4! 7 4! = 5040 24 6 N = 7 K= 4 = 35 Möglichkeiten
Aufgabe 4 Wie viele 4-stellige Zahlen kann man mit den Ziffern 0-9 bilden, wenn jede Ziffer auf jeder Stelle vorkommen darf? Mit Zurücklegen / Reihenfolge wichtig N = 10 K= 4 10 4 = 10000 Möglichkeiten
Aufgabe 5 An einem Schlüsselbund sind 11 Schlüssel. Zwei dieser Schlüssel werden benötigt um nacheinander zwei Schlösser zu öffnen. Wie viele Möglichkeiten an Schlüsselkombinationen existieren? Ziehen ohne Zurücklegen / Reihenfolge wichtig N = 11 K= 2 11! (11 2)! = 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 9 8 7 6 5 4 3 2 = 110
Spezialfall 1 Auf wie viele verschiedene Weisen können drei unterschiedlich farbige Gummibärchen auf drei Plätze verteilt werden? Ohne Zurücklegen / Reihenfolge wichtig N = 3 K= 3 3! = 6 Möglichkeiten
Spezialfall 2 Die Mutter des 6-jährigen Ben stellt für seinen Geburtstag 8 Stühle bereit, es kommen allerdings nur 6 Kinder. Auf wie viele verschiedene Arten können die Kinder sich verteilen? Ohne Zurücklegen / Reihenfolge wichtig N = 8 K= 6 8! 8 6! = 40320 2 = 20160
Spezialfall 2 Die Mutter des 6-jährigen Ben stellt für seinen Geburtstag 8 Stühle im Kreis auf, es kommen allerdings nur 6 Kinder. Auf wie viele verschiedene Arten können die Kinder sich verteilen? Ringpermutation N = 8-1 K= 6 7! 7 6! = 5040 1 = 5040
Stochastik Grundbegriffe und Beispielfragen Modulprüfung
Wahrscheinlichkeitsbegriff Ereignisse für die man Wahrscheinlichkeiten bestimmen kann: Wiederholbare Ereignisse Müssen mit stabiler (relativer) Häufigkeit auftreten
Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeitsdefinitionen: LaPlace Gleichwahrscheinlichkeit aller Ereignisse Mises: Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Beobachtungen (relative Häufigkeiten) Kolmogorov Axiomatische Definition: Für jedes Ereignis ist die Wahrscheinlichkeit eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 Sicheres Ereignis p=1 Disjunkte Ereignisse dürfen addiert werden
Wahrscheinlichkeitsbegriff Zufallsexperiment: Satz von Regeln unter denen eine Beobachtung stattfindet (Wir stellen uns an eine Ampel und zählen wie viele von 100 Personen bei rot hinübergehen) Stichprobenraum Menge aller möglichen Ereignisse (Bspw. Männer und Frauen) Ω = {M, F} Ergebnisalgebra Menge aller Kombinationen (Ereignisse auf die gewettet werden könnte) plus das unmögliche Ereignis σ = {M, F, MF, }
Wahrscheinlichkeitsbegriff Disjunktheit: Ereignisse haben keine Schnittmenge Zahl Kopf Unabhängigkeit: Ereignisse die sich gegenseitig nicht beeinflussen (Ergebnis eines Münzwurfs beeinflusst nicht das Ergebnis des Nächsten)
Wahrscheinlichkeitsbegriff Sätze die aus Unabhängigkeit und Disjunktheit folgen: Multiplikationssatz: Durch Multiplikation der Grundwahrscheinlichkeit mit einer weiteren Grundwahrscheinlichkeit (unabhängig) resultiert die Verbundwahrscheinlichkeit (Analog Multiplikation mit bedingter WK bei Abhängigkeit) p A B = p(b) p(a) Additionssatz: Ereignisse ohne Schnittmenge (disjunkt) dürfen addiert werden um die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten mindestens eines der beiden Ereignisse zu erhalten (Bei nicht disjunkten muss die Schnittmenge abgezogen werden.
Wahrscheinlichkeitsbegriff Bedingte Wahrscheinlichkeit: Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Ereignisses, wenn ein anderes bereits aufgetreten ist (zeitliche Antezedens im Gegensatz zu Verbundwahrscheinlichkeiten bei denen es um die Gleichzeitigkeit geht) p B A = p(a B) p(a)
Wahrscheinlichkeitsbegriff Satz von Bayes Beschreibt wie man aus gegebener bedingter Wahrscheinlichkeit ohne Verbundwahrscheinlichkeit die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen kann p A B = p B A p(a) p(b)
Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeitsverteilung: Gibt an wie sich Auftretenswahrscheinlichkeiten für exakte Trefferzahlen verteilen (Beispielsweise 6 mal Kopf bei einem 10-fachen Münzwurf) Verteilungsfunktion Gibt an wie wahrscheinlich es ist eine bestimmte Trefferzahl oder eine geringere zu erzielen (Beispielsweise höchstens 6 mal Kopf bei 10-fachen Münzwurf)
Wahrscheinlichkeitsverteilung 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Verteilungsfunktion 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Wahrscheinlichkeitsbegriff Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Parameter: N (Ziehungen) P (Wahrscheinlichkeit) X (Treffer Dichotomer Ausgang Ziehen mit zurücklegen Normalverteilung: Stetige Zufallsverteilung Parameter: µ (Erwartungswert) σ (Standardabweichung) Polytomer Ausgang Bei hinreichend großer Stichprobe nähert sich Binomial- der Normalverteilung an Andere Verteilungen: Hypergemoterische-, Poisson-, T-, F- und Chi²-Verteilung (Beispielsweise)
Beispielaufgaben
Beispiel Wahrscheinlichkeitsbaum Wir fragen uns wie wahrscheinlich bestimmte (fiktive) Koalitionsbildungen bei eventuellen Neuwahlen sein könnten Zunächst gehen wir davon aus, es gäbe keine große Koalition und entweder seien SPD oder CDU an der Regierungsbildung beteiligt, wobei die SPD eine Grund-WK von 30% hat und die CDU eine Grund-WK von 70%
Beispiel Wahrscheinlichkeitsbaum Desweiteren haben die übrigen Parteien unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten in die Regierung aufgenommen zu werden Wenn die SPD regiert hat die FDP eine 20%ige, die Grünen eine 50%ige und die Linke eine 30%ige Chance auf eine Regierungsbeteiligung Wenn die CDU regiert hat die FDP eine 60%ige, die Grünen eine 30%ige und die Linke eine 10%ige Chance auf eine Regierungsbeteiligung
Beispiel Wahrscheinlichkeitsbaum FDP (20%) SPD (30%) B90 (50%) Ω Linke (30%) FDP (60%) CDU (70%) B90 (30%) Linke (10%)
Beispiel Wahrscheinlichkeitsbaum Hinweis: Es ist sinnvoll, die Brüche direkt auf einen Nenner zu bringen um sie im Kopf leichter addieren zu können Ω p(spd) 3 10 p(fdp) 2 10 p(b90) 5 10 p(linke) 3 10 p(fdp) 6 10 p(cdu) 7 10 p(b90) 3 10 p(linke 1 10
Beispiel Wahrscheinlichkeitsbaum p(fdp) 2 10 p(spd FDP) 6 100 p(spd) 3 10 p(b90) 5 10 p(spd B90) 15 100 p(linke) 3 10 p(spd Linke) 9 100 Ω p(fdp) 6 10 p(cdu FDP) 42 100 p(cdu) 7 10 p(b90) 3 10 p(cdu B90) 21 100 p(linke) 1 10 p(cdu Linke) 7 100
Wie Wahrscheinlich ist eine Koalition aus SPD und FDP? Ω p(spd) 3 10 p(fdp) 2 10 p(spd FDP) 6 100
Wie wahrscheinlich ist es, dass die SPD regiert unter der Bedingung, dass die Grünen in der Koalition sind Wir suchen zunächst die Verbundwahrscheinlichkeit aus p(spd B90) p(spd B90) 15 100 Als nächstes benötigen wir die Grundwahrscheinlichkeit für p(b90) Satz der totalen Wahrscheinlichkeit!
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Durch Addition der Verbundwahrscheinlichkeiten mit dem gleichen Ereignis, erhält man die Grundwahrscheinlichkeit für genau dieses p(spd B90) 15 100 + p(cdu B90) 21 100 p(b90) 36 100
Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen Nun können wir die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit anwenden p A B = p(a B) p(b) p SPD B90 = 15 100 36 100 = 15 100 100 36 = 1500 3600 = 15 36 = 5 12
Prüfung stochastischer Unabhängigkeit Wir wollen wissen, ob die Ereignisse SPD und Grüne stochastisch unabhängig sind Hierzu muss folgendes gelten: p A B = p(a) Wir haben: p SPD B90 p SPD 5 12 3 10 Die beiden Ereignisse sind nicht stochastisch Unabhängig
Beispiel Satz von Bayes Man kennt nicht den Wahrscheinlichkeitsbaum, sondern lediglich folgende Wahrscheinlichkeiten: p(linke) = 16 100 p(cdu) = 70 100 p(linke CDU) = 10 100
Beispiel Satz von Bayes Nun möchte man die Wahrscheinlichkeit p(cdu Linke) bestimmen, gemäß folgender Formel: p B A p(a) p A B = p(b) p CDU Linke = 10 100 70 100 16 100 = 7 100 16 100 = 7 100 100 16 = 7 16
Vielen Dank!