Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 6 6. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Der Vektorraum R 4 sei mit dem Standard Skalarprodukt versehen. Der Unterraum U R 4 werde durch die Vektoren v =, v =, v = aufgespannt. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis e, e, e von U mit e span {v } und e span {v, v }. 6. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Im R 4 mit dem kanonischen Skalarprodukt seien die Vektoren v =, v = gegeben. a) Zeigen Sie, dass v und v zueinander orthogonal sind. b) Ergänzen Sie v und v zu einer Basis v, v, v, v 4 so, dass je zwei Vektoren v i und v j für i j zueinander orthogonal sind. 6. (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe ) Die Vektoren v =, und v = R4 spannen einen Unterraum U im euklidischen Vektorraum R 4 auf. Berechnen Sie eine Basis für das orthogonale Komplement von U im R 4.
6.4 (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe ) Im reellen Vektorraum R 4 seien die drei Vektoren v =, v =, v = 5 4 6 gegeben. Weiter sei V = v, v, v R 4 der von diesen Vektoren aufgespannte Unterraum. a) Zeigen Sie, dass v, v eine Basis von V ist und stellen Sie v als Linearkombination von v und v dar. b) Ergänzen Sie v, v zu einer Basis von R 4. c) Bestimmen Sie (bezüglich des Standardskalarprodukts auf R 4 ) eine Orthonormalbasis für das orthogonale Komplement V von V in R 4. 6.5 (Herbst 4, Thema, Aufgabe ) Es sei A = und e =. a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des Spaltenraumes U von A. b) Bestimmen Sie alle y U, so dass e y U. 6.6 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe ) a) Ergänzen Sie den Vektor u := R zu einer Basis u, u, u des R aus (bezüglich des Standardskalarprodukts) paarweise orthogonalen Vektoren. b) Zeigen Sie, dass es genau eine Matrix U R gibt, die u als Eigenvektor zum Eigenwert und u, u als Eigenvektoren zum Eigenwert besitzt. c) Geben Sie eine Darstellung der Matrix U aus b) bezüglich der Standardbasis e, e, e des R explizit an. 6.7 (Herbst 4, Thema, Aufgabe ) Sei U R 4 der lineare Unterraum, der von den Vektoren u = (,, 4, 4) und u = (4, 4,, ) aufgespannt wird. a) Bestimmen Sie eine Basis des orthogonalen Komplements U. b) Bestimmen Sie orthonormale Basen für jeweils U und U. c) Benützen Sie die Ergebnisse von a) und b), um eine reelle symmetrische Matrix A zu bestimmen, die U als Eigenraum zum Eigenwert und U als Eigenraum zum Eigenwert hat.
6.8 (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe ) Die Bilinearform ϕ : R R R sei definiert durch ϕ(x, y) := 9x y 6x y 6x y + 5x y für x = Weisen Sie nach, dass ϕ ein Skalarprodukt ist. 6.9 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Gegeben sei die reelle Matrix B = R. 6 a) Zeigen Sie, dass durch ( x x ), y = ( y y ) R. σ B (x, y) := x B y für alle x = x, y = y R x y ein Skalarprodukt σ B auf dem reellen Vektorraum R definiert wird. b) Berechnen Sie den Cosinus des Winkels, den die beiden Vektoren e = und e = R bezüglich des in a) definierten Skalarprodukts σ B einschließen. 6. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Auf dem R sei die Bilinearform x, y := x y + x y + 4x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y gegeben. a) Zeigen Sie, dass diese Bilinearform ein Skalarprodukt auf dem R definiert. b) Konstruieren Sie eine bezüglich des Skalarprodukts von a) orthogonale Basis für den Unterraum U = R + R R. 6. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) ( ) 4 Gegeben sei die Matrix M = R 4. a) Man begründe, dass M orthogonal diagonalisierbar ist, und bestimme eine Orthonormalbasis des euklidischen R (versehen mit dem Standardskalarprodukt) aus Eigenvektoren von M. b) Man zeige, dass durch σ(x, y) = x M y für alle x, y R ein Skalarprodukt σ auf R definiert wird, und bestimme eine Orthonormalbasis von R bezüglich dieses Skalarprodukts σ. x y
6. (Herbst 9, Thema, Aufgabe 4) Zeigen Sie: Es gibt kein Skalarprodukt auf dem R Vektorraum R bezüglich dessen gleichzeitig ( ) ( ) ( ) ( ) und gilt. 4 Hinweis: Bestimmen Sie dazu eine symmetrische Bilinearform ψ auf R mit (( ) ( )) (( ) ( )) ψ, =, ψ, = 4 und prüfen Sie, ob diese ein Skalarprodukt ist. 6. (Herbst, Thema, Aufgabe 4) Man zeige, dass es auf dem reellen Vektorraum R genau ( ) ein Skalarprodukt ( ) σ : R R R gibt, bezüglich dem die Vektoren und eine Orthonormalbasis bilden, und gebe σ(x, y) für x, y R explizit 5 an. 6.4 (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Für n N sei die n n Matrix...... A n =... = (Min {i, j})..... i,j=,...,n..... n gegeben. a) Zeigen Sie, dass durch die Formel x, y := x t A n y ein Skalarprodukt auf dem R n erklärt ist. b) Berechnen Sie eine Orthonormalbasis des R bezüglich des Skalarprodukts x, y = x t A y. 6.5 (Herbst, Thema, Aufgabe 5) Es seien A R n n und B R n n symmetrische Matrizen. Weiter habe A den Rang n und B sei positiv definit, d.h. für jedes x R n \ {} gelte x Bx >. Zeigen Sie, dass die Bilinearform f(x, y) = x ABAy ein Skalarprodukt auf R n ist. 6.6 (Herbst, Thema, Aufgabe 4) a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und alle Eigenvektoren der Matrix ( ) 7 4 S =. 4 7 ( b) Begründen Sie, dass die Matrix S die Spiegelung an der von v = 5 4 R aufgespannten Ursprungsgeraden beschreibt. ) im
6.7 (Herbst 9, Thema, Aufgabe ) Die Spiegelung an der Geraden x y = in der Ebene ist eine lineare Abbildung f : R R. Berechnen Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Standard-Basis (, ) t, (, ) t des R. 6.8 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Die lineare Hülle W der Vektoren w = (,,, ) t und w = (,, 4, ) t ist ein Untervektorraum des euklidischen R 4. Berechnen Sie eine Orthonormalbasis von W und bestimmen Sie damit die Matrix der Orthogonalprojektion P : R 4 R 4 auf den Unterraum W bezüglich der kanonischen Basis des R 4. 6.9 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Zeigen Sie, dass die Matrix D := 8 4 4 4 7 9 8 4 eine Drehung im R beschreibt. Bestimmen Sie für diese Drehung einen Richtungsvektor der Drehachse und den Cosinus des Drehwinkels. 6. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Es ist A = 8 4 8 4 9 4 4 7 und ϕ : R R, x Ax, die zu A gehörige lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass ϕ a) orthogonal ist, b) eine Spiegelung an einer Ebene ist. 6. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Gegeben sei der euklidische R, versehen mit dem Standardskalarprodukt. a) Man zeige, dass es genau zwei orthogonale Matrizen der Form S = s s R s s mit geeigneten s, s, s, s R gibt, und gebe diese beiden Matrizen explizit an. b) Für welche der beiden in a) ermittelten Matrizen S R beschreibt die lineare Abbildung l S : R R, l S (x) = S x, eine Drehung? (Begründung!). Man bestimme die Drehachse sowie den Cosinus des Drehwinkels.
6. (Frühjahr 8, Thema, Aufgabe ) Der euklidische R sei mit den Koordinaten x, x, x sowie dem Standardskalarprodukt versehen. a) Zeigen Sie, dass die lineare Abbildung s : R R, s (x) = S x mit S := R eine Spiegelung an einer Ebene E R beschreibt, und geben Sie eine Gleichung für die Ebene E an. b) Bestimmen Sie eine Matrix S R so, dass die lineare Abbildung s : R R, s (x) = S x, eine Spiegelung an der Ebene E : x = x ist. c) Es sei d := s s die Komposition der beiden Ebenenspiegelungen aus a) und b). Zeigen Sie: d(x) = S x mit S = R. Begründen Sie, dass d eine Drehung ist. Bestimmen Sie die Drehachse sowie den Cosinus des Drehwinkels von d. 6. (Herbst 4, Thema, Aufgabe ) Es sei S = und D =. a) Zeigen Sie, dass S im R eine Spiegelung beschreibt und berechnen Sie die Spiegelebene. b) Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A := SDS. 6.4 (Herbst 9, Thema, Aufgabe 4) Es seien Zeigen Sie: v =, v =, v = R. a) Es gibt genau eine orthogonale lineare Abbildung ϕ : R R mit ϕ(v ) = e :=, ϕ(v ) = e :=, ϕ(v ) = e :=. b) Die Abbildung ϕ ist eine Drehung.
6.5 (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Es sei σ : R R die Spiegelung an der Ebene E := R + R im R. Berechnen Sie die reelle Matrix A mit 6.6 (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe ) σ(x) = A x für alle x R. Es seien ϕ bzw. ϕ die Drehungen um die x Achse bzw. die z Achse des R mit ϕ : und ϕ :. a) Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung ϕ ϕ eine Drehung ist. b) Zeigen Sie, dass ϕ ϕ durch die Matrix gegeben wird. c) Bestimmen Sie die Drehachse von ϕ ϕ sowie den Cosinus des Drehwinkels α. 6.7 (Herbst 7, Thema, Aufgabe 5) Es seien ϕ x, ϕ z die Drehungen im mathematisch positiven Sinn um die x bzw. z Achse im R π mit dem Winkel. Begründen Sie, dass die Hintereinanderausführung ϕ x ϕ z wieder eine Drehung ist. Berechnen Sie für diese Drehung den 6 Cosinus des Drehwinkels und die Drehachse. 6.8 (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe 5) Es sei ϕ die Spiegelung im R an der durch die Gleichung x+y +z = definierten Ebene und ψ die Spiegelung an der (x, y) Ebene. Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen von ϕ und von ϕ ψ bezüglich der kanonischen Basis von R. Begründen Sie, dass ϕ ψ eine Drehung ist. 6.9 (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe 5) Es sei g : R R eine lineare Abbildung, welche eine Drehung des euklidischen Raumes R mit der Drehachse R und einem Drehwinkel von 9 4 beschreibt. Bestimmen Sie eine Matrix T R mit g(x) = T x für alle x R.
6. (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Geben Sie eine orthogonale Matrix U R, an, welche (bezüglich der kanonischen Basis des R ) eine Drehung um die vom Vektor v = (,, ) t aufgespannten Drehachse mit Drehwinkel φ = π beschreibt. 6. (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe ) Im euklidischen Raum (R, ), versehen mit dem Standardskalarprodukt, betrachte man eine Drehung d mit der Drehachse R und dem Drehwinkel ϕ = π. a) Man bestimme eine Orthonormalbasis b, b, b von (R, ), so dass M = R die darstellende Matrix von d bezüglich b, b, b ist. b) Man bestimme die darstellende Matrix von d bezüglich der Standardbasis e, e, e von R. c) Man entscheide, ob d bezüglich einer Basis c, c, c von R eine darstellende Matrix in Diagonalgestalt besitzt, und begründe die Entscheidung. 6. (Frühjahr 6, Thema, Aufgabe 4) Gegeben seien die Vektoren e =, e =, e = R. Weiter sei f : R R linear mit f(e ) = e, f(e ) = e, f(e ) = e. a) Zeigen Sie, dass f eine Drehung ist. Bestimmen Sie die Drehachse von f und den Cosinus des Drehwinkels α von f. b) Bestimmen Sie das Bild von e unter der Spiegelung g an der Ebene E = R e + R. c) Schreiben Sie f als Produkt von zwei Spiegelungen an Ebenen.
6. (Frühjahr 7, Thema, Aufgabe 4) Es sei σ : R R die Spiegelung an der Ebene E = { (x, y, z) R x y z = } R und δ : R R die Spiegelung an der Geraden Weiter sei ϕ = σ δ. g = R (,, ) t R. a) Zeigen Sie, dass ϕ bezüglich der kanonischen Basis des R durch die Matrix F = gegeben wird. b) Zeigen Sie, dass ϕ die Spiegelung an einer Ebene ist, und geben Sie eine lineare Gleichung für die Spiegelungsebene von ϕ an. 6.4 (Frühjahr 4, Thema, Aufgabe 4) Betrachten Sie die Ebene x E := y R x y + z = R. z a) Geben Sie eine Parameterform von E an. b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix T O(), so dass x T (E) = y R z = z gilt. 6.5 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Gegeben seien die Ebenen E = { (x, x, x ) R x + x + x = }, E = { (x, x, x ) R x + x = }. a) Man bestimme einen Normalen-Einheitsvektor n zu E und einen Normalen-Einheitsvektor n zu E. b) Man ergänze n zu einer Orthonormalbasis {n, a, b } von R und n zu einer Orthonormalbasis {n, a, b }. c) Man zeige, dass es genau eine Drehung Φ : R R gibt, die n auf n und auf abbildet.
6.6 (Herbst, Thema, Aufgabe ) Es seien v = und v = Vektoren im R versehen mit dem Standardskalarprodukt. a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von den Vektoren v, v aufgespannten Untervektorraums U. b) Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung v, v 7 5 5 4 zu einer orthogonalen Abbildung von R R fortgesetzt werden kann. Bestimmen Sie alle solchen Fortsetzungen. 6.7 (Herbst 8, Thema, Aufgabe ) Es sei v, v, v R eine Orthonormalbasis. Zeigen Sie, dass es genau eine Drehung ϕ : R R gibt mit ϕ(v ) = v und ϕ(v ) = v. Bestimmen Sie den Cosinus des Drehwinkels von ϕ. 6.8 (Frühjahr, Thema, Aufgabe ) Sei E R eine Ebene durch den Nullpunkt und (v, v ) eine Basis von E mit v = v. Der Vektor v R \ {} stehe senkrecht auf E. Zeigen Sie: a) Die Vektoren v + v und v v stehen aufeinander senkrecht. b) Es gibt eine Drehung δ : R R mit δ(v ) = v, δ(v ) = v, δ(v ) = v. 6.9 (Frühjahr 9, Thema, Aufgabe ) a) Bestimmen Sie die Größe der möglichen Drehwinkel einer Drehung des R, die bezüglich der kanonischen Basis eine symmetrische Abbildungsmatrix D besitzt. b) Bestimmen Sie die Matrix bezüglich der kanonischen Basis für die Abbildung des R, die sich ergibt, wenn man zuerst eine Drehung um die z Achse mit dem Drehwinkel π ausführt und dann an der Ebene x = y spiegelt. Bestimmen Sie die Matrix für die Abbildung, die sich ergibt, wenn man zuerst spiegelt und dann dreht. 6.4 (Herbst 9, Thema, Aufgabe ) Es sei W ein euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt ϕ. Für U W definiert man U = {w W : ϕ(u, w) = für alle u U}. Zeigen Sie, dass für alle Untervektorräume U, V W gilt: a) (U + V ) = U V. b) (U V ) U + V.