Satz 1.18 (Kompaktheitssatz der Aussagenlogik)

Satz 1.18 (Kompaktheitssatz der Aussagenlogik) Σ F ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von Σ erfüllbar ist. Σ F ist unerfüllbar genau dann, wenn es eine unerfüllbare endliche Teilmenge von Σ gibt. Beweis: (s. Vorlesung) Korollar 1.19 Es gilt Σ = A genau dann, wenn es eine endliche Teilmenge Σ 0 Σ gibt mit Σ 0 = A. Der zweite Teil des Satzes ist die Grundlage für Beweisverfahren für Σ = A. Dies ist der Fall, wenn Σ { A} unerfüllbar ist. Widerspruchbeweise versuchen systematisch eine endliche Menge Σ 0 Σ zu finden, so dass Σ 0 { A} unerfüllbar ist. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 40 / 193

Anwendungen Kompaktheitssatz Beispiel 1.20 Sei Σ F, so dass es zu jeder Belegung ψ ein A ψ Σ mit B ψ (A ψ ) = 1 gibt. Dann gibt es A 1,...,A n Σ (n > 0) mit = A 1... A n. Beweisskizze: Betrachte die Menge Σ = { A A Σ}. Σ ist unerfüllbar. (Sonst gäbe es ein ψ mit B ψ ( A) = 1 für alle A Σ; nach Voraussetzung gibt es zu ψ ein A ψ mit B ψ (A ψ ) = 1, im Widerspruch zu B ψ ( A ψ ) = 1.) Nach dem Kompaktheitssatz gibt es eine endliche nichtleere Teilmenge { A 1,..., A n } von Σ, die unerfüllbar ist. Also gibt es für jede Belegung ψ ein i mit B ψ ( A i ) = 0, also B ψ (A i ) = 1. Also gilt für jede Belegung ψ: B ψ (A 1... A n ) = 1. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 41 / 193

Deduktive Systeme der Aussagenlogik A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 42 / 193

Deduktive Systeme Jede formale Logik baut auf einer formalen Sprache auf, deren Syntax und Semantik festgelegt ist. Die Semantik beschreibt insbesondere, unter welchen Bedingungen Aussagen/Formeln wahr sind. Jede formale Logik besitzt darüber hinaus (mindestens) ein deduktives System/Kalkül bestehend aus Axiomen und Regeln, mit dem man wahre Aussagen/Formeln ableiten (formal beweisen) kann. Man kann die Wahrheit von Formeln also auf zwei Arten prüfen : Durch Anwendung der Semantik. Durch Ableiten mit dem deduktiven System. Dieser Abschnitt beschäftigt sich mit deduktiven Systemen/Kalkülen für die Aussagenlogik. Eine Formel wird Theorem der Logik genannt, wenn sie mit dem deduktiven System abgeleitet werden kann. Man kann deduktive Systeme angeben, in denen Formeln genau dann Theoreme sind, wenn sie auch Tautologien sind. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 43 / 193

Deduktive Systeme Definition 2.1 (Deduktives System) Sei F eine Menge von Formeln. Ein deduktives System F besteht aus einer Menge von Axiomen Ax F und einer Menge R von Regeln der Form A 1,...,A n und A A 1,...,A n,a F. Die Mengen F, Ax und R sind typischerweise entscheidbar. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 44 / 193

Deduktive Systeme (Fort.) Definition 2.2 Sei F = (Ax,R) ein deduktives System. Die Menge T(F) der Theoreme von F ist induktiv definiert durch: 1 Ax T(F) alle Axiome sind Theoreme 2 Sind A 1,...,A n T(F) und ist A 1,...,A n A in R, dann ist A T(F). Schreibe A T(F) als F A und sage A ist in F herleitbar. Deduktiver Folgerungsbegriff: Sei Σ F, A F. Dann ist A in F aus Σ herleitbar, kurz Σ F A, falls (Ax Σ,R) A gilt. Folg F (Σ) := {A F Σ F A}. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 45 / 193

Deduktive Systeme (Fort.) Gibt es ein deduktives System F 0, so dass F0 A gdw. = A? Bemerkung 2.3 Ist F aus dem Kontext klar, schreibt man abkürzend A und Σ A Definition 2.4 Σ heißt konsistent, falls für keine Formel A F gibt: Σ A und Σ A. Andernfalls heißt Σ inkonsistent. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 46 / 193

Beweise in der Logik Definition 2.5 (Beweis) Eine endliche Folge von Formeln B 1,...,B n mit A B n, so dass für alle B i mit 1 i n gilt: B i Ax oder es gibt i 1,...,i l < i und B i 1...B il R B i heißt Beweis für A in F. Eine Folge B 1,...,B n heißt Beweis für Σ A in F, wenn B 1,...,B n ein Beweis für A in (Ax Σ,R) ist. Sei H eine Menge von Herleitbarkeitsaussagen der Form A 1,...,A k A 0. Die Elemente von H kann man als Regeln A 1,...,A k interpretieren. Mit A 0 H R bezeichen wir die Menge der Regeln zu H. Eine Folge B 1,...,B n heißt abgekürzter Beweis für Σ A in F mit Annahmen H, wenn B 1,...,B n ein Beweis für A in (Ax Σ,R H R ) ist. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 47 / 193

Lemma 2.6 1 A gilt genau dann, wenn es einen Beweis für A gibt. 2 Sei H eine Menge von Herleitbarkeitsaussagen der Form A 1,...,A k A 0. Es gibt einen Beweis für Σ A genau dann, wenn es einen abgekürzten Beweis für Σ A mit Annahmen H gibt. Bemerkung 2.7 Eigenschaften der Elemente von T(F) werden durch strukturelle Induktion bewiesen. Die Menge der Beweise Bew := {B 1,...,B n F + B 1,...,B n ist Beweis} ist entscheidbar. Mit der vorherigen Bemerkung ist die Menge T(F) der Theoreme rekursiv aufzählbar. Ist Σ entscheidbar, dann gelten entsprechende Eigenschaften von Herleitbarkeitsaussagen. Insbesondere ist Folg F (Σ) aufzählbar. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 48 / 193

Wichtige Eigenschaften zu Herleitbarkeitsaussagen Lemma 2.8 Gilt Σ A, dann gibt es eine endliche Teilmenge Σ 0 Σ mit Σ 0 A. (Folgt aus der induktiven Definition von T(F) (Siehe Korollar zum Kompaktheitssatz für =.) Ist Σ inkonsistent, dann gibt es eine endliche Teilmenge Σ 0 Σ, die inkonsistent ist. Ist Σ Γ F, dann gilt Folg F (Σ) Folg F (Γ). Gilt Σ A und Γ B für alle B Σ, dann auch Γ A. Ist also Σ Folg F (Γ), dann gilt Folg F (Σ) Folg F (Γ). (Beweise lassen sich also zusammensetzen.) Gilt Σ A, so ist Σ { A} inkonsistent. (Gilt auch die Umkehrung?) Es gilt T(F) Folg F (Σ) für jede Menge Σ. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 49 / 193

Beschreibungen von deduktiven Systemen/Schemata Die Mengen der Axiome und Regeln deduktiver Systems sind im Allgemeinen nicht endlich. Um sie endlich zu beschrieben, benutzt man häufig Schemata. Beispielsweise beschreibt das Formelschema A (B A) die Menge {A 0 (B 0 A 0 ) A 0,B 0 F}. Das Regelschema A,A B B beschreibt die Menge von Regeln { A 0,A 0 B 0 B 0 A 0,B 0 F }. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 50 / 193

Das deduktive System F 0 Eingeführt von Stephen Cole Kleene (1909 1994). Definition 2.9 (Das deduktive System F 0 ) Sei F 0 die Formelmenge F {, }. Das deduktive System F 0 für die Aussagenlogik besteht aus der Axiomenmenge Ax, die durch folgende Axiomenschemata beschrieben ist: Ax1: A (B A) Ax2: (A (B C)) ((A B) (A C)) Ax3: ( A B) (B A) Die Regelmenge R wird beschrieben durch das Regelschema MP: A,(A B) B (modus ponens). A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 51 / 193

Bemerkung zum deduktiven System F 0 Ax1, Ax2 und Ax3 beschreiben disjunkte Formelmengen. Ax und R sind entscheidbar. Alle Axiome sind Tautologien. Da diese abgeschlossen gegen Modus Ponens sind, sind alle Theoreme Tautologien: T(F 0 ) TAUT(F 0 ). Die Rückwärtsanwendung der Regel ist nicht eindeutig: A,A B und A,A B haben unterschiedliche Annahmen. B B Das erschwert das Finden von Beweisen. Es genügt, nur Axiome für Formeln in und zu betrachten. Andere Formeln sind zu einer solchen Formel logisch äquivalent. Will man allerdings Beweise für die Formeln in F führen, braucht man weitere Axiome, zum Beispiel: Ax1 :(A B) (A B) Ax2 : (A B) (A B) A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 52 / 193

Beispiel Beispiel 2.10 Für jedes A F 0 gilt (A A), also (A A) T(F 0 ) Beweis: B 0 (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) Ax2 B 1 A ((A A) A) Ax1 B 2 (A (A A)) (A A) MP(B 0,B 1 ) B 3 A (A A) Ax1 B 4 A A MP(B 2,B 3 ) A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 53 / 193

Deduktionstheorem Wie findet man Beweise im System F 0? Einziger Hinweis: Sofern Zielformel B kein Axiom ist, muss sie in der Form (A 1...(A n B)...) vorkommen. Wähle geeignete A i. Hilfreich: Satz 2.11 (Deduktionstheorem (syntaktische Version)) Seien Σ F 0 und A,B F 0. Dann gilt Σ,A B gdw. Σ (A B). A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 54 / 193

Anwendungen des Deduktionstheorems Beispiel 2.12 Um A A zu zeigen, genügt es, A A zu zeigen. Beweis: B 1 A B 2 A ( A A) Ax1 B 3 A A MP B 4 ( A A) ( A A) Ax3 B 5 A A MP B 6 ( A A) ( A A) Ax3 B 7 A A MP B 8 A MP A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 55 / 193

Anwendungen des Deduktionstheorems (Fort.) Lemma 2.13 Die folgenden Theoreme gelten in F 0 : (Transitivität der Implikation) (A B) ((B C) (A C)) (1) (Folgerung aus Inkonsistenz) B (B A) (2) (Doppelnegation) B B (3) (Kontraposition) (A B) ( B A) (4) (Implikation) B ( C (B C)) (5) (Hilfslemma 1) (A B) ((A B) (A Ax)) (E1) (Hilfslemma 2) (A Ax) A (E2) (Negation aus Inkonsistenz) (A B) ((A B) A) (6) (Eliminierung von Annahmen) (B A) (( B A) A) (7) Es gilt Σ A gdw. Σ { A} inkonsistent ist. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 56 / 193

Korrektheit und Vollständigkeit von F 0 Frage: Lassen sich alle Tautologien als Theoreme in System F 0 herleiten? Satz 2.14 (Korrektheit und Vollständigkeit von F 0 ) Sei A F 0 eine Formel der Aussagenlogik. a) Korrektheit: Gilt F0 A, dann auch = A d.h. jedes Theorem in T(F 0 ) ist eine Tautologie. b) Vollständigkeit: Gilt = A, dann auch F0 A d.h. alle Tautologien lassen sich in F 0 herleiten. A. Poetzsch-Heffter (TU Kaiserslautern) Logik SoSe 2017 57 / 193