13 8 Magnetostatik 8.1 Qualitatives Neben der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft stellt an i Alltag eine weitere Kraft fest, die sowohl zwischen zwei elektrischen Ströen als auch zwischen zwei sog. Peranentagneten auftritt. Man stellt bei Peranentagneten folgendes fest: Stabagnete haben verschiedene Enden, den sog. Nord- und den Südpol. Nordpol zieht Südpol an, gleichnaige Pole stoßen sich ab. Hängt an einenstabagneten freihängend auf, dreht er sich, bis ein Ende zu Nordpol zeigt. Trennt an einen Pol vo Magneten ab, entstehen wieder (kleinere) Stäbe it Nord- und Südpol. Es gibt keine isolierten agnetischen Pole! el. Ladung Eisenfeilspäne verhalten sich in der Nähe eines Magneten wie die Grießkörner in der Nähe elektrischen Ladungen, d.h. sie richten sich entlang von Linien, den agnetischen Feldlinien aus. Typische Bilder: Die Feldlinien sind allerdings geschlossen, d.h. sie verlaufen i Material weiter. Die Feldlinien verlaufen konventionsgeäß von N nach S. Von Ströen weiß an Folgendes: Die Feldlinien u einen geraden, strodurchflossenen Draht sind geschlossene, konzentrische Kreise. Polt an den Stro u, ändert sich der Drehsinn, der ier eine Rechtsschraube it der Strorichtung einnit Elektrostatik, dort gab es keine geschlossenen Feldlinien ( Ed s = )
Ströe üben Kräfte aufeinander aus 133
134 8. Magnetisches Feld und agnetische Kräfte Ursache für das elektrische Feld sind die ruhenden, für das agnetische Feld die bewegten Ladungen. Man sucht ein de Coulobgesetz analoges Gesetz für Kräfte zwischen bewegten Ladungen. Da die Ströe nicht punktförig sind, uss an Kräfte zwischen Stroeleenten definieren. Dieses ist definiert als Id it d als infinitesialer Länge des Leiterstücks, durch das der Stro I fließt. Die Richtung d ist die des Stros. Das Kraftgesetz lautet dann: d Id ( I1d 1 rˆ 1) F = 4π r 1 d F deutet an, dass ein Produkt aus d ( d d 1 ) auftritt und es sich u eine sehr kleine Größe handelt. Die Kraft selbst kann nur durch Ausintegration gewonnen werden. Bis auf die Winkelabhängigkeit durch das Kreuzprodukt ist die Gleichung foral analog zu Couloub-Gesetz. Wegen Kreuzprodukt steht (I 1 d r1 ) senkrecht auf I 1 d 1 und ˆr 1, zeigt also in die Ebene. Parallele Leiter: d Id Id 1 1 F = sinα 4π r 1 Kollineare Leiter: d F =, da I 1 d 1 r 1 und soit I 1 d 1 rˆ 1 = Wie bei elektrischen Feld beschreibt an die Kraftwirkung auf ein Stroeleent a besten über eine Wechselwirkung it de agnetischen Feld, das das zweite Stroeleent erzeugt. 1 q1 q 1 q1 el.: F = = Eq 4πε r 4πε r agn. : d F = I d bzw. df = I d B Id rˆ 1 1 1 = Id 4π r1 db 1 ˆ B ist das Magnetfeld, db der Magnetfeldbeitrag des Stroeleents I d. db = 4π I d rˆ r
135 db = 4π I d sinα r Gesetz von Biot-Savart Das Magnetfeld B a Ort P erhält an durch Integration aller Feldbeiträge db aller Stroeleente. Vergleich E- und B-Feld: db hat konzentrische Feldlinien u das Stroeleent als Achse, es ist ein sog. Wirbelfeld. E ist radial u eine Ladung gerichtet, hat also Quellen + Senken, ist ein sog. Quellenfeld. B wird (aus historischen Gründen) auch agnetische Induktion oder agnetische Flussdichte genannt. Neben de Magnetfeld B gibt es auch eine ebenfalls historische sog. agnetische Feldstärke H, die heute eist agnetische Erregung genannt wird. B = H = r H : Pereabilität : Pereabilität des Voluens bzw. agnetische Feldkonstante = 4π 1-7 Vs A r : Pereabilitätszahl, in nicht ferroagnetische Material eine Konstante Vs [B] = 1 = 1 T = 1 Tesla alte cgs-einheit: 1 Gauß = 1 G = 1-4 T [H] = 1 A Feld eines Kreisstros
136 Da jedes Stroeleent I d. senkrecht auf de Radiusvektor R steht, folgt aus Biot-Savart Id I I B = R 4π = π = R 4π R R Integral. über 1 Kreisbogen Das Feldlinienbild sieht de eines el. Dipols sehr ähnlich, deshalb führt an ein agnetisches Dipoloent ein: = I A A = ˆn A, A von Kreisstro I uschlossene Fläche Feld eines unendlich langen, geraden Drahtes Herleitung s. Staudt : I B = π R
137 Bildet an das Wegintegral Bd s längs eines Kreises it I als eine Achse, dann gilt I Bd s = B ds = B ds = R π R π Bd s= I Aperesches Durchflutungsgesetz Ist nicht nur für diese spezielle Geoetrie gültig, sondern allgeein. I ist dann der durch die Fläche tretende Gesatstro. Eds = Analog zu el. Fluss Φ = Bd A A Φ el definiert an den agnetischen oder Induktionsfluss Φ : Da es keine agnetischen Monopole gibt und die Feldlinien ier geschlossenen sind, treten durch eine geschlossene Fläche ier gleich viele Feldlinien ein und aus, d.h.: BdA = Feld lange Spule Das Feld i Innern einer Spule, die lang i Vergleich zu ihre Durchesser ist, ist annähernd konstant, außerhalb ist es vernachlässigbar klein. Wendet an das Aperesche Gesetz an, so gilt für den Integrationsweg 134, dass nur entlang der Strecke 1 integriert werden uss: ges 1 I = Bd s = Bds = B = I N : Länge der Spule N: Zahl der Windungen B = N I
138 Kraft auf Leiterschleife Eine Leiterschleife, durch die ein Stro I fließt, befindet sich in eine hoogenen Magnetfeld. Die Kräfte F 1, F sind gleich groß und entgegen gerichtet, sie können höchstens die Leiterschleife deforieren. F ergibt sich so als Integral über die Kräfte, die auf die einzelnen Stroeleente des Stücks 1- wirken: F = df = Id B= ( I d ) B= I B 1 1 1 ( Vektor von 1 nach ). Da α = 9 : F = I B Kraft auf parallele Drähte unendlich lange Drähte 1 und, durch die die Ströe I 1 und I fließen, sind parallel i Abstand R aufgehängt. Das B-Feld zeigt in die Zeichenebene, d.h. steht senkrecht auf Draht I1 und hat den Betrag π R. I1I F = I B= π R I1I F 1 = π R I 1 I F = π R Sind I 1 und I parallel, sind die Kräfte anziehend, sonst abstoßend.
139 Lorentzkraft dq dl Da I = und dt = dt v, gilt: I d = v dq Setzt an d F = I d B ein, so gilt df = dq v B Mit dq als i Stroeleent I d bewegte Ladung. F = qv B Lorentzkraft Kraft auf bewegte Ladung i Magnetfeld. Da F v F ds. Die Lorentzkraft kann keine Arbeit an der Ladung verrichten! Die Lorentzkraft ist ier senkrecht zur oentanen Bewegungsrichtung (d.h. v) gerichtet, ändert also den Betrag von v nicht, aber die Bewegungsrichtung. I hoogenen B-Feld ist die Bahnkurve der Ladung eine Spirale, die für v B zu Kreis entartet. Für den Bahnradius uss die Lorentzkraft gleich der Zentrifugalkraft sein: v q v B = R v U R = = qb B q / (it 1 v = qu) Bestiung von q Massenspektroetrie Massenspektroeter: Zunächst werden alle Ionen auf die kinetische Energie 1 v = q U gebracht, d.h. Z e U v = Anschließend werden sie eine hoogenen agnetischen Sektorfeld ausgesetzt. Da R it v variiert, sortiert ein Magnetfeld nach Ipulsen. Je nach Ipuls liegt eine andere Bahnkurve vor.
14 q = Z e = B R U Durch Variation von B oder U können die einzelnen Massen in den Detektor geleitet werden. Man kann auch eine Selektion i elektrischen Feld durchführen. Dort uss v R = q E gelten. R = v = qe U E it U als Plattenspannung des Spektroeters und E als elektrische Feldstärke. I elektrischen Feld erfolgt also eine Energie Selektion. Besonders gute Massentrennung gibt es, wenn an beide Felder in sog. doppelfokussierenden Massespektroetern einsetzt. Hall-Effekt Ein Streifen eines Metalls oder Halbleiters der Breite b und Dicke d wird vo Stro I durchflossen. I = q v N (v) A = q v N (v) b d (1) Quer zur Strorichtung wird keine Spannung U H geessen, so lange kein Magnetfeld eingeschaltet wird. Wird aber das B-Feld in der gezeigten Geoetrie (also zur Strorichtung und senkrecht zu b) eingeschaltet, gilt: U H B U H I Wechsel der Magnetfeldrichtung führt zu Vorzeichenwechsel von U H. Durch das B-Feld wirkt eine Lorentz-Kraft F L = q v B auf die Ladungsträger, die dadurch seitlich abgelenkt werden. Dadurch wird ein elektrisches Querfeld E H aufgebaut, das eine Kraft q E H auf die Ladungsträger ausübt. I stationären Zustand gilt q v B = q E H = q U H () b
141 Einsetzen von (1) in () liefert U H = v B b = 1 I B I B = R* N q d d (v) R* ist die sog. Hallkonstante. Sie ist positiv für positive und negativ für negative Ladungsträger. Bestiung des hauptsächlichen Ladungsträgertyps Messung von Magnetfeldern it der sog. Hallsonde
14 8.3 Drehoent i Magnetfeld I elektrischen Feld wirkt ein Drehoent auf einen elektrischen Dipol, dort gilt T = E. Analog gilt für einen agnetischen Dipol i Magnetfeld T = B T = B sin α Auch das agnetische Dipoloent hat die Tendenz sich parallel zu Feld einzustellen. Beispiel Stroschleife: Drehspulgalvanoeter: Da I gilt auch T I, an kann also die Strostärke durch die Torsion einer Leiterschleife sichtbar achen.
143 8.4 Materie i Magnetfeld Wie bei Einbringen von Materie in ein elektrisches Feld (z.b. Kondensator) wird auch ein Magnetfeld durch Materie beeinflusst. Das B-Feld einer Spule wird z.b. durch das Einbringen von Fe ins Innere der Spule vergrößert, es gilt B Materie = r B Vakuu = r H Vakuu r : relative Pereabilität Genauso wie bei elektrischen Feld werden auch i Magnetfeld (agnetische) Dipoloente induziert (s.a. Kap 9) und peranente Dipole ausgerichtet. Woher koen die agnetischen Dipoloente in der Materie, da diese ja durch Kreisströe erzeugt werden? I Rahen des Bohrschen Atoodells bewegen sich die Elektronen auf Kreisbahnen u den Atokern. In abgeschlossenen Schalen gibt es genauso viele e -, die rechts wie links heru u den Kern ulaufen, so dass nach außen kein peranentes Dipoloent sichtbar ist, dies tritt aber bei ungepaarten Elektronen auf. Für den Stro eines einzelnen e - auf einer Bahn it Radius R, einer Geschwindigkeit v, einer Ulaufzeit T und einer Masse e gilt: I = e ev = T πr ev e e = I A= R = R= π R π v ist der Bahndrehipuls. Vektoriell gilt e = Der Zusaenhang zwischen der agnetischen Größe und der echanischen heißt agneto-echanischer Parallelisus. e γ = = wird agnetogyrisches oder gyroagnetisches Verhältnis, hier des Elektrons genannt. Jedes e - besitzt neben de Bahn- auch noch einen Eigendrehipuls s (Spin). Für diesen gilt: γ = e s s =, ist also doppelt so groß wie γ. Allg.: γ = = g L e it den g-faktoren g l = 1 und g s =.
144 Wie i elektrischen Feld die Polarisation wird hier die Magnetisierung eingeführt als 1 M = V V A [M] = 1 Es gilt Von den äußeren Ströen B = (H + M) Von den atoaren Ströen Experientell findet an (für nicht zu großes H) M H M = χ H χ heißt agnetische Suszeptibilität. B = r H = (1 + χ )H = 1 + χ Man findet Stoffe, die sich unterschiedlich verhalten: Diaagnete : χ < Paraagnete: χ > χ << 1 Ferroagnete: χ > χ >> 1
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146 Man stellt fest, dass in diaagnetischen Materialien nur gepaarte e - vorkoen, in para- und ferroagnetischen ungepaarte (= per. agnetische Dipoloente). Diaagnetisus Da keine peranenten agnetischen Dipoloente vorhanden sind, werden diese offensichtlich induziert. In Kap. 9 werden wir als Lenzsche Regel kennenlernen, dass induzierte Magnetfelder den äußeren Feldern ier entgegengesetzt sind, deshalb χ <. χ f (T) Paraagnetisus Atoe paraagnetischer Stoffe besitzen peranente agnetische Dipoloente, die aber ohne äußeres Feld statistisch verteilt sind, so dass die äußere Magnetisierung ist. I äußeren Feld wirkt aber ein Drehoent, das die Dipole teilweise parallel zu Feld ausrichtet, so dass das B-Feld vergrößert wird. Es gilt: χ 1 T (Curie-Gesetz) Ferroagnetisus χ ist hier sehr groß. Magnetisiert an das Material i B-Feld, kann an dieses später abschalten und es bleibt eine Magnetisierung bestehen (Reanenz M R ).
147 Man benötigt das B-Feld B K (Koerzitivkraft) in entgegengesetzter Richtung, u zu Entagnetisieren. Eine Kurve, die unterschiedliche Werte je nach Richtung der Veränderung zeigt, heißt Hysteresekurve. Erklärung: In Ferroagneten gibt es ikroskopische Bereiche, die Weißschen Bezirke, in denen alle atoaren Dipoloente durch eine hohe Wechselwirkung parallel zueinander ausgerichtet sind. Ohne Feld sind diese Bereiche zunächst statistisch in ihrer Orientierung. Legt an ein Feld an, springen alle agnetischen Moente eines Bezirks gleichzeitig in Magnetfeldrichtung. Diese Ordnung ist stark teperaturabhängig. Oberhalb der sog. Curie-Teperatur T c sind deshalb alle Ferroagneten paraagnetisch. χ = C T T C Es gilt auch Antiferro- und Ferriagneten: