Analysis 1.0 Die ganzrationale Funktion g vierten Grades mit der Definitionsmenge D g = IR hat die doppelte Nullstelle x 0 = 3. Der Graph G g dieser Funktion schneidet die y-achse bei y = 4 und hat dort einen Terrassenpunkt. 1.1 Berechnen Sie den Funktionsterm g(x). (9 BE) 1.2 G ist eine Stammfunktion von g. Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass der Graph von G bei x 0 = 3 einen Terrassenpunkt besitzt. (3 BE) 4 4 3 2.0 Gegeben sind nun die reellen Funktionen f a : x a ( ax + 4x ) mit a R\{0} und der Definitionsmenge D f a = IR. 2.1 Berechnen Sie die Nullstellen von f a in Abhängigkeit von a. Geben Sie auch die jeweilige Vielfachheit an. 27 (3 BE) echt mono- 2.2 Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph ton steigt bzw. fällt. (Hinweis: Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch.) Gf a (8 BE) 2.3 Der Graph Gf a schneidet die Gerade mit der Gleichung x = 1 im Punkt P. Berechnen Sie a so, dass die Tangente an den Graphen im Punkt P parallel 32 14 liegt zur Geraden mit der Gleichung y = x +. (3 BE) 27 3 2.4.0 Für die folgenden Teilaufgaben ist a 1 4 = +. 27 4 3 = und f 1(x) ( x 4x ) 2.4.1 Geben Sie die Nullstellen der Funktion f 1 an. Untersuchen Sie G f 1 auf Extrempunkte nach Art und Lage. Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. (8 BE) 2.4.2 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen G für 4,5 x 2 in ein Koordinatensystem. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 1 cm. f 1 (5 BE) Seite 1 von 1
3.0 Gegeben ist nun die abschnittsweise definierte Funktion f (x) für x < 0 1 h : x a mit D 2 h = IR. x + 3x für x 0 Der Graph dieser Funktion wird G h genannt. 3.1 Die Funktion h ist überall stetig. Untersuchen Sie rechnerisch, ob h an der Stelle x0 = 0 differenzierbar ist. (3 BE) 3.2 Zeichnen Sie den Graphen G h für 4,5 x 3 farbig in das Koordinatensystem von Aufgabe 2.4.2 ein. Schraffieren Sie die aus 2 Stücken bestehende Fläche, die im I. und III. Quadranten zwischen G h und der x-achse liegt. Berechnen Sie sodann die Maßzahl des Flächeninhalts. (9 BE) 4.0 Um Obstkisten aus Pappe herzustellen, werden aus rechteckigen Kartonplatten an den 4 Ecken jeweils Quadrate abgeschnitten. Anschließend werden die Seitenteile so gefalzt, dass doppelwandige Seiten mit der Höhe x entstehen: Die Kartonplatten haben zu Beginn eine Länge von 1,20 m und eine Breite von 0,90 m. 4.1 Stellen Sie die Maßzahl des Volumens V(x) einer solchen Obstkiste in Abhängigkeit von der Höhe x dar. Geben Sie zudem eine sinnvolle Definitionsmenge D V an. (Mögliches Teilergebnis: V(x) = 16x 3 8,4x 2 + 1,08x) (4 BE) 4.2 Bestimmen Sie nun x so, dass das Volumen der Kiste den größtmöglichen Wert annimmt. Berechnen Sie auch das maximale Volumen V max. (5 BE) Seite 2 von 2
Aufgabengruppe S Die Forschungsabteilung eines Pharmakonzerns hat ein neues Medikament gegen Kullerose entwickelt und getestet. Der letzte Test betraf 1000 zufällig ausgewählte Freiwillige, die an Kullerose litten. Dabei wurde folgendes festgestellt: Bei 850 der 1000 Probanden besserte sich der Gesundheitszustand (B), bei 50 der Freiwilligen traten Nebenwirkungen auf (N), die sogar zu einer leichten, wenn auch ungefährlichen Verschlechterung des Gesundheitszustandes führten; bei den übrigen Personen konnte keine Wirkung festgestellt werden (K). Die aus diesen Angaben resultierenden relativen Häufigkeiten werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. 1.0 Nach Genehmigung des Medikamentes soll dieses in einer Klinik zunächst zwei zufällig ausgewählten Kullerose-Patienten verabreicht und die jeweilige Wirkung verfolgt werden. 1.1 Ermitteln Sie für dieses Zufallsexperiment alle 9 Elementarereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe eines Baumdiagramms. (6 BE) 1.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens einem der beiden Patienten Nebenwirkungen der oben beschriebenen Art auftreten.(2 BE) 2 Später wird das Medikament 10 anderen zufällig ausgewählten Patienten verabreicht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: E 1 : Bei allen 10 Patienten verbessert sich der Gesundheitszustand. E 2 : Bei mindestens 7 dieser 10 Patienten verbessert sich der Gesundheits- zustand. E 3 : Nur beim 1. und 2. Patienten verbessert sich der Gesundheitszustand nicht. E 4 : Bei keinem der 10 Patienten treten Nebenwirkungen auf. E 5 : Bei mehr als zwei der zehn Patienten kann keine Wirkung festgestellt werden. (8 BE) Seite 3 von 3
3.0 Kullerose wird von maximal 5 spezifischen Merkmalen begleitet, manche der Erkrankten weisen sogar keines davon auf. In einer Langzeitstudie wurde die Anzahl der Merkmale vor Ausbruch der Krankheit bei 5000 Patienten erfasst. Es ergibt sich folgende Tabelle: Anzahl der Merkma- 0 1 2 3 4 5 Anzahl der Patienten 125 500 1750 1375 1000 250 3.1 Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Merkmale an, die ein zufällig ausgewählter Patient aufweist. Erstellen Sie je eine Wertetabelle der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilung sowie der Verteilungsfunktion. (4 BE) 3.2 Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Merkmale innerhalb der doppelten Standardabweichung um den Erwartungswert liegt. (5 BE) 3.3 Unter den 5000 Patienten der oben erwähnten Langzeitstudie sind 3200 Raucher; von diesen wiederum weisen 200 alle 5 Merkmale auf. Erstellen Sie für die Ereignisse R: Ein zufällig herausgegriffener Proband ist Raucher und S: Ein zufällig herausgegriffener Proband weist alle 5 Merkmale auf eine Vierfeldertafel und untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. (5 BE) 4.0 Der Pharmakonzern verbessert das Medikament und gibt an, dass in 3 % aller Fälle Nebenwirkungen auftreten können (Nullhypothese). Eine Klinik, die das verbesserte Medikament über längere Zeit verwendet, bezweifelt diese Aussage. Die Klinikleitung vermutet einen höheren Anteil. Daher wird an 200 Freiwilligen ein Test durchgeführt. 4.1 Bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. Geben Sie auch Testgröße, Gegenhypothese und Art des Tests an. (6 BE) 4.2 Die Klinikleitung will die Aussage des Pharmakonzerns nur dann akzeptieren, wenn bei höchstens 9 der 200 getesteten Personen Nebenwirkungen auftreten. Berechnen Sie für diesen Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit. Formulieren Sie den Fehler 2. Art im Sachzusammenhang. (4 BE) Seite 4 von 4
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