Das Magnetfeld in der Umgebung eines sehr dünnen langen Leiters Seite 1.1 von 1.10 H ds H ds H ds H Umlauf-Integral Länge der magnetischen Feldlinie, hier der Kreisumfang Durchflutung, Magnetische Spannung, Einheit A (Ampere*Windungen) H Magnetische Feldstärke, Einheit A/m ds Längen-Element auf dem Kreis H r I
Seite 1.2 von 1.10 r H m A/m Langer dünner Leiter I=1A 0,1 1,59154943 0,2 0,79577472 0,3 0,53051648 0,4 0,39788736 0,5 0,31830989 0,6 0,26525824 0,7 0,2273642 0,8 0,19894368 0,9 0,17683883 1 0,15915494 1,1 0,14468631 1,2 0,13262912 1,3 0,12242688 1,4 0,1136821 1,5 0,1061033 1,6 0,09947184 1,7 0,09362055 1,8 0,08841941 1,9 0,08376576 2 0,07957747 2,1 0,07578807 2,2 0,07234316 2,3 0,0691978 2,4 0,06631456 2,5 0,06366198 2,6 0,06121344 2,7 0,05894628 2,8 0,05684105 2,9 0,05488101 3 0,05305165 Leiter-Radius r a gegen Null z.b. I = 1A ; r = 0,3 m H r I 1A 2 0,3m 0, 5305 A m Diese Gleichung gilt für einen sehr langen geraden Leiter! Für r = const. ist auch H(r) = const. Für r = 0 m geht H(r) gegen unendlich. Für r gegen unendlich geht H(r) gegen Null.
Seite 1.3 von 1.10 H von r mit I = 1A 1,6 1,5 1,59 1,4 1,3 1,2 1,1 1 H / (A/m) 0,9 0,8 0,7 0,80 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,53 0,40 0,32 0,27 0,23 0,20 0,18 0,16 0,14 0,13 0,12 0,11 0,11 0,10 0,09 0,09 0,08 0,08 0,08 0,07 0,07 0,07 0,06 0,06 0,06 0,06 0,05 0,05 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 r / m
Das Magnetfeld im Innern eines langen, geraden, zylindrischen Leiter und in seiner Umgebung. H ds I r I r ist der vom Integrationsweg umschlossene Strom, ein Teil des Gesamtstromes H ds H I r I r S da H I r I r S da I r2 a r 2 I r2 r2 a Seite 1.4 von 1.10 S da r a Stromdichte im Leiter Flächenelement Radius des Leiters S I r a 2 H r I r I r2 r a 2 1 I a 2 r für 0 < r < r a Feld im Innern des Leiters H r I für r a < r Feld ausserhalb des Leiters
Seite 1.5 von 1.10 ra = 0,3m ra=0m r H H m A/m A/m 0,000001 1,76839E-06 0,1 0,176838826 1,59154943 0,2 0,353677651 0,79577472 0,3 0,530516477 0,53051648 0,4 0,397887358 0,39788736 0,5 0,318309886 0,31830989 0,6 0,265258238 0,26525824 0,7 0,227364204 0,2273642 0,8 0,198943679 0,19894368 0,9 0,176838826 0,17683883 1 0,159154943 0,15915494 1,1 0,144686312 0,14468631 1,2 0,132629119 0,13262912 1,3 0,122426879 0,12242688 1,4 0,113682102 0,1136821 1,5 0,106103295 0,1061033 1,6 0,099471839 0,09947184 1,7 0,093620555 0,09362055 1,8 0,088419413 0,08841941 1,9 0,08376576 0,08376576 2 0,079577472 0,07957747 2,1 0,075788068 0,07578807 2,2 0,072343156 0,07234316 2,3 0,069197801 0,0691978 2,4 0,06631456 0,06631456 2,5 0,063661977 0,06366198 2,6 0,06121344 0,06121344 2,7 0,058946275 0,05894628 2,8 0,056841051 0,05684105 2,9 0,054881015 0,05488101 3 0,053051648 0,05305165 H r I r I r2 r a 2 1 I a 2 r für 0 < r < r a Feld im Innern des Leiters hier r a = 0,3 m H r I für r a < r Feld ausserhalb des Leiters
Seite 1.6 von 1.10 H(r) runder Leiter ra=0,3 H / (A/m) 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 r / m ra = 0,3m ra=0m
B(r) und (r) des langen Leiters Seite 1.7 von 1.10 Zusammenhang zwischen B und H Dielektrizitätskonstane B 0 r H 0 4 10 7 Vs Am Ausserhalb um den langen Leiter mit Radius r a Aus der magnetischen Feldstärke H r I erhält man die magnetische Flussdichte B r I 0 A m Vs m 2 r 2 Integration ergibt den magnetischen Fluss r 1, r 2 B r l dr Vs für r a < r 1 < r 2 r 1 r 1, r 2 I 0l 2 ln r 2 r 1 für r a < r 1 < r 2 Äussere Induktivität L A I 0l 2 ln r 2 r 1 H (Henry)
Seite 1.8 von 1.10 Magnetische Größen im Innern des Leiter mit Radius r a Aus der magnetischen Feldstärke H r I a 2 r A m erhält man die magnetische Flussdichte B r I 0 a 2 r Vs m 2 r 2 r a Integration ergibt den magnetischen Fluss r 1, r 2 B r l dr r 1 0 r 1, r 2 I 0l a 2 r 1, r 2 I 0l 4 r a 2 2 0 Innere Induktivität L I I 0l 4 H (Henry) Magnetische Feldkonstante Wert der inneren Induktivität für l=1m Der Wert L I hängt nicht vom Radius ab! L I 0l 4 10 7 Vs A 10 7 H
Seite 1.9 von 1.10 Praktisches Beispiel: 26. Verordnung zur Durchführung des Bundes-Immissionsschutzgesetzes (Verordnung über elektromagnetische Felder - 26. BImSchV) Der Grenzwert für die Dauer-Exposition des Menschen beträgt B max = 100 T Frage: Welcher Abstand r min muß eingehalten werden für einen Strom von I = 500 A auf einem Leiter? Lösung: aus B r I 0 erhält man Vs 2 B max m 2 r min 500A 0 500A 4 10 7 Vs Am 2 100 10 6 Vs m2 1m
Übung M_01: Runder langer Leiter I = 1 A ; r a = 1 cm ; r 2 = 100 cm ; l = 1 m, 0 4 10 7 Vs Am Berechnen Sie: Seite 1.10 von 1.10 1. H(0) ; H(r a ) ; H(r a ) ; B(r 2 ) 0 < r < ra: H r r ra < r: a 2 I H r I 2. B(0) ; B(r a ) ; B(r a ) ; B(r 2 ) B 0 r H 3. I im Inneren des Leiters r 1, r 2 I 0l r2 a 2 0 für r 1 = 0 < r < r a a 2 4. A im Äusseren des Leiters von r 1 bis r 2 r 1, r 2 I 0l 2 ln r 2 r 1 für r 1 = r a < r < r 2 5. L I innere Induktivität des Leiters von 0 bis r a L I I 0l 4 H (Henry) 6. L A äussere Induktivität des Leiters von r 1 bis r 2 L A I 0l 2 ln r 2 r 1 H (Henry) 7. L g = L I + L A gesamte Induktivität von r = 0 cm bis r = 100 cm 8. Vektor H und B für r = 50 cm und = /6 (30 ) 9. Nach 26. BImSchVO beträgt Bmax = 100uT bei f=50hz, berechnen Sie für IAC = 100 A den kleinsten Abstand r min