Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Franz W. Peren Formelsammlung Wirtschaftsmathematik 2., überarbeitete Auflage

Franz W. Peren Fachbereich Wirtschaft Hochschule Bonn-Rhein-Sieg Sankt Augustin, Deutschland ISBN 978-3-662-47849-3 DOI 10.1007/978-3-662-47850-9 ISBN 978-3-662-47850-9 (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliogra e; detaillierte bibliogra sche Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Gabler Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013, 2016 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikrover lmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Berlin Heidelberg ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Gewidmet Reinger Classen. Ein unvergessener Freund.

Vorwort Diese Formelsammlung dient vornehmlich allen Studierenden und wirtschaftswissenschaftlich Wertschöpfenden, gleichwohl denen der Betriebswirtschaftslehre und der Volkswirtschaftslehre, den Wirtschaftsingenieuren oder den Wirtschaftspädagogen. Das vorliegende Buch gestaltet sich nach den Erfahrungen des Verfassers, der seine wirtschaftswissenschaftlichen Studien in 1981 an der Westfälischen Wilhelms-Universität zu Münster in Deutschland begann und als Professor der Betriebswirtschaftslehre die quantitativen Methoden bis dato lehrt und diese forschend in vielfältiger Art und Weise weiterentwickeln durfte vorwiegend in Deutschland an der Fachhochschule Bielefeld und der Hochschule Bonn-Rhein-Sieg, aber auch an der University of Victoria in Victoria, BC, Kanada, der Universitas Udayana in Denpasar, Bali, Indonesien, der Technická Univerzita v Košiciach in Košice, Slowakische Republik und der Columbia University in New York City, New York, USA. Die Formelsammlung soll nach bestem Wissen und Gewissen des Verfassers die mathematischen Inhalte formelhaft wiedergeben, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften global sowohl an den Universitäten und Hochschulen als auch in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis sinnvoll und notwendig sind. Dank schuldet der Verfasser vielen seiner wissenschaftlichen Mitarbeiter(innen), die an dieser Arbeit und an vielen anderen Projekten mit Kreativität, Wissen und Fleiß für ihn in den vergangenen mehr als 20 Jahren tätig waren. Allen voran danke ich Herrn Christian Stollfuß, der federführend diese Formelsammlung mit gestaltet hat. Besonderer Dank gebührt auch Shanti Alena Dewi, Verena Leisen, Markus Shakoor, Christina Pakusch und Sandra Bensberg. Für die vielen wertvollen Anregungen im Bereich der Wirtschaftsmathematik und Wirtschaftsstatistik danke ich besonders meinen geschätzten Kolleg(inn)en Friedrich Aumann und Dr. Andreas Grisar von der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster, Prof. Dr. Rüdiger Bücker von der Fachhochschule Bielefeld, Prof. Dr. Félix Sekula von der Technická Univerzita v Košiciach sowie Prof. Dr. Reiner Clement, Prof. Dr. Oded Löwenbein und Prof. Dr. Wiltrud Terlau von der Hochschule Bonn-Rhein- Sieg. Bonn, im Oktober 2015 Franz W. Peren

IX 1 Mathematische Zeichen und Symbole 1 2 Logik 9 3 Arithmetik 11 3.1 Mengen 11 3.1.1 Allgemeines 11 3.1.2 Mengenrelationen 12 3.1.3 Mengenoperationen 12 3.1.4 Beziehungen, Gesetze, Rechenregeln 14 3.1.5 Intervalle 15 3.1.6 Zahlensysteme 16 3.2 Elementare Rechenarten 18 3.2.1 Elementare Grundlagen 18 3.2.2 Termumformungen 21 3.2.3 Summen- und Produktzeichen 23 3.2.4 Potenten, Wurzeln 25 3.2.5 Logarithmen 27 3.2.6 Fakultät 30 3.2.7 Binomialkoeffizient 30 3.3 Folgen 32 3.3.1 Definition 32 3.3.2 Grenzwert einer Folge 34 3.3.3 Arithmetische und geometrische Folgen 36 3.4 Reihen 37 3.4.1 Definition 37 3.4.2 Arithmetische und geometrische Reihen 37

X 4 Algebra 39 4.1 Grundbegriffe 39 4.2 Lineare Gleichungen 41 4.2.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen 41 4.2.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen 41 4.2.3 Lineare Gleichungen mit mehreren Variablen 42 4.2.4 Lineare Ungleichungen mit mehreren Variablen 45 4.3 Nichtlineare Gleichungen 46 4.3.1 Quadratische Gleichungen mit einer Variablen 46 4.3.2 Kubische Gleichungen mit einer Variablen 49 4.3.3 Biquadratische Gleichungen 50 4.3.4 Gleichungen n-ten Grades 51 4.3.5 Wurzelgleichungen 52 4.4 Transzendente Gleichungen 53 4.4.1 Exponentialgleichungen 53 4.4.2 Logarithmische Gleichungen 54 4.5 Näherungsverfahren 56 4.5.1 Regula falsi 56 4.5.2 Newtonsches Verfahren 59 4.5.3 Allgemeines Näherungsverfahren 61 5 Lineare Algebra 67 5.1 Grundbegriffe 67 5.1.1 Matrix 67 5.1.2 Gleichheit/ Ungleichheit von Matrizen 68 5.1.3 Transponierte Matrix 69 5.1.4 Vektor 69 5.1.5 Spezielle Matrizen und Vektoren 71

XI 75 5.2 Operationen mit Matrizen 74 5.2.1 Addition von Matrizen 74 5.2.2 Multiplikation von Matrizen 5.3 Die Inverse einer Matrix 84 5.3.1 Einführung 84 5.3.2 Bestimmung der Inversen unter Verwendung 86 des Gauß'schen Eliminationsverfahren 5.4 Der Rang einer Matrix 86 5.4.1 Begriffsbestimmung 88 5.4.2 Bestimmung des Ranges einer Matrix 89 5.5 Die Determinante einer Matrix 91 5.5.1 Begriffsbestimmung 91 5.5.2 Berechnung von Determinanten 93 5.5.3 Einige Eigenschaften von Determinanten 98 5.6 Die Adjunkte einer Matrix 99 5.6.1 Begriffsbestimmung 99 5.6.2 Bestimmung der Inverse mit Hilfe der 100 Adjunktenmatix 6 Kombinatorik 103 6.1 Einführung 103 6.2 Permutationen 105 6.2 Variationen 106 6.3 Kombinationen 107

XII 7 Finanzmathematik 109 7.1 Zinsrechnung 109 7.1.1 Grundbegriffe 109 7.1.2 Jährliche Verzinsung 110 7.1.3 Unterjährliche Verzinsung 117 7.2 Abschreibungen 122 7.2.1 Grundbegriffe 122 7.2.2 Lineare Abschreibung 123 7.2.3 Degressive Abschreibung 123 7.2.4 Leistungsabschreibung 127 7.3 Rentenrechnung 128 7.3.1 Grundbegriffe 128 7.3.2 Endliche, gleichbleibende Renten 131 7.3.3 Endliche, veränderliche Renten 141 7.3.4 Ewige Rente 145 7.4 Tilgungsrechnung 146 7.4.1 Grundbegriffe 146 7.4.2 Grundgleichungen der Tilgungsrechnung 148 7.4.3 Annuitätentilgung 149 7.4.4 Ratentilgung 151 7.4.5 Tilgung mit Aufgeld 152 7.4.6 Tilgungsfreie Zeiten 155 7.4.7. Gerundete Annuitäten 157 7.4.8 Unterjährliche Tilgung 163 7.5 Kurs- und Effektivzinsrechnung 169 7.5.1 Zinsschuld 170 7.5.2 Annuitätenschuld 170 7.5.3 Ratenschuld 171 7.5.4 Beispielaufgabe Kursrechnung 172 7.5.5 Beispielaufgabe Effektivzinsrechnung 173

XIII 7.6 Investitionsrechnung 175 7.6.1 Grundbegriffe 175 7.6.2 Finanzmathematische Grundlagen 177 7.6.3 Methoden der dynamischen 180 Investitionsrechnung 7.6.4 Statische Verfahren der Investitionsrechnung 188 8 Optimierung linearer Modelle 191 8.1 Lagrange-Methode 191 8.1.1 Einführung 191 8.1.2 Bildung der Lagrange-Funktion 191 8.1.3 Bestimmung der Lösung 192 8.2 Lineare Optimierung (LP- Ansatz) 195 8.2.1 Einführung 195 8.2.2 Aufstellen des LP-Ansatzes 195 8.2.3 Graphische Bestimmung der Lösung 195 8.2.4 Simplexverfahren 198 9 Funktionen 203 9.1 Einführung 203 9.1.1 Verkettung von Funktionen 205 9.1.2 Umkehrfunktion, inverse Funktion 207 9.2 Klassifizierung von Funktionen 208 9.2.1 Rationale Funktionen 209 9.2.1.1 Ganzrationale Funktionen 209 9.2.1.2 Gebrochenrationale Funktionen 209 9.2.2 Nichtrationale Funktionen 211 9.2.2.1 Potenzfunktionen 211 9.2.2.2 Wurzelfunktion 213 9.2.2.3 Transzendente Funktionen 213

XIV 9.3 Eigenschaften reeller Funktionen 235 9.3.1 Beschränktheit 235 9.3.2 Symmetrie 235 9.3.2.1 Achsensymmetrie 235 9.3.2.2 Punktsymmetrie 236 9.3.3 Transformationen 238 9.3.4 Stetigkeit 239 9.3.5 Pol 239 9.3.6 Lücke 240 9.3.7 Sprung 241 9.3.8 Homogenität 241 9.3.9 Periodizität 242 9.3.10 Nullstellen 242 9.3.11 Lokale Extrema 243 9.3.12 Monotonie 244 9.3.13 Krümmungsverhalten/ Wendepunkt 245 10 Differentialrechnung 247 10.1 Differentiation von Funktionen mit einer 247 unabhängigen Variablen 10.1.1 Allgemeines 247 10.1.2 Erste Ableitung elementarer Funktionen 249 10.1.3 Ableitungsregeln 251 10.1.4 Höhere Ableitungen 253 10.1.5 Differentiation von Funktionen mit 254 Parametern 10.1.6 Kurvendiskussion 254 10.2 Differentiation von Funktionen mit mehreren 261 unabhängigen Variablen 10.2.1 Partielle Ableitungen (1. Ordnung) 261 10.2.2 Partielle Ableitung (2. Ordnung) 264 10.2.3 Lokale Extrema der Funktion 266 10.2.4 Extrema mit Nebenbedingungen 269 10.2.5 Differentiale für die Funktion 273

XV 278 10.3 Sätze über differenzierbare Funktionen 275 10.3.1 Mittelwertsatz der Differentialrechnung 275 10.3.2 Verallgemeinerter Mittelwertsatz der 275 Differentialrechnung 10.3.3 Satz von Rolle 276 10.3.4 L' Hospitalsche Regel 276 10.3.5 Schrankensatz der Differentialrechnung 11 Integralrechnung 279 11.1 Einführung 279 11.2 Das unbestimmte Integral 280 11.2.1 Definition / Bestimmung der Stammfunktion 280 11.2.2 Elementare Rechenregeln für das 284 unbestimmte Integral 11.3 Das bestimmte Integral 285 11.3.1 Einführung 285 11.3.2 Beziehung zwischen bestimmtem und 289 unbestimmtem Integral 11.3.3 Spezielle Integrationstechniken 295 11.3.3.1 Die partielle Intregration 295 11.3.3.2 Integration durch Substitution 296 11.4 Mehrfach-Integrale 298 11.5 Integralrechnung bei ökonomischen 299 Problemstellungen 11.5.1 Kostenfunktionen 299 11.5.2 Umsatzfunktionen (= Erlösfunktion) 301 11.5.3 Gewinnfunktionen 302

XVI 12 Elastizitäten 305 12.1 Problemstellung und Begriff der Elastizität 305 12.2 Bogenelastizität 306 12.3 Punktelastizität 311 12.4 Wirtschaftstheoretische Elastizitätsbegriffe 314 12.4.1 Preiselastizität der Nachfrage 315 12.4.2 Die Kreuzpreiselastizität 320 12.4.3 Die Einkommenselastizität der Nachfrage 321 Anhang Aufzinsungsfaktoren 324 Abzinsungsfaktoren 358 Tilgungsfaktoren 332 Rentenbarwertfaktoren 336 Rentenendwertfaktoren 342 Annuitätenfaktoren 352 Literaturverzeichnis 361 Stichwortverzeichnis 365