{I, J} Winkel- Join Meet Repetitorium zur Vorlesung von Prof. Dr. Dr. Richter-Gebert Technische Universität München 16. Februar 2011
{I, J} Winkel- Join Meet {I, J} Winkel- Join Meet
{I, J} Winkel- Join Meet ( ) x x x y λ y ; λ R \ {0} y 1 1 a t a a lim t b t lim t b = b 1 1/t 0 p I g ax + by + c = 0 ( a b c ) x y = g, p = 0 1 { g, λp + µq = 0 g, p = 0 g, q = 0 g = p q
{I, J} Winkel- Join Meet p Q ax 2 + by 2 + 2cxy + 2dx + 2ey + f = 0 Tangente an Q durch p: l = Q p p / Q Q p heißt Polare ( x y 1 ) a c d x c b e y = p T Q p = 0 d e f 1
{I, J} Winkel- Join Meet p = Mp, det(m) 0 t x M = M t y v 1 v 2 v 3 g, p! = g, p g = ( M 1) T g (p ) T Q p! = p T Qp Q = ( M 1) T QM 1
Invarianten {I, J} Winkel- Join Meet Orient. Längen Winkel Verh. Doppelverh. Rotation Translation Spiegelung Ähnlichkeitsabb. lineare Abb. (R 2 ) affine Abb. projektive Abb.
{I, J} Winkel- Join Meet det(m) 0 p = Mp Mp P g = ( M 1) T g 9 1 = 8 freie Parameter festgelegt durch 4 Punktepaare p p Kegelschnitt Q T = Q p T Qp = 0 Qp L g T Q 1 g = 0 g Tangente 9 3 1 = 5 freie Parameter festgelegt durch 5 Punkte Punktepaare p p
I {I, J} Winkel- Join Meet R 1, C 1 : (A, B; C, D) = AC AD / BC BD RP 1, [AC] [BD] : (A, B; C, D) = [AD] [BC], CP 2 : (A, B; C, D) X = DV unter projektiven : (A, B ; C, D ) X = [XAC] [XBD] [XAD] [XBC] AC BD = AD BC [MX, MA, MC] [MX, MB, MD] [MX, MA, MD] [MX, MB, MC] = det(m)2 [XAC] [XBD] det(m) 2 [XAD] [XBC] = (A, B; C, D) X
II {I, J} Winkel- Join Meet A, B, C, D kollinear (A, B; C, D) X unabhängig von X A, B, C, D nicht kollinear (A, B; C, D) X = (A, B; C, D) Y A,B,C,D,X,Y liegen auf einem Kegelschnitt Doppelverhältnis von 4 konkurrenten Geraden ist definiert als Doppelverhältnis der vier Schnittpunkte mit einer beliebigen Geraden.
III {I, J} Winkel- Join Meet λ = (A, B; C, D) = (C, D; A, B) = 1 (B, A; C, D) =... Andere Permutationen λ, 1 λ, 1 λ, 1 1 λ, 1 1 λ, λ λ 1 (A, B; C, D) = 1 {A, B} {C, D} liegen harmonisch (( ) 0, 1 ( ) 2 ; 1 (A, B; M AB, ) = 1 ( ) ( )) 1 1, = 1 projektive Skala 1 0
{I, J} Winkel- Join Meet z = x + ıy; z ( ) z λ 1 Möbius-: ( ) a b p Mp; M = c d : ( ) z ; λ C \ {0} 1 z az + b cz + d erhalten. (A, B; C, D) R A, B, C D kozirkular (oder kollinear) Geraden sind Kreise, die enthalten.
{I, J} CP 2 {I, J} Winkel- Join Meet a 1 b 1 ı [A, B, I] = a 2 b 2 1 = (a 1 + ıa 2 ) (b 1 + ıb 2 ) = z A z B 1 1 0 Satz von Laguerre: (B, C; I, J) A = e 2 ıϕ ; ϕ = A (B, C) (B, C; I, J) A = 1 AB AC ϕ(g, l) = 1 2 ı ln (F g, F l ; I, J) : [ABI][ABJ] d(a, B) = [OEI][OEJ] [OIJ][EIJ] [AIJ][BIJ] mit 1 := OE
{I, J} Winkel- Join Meet Im werden verschiedene Objekte durch unterschiedlich lange Vektoren dargestellt: n-dimensionale Objekte tragen n+1 Indizes haben damit ( ) d+1 n+1 Einträge im Vektor. Die Einträge sind voneinander abhängig. [A 1... A d 1 B 1 ][B 2... B d+1 ] [A 1... A d 1 B 2 ][B 1 B 3... B d+1 ] ± = 0 [AB][CD] [AC][BD] + [AD][BC] = 0 [ABC][DEF ] [ABD][CEF ] + [ABE][CDF ] [ABF ][CDE] = 0
{I, J} Winkel- Join Meet Join Meet Join: C = A B; C τ = λ,µ λ µ=τ sgn(λµ)a λ B µ im RP 3 : Meet: im RP 3 : g = p p, g 13 = p 1 p 3 p 3 p 1 e = p g, e 134 = p 1 g 34 p 3 g 14 + p 4 g 13 C = A B; C τ = λ,µ λ µ=τ sgn((λ \ τ)(µ \ τ))a λ B µ g = e e, g 13 = e 123 e 134 e 134 e 123 p = g e, p 2 = g 12 e 234 g 23 e 124 + g 24 e 123