Skript zur Vorlesung Geometriekalküle im WS08/09 von Prof. Dr. Dr. J. Richter-Gebert

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1 Skript zur Vorlesung Geometriekalküle im WS8/9 von Prof. Dr. Dr. J. Richter-Gebert Losinger Thomas 3. Februar 29

2 Inhaltsverzeichnis Homogene Koordinaten in der Ebene 3. Inzidenz von Punkt und Gerade Inzidenzeigenschaften Transformationen in RP Dualität 3. Projektive Geometrie auf einer Geraden (Doppelverhältnis) Doppelverhältnisse Doppelverhältnis im RP Spezielle Doppelverhältnisse Harmonische Punktepaare Quadriken 9 5 Winkel im CP Geometrie kompleer Zahlen Eigenschaften des Winkels α = 2i ln(l, M; I, J) Konstruktion des Spiegelbildes Projektive Geometrie im RP 3 (und RP d ) 3 6. Punkte im RP Ebenen im RP Geraden im RP Determinantenabhängigkeiten writen b Losinger, Thomas Seite 2 von 34

3 Homogene Koordinaten in der Ebene Objekte: Punkte und Geraden Idee: Bette die Zeichenebene in den R 3 ein. Homogenisieren: Dehomogenisieren: ( ) z λ ( z z ) λ R \ {} z Skalare Vielfache identifizieren eines Vektors identifizieren also den selben Punkt. Was ist mit? t p (t) = t Also ist lim p (t) t ein -ferner Punkt in Richtung ( geometrische Interpretation. Menge aller Punkte: P := R3 \{} ( ) R\{} Eulkidische Gerade: { a b c = } Mit den Geradenparametern: a v := b c λ λ R \ {} t ). Jeder Vektor in R 3 \ {} hat eine writen b Losinger, Thomas Seite 3 von 34

4 Skalare Vielfache eines Vektors identifizieren also die selbe Gerade. Spezialfall: l = ist eine Gerade im Menge aller Gerade: L := R3 \{} ( R\{} ) {( ) } Inzidenz: Euklidisch p = liegt auf a + b + c = a + b + c = a Anders ausgedrückt: a + b + c = b, = c Homogen: p P liegt auf l L l, p = oder in anderen Worten p l Geometrische Interpretation: Verbindungsgerade von p, p 2 P : l = p p 2 Schnittpunkt von l, l 2 L : p = l l 2 Streng formal ist homogenisieren: R 2 P R ( ) Wir werden ausschießlich Operationen bertrachten, die stabil unter Äquivalenzklassenbildung sind.. Inzidenz von Punkt und Gerade Punkt p P R liegt auf der Geraden l L R : p, l = Satz Die Relation liegt auf ist wohldefiniert. (d.h. unabhängig von der Wahl der speziellen Repräsentanten) Schreibweise: [p] liegt auf [l]: [p] š[l] writen b Losinger, Thomas Seite 4 von 34

5 Beweis Sei [l] = [l ], [p] = [p ] λ, µ R \ {} mit l = λl, p = µp p, l = µp, λl = µλ p, l }{{} p, l = p, l = Man nennt das Tripel (P R, L R, š) die reele projektieve Ebene. Es genügt mit Repräsentanten zu rechnen. Verbindungsgerade zweier Punkte: [p], [q] P R [p q] L R Schnittpunkt zweier Geraden: Verbindung identischer Punkte: [l], [g] L R [l g] P R [p] = [q] p = λq p q = λq q = Verschiedene Fälle von Schnittpunkten: a d l = b, g = e c f b e c f l g = a d c f a d b e. Fall l, g sind nicht parallel: l g = 2. Fall l, g sind parallel: a d b e }{{} endlicher Punkt a b = d e ae = db ae db = a d b e = l g = Fernpunkt des Parallelenbüschels writen b Losinger, Thomas Seite 5 von 34

6 3.Fall l = also die Ferngerade: l g = d e f = Fernpunkt von g Verschiedene Fälle von Verbindungsgeraden:. Fall seien p, q endliche Punkte, so ist auf l eine normale endliche Gerade 2. Fall sei p endlicher Punkt und sei q Fernpunkt, so verläuft die Gerade l durch p in Richtung q 3. Fall seien p, q Fernpunkte so gilt:.2 Inzidenzeigenschaften = Unendliche Ferngerade Jedes Paar verschiedener Punkte hat eine eindeutige Verbingungsgerade Jedes Paar verschiedener Geraden hat einen eindeutigen Schnittpunkt Aufgabe: Gegeben sei p und l Gesucht: Parallele von l durch p Lösung:(l l ) p Parallele Bisher: Repräsentantensichtweise, d.h. Punkte und Geraden sind Vektoren im R 3 Jetzt: Teilraumsichtweise: Punkte -dimensionalen Teilräumen des R 3 Geraden 2-dimensionalen Teilräumen des R 3 Inzidenz Inzidenz der Teilräume Sichtweise auf einer Kugel: writen b Losinger, Thomas Seite 6 von 34

7 Idee: Schneide die Teilräume mit der Kugel S 2 = { Puntke Antipodale Punktepaare auf S 2 Geraden Großkreise auf S 2 z z 2 = } Ekurs: Topologie der reellen projektiven Ebene Identifiziere gegenüberliegende Punkte auf dem Rand Die Form von RP 2 Kugeldarstellung: Zu jedem Vektor R 3 \ { } gibt es zwei Vektoren auf S 2 = { z in [ ] RP 2 überdeckt die S 2 doppelt. z z z 2 = } writen b Losinger, Thomas Seite 7 von 34

8 Kleiner Ekurs: Raumformen (Verkleben gegenüberliegender Seiten eines Rechtecks) Auf RP 2 gibt es zwei verschiedene Arten geschlossener Kurven. 2 Transformationen in RP 2 Im Euklidischen bei z.b lineare Transformationen: Rotation um : ( ) ( cos α sin α sin α cos α Problem: Verkettung von Operationen Projektiv: ) ( ) ( Translation: ) ( ) ( t + t ) writen b Losinger, Thomas Seite 8 von 34

9 cos α sin α sin α cos α t t Allgemeine affine Transformationen: Also Verschiebungen, Rotationen um bel. Punkt, Spiegelungen an bel. Achse, Scherungen und alle Verkettungen davon. Beachte: M = a b c d e f a b c d e f ; det (M) p Mp = Punkte im Unendlichen bleiben also unter affinen Trafos unendlich. Allgemeine projektive Transformationen: Also auch Perspektivische Verzerrungen M = a b c d e f g h i ; det (M) p Mp Beachte M und λm; λ repräsentieren die gleiche Transformation [M]. Satz 2 Projektive Transformationen führen kollineare Punkte wieder in kollineare Punkte über. Beweis 2 p, q, r kollinear det (p, q, r) = { }} { det (Mp, Mq, Mr) = det (M) det (p, q, r) = Mp, Mq, Mr kollinear writen b Losinger, Thomas Seite 9 von 34

10 M ist durch das Bild von vier Punkten (von denen keine drei auf einer Geraden liegen) eindeutig bestimmt. Satz 3 Es seien [A], [B], [C], [D] Punkte von denen keine 3 auf einer Geraden liegen und [A ], [B ], [C ], [D ] dito, dann:! [M] : [MA] = [A ], [MB] = [B ], [MC] = [C ], [MD] = [D ] Beweis 3 Zunächst betrachte Spezialfall: A =, B = In diesem Fall: M = λa µb τc λa µb τc A B C, C =, D =, λ, µ, τ λ µ τ = = eindeutig lösbar det (A, B, C ) ist erfüllt, da Punkte nicht kollinear. Allgemeiner Fall: M [A][B][C][D] 2 [ ][ ][ ][ ] M [A ][B ][C ][D ] [A][B][C][D] M M 2 [A ][B ][C ][D ] Wie wirken porjektive Abblidungen auf Geraden? Sei M R 3 3 eine projektive Abbildung. D D writen b Losinger, Thomas Seite von 34

11 Der Punkt a wird abgebildet auf M a Seien a, b, c kollinear, d.h. l : a, l = b, l = c, l =, dann l : Ma, l = Mb, l = Mc, l = Behauptung Das Bild von l unter der projektiven Abbildung τ M ist ( M T ) l Beweis 4 Ma, ( M T ) l = a T M T (M T ) l = a T l = a, l = Definition (Kollinearität) Eine bijektive Abbildung P R P R, die kollineare Punktetripel auf kollineare Punktetripel abbildet, heißt Kollinarität Satz 4 (i) in P R ist jede projektive Transformation Kollinearität (Bem. v. Jürgen: Beweis in letzter Std.) (ii) in P R ist jede Kollinearität eine projektive Transformation (Bem. v. Jürgen: Beweis nicht in dieser Vorlesung) Bemerkung Teil (ii) ist falsch für viele andere Körper als R z.b. für P C 3 Dualität Bisheriger Ausdruckskraft unserer Geometie : Punkte Kollinearität Verbindungsgerade (Join) Geraden Konkurrenz Schnittpunkte (Meet) Dualitätsprinzip: Sstematisches Vertauschen von Punkt Gerade, Join Meet, Kollinear Konkurrent führt wahre Sätze in wahre Sätze über. Satz 5 (Satz von Pappos) Seine g, l zwei Geraden und seien 2 Punktetripel (a, b, c), (a, b, c ) auf l und g. Bilde: Dann sind,, z kollinear. (a b ) (a b) = (a c ) (a c) = (b c ) (b c) = z writen b Losinger, Thomas Seite von 34

12 Satz 6 (Dualer Pappos) Seien L, G zwei Punkte und seien 2 Geradentripel (A, B, C), (A, B, C ) durch L und G. Bilde: Dann sind X, Y, Z konkurrent (A B ) (A B) = X (A C ) (A C) = Y (B C ) (B C) = Z 3. Projektive Geometrie auf einer Geraden (Doppelverhältnis) Satz 7 Seien [A] und [B] zwei repräsentierende Punkte. Alle Punkte auf der Verbindungsgeraden l sind genau die Punkte die sich als [λa + µb] schreiben lassen. Wobei λ oder µ Beweis 5 (i) λa + µb liegt auf l det(a, B, λa + µb) = λ det(a, B, A) + µ det(a, B, B) = writen b Losinger, Thomas Seite 2 von 34

13 (ii) P auf der Geraden l hat die Form λa + µb A, B, P sind kollinear l : A, l = B, l = P, l = A B P Achtung subtil: l = P ist Linearkombination aus A und B P = λa + µb Die genaue Position von [λa + µb] hängt von der Wahl der speziellen Repräsentanten ab. In der Projektiven Geometrie wie wir sie gerade betreiben, geht das messen verloren und es sind nur Aussagen über Inzidenz möglich. Sind jedoch dir Repräsentatne A, B bekannt, dann ist ( ) λ durch die Position von λa + µb festgelegt. µ P = λa + µb bzgl. A, B. Basiswechsel auf l: ( λ µ ) sind die homogenen Koordinaten für ( λ µ P = [λa + µb] P = [λ A + µ B ] A = λ A A + µ A B B = λ B A + µ B B P = λ A + µ B = λ (λ A A + µ A B) + µ (λ B A + µ B B) = (λ λ A + µ λ B ) A + (λ µ }{{} A + µ µ B ) B }{{} λ µ ) ( ) ( ) λa λ = B λ µ A µ B µ Projektive Transformation auf l Projektion von einer Geraden auf eine Andere: P = λa + µb P = λ A + µ B writen b Losinger, Thomas Seite 3 von 34

14 ( λ Wie hängt µ ) von ( λ µ ) ab? Satz 8 Es gibt ein τ R: ( λ µ ) = ( τ ) ( λ µ ) Beweis 6 Zeige: Es gibt ein τ mit P P ist mit X inzident: = P P, X = λa + µb λ A + µ B, X = λλ A A, X + λµ A B, X + µλ B A, X + µµ B B, X λµ A B, X = µλ B A, X λ µ A B, X A = λ B, X µ }{{} τ writen b Losinger, Thomas Seite 4 von 34

15 Analoger Aufbau zum RP 2 Skalare Vielfache von Vektoren identifizieren. Topologisch ist also eine Gerade ein Ring also identisch mit der S Punkte auf der projektiven Geraden: Projektive Transformationen in RP RP = R2 \ {} R \ {} ( ) ( ) ( ) λ a b λ µ c d µ ( ) ( ) ( ) λ a b λ c d ( a b det c d ) in R λ aλ + b cλ + d lineare fraktionale Transformation ˆ= Möbius-Transformation 3.2 Doppelverhältnisse Definition 2 [X, Y ] = det (X, Y ) Definition 3 Seien A, B, C, D vier Vektoren im R 2, dann heißt Doppelverhätnis Lemma (A, B; C, D) := [A, C] [B, D] [A, D] [B, C] (A, B; C, D) = (λ A A, λ B B; λ C C, λ D D) λ A... λ D Beweis 7 [λ A A, λ C C] [λ B B, λ D D] [λ A A, λ D D] [λ B B, λ C C] = [A, C]λ Aλ B λ C λ D [B, D] [A, C] [B, D] = [A, D]λ A λ B λ C λ D [B, C] [A, D] [B, C] writen b Losinger, Thomas Seite 5 von 34

16 Lemma 2 Sei M eine invertierbare 2 2 Matri Beweis 8 (A, B; C, D) = (MA, MB; MC, MD) [MA, MC][MA, MD] [MB, MD][MB, MC] = (det(m))2 [A, C][B, D] [A, C] [B, D] (det(m)) 2 = [A, D][B, C] [A, D] [B, C] Insbesondere ist das Doppelverhältnis unabhängig von der konkreten Wahl der Basis auf RP. Dies erlaubt uns von dem Doppelverhältnis zu reden. Das Doppelverhältnis ist invariant unter Projektionen. (A, B; C, D) = (A, B ; C, D ) Das Doppelverhältnis von vier Geraden durch einen Punkt: (a, b; c, d) := (A, B; C, D) Ist wohldefiniert, solange l nicht durch X geht. writen b Losinger, Thomas Seite 6 von 34

17 3.3 Doppelverhältnis im RP 2 (A, B; C, D) = [XAC][XBD] = (a, b; c, d)) [XAD][XBC] mit [XY Z] = det X Y Z Beweis 9 Beweis auf Übungsblatt 4 P3 Wann gilt (A, B; C, D) =? Satz 9 Beweis Selber machen Richtiges rechnen mit Rechenregeln für : (A, B; C, D) = A = B oder C = D Achtung! und sind nicht definiert = = + = 3.4 Spezielle Doppelverhältnisse Projektive Skala, bei der A,D,B die Rolle von, und spielen: (A, B; A, D) = [AA] [BD] [AD] [BA] = (A, B; D, D) = [AD] [BD] [AD] [BD] = (A, B; B, D) = [AB] [BD] [AD] [BB] = Was passiert, wenn A D B wirklich auf,, sitzen? Dies ermöglicht die Rekonstruktion des Zahlenstahls in projektiven Szenarien. [ ] [ ] (A, B; X, D) = [ ] [ ] = ( ) ( ) = writen b Losinger, Thomas Seite 7 von 34

18 Konstruktion einer projektiv verzerrten äquidistanten Punktreihe. 3.5 Harmonische Punktepaare {{A, B}, {C, D}} heißt in harmonischer Lage, wenn (A, B; C, D) = Die harmonische Lage hängt tatsächlich nur von den obigen Mengen ab. analog für die anderen Vertauschungen Konstukrion von A mit (A, B; C, D) = : (A, B; C, D) = (B, A; C, D) Also (A, B; C, D) = (B, A; C, D) = Ein Begriff für später: Doppelverhältnis von vier Punkten im R 2 gesehen von einem Punkt X (A, B; C, D) X = (a, b; c, d) = [XAC][XBD] [XAD][XBC] writen b Losinger, Thomas Seite 8 von 34

19 Frage: Welche Punkte Y sehen (A,B;C,D) unter dem gleichen Doppelverhältnis wie X? 4 Quadriken Quadriken sind Lösungsgebilde von quadratischen Gleichungen in zwei Variablen (nicht homogen) In homogenen Koordinaten: a 2 + b 2 + 2c + 2d + 3e + f = a c d (,, ) c b e = d e f (,, z) a c d c b e d e f z = Q(p) = a 2 + b 2 + 2c + 2dz + 2ez + fz 2 = Spezielle degenerierte Quadriken Wann zerfällt Q(p) in das Produkt zweier linearer Gleichungen: mit l, m Geraden in Homogenen Koodinaten. Q(p) = l, p m, p l = A B l, p = A B, p = [ABp] m = C D m, p = C D, p = [CDp] Q(p) = [ABp][CDp] Satz Durch fünf Punkte von denen keine 4 auf einer Geraden liegen kann man immer eine Quadrik durchlegen writen b Losinger, Thomas Seite 9 von 34

20 Beweis Da keine 4 Punkte auf einer Geraden liegen, gibt es 4 Punkte A,B,C,D von denen eine 3 auf einer Geraden liegen. Trick: Plückers µ, dann ist Q (p) = [ACP ][BDP ] = Q 2 (P ) = [ADP ][BCP ] = Q λ,µ (p) = λq (p) + µq 2 (p) ein quadratisches Polnom durch A,B,C,D. Für welche Wahl von λ, µ geht Q λ,µ (p) durch E? Setze: λ = Q 2 (E) und µ = Q (E), dann ist: Also geht die Quardik durch A,B,C,D,E Q λ,µ (E) = Q 2 (E)Q (E) Q (E)Q 2 (E) = O(p) := [ADE][BCE][ACp][BDp] [ACE][BDE][ADp][BCp] Mit anderen Worten: A,B,C,D,E und p liegen auf einer gemeinsamen Quardik, wenn [ADE][BCE][ACp][BDp] [ACE][BDE][ADp][BCp] = Umformuliert: [ADE][BCE][ACp][BDp] = [ACE][BDE][ADp][BCp] [ACP ][BDP ] = [ACE][BDE] [ADP ][BCP ] [ADE][BCE] (A, B; C, D) p = (A, B; C, D) E Eindeutigkeit einer Quadrik durch 5 Punkte in allgemeiner Lage: Satz Seien A,B,C,D,E 5 Punkte in RP 2 von denen keine drei auch einer Geraden liegen, dann ist die Quadrik durch A,B,C,D,E eindeutig. Beweis 2 angenommen es gäbe 2 Quadriken C, C 2 durch A,B,C,D,E. λ, µ mit λ, µ ist λc + µc 2 eine Quardik durch A,B,C,D,E writen b Losinger, Thomas Seite 2 von 34

21 Sei P kollinear zu A und B. (Plückers µ) λ, µ mit p liegt auf C = λc + µc 2 (Quardik durch A,B,C,D,E,P) obda A,B,P auf Ferngerade (z=) (C)(,, ) ist eine quadratische Gleichung mit 3 Nullstellen (C)(,, z) = z D(,, z) }{{} linear A,B,C,D,E liegen auf 2 Geraden Projektive Transformationen geometrischer Objekte Sei τ(p) : RP 2 RP 2, p Mp; det(m) eine projektive Transformation Wie wirkt τ auf eine Gerade l: l (M ) T l so gewählt, dass l T p = invariant unter τ Analog für Quadriken p T Ap = Transformation von p T Ap A (M ) T A(M ) (Mp) T (M ) T A(M )(Mp) = p T Ap Welche Formen von Quadriken gibt es? (mod proj. Trafo) Sei A die smmetrische Matri in p T Ap = Aus LA II Hauptachsentrafo: O(R, 3) mit S} T {{ AS} = D = proj.t rafo α β γ d.h. bis auf projektive Transformationen reichen Diagonalmatrizen Weiterhin, falls α weiterhin: α α β γ α β γ α = o β γ = mit o = β α γ weiterhin: A und -A repräsentieren die gleiche Quadrik Somit sind bis auf projektive Transformationen alle möglichen Formen: z 2 = hat nur komplee Lösungen { writen b Losinger, Thomas Seite 2 von 34

22 2 + 2 z 2 = interessanter Fall, dazu später mehr = zwei komplee Geraden i, i α α 2 2 = zwei reele Geraden 2 = Doppelgerade Nun mehr zum interessanten Fall: α, α Kleiner Ausflug ohne Beweise: Sei A eine Ouadrik det(a), p ein Punkt in RP 2. Was ist Ap interpretiert als Gerade? writen b Losinger, Thomas Seite 22 von 34

23 Man nennt Ap die Polare von p bzgl. A 5 Winkel im CP Punkte von CP : [( a b CP := C2 \ { } C \ {} )], ( a b ) ( Es werden wieder skalare Vielfache identifiziert. Homogenisierung Dehomogenisierung ( ) ( ) a C z CP CP a to a b b b und ein Punkt im : Topologie von: RP S = R { } ( ) CP = C { } ) CP S 2 = C { } C writen b Losinger, Thomas Seite 23 von 34

24 Stereographische Projektion von S auf R { } Stereographische Projektion von S 2 auf C { } { CP reell 2-dimensional komble -dimensional 5. Geometrie kompleer Zahlen Addition Multiplikation Konjungation z = a + ib z = r e iϕ z = a + ib z 2 = a 2 + ib 2 z 2 = r 2 e iϕ 2 z = a ib z + z 2 = a + a 2 + i(b + b 2 ) z z 2 = r r e i(ϕ +ϕ 2 ) Addition Translation Multipilkation Drehsteckung Konjungation Spiegellung an R Wichtige Beziehungen: z R z = z z ir z = z z, z 2 zeigen in die gleiche Richtung oder entgegengesetzte Richtung: z, z 2 senkrecht: z, z 2, z 3 kollinear z z 2 z z 3 R z z 2 z z 3 = z z 2 R z z 2 = z z 2 z z 2 = z 2 z z z 2 ir z z 2 = z z 2 z z 2 = z 2 z ( ) z z 2 z z 3 (z z 2 ) (z z 3 ) = (z z 3 ) (z z 2 ) writen b Losinger, Thomas Seite 24 von 34

25 A, B, C, D kozirkular A C A D = r Ae iα B D B D = r Be iα A C A D B D B D }{{} Doppelverh. in CP = r A r B e i(α α ) }{{} R (AB; CD) R ABCD kozirkular oder kollinear Falls AB nicht CD trennt wie im Bild oben, so gilt: α α = falls, AB die Punkte CD trennt, so gilt: α α = π in diesem Fall ist α <. Die Eigenschaft, dass A,B,C,D kozirkular oder kollinear sind ist eine projektivinvariante Eigenschaft von CP [AC][BD] [AD][BC] R Projektive Transformationen von CP ( z z 2 ) ( ) ( ) a b z c d z 2 ( a b a, b, c, d C det c d ) Satz 2 Projektive Transformationen in CP führen Kreise und Geraden in Kreise und Geraden über. Nächstes Ziel: Verknüpfung von RP 2 und CP Vorteile von RP 2 : Geraden sind gut repräsentiert, Inzidenz, Kegelschnitte Vorteile von CP : Kreise sind gut repräsentiert Trick: Zwei spezielle Punkte mit denen formal gerechnet wird: I = i J = i writen b Losinger, Thomas Seite 25 von 34

26 Sei: P = a b, Q = a 2 b 2 RP 2 [P, Q, I] = det a a 2 i b b 2 = a 2 ib a + ib 2 = (a 2 + ib 2 ) (a + ib ) = z Q z P Übersetzung von Kozirkularität: A,B,C,D kozirkular oder kollinear in CP (AB; CD) R [AC][BD] R [AD][BC] [AC][BD] [AD][BC] = [AC][BD] [AD][BC] CP RP 2 [ACI][BDI] [ADI][BCI] = [ACJ][BDJ] [ADJ][BCJ] (AB; CD) I = (AB; CD) J ABCDIJ liegen auf einem Kegelschnitt Kreise sind also Kegelschnitte durch I und J Alternative Herleitung über die homogene Kreisgleichung: I eingesetzt liefert: dz + 2ez + fz 2 = ( i 2 ) = Analog für J. Umgekehrt kann man zeigen, dass wenn ein Kegelschnitt durch I und J geht, er die Kreisgleichung erfüllt. Wir wollen weitere euklidische Eigenschaften und Größen projektiv in CP und RP 2 ausdrücken, durch zur Hilfenahme von I und J. Senkrecht stehen: (keine projektivinvariante Eigenschaft in CP ) bzgl. Standardeinbettung: B A C A ir B A ( ) B A C A = C A [AB] [AC] = [AB] [AC] [ABI] [ACI] = [ABJ] [ACJ] [ABI][ACJ] [ACI][ABJ] = (B, C; I, J) A = writen b Losinger, Thomas Seite 26 von 34

27 Senkrechtstehen von Geraden: M = l l L = l m (M, L; I, J) = m l Das ist ein Spezialfall der Formel von Laguerre: α = ln (M, L; I, J) 2i Seien die Punke und geraden im obrigen Bild wie folgt parameterisiert: a a 2 i i l = b c m = b 2 c 2 l = I = J = L = b a M = b 2 a 2 Beobachtung: α = Winkel zwischen ( b ) ( a und b2 ) a 2. Sei zl = b + ia und z M = b 2 + ia 2, den Winkel α erhalten wir wie folgt aus: In RP 2 gilt: z L = r L e iϕ L z M = r M e iϕ M z L z M = r Mr L e 2i(ϕ L ϕ M ) = e 2iα () z M z L r L r M z L = [LIl ] z L = [LJl ] Somit folgt aus den Gleichungen (5.) und (5.2): z M = [MIl ] z M = [MJl ] z L z M = [LIl ][MJl ] = (L, M; I, J) (2) z M z L [MIl ][LJl ] α = ln(l, M; I, J) 2i writen b Losinger, Thomas Seite 27 von 34

28 5.2 Eigenschaften des Winkels α = ln(l, M; I, J) 2i Mehrdeutig modulo π, da ln mehrdeutig modulo 2πi Gegenwinkel kehrt Vorzeichen um, da Winkel sind additiv modulo π (L, M; I, J) = }{{} (M, L; I, J) α }{{} α α LM + α MH = α MH bung (L, M; I, J) (M, H; I, J) = (L, H; I, J) Senkrechtstehen: π 2 = ln(l, M; I, J) 2i iπ = ln(l, M; I, J) e iπ = (L, M; I, J) = (L, M; I, J) 5.3 Konstruktion des Spiegelbildes Diese Konstruktion hat zwei Eigenschaften, der Punkt X ist dabei der Schnittpunkt der Ferngeraden mit der Geraden durch P und P : sowie Konstruktionssequenz: (X, Y ; I, J) = (X, M; P, P ) = l A = I P g A = A J l B = J P g B = B I A = l A l P = g A g B writen b Losinger, Thomas Seite 28 von 34

29 Gleicher Abstand: Zwei weitere Konstruktionen: AB = AC α = α B A B C C B C A R (B A)(C A) (B C) 2 R [BAI] [CAI] [BCJ] 2 = [ABJ] [CAJ] [BCI] 2 Der Kreismittelpunkt ergibt sich durch: M = AI AJ, setzt man diesen in die Kreisgleichung ein, so erhält man: ( M ) 2 + ( M ) 2 = r M z 2M z + (M 2 + M 2 + r 2 ) z 2 }{{} = α writen b Losinger, Thomas Seite 29 von 34

30 A = AI AJ = = M M M M α M M M M α i im M i i im M = M M M M α 2iM 2iM 2i = 2i i M M = Beim Kegelschnitt sind die Punkte g, g 2 bzw. f, f 2 die Brennpunkte und der Punkt M das Smmetriezentrum des Kegelschnitts. Entfernungen: In C: = ( )( ) In RP 2 mit I und J folgt wenn der Abstand AB = als Normierung dient für den Abstand von X und Y: = 2i = 2i {}}{{}}{ [XY I][XY J] [AIJ] [BIJ] XY = [ABI][ABJ] [XIJ] [Y IJ] }{{}}{{}}{{} = AB = = 2i = 2i 6 Projektive Geometrie im RP 3 (und RP d ) Leitmotive bisher (in RP, RP 2 ) mit geometrischen Objekten rechnen homogene Koordinaten Dualität (Schnittpunkt, Schnittgerade) Unendlich ferne Elemente Transformationen als Matrimultiplikationen das Alles geht auch im RP d 6. Punkte im RP 3 Homogene Koordinaten: Identifiziere Skalare Vielfache: z R 3 R 4 R 4 \ { } R \ {} z writen b Losinger, Thomas Seite 3 von 34

31 Elemente im Unendlichen: z Zu jeder Richtung gibt es einen Punkt im Unendlichen, alle unendlich fernen Punkte bilden eine projektive Ebene. Satz 3 4 Punkte A,B,C,D liegen auf einer Ebene, wenn det(a, B, C, D) = 6.2 Ebenen im RP 3 Homogene Koordinaten: h = h = h = a b c d z R 3 a + b + cz + d = Punkt p liegt auf Ebene h p, h = Verbindungsebene dreier Punkte p, p 2, p 3 Suche h R 4 \ { } mit: p p 2 Beweis 3 p = } p 3 {{ } p a b c d p, h = det h = h = p p p 2 p 3 b c d a c d a b d a b c = p = λp + µp 2 + τp 3 writen b Losinger, Thomas Seite 3 von 34

32 6.3 Geraden im RP 3 Die von p und p 2 aufgespannte Gerade soll erfüllen: ( p p 2 ) = a b c d Gerade g = p p 2 p p 2 = c d b d a d b c a c a b Plückerkoordinaten von g: linear in p und p 2 (p + q ) p 2 = p p 2 + q p 2 (λp ) p 2 = λ(p p 2 ) antikommutativ p p 2 = (p 2 p ) hängt bis auf Vorfaktor nicht von der speziellen Wahl von p und p 2 ab (λp + µp 2 ) p 2 = λ(p p 2 ) + µ(p 2 p 2 ) = λ(p p 2 ) homogen, d.h. wir identifizieren skalare Vielfache Einzelne Einträge sind nicht unabhängig voneinander 6.4 Determinantenabhängigkeiten Seien a, b, c, d R 2 und a b c d, dann gilt: [ab][cd] [ac][bd] [ad][bc] = writen b Losinger, Thomas Seite 32 von 34

33 Dies ist ein Spezialfall einer Grassmann-Plücker-Relation. Geraden hagen geometrisch 4 Freiheitsgrade: 6 Koorinaten - Homogenisieren - Relation = 4 Freiheitsgrade (DOF s) Sstem zur Buchführung der Koordinaten im RP d d=4, r=4 Rang = geometrische Dimension + Rang Rang Punkt Rang 2 Gerade Rang 3 Ebene Rang 4 ganzer Raum Die Koordinateneinträge von Objekten vom Rang k werden mit k-elementigen Teilsequenzen von (, 2,..., n) indiziert. Auf diesen Sequenzen seien die Operationen,, \ definiert Es werden zwei Operationen Join (Lineare Verbindung) und Meet (Schnitt) definiert. Rang Rang Rang 2 Rang 3 Rang 4 Punkte Geraden Ebenen Raum () a a 2 b 2 23 c d a 2 3 b 3 24 c 24 3 a 3 4 b 4 34 c 34 4 a 4 23 b c b b 34 Join: R = P Q falls r(p ) + r(q) r R λ = Meet: R?P Q falls r(p ) + r(q) r R λ = Was macht Join und Meet im RP 3 (τ,µ),τ µ=λ (τ,µ),τ µ=λ sign (τ, µ) P τ Q µ sign (τ \ λ, µ \ λ) P τ Q µ Join Punkt Gerade Ebene Meet Punkt Gerade Ebene Punkt Gerade Ebene = Punkt - - = f. Inzidenz f. Inzidenz Gerade Ebene = - Gerade - = Punkt f. Inzidenz f. Inzidenz Ebene = - - Ebene = Punkt Gerade f. Inzidenz f. Inzidenz writen b Losinger, Thomas Seite 33 von 34

34 Für jede Gerade gilt insbesondere: g 2 g 3 = g g = g 4 g 23 g 24 g 34 g 2 g 3 g 4 g 23 g 24 g 34 = 2 (g 2 g 34 ) (g 3 g 24 ) + (g 4 g 23 ) }{{} = GP R Anwendung zum Beispiel in der Computergraphik: Schitt zweier Ebenen in der Zentralprojektion auf Bildschirm darstellen: (Q P ) A B }{{} } l {{ } E Im RP d Rang: r=d+ Rang k-flats werden durch Vektoren im R (r k) dargestellt. Diese Darstellung ist bis auf skalares Vielfache eindeutig. Aber es sind nur k(r k) + Einträge frei wählbar. Beispiele: Gerade im RP 3, r=4, k=2 ( ) 4 = 6 2 2(4 2) + = 5 3-dim Ebene im RP 5, r=6, k=4 ( ) 6 = 5 4 4(6 4) + = 9 9-dim Raum im RP 9, r=2, k= ( ) 2 = (2 ) + = writen b Losinger, Thomas Seite 34 von 34