Was ein Blatt Papier und Mathe gemeinsam haben: beide sind bis zum Zerreißen spannend Thomas Wick AG Wissenschaftliches Rechnen (GWR) Institut für Angewandte Mathematik (IfAM) Leibniz Universität Hannover (LUH) 03. Juli 2018 in Hannover Girls only - die SommerUni 2018 Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 1
Überblick 1 Was tun wir in Angewandter Mathematik? 2 Wo treten Risse auf? 3 Nun zum versprochenen Blatt Papier Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 2
Was tun wir in Angewandter Mathematik? Mathematik = Rechnen, Aufstellen und Lösen von Gleichungen, usw. Angewandte Mathematik = Mathematik, die irgendetwas mit der Realität zu tun hat. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 3
Was tun wir in Angewandter Mathematik? Mathematik = Rechnen, Aufstellen und Lösen von Gleichungen, usw. Angewandte Mathematik = Mathematik, die irgendetwas mit der Realität zu tun hat. Im folgenden Vortrag betrachten wir ein sehr aktuelles und praktisches Thema: Rissbildung Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 3
Wo treten Risse auf (I)? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 4
Wo treten Risse auf (I)? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 4
Wo treten Risse auf (II)? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 5
Wo treten Risse auf (II)? Copyright: Men Ripped Jeans, IndiaMART. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 5
Wo treten Risse auf (III)? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 6
Wo treten Risse auf (III)? Copyright: IDG. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 6
Wo treten Risse auf (IV)? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 7
Wo treten Risse auf (IV)? Figure : Fluid-Struktur-Interaktion (FSI). Links: Herzklappe. Rechts: Riss in der Aorta (Kooperation mit Mediziner aus Warschau). Copyright of the right figure: From Wikimedia Commons, the free media repository. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 7
Nun zum versprochenen Blatt Papier Weshalb betrachten wir nun ein Blatt Papier und nicht eines der vorangegangenen Beispiele? Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 8
Nun zum versprochenen Blatt Papier Weshalb betrachten wir nun ein Blatt Papier und nicht eines der vorangegangenen Beispiele? Die obigen Situationen sind teilweise zu komplex (also zu schwierig). Daher beginnen wir mit etwas Einfacherem. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 8
Nun zum versprochenen Blatt Papier Figure : Experiment: Zerreißen eines Blatt Papiers Problemstellung: vorgegebener Riss in einem Blatt Paper; Versuchsaufbau: halte Blatt unten fest und verschiebe oben parallel zum Riss; Beobachtung: Erhöhung der Scherkraft lässt Blatt anfangs noch nicht reißen. Ab einem bestimmten Zeitpunkt entsteht ein kurvenförmiger Riss; Interpretation: Die Scherkräfte am oberen Rand müssen eine kritische Größe überschreiten (kritischer Spannungsintensitätsfaktor), bevor das Blatt reißen kann. Die Rissfortschrittsrichtung kann mit Hilfe der Hauptspannungsrichtungen berechnet werden. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 9
Die zugehörige Mathematik Die (angewandte oder auch numerische) Mathematik stellt Werkzeuge bereit, um das mechanisch-physikalische Problem in einer abstrakten Sprache zu formulieren Finde die Rissvariable ϕ und ein Verschiebungsfeld u in einem Gebiet B mit Rand B dass die folgenden Gleichungen erfüllt sind: Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 10
Warum Mathematik, wenn wir das Blatt auch einfach so zerreißen können und wissen was passiert? Mathematische Analyse: existiert eine Lösung und ist diese eindeutig? D.h. liefert die Lösung dieser Gleichungen tatsächlich einen Riss (Existenz)? Falls ja, werden die Gleichun- gen immer denselben Risspfad vorhersagen oder könnte der Riss einen anderen Weg nehmen (Eindeutigkeit)? Entwicklung numerischer Algorithmen und Diskretisierung, die dann in Computersprache (z.b. C++, Fortran) übersetzt werden können. Diese Gründe sind allerdings noch nicht stichhaltig... Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 11
Warum Mathematik, wenn wir das Blatt auch einfach so zerreißen können und wissen was passiert? Oftmals sind rein theoretische Aussagen und Formeln zu aufwendig zu berechnen, und gelten dann lediglich für eine sehr spezielle (akademische) Konfiguration; Andererseits sind Experimente oft zu teuer, zu gefährlich, zu aufwendig oder schlicht unmöglich durchzuführen (z.b. Experimente auf dem Mond); Dadurch bildet die numerische Mathematik/das wissenschaftliche Rechnen eine dritte Säule in der wissenschaftlichen Forschung. Konkret werden im wissenschaftlichen Rechnen mathematische Modelle, numerische Algorithmen sowie Software mit dem Ziel sog. numerischer Simulationen entwickelt, die dann zur Beantwortung wissenschaftlicher Fragestellungen aus anderen Disziplinen herangezogen werden können. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 12
Zurück zum Blatt Papier: Mathematik und numerische Simulationen Figure : Experiment und numerische Simulation (Mathematik). Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 13
Was ist nun das Spannende? Spannung im Blatt Papier: Die Erhöhung der Kraft am oberen Blattrand führt nicht unmittelbar zum Riss. Dadurch steigt die elastische Energie im Blatt und damit auch die Scherspannung am obereren Rand. Spannung in der Mathematik: Der interessante Aspekt solcher Problemstellungen ist der interdisziplinäre Ansatz, d.h. Kombination verschiedener wissenschaftlicher Gebiete: Mechanik, Physik, angewandte Mathematik und Softwareentwicklung. Feedback-Ansatz: Experiment Wissenschaftliches Rechnen Theorie Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 14
Das Ende Noch einen schönen Nachmittag! Danksagung: Besten Dank an meine Mitarbeiter Katrin Mang und Philipp Thiele im Zuge der Vorbereitungen dieses Vortrags. Thomas Wick (LUH) Spannende Risse in the Mathematik 15