30 April 2014 Elektrizitätslehre II Martin Loeser Laborpraktikum 5 Dynamische Schaltvorgänge bei Kondensatoren und Spulen 1 Lernziele Bei diesem Versuch werden Einschaltvorgänge von Kondensatoren und Spulen untersucht und quantitativ beschrieben Sie können die in einem Kondensator gespeicherte Energie aus der Kondensatorspannung bestimmen Sie können den zeitlichen Spannungsverlauf für den Lade- und Entladevorgang eines Kondensators formal angeben (Exponentialfunktion) Sie wissen, von welchen Parametern dieser Verlauf abhängt Unter anderem kennen Sie die Bedeutung und die physikalische Ursache der Zeitkonstanten τ Sie kennen ausserdem die wesentlichen Eigenschaften von Exponentialfunktionen Sie können das Lade- und Entladeverhalten eines Kondensators mit Matlab- Simulink modellieren und numerisch berechnen Sie sind in der Lage dieses Simulationsmodell durch Vergleich mit theoretischen und messtechnischen Ergebnissen zu validieren Sie können die in einer Luftspule gespeicherte Energie aus der Spulenstromstärke bestimmen Sie können den zeitlichen Stromstärkeverlauf für den Ein- und Ausschaltvorgang des Stroms einer (linearen) Spule formal angeben (Exponentialfunktion) Sie wissen von welchen Parametern dieser Verlauf abhängt Unter anderem kennen Sie die Bedeutung und die physikalische Ursache der Zeitkonstanten in diesem Verlauf Sie können den Ein- und Ausschaltvorgang des Spulenstroms modellieren, numerisch berechnen und die Resultate durch den Vergleich mit gemessenen Ergebnissen validieren
II 2 2 Dynamische Kondensatorschaltungen 21 Theorie Wird ein ungeladener Kondensator der Kapazität C an eine Gleichspannungsquelle U q über einen Widerstand R 1 geschaltet (Figur 1, Schalterstellung 1), so wird sich die Kondensatorspannung u(t) nicht sprungartig verändern, sondern stetig bis zur Quellenspannung zunehmen Dabei wird Energie im Kondensator in elektrischer Form gespeichert und dies kann nicht augenblicklich erfolgen Diese Energie hängt wie folgt von der Spannung u(t) über dem Kondensator ab: W (t) = 1 2 Cu2 (t) Der geladene Kondensator kann anschliessend über einen Widerstand R 2 wieder entladen werden (Figur 1, Schalterstellung 2) Die im Kondensator gespeicherte Energie wird dann in diesem Widerstand vollständig dissipiert Versuch 26 2/6 R 1 (1) (2) C u(t) KO CH 1 C u(t) R 2 u 1 (t) KO CH 2 U q u q (t) R S u 2 (t)! Figur 1 Prinzipschaltung Figur 2 Schaltungstechnische Realisierung Schalterstellung (1): Aufladen R S Seriewiderstand Abbildung Schalterstellung 1: Links: (2): Kondensatorschaltung Entladen zum be- Innenwiderstand und entladen des Rechts: Funktionsgenerators Schaltbild Um diesen Vorgang mit schaltungstechnisch Funktionsgenerator zu realisieren, wird kein Schalter benötigt Anstelle der Gleichspannungsquelle wird ein Funktionsgenerator mit rechteckigem Spannungsverlauf verwendet, wie in Figur 2 gezeigt Mit dieser Schaltung sind die Widerstände R 1 und R 2 natürlich gleich gross Der massgebende Um diesenwiderstandswert Vorgang schaltungstechnisch besteht hier aus dem zuinnenwiderstand realisieren, wird des kein Generators Schalter(im benötigt Allgemeinen 50!) und dem Seriewiderstand R S, so dass gilt: R 1 = R 2 = R = + R S Anstelle der Gleichspannungsquelle wird ein Funktionsgenerator mit rechteckigem RSpannungsverlauf S sollte wesentlich grösser verwendet, als gewählt wie in werden, Figurdamit 1 rechts der Spannungsverlauf gezeigt Mit dieser am Generatorausgang Schaltung sindu 1 (t) sich nicht merklich von dem seiner Leerlaufspannung u q (t) unterscheidet 2 die Widerstände R 1 und R 2 natürlich gleich gross Die massgeblichen Widerstände Die sind Periodendauer der Innenwiderstand T Rechteckspannung des Generators der Quelle (im muss Allgemeinen grösser gewählt 50werden Ω) und als der die zum Seriewiderstand eingestellt R S, so werden dass gilt: R 1 = R 2 = R = +R S R S sollte wesentlich grösser als Auf- und Entladen des Kondensators benötigte Zeit Die entsprechende Generatorfrequenz (f"="1/t) kann durch Probieren gewählt werden, damit der Spannungsverlauf am Generatorausgang u 1 (t) sich nicht Die Kondensatorspannung muss aus der Differenz der KO-Spannungen gebildet werden: u(t)"="u merklich 1 (t)" "u von 2 (t) dem Die Spannung seiner Leerlaufspannung u 2 (t) am Widerstand ur q (t) S kann unterscheidet zur Strommessung Diebenutzt Periodendauer werden T der Rechteckspannung der Quelle muss grösser gewählt werden als die zum Aufund Entladen des Kondensators benötigte Zeit Die entsprechende Generatorfre- Analytischer Verlauf der Kondensatorspannung (ohne Herleitung) Wenn quenz vom f entladenen = 1/T kann Kondensator durch Probieren ausgegangen eingestellt wird (u(0)"="0), werden ergibt Die sich Kondensatorspannung für zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung u(t) beim Aufladen auf die Spannung U q : muss aus der Differenz der KO-Spannungen gebildet werden: u(t) = u 1 (t) u 2 (t) Die Spannung u(t) = U q 1" u 2 e (t) "t # am Widerstand R S kann zur Strommessung benutzt werden ( ) Dabei ist! die sogenannte Zeitkonstante 3 des Aufladevorgangs Letztere ist nur von der Kapazität C und dem Widerstand R abhängig 4 :! = R C Theoretisch braucht der Aufladevorgang unendlich viel Zeit In der Praxis wird der Endwert nach einer Zeit von ca 5"! erreicht Für den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung beim Entladen von U q auf Null ergibt sich: u(t) = U q e "t #
II 3 22 Analytischer Verlauf der Kondensatorspannung (ohne Herleitung) Wenn vom entladenen Kondensator ausgegangen wird (u(0) = 0), ergibt sich für den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung u(t) beim Aufladen auf die Spannung U q : ( ) u(t) = U q 1 e t/τ Die Grösse τ ist die sogenannte Zeitkonstante des Aufladevorgangs, und es gilt τ = RC Theoretisch braucht der Aufladevorgang unendlich viel Zeit In der Praxis ist der Kondensator nach der Zeit t = 5τ vollständig geladen Beim Entladen von der Spannung U q auf null ergibt sich für den Zeitverlauf u(t) = U q e t/τ 23 Messaufgaben (mit Matlab-Teil) (a) Erstellen Sie ein kleines Matlab-Programm, mit dem die (theoretisch erwarteten) Zeitverläufe der Kondensatorspannung sowohl für den Einschalt- als auch für den Ausschaltvorgang dargestellt werden können Hierfür können Sie gegebenenfalls auf Matlab-Code zurückgreifen, den Sie in Labor 2 erstellt haben (b) Für verschiedene Kombinationen von R, C und U q (i) stelle man den Kondensatorstrom und die Spannung über dem Kondensator als Funktion der Zeit dar, (ii) zeige man, dass τ unabhängig von U q ist, (iii) vergleiche man die gemessenen Werte mit den theoretisch erwarteten Ergebnissen (in Matlab!!) (c) Untersuchen Sie durch Variation von R s den Einfluss des Verhältnisses R S / auf den Verlauf der Klemmenspannung u 1 (t) des Signalgenerators (d) Untersuchen Sie, ob der Spannungsverlauf am Kondensator davon abhängt, ob die Quellenspannung zwischen 0 und U q oder zwischen U q /2 und U q /2 oszilliert 3 Dynamische Spulenschaltungen 31 Theorie Wird eine Spule der Eigeninduktivität L an eine Gleichspannungsquelle über einen Widerstand R 1 geschaltet (Figur 2, Schalterstellung 1), so wird die Stromstärke nicht sprungartig, sondern stetig bis zum Wert I q = U q /R 1 zunehmen Dabei
Versuch 26 4/6 Laborpraktikum 2 Ein- und Ausschalten 5 Dynamische des Stroms Schaltvorgänge in einer Spule bei Kondensatoren und Spulen, Elektrizitätslehre Wird eine Spule IIder Eigeninduktivität L an eine Gleichspannungsquelle über einen Widerstand (R 4 1 ) geschaltet (Figur 3, Schalterstellung 1), so wird die Stromstärke nicht sprungartig, sondern stetig bis zum Wert I wird Energie q = U q /R in 1 zunehmen Dabei wird Energie in der Spule in magnetischer Form gespeichert und dies kann nicht augenblicklich der Spule erfolgen in magnetischer Diese Energie hängt Form wie folgt gespeichert von der Stromstärke und diesi kann in der Spule nicht augenblicklich ab: erfolgen Diese Energie hängt wie folgt von der Stromstärke in der Spule ab: W = 1 2 L I 2 bzw w( t) = 1 2 L i( t)2 W (t) = 1 2 L i2 (t) Der Spulenstrom kann nicht ausgeschaltet werden, ohne dass diese Energie wieder stetig abgebaut Der (umgeformt) Spulenstrom wird Bei kann einem (schnellen) nicht ausgeschaltet Unterbruch des werden, Stroms wird ohnenämlich dass gemäss diese Energie Induktionsgesetz wieder! eine (sehr hohe) Spannung! an der Unterbruchstelle erzeugt, die zu einem leitenden Lichtbogen 5 führen stetig kann abgebaut (umgeformt) wird Um den Strom nach dem Einschalten wieder abzubauen, Um den Strom nach wirddem er Einschalten über einenwieder Widerstand abzubauen, umgelenkt wird er über einen (Figur Widerstand 2, Schalterstellung umgelenkt (Figur 2) Die 3, Schalterstellung in der Spule 2) gespeicherte Die in der Spule Energie gespeicherte wird Energie dann wird indann diesem in diesem Widerstand dissipiert (in Wärmeenergie umgewandelt) R 1 (1) (2) Spule: L, R S u(t) R 2 u 1 (t) L KO CH 1 u(t) U q u q (t) u 2 (t) R S R m KO CH 2 Figur 3 Prinzipschaltung Figur 4 Schaltungstechnische Realisierung Schalterstellung (1): Einschalten R S Spulenwiderstand Abbildung Schalterstellung 2: Links: (2): Spulenschaltung Ausschalten zum Rbe- m Messwiderstand und entladen Rechts: Schaltbild mit Um diesen Vorgang Funktionsgenerator schaltungstechnisch zu realisieren, wird kein Schalter benötigt Anstelle der Gleichspannungsquelle wird ein Funktionsgenerator mit rechteckigem Spannungsverlauf verwendet, wie in Figur 4 gezeigt Mit dieser Schaltung sind die Widerstände R 1 und R 2 natürlich gleich gross Der Um massgebende diesen Widerstandswert Vorgang schaltungstechnisch besteht hier aus dem zu Innenwiderstand realisieren, Rwird i des Generators kein Schalter (im Allgemeinen benötigt 50!"), dem Spulenwiderstand 6 R S und dem Messwiderstand R m, so dass gilt: R 1!=!R 2!=!R!=!!+ R S!+!R m Anstelle der Gleichspannungsquelle wird ein Funktionsgenerator mit rechteckigem Spannungsverlauf Die Periodendauer T verwendet, der Rechteckspannung wie in Figur muss 2grösser rechtsgewählt gezeigt werden Mit dieser als die Schaltung zum Ein- und sind Ausschalten des Spulenstroms benötigte Zeit Die entsprechende Generatorfrequenz (f!=!1/t) kann durch die Probieren Widerstände eingestellt werden R 1 und R 2 natürlich gleich gross Die wesentlichen Widerstände sind R m sollte derum Innenwiderstand einiges grösser als i gewählt des Generators werden, damit (imder Allgemeinen Spannungsverlauf 50am Ω), Generatorausgang der Spulenwiderstand u 1 (t) sich nicht R S merklich und der von Messwiderstand dem seiner Leerlaufspannung R m, so dass u q (t) unterscheidet gilt: R 1 = 7 R 2 = R = +R S +R m R S sollte wesentlich grösser als gewählt werden, damit der Spannungsverlauf am Generatorausgang u 1 (t) sich nicht merklich von dem seiner Leerlaufspannung u q (t) 5 unterscheidet Und damit auch Die zu einer Periodendauer Zerstörung des TSchalters der Rechteckspannung Aus diesem Grund ist derschalter Quellein muss Figur 3 grösser so gebaut, dass es beim Umschalten zu keinem Stromunterbruch kommen kann gewählt 6 Das elektrische werdenverhalten als die zum der vorhandenen Auf- undspule Entladen kann durch deseine Kondensators Induktivität L und benötigte einen Widerstand Zeit Die entsprechende R S in Serie beschrieben Generatorfrequenz werden Letzterer f entspricht = 1/T kann dem Drahtwiderstand, durch Probieren dem sogenannten eingestellt werden "Kupferwiderstand", und ist im Allgemeinen nicht vernachlässigbar Zur 7 Die Strommessung Spannung am Ausgang wird des diesignalgenerators Spannung u 2 ist (t) wegen am dem Widerstand Innenwiderstand R m verwendet abhängig von der Belastung der Quelle, dh von der Stromstärke ZHAW School fo Engineering 7 Januar 2008, M Schlup 32 Analytischer Verlauf des Spulenstromes (ohne Herleitung) Wenn von einer stromlosen Spule ausgegangen wird (i(0) = 0), ergibt sich für den zeitlichen Verlauf des Spulenstromes beim Anschliessen an eine Stromquelle, die den zeitlich konstanten Strom I q liefert: ( ) = I q 1 e t/τ
II 5 Die Grösse τ ist die sogenannte Zeitkonstante des Aufladevorgangs, und es gilt τ = L /R Theoretisch braucht der Einschaltvorgang unendlich viel Zeit In der Praxis fliesst nach der Zeit t = 5τ der Strom I q durch die Spule Beim Entladen der Spule vom Strom I q auf null ergibt sich für den Zeitverlauf des Spulenstromes = I q e t/τ 33 Messaufgaben (mit Matlab-Teil) (a) Erstellen Sie ein kleines Matlab-Programm, mit dem die (theoretisch erwarteten) Zeitverläufe des Spulenstromes sowohl für den Einschalt- als auch für den Ausschaltvorgang dargestellt werden können Hierfür können Sie gegebenenfalls auf Matlab-Code zurückgreifen, den Sie in Labor 3 erstellt haben (b) Für verschiedene Kombinationen von R m, R s, L und I q (i) stelle man den Spulenstrom und die Spannung über der Spule als Funktion der Zeit dar, (ii) zeige man, dass τ unabhängig von I q ist, (iii) vergleiche man die gemessenen Werte mit den theoretisch erwarteten Ergebnissen (in Matlab!!) (iv) zeige man, dass die Zeitkonstanten für das Ein- und Ausschalten gleich sind (c) Untersuchen Sie durch Variation von R m den Einfluss des Verhältnisses R S+R m auf den Verlauf der Klemmenspannung u 1 (t) des Signalgenerators (d) Untersuchen Sie, ob der Stromverlauf in der Spule davon abhängt, ob die Quellenspannung zwischen 0 und U q oder zwischen U q /2 und U q /2 oszilliert 34 Inventar Funktionsgenerator (HM 8030) Multimeter (HM8011) Digitaloszilloskop Tektronix TDS 2012C LC-Meter (HM 8018) Widerstandsdekaden
II 6 35 Messobjekte diverse Polyester-Folienkondensatoren Luftspulen