Peter Wriggers Nichtlineare Finite-Element-Methoden
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Peter Wriggers N ichtl i neare Fi n ite-element-methoden Mit 250 Abbildungen Springer
Professor Dr.-Ing. habil. Peter Wriggers Universität Hannover Institut fü r Baumechanik und Numerische Mechanik AppeJstraße 9A 30167 Hannover ISBN 978-3-540-67747-5 Die Deutsche Bibliothd - CIP EinheitsauCnahme WriggefS. Pettr Nichtlineare Finite-Element-Methoden f Peter Wriggers Berlin; Heidelberg; NewYork; Hongkong; London; Mailand; Paris; Tokio: Springer 2001 ISBN 978-3-S40-07747-5 ISBN 978-3-642-56865-7 (ebook) DOI 10.1007/978-3-642-56865-7 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschuttt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung, des Nachdruck" des Vortrags, der Entnahme \'o n Abbildungen und Tabelle n, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder Vervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur au$1ugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfiiltigu ng dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsge,etzes der Bundeuepublik Deutsch land vo m 9. Sept~mb~ r 1%5 in der jeweils geltenden Fassung w länig. Sie i5\ grundsätzlich vergülungs pflichtig. Zuwide rha ndlungen unterliegen den Strafbe$limmungen des Urh eberrechtsgesetus. CI Springer-Verlag Berl in Heidelberg 2001 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New Yo rk 2001 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohnebesondere Kennzeichnung nicht tu der An nahme,daß solche Namen im Sinne der Warenzeicben- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden durft en. SoUte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, VorS( hrifte n oder Richtlinien (z.b. din, vdi, vde) Bezug genommen oder aus ih nen zitiert wo rden sein, so kann der Ve rlag keine Gewähr rur die Richligkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sicb, geg~bene nfalls ru r die eigenen Arbeiten die VOllständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandentwu rf: medio Innovative Medien Service GmbH,lIerlin Satz: Reprodukt ionsfertigc Vo rlag~ des AutoT$ Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: 12069637 6213ISO Rw. 5 4 3 2
Vorwort Die Methode der finiten Elemente (FEM) hat sich in den letzten Jahren als universelles Hilfsmittel des Ingenieurs zur Berechnung von komplexen Tragstrukturen erwiesen. Mit zunehmender Rechnerkapazität werden die unterschiedlichsten nichtlinearen Aufgabenstellungen behandelbar. Das vorliegende Buch beschreibt neben den physikalischen und mathematischen Grundlagen der Methode der finiten Elemente auch spezielle Elementtechniken und Algorithmen zur Behandlung von nichtlinearen Problemen der Festkörpermechanik. Dies schließt eine Darstellung der kontinuumsmechanischen Grundlagen, ingenieurgerechter Materialgleichungen und der für die FEM notwendigen Variationsprinzipien ebenso ein, wie die matrizielle Formulierung der Methode in unterschiedlichen Bezugsdarstellungen und die Angabe von Algorithmen zur Lösung der entstehenden nichtlinearen algebraischen Gleichungen. Auch zeitabhängige Problemstellungen werden diskutiert und die entsprechende algorithmische Behandlung wird beschrieben. Dies gilt sowohl für nichtlineare dynamische Probleme als auch für zeitabhängiges Material verhalten. Da bei nichtlinearen Problemen auch Singularitäten auftreten, die zu Durchschlags- oder Verzweigungspunkten gehören, werden Formulierungen angegeben, die die Berechnung dieser Punkte ermöglichen. Daneben werden Elementformulierungen für nichtlineare Fachwerke, Balken- und Schalenstrukturen bereitgestellt und beispielhaft angewendet. Ebenso werden unterschiedliche spezielle Diskretisierungsansätze für die Finite Element-Analyse dreidimensionaler Bauteile entwickelt und diskutiert. Adaptive Verfahren gewinnen heute immer mehr Bedeutung für die sichere und effiziente Anwendung der Methode der finiten Elemente. Daher werden diese Verfahren beschrieben und so formuliert, daß sie auf geometrisch und physikalisch nichtlineare Problemstellungen angewendet werden können. Entsprechendes gilt auch für die Formulierung von nichtlinearen Randbedingungen im Rahmen von Kontaktanalysen, deren Diskretisierung und algorithmische Aufbereitung dargestellt wird. Das Buch wendet sich an Ingenieurstudenten aller Fachrichtungen, die sich im Vertiefungsstudium befinden und sich in numerischen Methoden für nichtlineare Problemstellungen der Festkörpermechanik einarbeiten wollen. Dies gilt auch für Doktoranden unterschiedlicher Disziplinien und in der Praxis tätige Ingenieure, die auf dem genannten Gebiet arbeiten. Aus diesem
VI Vorwort Grund sind im Text Beispiele eingefügt, die das Verständnis für die gewählten Formulierungen und Algorithmen vertiefen sollen. Die einzelnen Kapitel wurden von D. Freßmann, C. S. Han, C. Hahn, T. Raible, S. Reese und H. Tschöpe mit großer Sorgfalt durchgesehen. Viele Zeichnungen fertigte T. Raible an. Numerische Ergebnisse stammen unter anderem aus Arbeiten, die zusammen mit A. Boersma, R. Eberlein, C. S. Han, S. Meynen, T. Raible, S. Reese, A. Rieger, O. Scherf, J. Sansour und H. Tschöpe entstanden sind. Ihnen allen gebührt mein Dank für die hervorragende Zusammenarbeit. Zu erwähnen ist in diesem Zusammenhang auch die meinem Institut seitens der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) gewährte Förderung unterschiedlicher Projekte im Bereich nichtlinearer Finite-Element-Methoden. Die hieraus entstandenen Ergebnisse sind an vielen Stellen des Buches zu finden. Nicht zuletzt sei auch dem Springer Verlag für Geduld und die angenehme Zusammenarbeit gedankt. Hannover, im Juli 2000 Peter Wriggers
Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung... 1 2. Nichtlineare Phänomene.................................. 7 2.1 Geometrische Nichtlinearität............................. 7 2.1.1 Große Verschiebungen eines starren Balkens... 7 2.1.2 Große Verschiebungen eines elastischen Systems...... 9 2.1.3 Verzweigungsproblem............................. 11 2.1.4 Durchschlagproblem.............................. 13 2.2 Physikalische Nichtlinearität............................. 15 2.3 Nichtlinearität infolge von Randbedingungen............... 16 3. Kontinuumsmechanische Grundgleichungen............... 19 3.1 Kinematik... 19 3.1.1 Bewegung, Deformationsgradient................... 20 3.1.2 Verzerrungsmaße................................. 23 3.1.3 Transformation von Vektoren und Tensoren.......... 29 3.1.4 Zeitableitungen... 31 3.2 Bilanzgleichungen... 33 3.2.1 Volumenbilanz................................... 34 3.2.2 Lokale Impulsbilanz, Drallbilanz.................... 34 3.2.3 1. Hauptsatz der Thermodynamik.................. 35 3.2.4 Umrechnung auf die Ausgangskonfiguration, verschiedene Spannungstensoren... 36 3.2.5 Zeitableitungen der Spannungstensoren... 38 3.3 Materialgleichungen... 39 3.3.1 Elastisches Materialverhalten..................... 41 3.3.2 Elasto-plastische Materialgesetze................... 52 3.3.3 Viskoelastisches und viskoplastisches Materialverhalten 63 3.3.4 Inkrementelle Form der Materialgleichungen......... 72 3.4 Schwache Form des Gleichgewichts, Variationsprinzipien..... 81 3.4.1 Schwache Formulierung des Gleichgewichts in der Ausgangskonfiguration... 82 3.4.2 Räumliche schwache Formulierung des Gleichgewichtes 83 3.4.3 Variationsprinzipien... 84
VIII Inhaltsverzeichnis 3.5 Linearisierungen... 87 3.5.1 Linearisierung der kinematischen Größen............ 90 3.5.2 Linearisierung der Materialgleichungen.............. 92 3.5.3 Linearisierung der Variationsformulierung... 94 4. Räumliche Diskretisierung der Grundgleichungen... 101 4.1 Generelles isoparametrisches Konzept... 101 4.1.1 Eindimensionale Ansätze... 107 4.1.2 Zweidimensionale Ansätze... 110 4.1.3 Dreidimensionale Ansätze... 115 4.2 Diskretisierung der Grundgleichungen... 120 4.2.1 FE-Formulierung der schwachen Form bezogen auf die Ausgangskonfiguration... 120 4.2.2 Linearisierung der schwachen Form in der Ausgangskonfiguration... 125 4.2.3 FE-Formulierung der schwachen Form bezüglich der Momentankonfiguration... 130 4.2.4 Linearisierung der schwachen Form in der Momentankonfiguration... 133 4.2.5 Verformungsabhängige Lasten... 139 5. Lösungsverfahren für zeitunabhängige Probleme... 145 5.1 Lösung nichtlinarer Gleichungssysteme... 148 5.1.1 Newton-Raphson-Verfahren... 148 5.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren... 150 5.1.3 Quasi-Newton-Verfahren... 151 5.1.4 Gedämpftes Newton Verfahren, Line-Search... 153 5.1.5 Bogenlängenverfahren... 156 5.2 Löser für lineare Gleichungssysteme... 165 5.2.1 Direkte Gleichungslöser... 166 5.2.2 Iterative Gleichungslöser... 169 5.2.3 Parallele Gleichungslöser... 176 5.3 Beispiele zu den Algorithmen und Gleichungslösern... 184 6. Lösungsverfahren für zeitabhängige Probleme... 195 6.1 Integration der Bewegungsgleichungen... 197 6.1.1 Explizite Verfahren... 199 6.1.2 Implizite Verfahren... 201 6.1.3 Impuls-, drall- und energieerhaltende Algorithmen... 204 6.1.4 Numerische Beispiele... 209 6.2 Integration inelastischer Materialgleichungen bei kleinen Deformationen... 212 6.2.1 Viskoelastisches Materialverhalten... 214 6.2.2 Elasto-plastisches Materialienverhalten... 216 6.2.3 Elasto-viskoplastisches Materialverhalten... 224
Inhaltsverzeichnis IX 6.3 Integration der Materialgleichungen bei großen Deformationen 225 6.3.1 Allgemeine implizite Integration... 226 6.3.2 Implizite Integration mit Bezug auf Hauptachsen... 228 6.3.3 Konsistenter Tangentenmodul... 233 7. Stabilitätsprobleme... 237 7.1 Vorbemerkungen... 237 7.1.1 Klassische und lineare Beulanalyse... 238 7.1.2 Nichtlineare Stabilitätsuntersuchungen... 240 7.2 Direkte Berechnung von Stabilitätspunkten... 243 7.2.1 Formulierung eines erweiterten Systems... 244 7.2.2 Berechnung der Richtungsableitung von K T.... 247 7.2.3 Beispiel: Verzweigungspunkt eines Bogenträgers... 250 7.3 Algorithmus für nichtlineare Stabilitätsprobleme... 251 8. Adaptive Verfahren... 255 8.1 Randwertproblem und Diskretisierung... 261 8.1.1 Randwertproblem für finite Elastizität... 262 8.1.2 Das linearisierte Randwertproblem... 262 8.1.3 Diskretisierung... 263 8.2 Fehlerschätzer und -indikatoren... 264 8.2.1 Fehlerschätzung bei nichtlinearen Problemen... 265 8.2.2 Residuenbasierter Fehlerschätzer... 267 8.2.3 Fehlerindikator basierend auf der Z2-Methode... 269 8.2.4 Fehlerestimatoren basierend auf dualen Methoden... 271 8.3 Fehlerschätzung für Plastizität... 274 8.4 Netzverfeinerung... 276 8.5 Adaptive Netzgenerierung... 279 8.5.1 Netzerzeugung... 280 8.5.2 Transfer der Geschichtsdaten... 282 8.6 Beispiele... 285 8.6.1 Kontaktproblem nach Hertz... 285 8.6.2 Elastoplastische Deformation einer Zylinderschale... 287 9. Spezielle Strukturelemente... 295 9.1 Nichtlineares Fachwerkelement... 296 9.1.1 Kinematik und Verzerrungen... 296 9.1.2 Materialgleichungen für den Fachwerkstab... 298 9.1.3 Variationsformulierung und Linearisierung... 299 9.1.4 Finite-Element-Modell... 300 9.2 Zweidimensionales geometrisch exaktes Balkenelement... 307 9.2.1 Kinematik... 308 9.2.2 Schwache Form des Gleichgewichtes... 312 9.2.3 Materialgleichungen... 313 9.2.4 FE-Formulierung... 316
X Inhaltsverzeichnis 9.2.5 Beispiel...,.,.. "... 325 9.2.6 Zusammenfassung...,... 327 9.3 Rotationssymmetrisches Schalenelement... 328 9.3.1 Kinematik und Verzerrungen der rotationssymmetrischen Schale...,,...,... 328 9,3.2 Variationsformulierung...,...,... 332 9.3.3 Materialgleichungen...,...,...,.,'..,.. 332 9.3.4 Finite-Element-Formulierung...,...,...,.. 339 9.4 Allgemeine Schalenelemente..,.,... 345 9.4.1 Vorbemerkungen... "...,...,.. 345 9.4.2 Kinematik...,... 351 9.4.3 Parametrisierung der Rotationen... 354 9.4.4 Schwache Form... 357 9.4.5 Materialgleichungen für die Schale... 358 9.4.6 Finite-Element-Formulierung für das 5-Parameter ModelI...,... 360 9.4.7 Schalenverschneidungen..,... 374 9.5 Beispiele... 375 9.5.1 Biegung eines Kragträgers... 376 9.5.2 Aufblasvorgang einer quadratischen Platte... 376 9.5.3 Zylinder unter Einzellast... 378 9.5.4 Abschließende Bemerkungen... 379 10. Spezielle Kontinuumselemente... 383 10.1 Anforderungen an Kontinuumselemente... 383 10.2 Gemischte Elemente für Inkompressibilität... 388 10.2.1 Gemischtes Q1-PO Element... 391 10.2.2 Linearisierung des Q1-PO Elementes... 392 10.3 Stabilisierte finite Elemente... 394 10.3.1 Stabilisierungsvektoren... 396 10.3.2 Schwache Form und Linearisierung... 398 10.4 Enhanced Strain Element... 399 10.4.1 Generelle Vorgehensweise, klassische Formulierung... 401 10.4.2 Diskretisierung... 402 10.4.3 Kombination aus enhanced Formulierung und hourglass Stabilisierung... 413 10.4.4 Instabilitäten bei den enhanced Elementen... 417 10.4.5 Stabilisierung der enhanced Formulierung... 424 10.4.6 Spezielle Interpolation der enhanced Modes... 426 11. Kontaktprobleme... 429 11.1 Kontaktkinematik...................................... 429 11.2 Konstitutive Gleichungen in der Kontaktzone... 433 11.2.1 Normalkontakt... 433 11.2.2 Tangentialkontakt... 435
Inhaltsverzeichnis XI 11.3 Schwache Formulierung... 438 11.4 Diskretisierung... 442 11.4.1 NTS-Diskretisierung... 443 11.4.2 Matrizenform des Kontaktresiduums... 446 11.4.3 Integration des Reibgesetzes... 447 11.4.4 Algorithmen... 0-448 11.4.5 Linearisierung des Kontaktresiduums... 449 A. Tensorrechnung... 451 A.1 Tensoralgebra... 451 A.l.1 Definition eines Tensors... 451 A.l.2 Basisdarstellung von Vektoren und Tensoren... 452 A.l.3 Produkte von Vektoren und Tensoren... 454 A.l.4 Spezielle Formen von Tensoren... 455 A.l.5 Eigenwerte und Invarianten von Tensoren... 456 A.l.6 Tensoren höherer Stufe... 458 A.2 Tensoranalysis... 459 A.2.1 Differentiation nach einer reellen Variablen... 460 A.2.2 Gradientenbildung eines Feldes... 460 A.2.3 Divergenzbildung eines Feldes... 462 A.2.4 Rotation eines Vektorfeldes... 462 A.2.5 Ableitung der Invarianten nach einem Tensor... 462 A.2.6 Pull back und push forward Operationen... 463 A.2.7 Lie-Ableitung von Spannungstensoren... 464 A.2.8 Integralsätze... 465 Literatur... 466 Index.... 491