Vorlesung zur Algebra

Vorlesung zur Algebra Uwe Semmelmann Mathematisches Institut der Universität zu Köln In L A TEX gesetzt von Michael Goetze WS 2009/2010

Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen 1 1.1 Gruppen und Untergruppen..................... 1 1.2 Homomorphismen.......................... 4 1.3 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen......... 6 1.4 Produkte von Gruppen........................ 10 1.5 Zyklische Gruppen.......................... 11 1.6 Die Eulersche ϕ Funktion...................... 13 1.7 Gruppenoperationen auf Mengen.................. 14 1.8 p Gruppen............................... 17 1.9 Sylow Gruppen............................ 18 1.10 Permutationsgruppen........................ 20 1.11 Auflösbare Gruppen......................... 21 1.12 Einfache Gruppen........................... 23 1.13 Semi-direkte Produkte........................ 24 2 Ringe 26 2.1 Ringe, Nullteiler und Einheiten................... 26 2.2 Ideale.................................. 27 2.3 Faktorringe............................... 28 2.4 Ringhomomorphismen........................ 30 2.5 Primfaktorzerlegung......................... 31 2.5.1 Teilbarkeit und größter gemeinsamer Teiler........ 32 2.5.2 Eindeutigkeit der Zerlegung................ 33 2.6 Anwendungen in der Zahlentheorie................ 34 2.7 Polynomringe............................. 35 2.7.1 Faktorisierung von Polynomen............... 36 i

2.7.2 Reduktion modulo p..................... 38 2.8 Quotientenkörper........................... 38 3 Körpererweiterungen 40 3.1 Adjunktion von Elementen..................... 40 3.2 Der Grad einer Körpererweiterung................. 41 3.3 Algebraische und transzendente Elemente............ 43 3.4 Das Minimalpolynom........................ 44 3.5 Algebraische Körpererweiterungen................. 45 3.6 Der algebraische Abschluß...................... 47 3.7 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal............... 48 4 Galois Theorie 51 4.1 Lösung von Gleichungen kleinen Grades............. 51 4.2 Einführung in die Galois Korrespondenz............. 53 4.3 Zerfällungskörper........................... 55 4.4 Normale Körpererweiterungen................... 57 4.5 Separable Körpererweiterungen................... 58 4.6 Ordnungen von Automorphismengruppen............ 59 4.7 K Monomorphismen......................... 60 4.7.1 Der normale Abschluß.................... 61 4.8 Beweis der Galois Korrespondenz................. 62 4.9 Lösbarkeit durch Radikale...................... 63 4.9.1 Gleichungen, die nicht durch Radikale lösbar sind.... 64 4.10 Konstruierbarkeit regulärer Polynome............... 65 4.11 Kreisteilungspolynome........................ 66 ii

Kapitel 1 Gruppen 1.1 Gruppen und Untergruppen Definition 1.1. Eine Gruppe ist eine Menge G mit einer Verknüpfung : G G G mit 1. Assoziativität: g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 ) g 3 für alle g 1, g 2, g 3 G. 2. Einselement: es gibt ein e G, so dass a e = a = e a für alle a G. 3. Inverses: zu jedem a G gibt es ein b G, so dass a b = e und b a = e. Man nennt b das zu a inverse Element und schreibt b = a 1 Eine Gruppe heisst abelsch oder kommutativ falls a b = b a a, b G Die Anzahl der Elemente einer Gruppe G heisst Ordnung von G G = ord(g) = Anzahl der Elemente in G. Bemerkung. Wegen der Assoziativität kann man beliebig Klammern. Ausdrücke der Form a 1 a k sind wohldefiniert. Man schreibt a b = a b In abelschen Gruppen schreibt man a b = a + b, e = 0 und a 1 = a Das Einselement ist eindeutig bestimmt. Es reicht auch, die Existenz eines Links- bzw. Rechtsinversen zu fordern. Definition 1.2. Sei G eine Gruppe. Eine Teilmenge H G heißt Untergruppe falls 1. e H 2. g 1, g 2 H = g 1 g 2 H 3. g H = g 1 H Lemma 1.3. Sei G eine Gruppe, dann gilt: H G ist eine Untergruppe genau dann wenn H und g 1, g 2 H = g 1 g 1 2 H Beispiele: (N, +) ist keine Gruppe. 1

(Z, +) ist eine abelsche Gruppe, ebenso (Q, +) und (R, +). (Q {0, ) ist eine abelsche Gruppe. Restklassen modulo m sind die Äquivalenzklassen der Kongruenzrelation a b a b mz := { m k k Z a a b. Man schreibt: a b(m) Man hat also die Äquivalenzklassen [k] = { k + mr r Z. Zum Beispiel für m = 3 hat man Z = [0] [1] [2], d.h. [0] = {..., 3, 0, 3, 6,... [1] = {..., 2, 1, 4,... [2] = {..., 1, 2, 5,... Allgemeiner hat man die Menge der Restklassen Z/mZ = {[0],..., [m 1]. Darauf kann man nun eine Addition definieren, nämlich [a] + [b] := [a + b]. (Zu zeigen ist, dass diese wohldefiniert ist, d.h. wenn [a] = [a ] und [b] = [b ], dann ist [a + b] = [a + b ]). Damit ist (Z/mZ, +) eine abelsche Gruppe der Ordnung m. Satz 1.4. Die Untergruppen von (Z, +) sind von der Form mz für ein m Z. Beweis. Sei H Z eine Untergruppe. Ist H = {0, dann ist m = 0. Andernfalls sei m die kleinste Zahl in H N. Dann ist also m H und m H, also auch 2m = m + m H, 2m = m m H usw., d.h. mz H. Sei k H beliebig, dann hat man eine Division mit Rest, d.h. q, r : k = q m + r mit 0 r < m. Wegen k H und q m H ist also auch r H. Da aber m die kleinste Zahl in H ist, die größer ist als 0, folgt r = 0, also k = qm, und daraus folgt H mz. Es folgt H = mz. Auch die Multiplikation auf Z/mZ ist wohldefiniert mit [a] [b] := [a b]. Beispielsweise gilt in Z/6Z: [2] [3] = [6] = [0]. Bekanntermassen ist (Z/mZ {0, ) eine Gruppe gdw. m eine Primzahl ist. (Z/pZ {0, ) ist also für eine Primzahl p eine abelsche Gruppe der Ordnung p 1. Als weiteres Beispiel haben wir die Permutationsgruppen. Für M = {1, 2,..., n hat man die Permutationsgruppe (oder symmetrische Gruppe) S n = { f : M M f bijektiv mit der Verknüpfung S n S n S n, ( f, g) f g. (S n, ) ist eine Gruppe der Ordnung S n = n!. Schreibweise: σ S n wird beschrieben durch σ = Beispielsweise hat die Gruppe S 3 die folgenden Elemente: e = ( 1 2 ) 3 1 2 3 a = ( 1 2 ) 3 2 1 3 ( 1 n ) σ(1) σ(n) b = ( 1 2 ) 3 1 3 2 2

c = ( 1 2 ) 3 3 2 1 d = ( 1 2 ) 3 3 1 2 f = ( 1 2 ) 3 2 3 1 Wie man leicht nachrechnet, ist S 3 nicht abelsch. Es gibt sehr viele nicht endliche Gruppen, z.b. GL(n, C), O(n), SO(n) usw. Diese haben oft auch endliche Untergruppen, z.b. die Quaternionengruppe Q GL(2, C) mit Q = {±E, ±I, ±J, ±K, wobei E = ( ) 1 0 0 1 I = ( ) i 0 0 i J = ( 0 ) 1 1 0 K = ( ) 0 i i 0 Bemerkung. (Q, ) ist eine Gruppe der Ordnung 8, und es gelten die Quaternionenrelationen: I 2 = J 2 = K 2 = E I J = K Gruppen mit sehr wenigen Elementen kann man komplett katalogisieren, z.b. G = 1 = G = {e e a G = 2 = G = {e, a mit e e a Diese Gruppe ist abelsch. a a e G = 3 = G = {e, a, b. Hier ergibt sich ebenfalls nur eine Möglichkeit: e a b e e a b a a b e b b e a G = 4 = G = {e, a, b, c. Hier gibt es zwei (nicht-isomorphe) Gruppen, e a b c e e a b c zum Einen Z/4Z = {[0], [1], [2], [3] = {e, a, b, c mit a a b c e b b c e a c c e a b e a b c e e a b c und zum Anderen die KLEINsche Vierergruppe V 4 mit a a e c b b b c e a c c b a e welche ebenfalls abelsch ist. Diese Gruppe lässt sich auch auffassen als Symmetriegruppe eines Rechtecks F mit unterschiedlich langen Seiten, d.h. V 4 = { A O(2) A(F) = F. Dabei entspricht e der Einheitsmatrix E, a der Spiegelung an der Horizontalen, b der Spiegelung an der Vertikalen, und c der Drehung um 180. Entsprehend kann man auch V 4 als Untergruppe V 4 S 4 auffassen, mit a = ( 1 2 3 ) 4 4 3 2 1 b = ( 1 2 3 ) 4 2 1 4 3 c = ( 1 2 3 ) 4 3 4 1 2 3

1.2 Homomorphismen Definition 1.5. Seien (G, ) und (G, ) zwei Gruppen. Dann heißt ϕ : G G Homomorphismus falls ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 ) ϕ(g 2 ) g 1, g 2 G. Ein bijektiver Homomorphismus ϕ : G G heißt Isomorphismus. Im Fall G = G nennt man Isomorphismen auch Automorphismen. Man bezeichnet mit Aut(G) die Gruppe der Automorphismen von G. Der Kern von ϕ ist die Menge ker ϕ = ϕ 1 (e G ) = { g G ϕ(g) = eg G. Das Bild von ϕ ist die Menge Im ϕ = ϕ(g) = { g G g G : ϕ(g) = g G. Bemerkung. a) ker ϕ G und Im ϕ G sind Untergruppen. b) ϕ(e G ) = e G. c) ϕ(a 1 ) = ϕ(a) 1. d) ϕ ist ein Isomorphismus ϕ 1 ist ein Isomorphismus. e) ϕ ist injektiv ker ϕ = {e. f) AutG S(G) ist eine Untergruppe der symmetrische Gruppe. Beispiele 1. Sei m Z fix und ϕ : Z Z mit k m k. Dann ist ϕ ein injektiver Homomorphismus mit Im ϕ = mz. 2. Sei ϕ : Z Z/mZ die Projektion k [k]. Dann ist ϕ ein surjektiver Homomorphismus mit ker ϕ = mz. 3. Exponentialabbildung: (a) exp : (R, +) (R {0, ) ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus mit Im (exp) = R >0. (b) exp : (C, +) (C {0, ) ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit ker (exp) = 2πiZ. 4. Determinante: det : GL(n, R) (R {0, ) mit A det A ist ein surjektiver Homomorphismus (da det A B = det A det B) mit ker (det) = SL(n, R) = { A GL(n, R) det A = 1. 5. Signum: sign : S n {+1, 1 ist ein Homomorphismus, dessen Kern die geraden Permutationen ker (sign) = A n S n = { σ S n sign(σ) = 1 sind. 6. Inklusion: Sei H G eine Untergruppe, dann ist i : H G mit h h ein injektiver Homomorphismus. 7. Inversion: die Abbildung ϕ : G G mit a a 1 ist ein Homomorphismus genau dann, wenn G abelsch ist, da ϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b) (a b) 1 = a 1 b 1 b 1 a 1 = a 1 b 1 a b = b a für alle a, b G. 8. Translationen: Sei a G fix, dann hat man die Linkstranslation l a : G G g a g Rechtstranslation r a : G G g g a l a und r a sind bijektive Abbildungen. l a und r a sind nur dann Homomorphismen, wenn a = e. Die Abbildungen G S(G) mit g l g bzw. g r g 1 sind injektive Homomorphismen. 4

Satz 1.6 (Satz von Cayley). Jede endliche Gruppe G ist isomorph zu einer Untergruppe von S G. Beweis. G S G mit g l g ist ein injektiver Homomorphismus. Als weiteres Beispiel für einen Gruppenhomomorphismus haben wir die Konjugation ϕ a : G G mit g a g a 1. Bemerkung. ϕ a ist ein Automorphismus: ϕ a Aut(G). ϕ a nennt man innere Automorphismen. G abelsch = ϕ a = Id. G Aut(G) mit a ϕ a ist ein Homomorphismus. Ordnung eines Gruppenelementes Für ein g G mit n > 0 definieren wir Potenzen wie folgt: g n := g g {{ n-mal g 0 := e g n := g 1 g 1 {{ n-mal Satz 1.7. Sei G eine Gruppe und g G. Dann ist ϕ g : Z G mit ϕ g (n) = g n ein Homomorphismus. Jeder Homomorphismus ϕ : Z G ist von dieser Form. Beweis. Sei ϕ : Z G ein beliebiger Homomorphismus. Man definiert g := ϕ(1). Dann hat man für n > 0: ϕ(n) = ϕ(1 + + 1) = ϕ(1) ϕ(1) = ϕ(1) n = g n bzw. ϕ( n) = ϕ( 1 1) = ϕ( 1) n = ( ϕ(1) 1) n = g n Bezeichnung: Im (ϕ g ) = g = {..., g 1, e, g, g 2,... G. g heißt die von g in G erzeugte Untergruppe. Man bezeichnet ord(g) = g, also die Anzahl der Elemente in g als Ordnung von g. Es gilt ord(g) = min { k N {0 g k = e falls g <. Bemerkung. ker (ϕ g ) = g Z. Beispiele: G = Z/8Z, G = 8. Für g = [2] ist g = {[0], [2], [4], [6], also ist ord([2]) = 4. G = S 3, S 3 = 6. Man hat z.b. σ = also ist ord(σ) = 3. ( 1 2 3 2 3 1 ) σ 2 = ( 1 2 ) 3 3 1 2 σ 3 = ( 1 2 ) 3 1 2 3 5

G = GL(2, R) A = ( ) 1 1 0 1 A n = ( ) 1 n 0 1 = ord(a) = 1.3 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Wir haben bereits für (Z, +) gesehen, dass die Untergruppen alle von der Form mz Z sind, und hatten hierzu bereits die Restklassen Z = [0] {{ =mz [1]... [m 1] (mit [k] = k + mz = { k + mr r Z ) betrachtet. Wir wollen das nun verallgemeinern. Definition 1.8. Sei G eine Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann hat man die Linksnebenklassen: ah = l a (H) = { ah h H und Rechtsnebenklassen: Ha = r a (H) = { ha h H für alle a G. Wir erinnern uns, dass l a bzw. r a die Links- bzw. Rechtstranslation G G bezeichnet, mit g a g bzw. g g a. Lemma 1.9. Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe und a, b G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: 1. ah = bh 2. ah bh 3. a bh 4. b 1 a H und analog für Rechtsnebenklassen. Beweis. 1= 2 ist klar. 2= 3 Sei c = ah 1 = bh 2. Multiplikation mit h 1 ergibt a = b h 1 2 h 1 1 {{ H = a bh 3= 4 a = bh, h H = b 1 a = h H 4= 1 b 1 a = h = a = bh Nun zeigt man ah bh durch ah 1 = (bh)h 1 = b(hh 1 ) bh und umgekehrt. Folgerung 1.10. Die Gruppe G ist eine disjunkte Vereinigung der Nebenklassen von H. Verschiedene Nebenklassen sind disjunkt. Alle Nebenklassen sind gleichmächtig. G = H a 1 H... a r 1 H 6

Bemerkung. Links- bzw. Rechtsnebenklassen sind Äquivalenzklassen der Relationen a L b b 1 a H a R b ab 1 H Wir bezeichnen mit G/H die Menge { ah a G der Linksnebenklassen bzw. mit H \ G die Menge { Ha a G der Rechtsnebenklassen. Also z.b. wie bekannt Z/mZ = {[0], [1],..., [m 1]. Definition 1.11. Die Anzahl der Elemente in G/H nennt man den Index von H in G. Hierzu gibt es verschiedene Bezeichnung, z.b. ind(g : H) = #G/H = (G : H) = G/H = Anzahl der Elemente in G/H. Beispielswiese ist ind(z : mz) = m. Satz 1.12 (Satz von Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und H G eine Untergruppe. Dann gilt G = H G/H Insbesondere gilt H G und ord(a) G a G. Beweis. Folgt direkt aus Folgerung 1.10 mit r = G/H. Folgerung 1.13. 1. Gruppen von Primzahlordnung ( G Primzahl) haben nur triviale Untergruppen. Eine solche Gruppe wird von jedem ihrer Elemente (ausser e) erzeugt. (Später werden wir sogar sehen dass G = p Primzahl = G Z/pZ. 2. Sei a G mit ord(a) <. Dann gilt a k = e genau dann wenn ord(a) Teiler von k ist. Insbesondere gilt für endliche Gruppen: a G = e für alle a G. Beweis. Zu 1.: Sei G = p Primzahl und e a G. Dann hat man a = {..., a 1, e, a, a 2,... mit mindestens zwei Elementen. Da aber a p folgt schon a = G. Zu 2.: Betrachte ϕ a : Z G mit k a k. Dann gilt a k = e k ker ϕ a = ord(a)z k ord(a)z d.h. ord(a) k. Hieraus ergibt sich auch der kleine Satz von Fermat. Dieser besagt für die abelsche Gruppe G = ( Z/pZ {[0], ) dass [a] p 1 = [1] d.h. a p 1 1 (p) für alle a mit [a] [0], [a] G da G = p 1. Beispiele Sei G = GL(n, R) und H = GL + (n, R) = { A GL(n, R) det A > 0. Dann ist GL(n, R) = GL + (n, R) {{ det>0 A GL + (n, R) {{ det<0 7

für ein A mit det A < 0. Der Index ist also ind(g : H) = 2. Sei G = S n und H = A n = ker sign. Dann ist S n = A n σ A n für ein σ mit signσ = 1. ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 Betrachte nun in S 3 die Elemente σ = und τ =. Dann hat 2 3 1 2 1 3 man die Untergruppe H = {e, τ S 3 mit S 3 = H σg σ 2 H. Beachte dass hier σh Hσ, da στ τσ! Normalteiler Wann ist G/H eine Gruppe? Kann man schreiben: ah bh := abh? Seien H 1, H 2 G Untergruppen. Wann ist H 1 H 2 = { h 1 h 2 h1 H 1, h 2 H 2 ebenfalls eine Gruppe? Definition 1.14. Eine Untergruppe H G heißt Normalteiler in G, falls die Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, d.h. ah = Ha für alle a G. Lemma 1.15. Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe. Dann sind folgende Aussagen äquivalent für alle a G: 1. ah = Ha 2. aha 1 H 3. aha 1 = H Beweis. 1= 2 x = aha 1 = xa = ah = h a = x = h H 2= 3 Da aha 1 H a, gilt insb. auch a 1 Ha H. Sei h H beliebig. Dann ist h = a(a 1 ha)a 1 = h aha 1 = H aha 1 und mit der Voraussetzung folgt die Gleichheit. 3= 1 Sei h = a 1 h a H und x = ah. Dann ist x = a(a 1 h a) = h a = x = h a Ha = ah Ha. Analog zeigt man auch Ha ah. Sei zum Beispiel ϕ : G K ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ker ϕ G ein Normalteiler. Hierzu müssen wir zeigen, dass a ker ϕ a 1 ker ϕ. Sei x ker ϕ, dann ist ϕ(axa 1 ) = ϕ(a)ϕ(x)ϕ(a 1 ) = ϕ(a)ϕ(a) 1 = e K. Bemerkung. Jede Gruppe G hat die trivialen Normalteiler e und G. In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe Normalteiler. Es existieren nicht-abelsche Gruppen für die jede Untergruppe Normalteiler ist, z.b. die Quaternionengruppe Q. Gruppen, die nur triviale Normalteiler haben heißen einfach. Wir wollen im Folgenden zeigen, dass jeder Normalteiler N G der Kern eines geeigneten Homomorhismus ist, und dass die Menge der Nebenklassen G/N bzw. N \ G eine Gruppenstruktur besitzt. Satz 1.16. Sei N G ein Normalteiler. Dann gibt es genau eine Verknüpfung auf G/N, so dass 8

1. (G/N, ) ist eine Gruppe. 2. Die surjektive Abbildung π : G G/N mit a an ist ein Homomorphismus. (Diese Abbildung nennt man kanonische Projektion.) Desweiteren gilt: N = ker π e G/N = N, und (an) 1 = a 1 N (an) (bn) = abn. Beweis. Die Eigenschaft, dass π ein Homomorphismus sein soll, ist äquivalent dazu, dass π(ab) = π(a) π(b), und das heißt hier gerade dass abn = (an) (bn). Zu zeigen ist also, dass diese Verknüpfung wohldefiniert ist. Sei also an = a N und bn = b N. Dann ist also x := a 1 a N und auch b 1 b N. Desweiteren bemerken wir, dass x N y N : xb = b y. Wähle also y so, dass b 1 b y N b 1 xb N b 1 a 1 a b N. Dies ist nun aber dazu äquivalent zu (ab) 1 a b N abn = a b N und damit ist der Satz bewiesen. Man bezeichnet (G/N, ) als Faktorgruppe von G nach N. Beispiele Jede Untergruppe H G vom Index 2 ist ein Normalteiler, denn für alle a G H gilt: G = H ah = H Ha, und folglich ist ah = G H = Ha. In diesem Fall ist die Faktorgruppe G/H = {+1, 1 Z/2Z. Konkrete Beispiele hierfür sind A n S n sowie GL + (n, R) GL(n, R). Da Z abelsch ist, sind alle Untergruppen von Z Normalteiler. Die Untergruppen von Z kennen wir bereits: nach Satz 1.4 sind es gerade die zyklischen Gruppen der Form mz. Hierfür gibt es auch eine multiplikative Realisierung: Sei ζ m := exp ( ) 2πi m C die primitive nte Einheitswurzel, und C := { z C z = 1. Dann ist (C, ) eine abelsche Gruppe, und es gibt einen Homomorphismus ϕ m von (Z, +) nach (C, ), nämlich ϕ m (k) = ζ k 2πi k m = e m Der Kern von ϕ m ist gerade mz, und das Bild ist C m := { ζ m, ζ 2 m,..., ζ m m = 1 C. Man erhält damit einen Isomorphismus ϕ m : Z/mZ C m, nämlich [k] ζ k m. Also ist C m eine Untergruppe der Kreislinie C = S 1 C daher auch der Name zyklische Gruppe. Dieses Ergebnis kann man verallgemeinern, und zwar wie folgt: Satz 1.17 (Homomorphiesatz). Sei ϕ : G G ein Gruppenhomomorphismus und N G ein Normalteiler in G. Dann existiert genau ein Homomorphismus ϕ : G/N 9

G mit ϕ = ϕ π, d.h. folgendes Diagramm ist kommutativ G ϕ > G > π > G/N ϕ Desweiteren gilt: Im ϕ = Im ϕ ker ϕ = π(ker ϕ) ker ϕ = π 1 (ker ϕ) ϕ injektiv N = ker ϕ Beweis. Man definiert ϕ(an) := ϕ(a). ϕ ist damit eindeutig bestimmt und genügt der Forderung ϕ = ϕ π. Zu zeigen ist noch die Wohldefiniertheit. Sei also an = bn, dann ist zu zeigen dass ϕ(an) = ϕ(bn), d.h. ϕ(a) = ϕ(b). Folgerung 1.18. Sei ϕ : G G ein surjektiver Homomorphismus. Dann gilt G G/ker ϕ. Für den Fall mehrerer Normalteiler gibt es noch weitere Isomorphiesätze: Satz 1.19. Sei H G eine Untergruppe und N G ein Normalteiler. Dann ist H N = { h n h H, n N G eine Untergruppe mit Normalteiler N und H N Normalteiler von H. Es folgt, dass ein Isomorphismus ist. H/H N HN/N Beweis. Siehe Satz 1.20. Seien H und N Normalteiler in G mit N H G. Dann ist N Normalteiler in H und H/N Normalteiler in G/N, und es gilt G/N/H/N G/H Beweis. Siehe 1.4 Produkte von Gruppen Seien G 1 und G 2 Gruppen, dann definiert man auf G 1 G 2 folgende Verknüpfung: (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) := (a 1 b 1, a 2 b 2 ) für a 1, b 1 G 1 und a 2, b 2 G 2. Mit dieser Verknüpfung heißt G 1 G 2 äußeres direktes Produkt von G 1 und G 2. 10

Satz 1.21. 1. (G 1 G 2, ) ist eine Gruppe. 2. Die Projektionen π i : G 1 G 2 G i mit (a 1, a 2 ) a i (für i = 1, 2) sind Homomorphismen. 3. Wenn G 1 und G 2 abelsch sind, dann ist auch G 1 G 2 abelsch. Beweis. Siehe Bemerkung. Sei G 1 = G 1 {e und G 2 = {e G 2, dann sind G 1 und G 2 Untergruppen von G 1 G 2, und jedes Element aus G 1 G 2 schreibt sich eindeutig als Produkt von Elementen aus G i, da G 1 G 2 = G 1 G 2. Lemma 1.22. Seien H, N G Untergruppen und N G Normalteiler. Dann ist H N = H N = { h n h H, n N eine Untergruppe in G. Beweis. Satz 1.23. Seien N 1 und N 2 Normalteiler in G mit N 1 N 2 = {e und N 1 N 2 = G. Dann ist ϕ : N 1 N 2 G mit (n 1, n 2 ) n 1 n 2 ein Isomorphismus. Insbesondere ist jedes a G eindeutig als Produkt a = a 1 a 2 mit a 1 N 1 und a 2 N 2 darstellbar. In diesem Fall nennt man G inneres direktes Produkt von N 1 und N 2 und schreibt G = N 1 N 2 (bzw. falls G abelsch ist auch G = N 1 N 2 ). Beweis. Satz 1.24 (Chinesischer Restesatz). Seien n 1,..., n r Z paarweise teilerfremd und N = n 1 n r. Bezeichne mit π i : Z Z/n i Z die kanonische Projektion für i = 1,..., r. Dann ist ein Gruppenisomorphismus. ϕ :Z/NZ Z/n 1 Z Z/n r Z [x] ( π 1 (x),..., π r (x) ) Beweis. Dieser Satz lässt sich für zwei Faktoren auch so formulieren: Seien m, n teilerfremd, dann gibt es für alle a, b Z ein x Z, so dass x a (m) und x b (n). Seien x, x solche Zahlen, dann gilt x x (mn). Bemerkung. Z/2Z Z/2Z Z/4Z, sondern zur Kleinschen Vierergruppe V 4, die wiederum das gleiche ist wie die Primrestklassengruppe (Z/8Z) = {[1], [3], [5], [7] Z/8Z mit der Multiplikation. 1.5 Zyklische Gruppen Definition 1.25. Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird, d.h. es existiert ein g G mit G = g = {..., g 2, g 1, e, g, g 2,... 11

Bemerkung. G ist zyklisch genau dann, wenn es einen surjektiven Homomorphismus ϕ : Z G gibt, d.h. G Z/ker ϕ. Der Erzeuger g ist nicht eindeutig bestimmt. Zyklische Gruppen sind abelsch. Wir kennen schon einige Beispiele: Z ist eine von 1 erzeugte zyklische Gruppe. mz ist eine von m erzeugte zyklische Gruppe. Z/mZ ist eine von [1] erzeugte endliche zyklische Gruppe. Satz 1.26. Sei G eine zyklische Gruppe. Dann gilt G Z falls G = oder G Z/mZ falls G = m. Beweis. G ist zyklisch, es gibt also ein g so dass ϕ g : Z G surjektiv ist. Dann folgt mit dem Homomorphiesatz, dass G Z/ker ϕ g. Der Kern von ϕ g ist also eine Untergruppe von Z, also gilt nach Satz 1.4 ker ϕ g = mz. Jetzt kann entweder ker ϕ g = {0 sein, d.h. ϕ g : Z G ist ein Isomorphismus, oder aber ker ϕ g = mz (m 0), dann ist G Z/mZ. Satz 1.27. Sei G eine Gruppe, für die die Ordnung G = p eine Primzahl ist. Dann ist G isomorph zur zyklischen Gruppe Z/pZ. Beweis. Als Beispiel betrachten wir die Gruppe G = Z/6Z = {[0], [1], [2], [3], [4], [5] = [1]. Das Erzeugniss der einzelnen Elemente ist: [2] = {[0], [2], [4] ord([2]) = 3 [3] = {[0], [3] ord([3]) = 2 [4] = {[0], [4], [2] ord([4]) = 3 [5] = {[0], [5], [4], [3], [2], [1] = Z/6Z Man sieht also: Wenn d ein Teiler von G ist, dann gibt es ein Element der Ordnung d. G hat genau 2 Erzeuger, [1] und [5], und dies sind gerade die Zahlen, die teilerfremd zu G sind. Dieses Ergebnis wollen wir allgemeiner zeigen, und brauchen dafür noch die folgende Definition 1.28. Die Eulersche ϕ Funktion ϕ : N {0 N ist definiert durch ϕ(n) = # { m 0 m < n, m, n teilerfremd. Satz 1.29. 1. Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch. 2. Sei G eine endliche zyklische Gruppe. Dann existiert zu jedem Teiler d von G genau eine Untergruppe der Ordnung d. 3. Es existieren ϕ(d) Elemente der Ordnung d in G. Insbesondere hat G genau ϕ ( G ) Erzeuger. Beweis. (folgt) 12

1.6 Die Eulersche ϕ Funktion Lemma 1.30. Sei p eine Primzahl. Dann ist ϕ(p) = p 1. Seien m, n teilerfremd. Dann ist ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n). Sei p eine Primzahl. Dann gilt ϕ(p k ) = p k 1 (p 1). Euler-Identität: Sei N N {0. Dann gilt ϕ(d) = N Zum Beispiel für N = 6: 6 = ϕ(6) + ϕ(3) + ϕ(2) + ϕ(1) = 2 + 2 + 1 + 1. d d N Beweis. Sei G = Z/nZ. Dann gilt: N = 1 = g G d N g G ord(g)=d 1 = ϕ(d) d N Definition 1.31. Die Primrestklassengruppe (Z/mZ) ist definiert durch (Z/mZ) = { [k] [k] [0], ggt (k, m) = 1 mit der Verknüpfung [a] [b] := [a b]. Lemma 1.32. Die Gruppe (Z/mZ) ist eine abelsche Gruppe der Ordnung ϕ(m). Beispielsweise ist (Z/8Z) = { [1], [3], [5], [7] und ϕ(8) = 4. Um dieses Lemma zu beweisen benötigen wir noch ein Lemma aus der Zahlentheorie: Lemma 1.33 (Formel von Bezout). Seien a, b Z. Dann gilt ggt (a, b) = s genau dann, wenn es x, x Z gibt, sodass x a + x b = s. Beweis von Lemma 1.32. (Z/mZ) ist abgeschlossen under der Multiplikation, denn mit Lemma 1.33 gilt insbesondere ggt (k, m) = 1 und ggt (l, m) = 1, und es folgt x, x, y, y Z : xk + x m = 1 yl + y m = 1 = 1 = (xk + x m)(yl + y m) = 1 = (xy)kl + (xky + x yl + x y m)m d.h. ggt (kl, m) = 1. (Z/mZ) ist abgeschlossen under Inversenbildung, denn wenn ggt (k, m) = 1 = x, x : xk+x m = 1 = [xk] = [1] = [x] [k] = [1], d.h. [x] = [k] 1. Satz 1.34 (Satz von Fermat-Euler). Sei m N mit m 2, und k N so dass ggt (k, m) = 1. Dann gilt k ϕ(m) 1 (m) 13

Beweis. Man betrachtet G = (Z/mZ), so dass G = ϕ(m). Nach dem Satz von Lagrange ist dann [k] ϕ(m) = [1] in G, d.h. k ϕ(m) 1 (m) falls ggt (k, m) = 1. Bemerkung. (Z/mZ) besteht genau aus den Erzeugern von Z/mZ. Satz 1.35. Die Abbildung Φ : Aut (Z/mZ) (Z/mZ) mit Φ(ψ) = ψ([1]) ist ein Isomorphismus abelscher Gruppen. Beweis. Folgerung 1.36. Seien m, n teilerfremd. Dann gilt Aut (Z/mnZ) Aut (Z/mZ) Aut (Z/nZ) (Z/mZ) (Z/nZ) (Z/mnZ) Insbesondere gilt: ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n) 1.7 Gruppenoperationen auf Mengen Definition 1.37. Sei M eine Menge und G eine Gruppe. Eine Abbildung G M M, (g, m) g m heisst Operation (oder Aktion) von G auf M, falls 1. e m = m für alle m M 2. (g h) m = g (h m) für alle g, h G und m M. Bemerkung. Eine Gruppenwirkung ist äquivalent zu einem Homomorphismus G S(M) g (m g m). Die Abbildung τ g : M M mit m τ g (m) = g m ist bijektiv, denn τ 1 g = τ g 1 für alle g G. Definition 1.38. Sei G M M eine Operation von G auf M und m M. Gm := { g m g G heißt Bahn oder Orbit von G durch m. G m := { g G g m = m heißt Stabilisator von m in G. Beispielhaft betrachten wir die Gruppe G = O(2) und die Menge M = R 2 mit der Operation O(2) R2 R 2 (A, v) A v. Für A O(2) gilt A v = v, d.h. die Bahnen O(2)v sind konzentrische Kreise um (0, 0), und man hat den Stabilisator O(2) e1 = { A O(2) {( ) ( ) 1 0 1 0 Ae1 = e 1 =, 0 1 0 1 Dies kann man noch verallgemeinern auf G = O(n) und M = R n man hat dann die Bahnen O(n)v = { w R n w = v = S n 1, und die Stabilisatoren, v z.b. O(n) e1 sind isomorph zu O(n 1). 14

Weitere Beispiele liefert der Spezialfall G = M. Man hat z.b. die Linkstranslation: G G G (a, x) l a (x) = a x und die Konjugation: G G G (a, x) a x a 1 Die Rechtstranslation ist keine Gruppenoperation (von links) auf G, aber man hat eine Gruppenoperation von links durch: (a, x) x a 1. Die Linkstranslation besitzt keine Fixpunkte, d.h. G x = {e für alle x G, und nur eine Bahn. Definition 1.39. Eine Operation von G auf M heißt transitiv, falls sie nur eine Bahn besitzt. Äquivalent dazu ist, dass es für alle x, y M ein g G gibt, so dass g x = y. Beispielsweise operiert G transitiv auf den Raum der Nebenklassen: G G/H G/H (g, g H) gg H. Auch die Operation von O(n) auf Sn 1 ist transitiv. Satz 1.40. 1. G x G ist eine Untergruppe für alle x M. 2. Für x, y M gilt entweder Gx = Gy oder Gx Gy =, d.h. die Bahnen bilden eine Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen. 3. Für x M ist die Abbildung ψ : G/G x Gx, ggx gx bijektiv (und wohldefiniert). 4. Sei x M mit y = g x, dann gilt: G y = gg x g 1 und G x = Gy. Sei beispielsweise H G eine Untergruppe, mit folgender Operation auf G: H G G, (h, g) h g := g h 1 Dann entsprechen die Bahnen den Linksnebenklassen: H g = gh. Beweis. Zu 1.: ex = x = e G x, und für g, h G x gilt: gx = x = hx. Es folgt gh 1 x = gh 1 (hx) = g((h 1 h)x) = gx = x, d.h. gh 1 G x und somit ist G x eine Untergruppe in G. Zu 2.: z Gx Gy g 1, g 2 G : g 1 x = z = g 2 y, und man hat Zu 3.: ψ ist wohldefiniert, denn sei ggx = g Gx = h G x : g = g h = gx = (g h)x = g (hx) = g x d.h. ψ(ggx) = ψ(g Gx). ψ ist offensichtlich surjektiv. ψ ist auch injektiv, denn gx = g x g 1 (gx) = g 1 (g x) x = g 1 g x g 1 g G Zu 4.: Beispiel: Sei F R 2 das regelmäßige Sechseck und G O(2) die Gruppe der Symmetrien von F, d.h. G = { g O(2) g(f) = F 15

Sei M = {1, 2, 3, 4, 5, 6 die Menge der Ecken von F, dann operiert G auf M durch G S ϕ : 6 = S(M) g (P P g) ϕ ist injektiv, denn sei g G mit ϕ(g) = Id M, d.h. g v = v für alle v M, dann folgt g = Id O(2) da g eine Basis im R 2 fixiert. Sei P M, dann folgt G P = M, und mit dem Satz von Lagrange gilt dann G = G P G/G P = G P G P = G P 6 = 12 (denn G P besteht gerade aus der Identität und einer Spiegelung). Definition 1.41. Die Symmetriegruppe des regelmäßigen n-ecks heißt Diedergruppe, geschrieben D n. Bemerkung. Analog zum obigen Beispiel ergibt sich allgemein D n = 2n. Speziell ist D 3 = S 3, denn D 3 S 3 ist eine Untergruppe und D 3 = S 3 = 6. Satz 1.42 (Bahnengleichung). Sei G eine endliche Gruppe, die auf einer Menge M operiert. Dann gilt: 1. G = G x Gx für alle x M. 2. M = G/G x = (G : G x ) x V x V wobei V ein Repräsentantensystem der Bahnen ist, d.h. aus jeder Bahn wählt man genau einen Punkt. Beweis. Zu 1.: Nach dem Satz von Lagrange gilt G = G/G x und das ist nach der 3. Aussage von Satz 1.40 gleich G x Gx. Zu 2.: Nach Satz 1.40 ist M die disjunkte Vereinigung der Bahnen, und jede Bahn enthält genau G/G x Punkte. Wir betrachten nun nochmal die Konjugation, d.h. die Operation von G auf sich G G G selbst mit (g, x) gxg 1. Als Bahnen hat man Gx = { gxg 1 g G =: C(x), genannt die Konjugationsklasse von x. Als Stabilisator hat man G x = { g G gxg 1 = x = { g G gx = xg =: ZG (x), genannt Zentralisator von x in G. Den Durchschnitt aller Stabilisatoren nennt man das Zentrum von G: Z(G) = G x = { g G gx = xg x G x G Lemma 1.43. 1. Z(G) Z G (x) G sind Untergruppen. 2. Z(G) ist abelsch. 3. Z(G) G ist Normalteiler. 4. G/Z(G) ist isomorph zur Gruppe der inneren Automorphismen. Beweis. Trivial. 16

Bemerkung. G m = m C(m) = {m G m = Z G (m) = G m Z(G), d.h. einelementige Bahnen entsprechen den Zentrumselementen. Satz 1.44 (Klassengleichung). Sei G eine endliche Gruppe und m 1,..., m r ein Repräsentantensystem der mehrelementigen Bahnen, d.h. G = Z(G) C(m 1 )... C(m r ) dann gilt: G = Z(G) + k i=1 G Z G (m i ) Beweis. Nach dem Satz von Lagrange gilt: C(m i ) = G/Gmi = G Z G (m i ) 1.8 p Gruppen Definition 1.45. Sei p eine Primzahl. Dann ist eine p Gruppe eine Gruppe der Ordnung p r für ein r N. Satz 1.46. Sei G eine p Gruppe mit Ordnung p r. G hat ein nichttriviales Zentrum. Genauer gilt Z(G) p und p Z(G). Beweis. Nach dem Satz von Lagrange gilt Z(G) = p r mit 0 r r. Ist Z(G) = G, dann ist r = r und wir sind fertig. Andernfalls existiert ein g G Z(G). Es gilt auch Z G (g) G. Somit folgt: ZG (g) = p r mit 0 r r. G Desweiteren gilt Z G (g) = p r r 0 (p). Nach der Klassengleichung gilt nun: G {{ 0(p) = Z(G) + G Z G (m) {{ 0(p) = Z(G) 0 (p). Lemma 1.47. Sei G eine Gruppe mit G/Z(G) zyklisch, dann ist G abelsch. Beweis. Sei xz(g) ein Erzeuger von G/Z(G), d.h. g n : gz(g) = x n Z(G). Dann folgt dass es für alle g G ein a Z(G) gibt, so dass g = x n a. Seien nun g 1 = x n a und g 2 = x m b beliebig, mit a, b Z(G), dann gilt g 1 g 2 = (x n a) (x m b) = a x n x m b = a x m x n b = x m b x n a = g 2 g 1. Satz 1.48. Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit G = p 2. Dann ist G abelsch. 17

Beweis. G = p 2, also ist Z(G) = p oder Z(G) = p 2 nach Satz 1.46. Falls Z(G) = p 2, dann ist Z(G) = G, d.h. G ist abelsch. Ist andererseits Z(G) = p, dann folgt mit dem Satz von Lagrange G/Z(G) = G = p, d.h. nach Satz 1.27 dass G/Z(G) zyklisch ist, und mit Lemma 1.47 Z(G) folgt dann, dass G abelsch ist. Satz 1.49. Sei G eine p Gruppe. Dann existiert eine absteigende Folge von Untergruppen G = G k... G 0 = {e mit: 1. G l = p l für 0 l k 2. G l G l+1 ist ein Normalteiler Insbesondere existiert zu jedem Teiler p l von G = p k eine Untergruppe mit p l Elementen und es existiert ein Element der Ordnung p. Beweis. folgt. Bemerkung. 1. G l+1 /G l = p, d.h. G l+1 /G l ist zyklisch und insbesondere abelsch. 2. Satz 1.49 zeigt, dass p Gruppen auflösbar sind (vgl. Definition 1.60). 3. Die Eigenschaft Normalteiler zu sein ist nicht transitiv, dh. aus G 1 G 2 und G 2 G 3 Normalteiler folgt nicht G 1 G 3 Normalteiler. 1.9 Sylow Gruppen Definition 1.50. Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe mit G = p r m, wobei p kein Teiler von m sei. Dann heisst eine Untergruppe S G mit S = p r p Sylow Gruppe von G. Bemerkung. p Sylow Gruppen sind maximale p Gruppen (nach Satz von Lagrange). Satz 1.51 (Sätze von Sylow). Sei p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung G = p r m (p kein Teiler von m, r 1). Dann gilt: 1. Es existiert eine p Sylow Gruppe. 2. Zu jeder p Gruppe H existiert eine p Sylow Gruppe S mit H S G. 3. Mit S ist auch gsg 1 eine p Sylow Gruppe. Weiter sind je zwei p Sylow Gruppen zueinander konjugiert. 4. Für die Anzahl s G der p Sylow Gruppen in G gilt: s G m und s G 1 (p). Beweis. Zu 1.: Sei M = { X G X = p r. G operiert auf M durch G M M (g, X) g X := { gx x X. Zuerst zeigt man, dass p kein Teiler von M ist. Denn: 18

( ) p r m M = = p r p r 1 k=0 p r m k p r k Sei k = p l s, p kein Teiler von s und l r 1. Dann sieht man, dass p l die maximale p Potenz ist, die den Zähler teilt, und dass p l auch den Nenner teilt. Damit kürzt sich also p l in allen Faktoren weg. Desweiteren ist M = G X i, wobei {X i ein Repräsentantensystem der Bahnen ist. Es gibt also ein X M, so dass p kein Teiler von G X ist. Wähle also ein solches X. Hierfür gilt nach dem Satz von Lagrange: G = G X G X, d.h. p r G X. Zu zeigen ist noch G X = p r. G X operiert auf X. Für m X ist G X m eine Rechtsnebenklasse, mit dem Stabilisator (G X ) m = e (denn g m = m = g = e), d.h. jede Bahn besteht aus G X Elementen. Folglich ist X = N G X, d.h. G X p r, als G X = p r und somit ist G X die gesuchte Sylow Gruppe. Zu 2., 3., 4.: (folgt) Anwendungen der Sylow Sätze Satz 1.52. Sei G eine endliche Gruppe und p eine Primzahl. Dann gilt: 1. Wenn p ein Teiler von G ist, dann enthält G ein Element der Ordnung p. 1 2. Eine Untergruppe H G ist genau dann eine p Sylow Gruppe, wenn sie eine maximale p Gruppe ist. Beweis. Wenn p ein Teiler von G ist, dann gibt es nach dem 1. Sylow Satz eine p Sylow Gruppe S G. Nach Satz 1.49 existiert dann auch eine Untergruppe von S der Ordnung p, die also nach Satz 1.27 von einem einzigen Element der Ordnung p in G erzeugt wird. Wir haben schon gesehen, dass p Sylow Gruppen maximale p Gruppen in G sind. Sei nun H G eine maximale p Gruppe. Dann gibt es nach dem 2. Sylow Satz eine Sylow Gruppe S, so dass H S G, und da H maximal ist, folgt H = S. Beispiel: Sei G eine Gruppe mit G = 143 = 11 13. Dann wissen wir nach dem 4. Sylow Satz, dass Syl11 (G) {1, 13 und Syl11 (G) 1 (11), d.h. es gibt genau eine 11 Sylow Gruppe P in G, und diese hat 11 Elemente, d.h. P Z/11Z. Analog erhält man, dass es auch genau eine 13 Sylow Gruppe Q in G gibt, mit Q Z/13Z. Aus dem 3. Sylow Satz folgt, dass P und Q Normalteiler in G sind, da gpg 1 für alle g G wieder eine 11 Sylow Gruppe ist, und davon gibt es eben nur eine, d.h. P = gpg 1 für alle g G, und analog für Q. 1 Dies wurde schon vor Sylow von Cauchy bewiesen. 19

Daher ist P Q G eine Untergruppe, und mit dem Satz von Lagrange folgt dann 11 P Q und 13 P Q, d.h. P Q = G. Andererseits gilt (ebenfalls wegen Lagrange) P Q P und P Q Q, d.h. P Q = {e. Somit können wir Satz 1.23 anwenden, d.h. es gibt einen Isomorphismus ϕ : P Q G, nämlich (p, q) p q, und mit dem chinesischen Restesatz folgt G Z/11Z Z/13Z Z/143Z. 1.10 Permutationsgruppen Sei im folgenden S n = S(M) die symmetrische Gruppe für M = {1, 2,..., n. Definition 1.53. Eine Permutation σ S n heisst k Zyklus, wenn es paarweise verschiedene Zahlen x 1,..., x n {1,..., n gibt mit k 2 und σ(x 1 ) = x i+1 für 1 i k 1, σ(x k ) = x 1 und σ(x) = x für alle x {1,..., n {x 1,..., x k. Man schreibt dann σ = (x 1,..., x k ). Definition 1.54. Zwei Zyklen (x 1,..., x k ) und (y 1,..., y l ) heissen disjunkt, falls {x 1,..., x n { y 1,..., y l =. Bemerkung. Ein 2 Zyklus ist eine Transposition. Satz 1.55. Sei n 2, dann gilt: 1. Sind σ 1, σ 2 S n disjunkt, so gilt: σ 1 σ 2 = σ 2 σ 1. 2. Jedes σ S n ist ein Produkt paarweise disjunkter Zyklen. Diese sind bis auf die Reihenfolge eindeutig durch σ bestimmt. 3. Jedes σ S n ist ein Produkt von Transpositionen. Dabei ist nur die Parität der Anzahl der benötigten Transpositionen eindeutig durch σ bestimmt. Beweis. Aussage 1 ist nach Definition klar. Sei σ S n gegeben. Sei H = σ S n. Dann operiert H auf M. Seien B 1,..., B r die mehr-elementigen Bahnen. Man wählt nun ein Repräsentantensystem x 1,..., x r von Punkten in B 1,..., B r, und schreibt die B i als B i = { x i, σ(x i ), σ 2 (x i ),..., σ s i (x i ) und es folgt σ = r ( xi, σ(x i ),..., σ s i (x i ) ) i=1 Diese Schreibweise ist eindeutig, da jede Zerlegung in disjunkte Zyklen einer H Operation entspricht. 20

Desweiteren lässt sich jeder Zyklus als Produkt von Transpositionen schreiben, nämlich (x 1,..., x k ) = (x 1, x 2 ) (x 2, x 3 ) (x k 1, x k ), und damit ist auch die 3. Aussage gezeigt. Die alternierende Gruppe Wir kennen bereits den Gruppenhomomorphismus sign : S n {1, 1, wobei σ(i) σ(j) sich sign(σ) berechnen läßt durch sign(σ) =. i j A n := ker (sign) sind die geraden Permutationen, genannt alternierende Gruppe. Da A n Index 2 hat, ist A n Normalteiler von S n, und es gilt A n = 1 2 n!. Satz 1.56. Die Gruppe A n ist die Menge der Permutationen, die sich als Produkt von 3 Zyklen schreiben lassen. i<j Beweis. (folgt) Wir erinnern nochmal an einige frühere Beispiele: S 2 Z/2Z ist abelsch. S 3 = D 3 ist nicht abelsch. Allgemeiner war die Diedergruppe D n S n die Symmetriegruppe des regelmäßigen n Ecks, d.h. ( D n = σ, τ wobei σ = ) (1,..., n) der Drehung 1 2 3 n um 2π n entspricht und τ = der Spiegelung an der 1 n n 1 2 Geraden durch 1 entspricht. σ D n ist Normalteiler, da es den Index 2 hat. Die Kleinsche Vierergruppe V 4 S 4 ist abelsch. Es gilt V 4 = {Id, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3) d.h. V 4 A 4. Desweiteren ist V 4 Normalteiler in S 4, und V 4 Z/2Z Z/2Z. 1.11 Auflösbare Gruppen Definition 1.57. Sei G eine Gruppe und a, b G. Der Kommutator von a und b ist das Element [a, b] := aba 1 b 1. Die Kommutatorgruppe [G, G] ist definiert als die Gruppe, die von allen Kommutatoren [a, b] erzeugt wird. Bemerkung. a und b kommutieren genau dann, wenn [a, b] = e. [G, G] G ist eine Untergruppe. G ist abelsch genau dann, wenn [G, G] = {e. Lemma 1.58. Die Kommutatorgruppe [G, G] ist der kleinste Normalteiler N G mit der Eigenschaft, dass G/N abelsch ist. 21

Beweis. g[a, b]g 1 = [gag 1, gbg 1 ], somit ist [G, G] ein Normalteiler. Sei x := x[g, G] eine Nebenklasse in G/[G, G]. Dann gilt a b a 1 b 1 = aba 1 b 1 = [a, b] = e = a b = b a d.h. G/[G, G] ist abelsch. Sei N G ein Normalteiler und G/N abelsch, dann gilt anbn = bnan und damit abn = ban, d.h. a 1 b 1 ab N, und es folgt [G, G] N. Lemma 1.59. [S n, S n ] = A n für n 2, und {e für n = 2, 3 [A n, A n ] = V 4 für n = 4 A n für n 5. Beweis. (Siehe [Bos03].) Definition 1.60. Eine Gruppe G heißt auflösbar, wenn eine Folge von Untergruppen G = G k G 1 G 0 = {e existiert, so dass: 1. G i G i+1 ist Normalteiler für i = 0, 1,..., k 1. 2. G i+1 /G i ist abelsch für i = 0, 1,..., k 1. Beispielsweise sind alle abelschen Gruppen auflösbar (G {e), sowie alle p Gruppen. Ein nicht endliches Beispiel wäre die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen in GL(n, R). Desweiteren sind auch S 2, S 3 und S 4 auflösbar: S 2 ist abelsch. S 3 A 3 {e da A 3 abelsch ist. S 4 A 4 V 4 {e. Satz 1.61. Die Gruppe S n ist für n 5 nicht auflösbar. Beweis. (folgt) Satz 1.62. Sei G eine Gruppe, H G eine Untergruppe und N G ein Normalteiler. Dann gilt: 1. Wenn G auflösbar ist, dann ist auch H auflösbar. 2. Wenn G auflösbar ist, dann ist auch G/N auflösbar. 3. Wenn N und G/N auflösbar sind, dann ist auch G auflösbar. 4. G 1 G r ist auflösbar genau dann, wenn alle G i auflösbar sind (i = 1,..., r). Beweis. Mit Satz 1.19 und Satz 1.20. 22

1.12 Einfache Gruppen Definition 1.63. Eine Gruppe G heißt einfach, falls G und {e die einzigen Normalteiler von G sind. Beispiele Wenn G = p, wobei p eine Primzahl ist, dann ist G einfach. Wir kennen bereits SL(n, R) = { A GL(n, R) det A = 1. Das Zentrum hiervon ist Z(SL(n, R)) = { E, ( 1) n+1 E. Dann definiert man die projektive Gruppe PSL(n, R) = SL(n, R)/Z(SL(n, R)), und diese ist einfach. Satz 1.64. Die alternierende Gruppe A n ist für n 4 einfach. Beweis. Siehe [Fis07]. Bemerkung. Dieser Satz wurde zuerst von Galois bewiesen. Als Folgerung erhält man daraus, mit Hilfe des folgenden Satzes, noch einmal die Aussage, dass die Gruppen S n für n 5 nicht auflösbar sind (Satz 1.61). Satz 1.65. Eine Gruppe G ist genau dann einfach und auflösbar, wenn sie zyklisch und von Primzahlordnung ist. Beweis. Sei p eine Primzahl und G Z/pZ. Dann ist G abelsch, also auflösbar, und besitzt keine nicht-trivialen Normalteiler, ist also auch einfach. Umgekehrt: sei G auflösbar und einfach. Dann ist [G, G] G ein Normalteiler wegen Lemma 1.58, Wir nehmen an, dass G die Normalenreihe G {e hat, dann ist [G, G] = {e, d.h. G ist abelsch, und insbesondere ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler, d.h. die einzigen Untergruppen von G sind {e und G. Daraus folgt dass G zyklisch ist, denn für ein g G mit g e ist g eine nichttriviale Untergruppe, also G. Wenn andererseits G die Normalenreihe G G 1 {e hat, mit G/G 1 abelsch, dann ist [G, G] G 1 wegen Lemma 1.58, und somit wieder [G, G] = {e. So erhält man wieder G abelsch, und diese Methode kann man auch iterativ anwenden. Satz 1.66. Ist G einfach und nicht-abelsch, so ist G 60. Ist G einfach und G = 60, so ist G A 5. Beweis. (folgt) Satz 1.67 (Jordan Hölder Theorem). Für jede endliche Gruppe existiert eine eindeutig bestimmte Folge G = G 0 G n = {e mit G i+1 G i Normalteiler und G i /G i+1 einfach. Beweis. Siehe Wustholz. 23

Einfache Gruppen sind damit Grundbausteine der endlichen Gruppen. Bereits Anfang des 20. Jahrhunderts hatte man die einfachen Lie Gruppen klassifiziert. Man versuchte natürlich auch, alle endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren. Dies gelang endgültig 1982. Man erhielt dabei 18 Familien und 26 sog. sporadische Gruppen, wovon die größte eine Ordnung von ca. 10 54 hat und als Monster-Gruppe bekannt ist. BORCHERDS hat 1992 die sog. Mondschein-Vermutung gezeigt, dass die Dimensionen der Darstellungen dieser Monster-Gruppe (also gewisser Realisierungen als Matrizengruppen) mit den Koeffizienten der zahlentheoretischen j Funktion zusammenhängen. 1.13 Semi-direkte Produkte Die Euklidische Gruppe E(n) = { f : R n R n f (x) f (y) = x y ist als Menge äquivalent zu R n O(n). Das läßt sich leicht mit Methoden der Linearen Algebra zeigen. Der R n -Teil entspricht dabei den Translationen und der O(n)- Teil den Verknüpfungen von Drehungen und Spiegelungen. Für ein x R n hat man die Operation (v, A)x = v+ax. Führt man solche Operationen hintereinander aus, erhält man (v, A)(w, B)x = (v, A)(w+Bx) = v+aw+abx = (v+aw, AB)x. Dh. der Komposition der Abbildungen zu (v, A) und (w, B) entspricht die Abbildung zu (v + Aw, AB). Dies motiviert die Einführung einer neuen Verknüpfung auf dem Produkt R n O(n). Allgemeiner hat man das äußere semi-direkte Produkt: Seien G 1, G 2 Gruppen mit ρ : G 2 Aut(G 1 ), a 2 ρ a2. Dann definiert man auf G 1 G 2 die Verknüpfung (a 1, a 2 ) ρ (b 1, b 2 ) := (a 1 ρ a2 (b 1 ), a 2 b 2 ) und nennt dies das semi-direkte Produkt von G 1 und G 2 unter ρ. Die Gruppe (G 1 G 2, ρ) bezeichnet man als G 1 ρ G 2. Die Gruppe G 1 ρ G 2 hat das neutrale Element (e 1, e 2 ) und das Inverse ist definiert als (a 1, a 2 ) 1 = ( ) ρ 1 ), a 1. a 2 (a 1 1 2 Bemerkung. Wenn ρ a2 = Id G1 für alle a 2 G 2, dann ist G 1 ρ G 2 das gleiche wie G 1 G 2. Bemerkung. Wenn G 1 und G 2 abelsch sind, folgt nicht automatisch dass G 1 ρ G 2 abelsch ist. Ein Beispiel findet man in der Euklidischen Gruppe: (0, A)(v, E) (v, E)(0, A). Das innere semi-direkte Produkt Satz 1.68. Sei G eine Gruppe mit Untergruppen G 1, G 2, so dass G 1 G ein Normalteiler ist und G = G 1 G 2 mit G 1 G 2 = {e. Sei ausserdem ρ : G 2 Aut(G 1 ) die Konjugationsabbildung ρ a2 (g) = a 2 ga 1 2. Dann ist die Abbildung Φ : G 1 ρ G 2 G, (g 1, g 2 ) g 1 g 2 ein Isomorphismus, d.h. G G 1 ρ G 2. Beweis. (folgt) 24

Beispiel: Sei G = S n mit dem Normalteiler A n S n. Sei H = {Id, τ wobei τ eine Transposition ist, z.b. τ = (1, 2). Wir wissen bereits, dass S n = A n A n τ, d.h. S n = A n H, wobei A n H = {Id. Folglich ist S n = A n H. Als weiteres Beispiel betrachten wir G = O(n) mit dem Normalteiler SO(n) O(n). Dazu betrachten wir die Gruppe {E n, E n n 1 (2) H = {E n, S n 0 (2) wobei S = diag(1,..., 1, 1). Es gilt O(n) = SO(n) SO(n) ( E) bzw. O(n) = SO(n) SO(n) S, also ist O(n) = SO(n) H und SO(n) H = {E, und es folgt SO(n) H n 1 (2) O(n) = SO(n) H n 0 (2) Als letztes Beispiel betrachten wir nochmal die Diedergruppen D n. Wir erinnern uns, dass D n = 2n. Betrachte G 1 = Z/nZ und G 2 = Z/2Z in der multiplikativen Realisierung G 2 = {+1, 1 mit der Abbildung ρ : G 2 Aut(G 1 ), ρ ɛ (a) = a ɛ für a G 1. Dann ist D n = Z/nZ ρ Z/2Z. D n wird erzeugt von einer Drehung ([1], 1) und einer Spiegelung ([0], 1). 25

Kapitel 2 Ringe 2.1 Ringe, Nullteiler und Einheiten Definition 2.1. Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen, + mit: 1. (R, +) ist eine abelsche Gruppe. 2. (R, ) ist assoziativ und besitzt ein neutrales Element, genannt 1 oder Einselement. 3. Für alle a, b, c R gelten die Distributivgesetze: a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc. Ein Ring heißt kommutativer Ring, falls ab = ba für alle a, b R. Definition 2.2. Sei R ein Ring. Eine Menge S R heißt Unterring, falls 1 S, (S, +) eine Untergruppe von (R, +) ist und mit allen x, y S auch xy S liegt. Definition 2.3. Sei R ein Ring. Ein Element x 0 aus R heißt Nullteiler, falls es ein y 0 in R gibt mit xy = 0 oder yx = 0. Der Ring R heißt nullteilerfrei oder Integritätsring falls in R keine Nullteiler existieren. Definition 2.4. Ein Element x R heißt Einheit, falls ein y R existiert mit xy = yx = 1. Man schreibt y = x 1. Die Menge aller Einheiten in R bezeichnet man als R. Lemma 2.5. Sei R ein kommutativer Ring, dann ist (R, ) eine abelsche Gruppe. Definition 2.6. Ein Ring R heißt Schiefkörper, falls R = R {0. Ein kommutativer Ring R heißt Körper, falls R = R {0. Bemerkung. Körper sind Integritätsringe. Im folgenden wollen wir nur kommutative Ringe betrachten. 26

Beispiele R = Z ist ein Integritätsring mit R = {+1, 1. Aus der Analysis kennt man die Körper Q, R und C, und aus der Linearen Algebra den Polynomring R[x]. Als nächstes betrachten wir die Gaußschen Zahlen Q(i) = { a + ib a, b Q C Q(i) ist ein Körper, denn für z = a + ib Q(i) hat man das Inverse z 1 = z z = a ib 2 a 2 + b = a b i Q(i) 2 a 2 + b {{ 2 a 2 + b {{ 2 und man hat eine Kette von Unterkörpern Q Q(i) C. Q Als Spezialfall davon betrachten wir die ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] = { a + bi a, b Z. Diese sind ein Unterring von Q(i), aber kein Körper. Lemma 2.7. Z[i] = {1, 1, i, i. Q Beweis. (folgt) 2.2 Ideale Definition 2.8. Sei R ein Ring. 1 Ein Ideal ist eine Teilmenge I R mit 1. (I, +) ist eine Untergruppe von (R, +). 2. Für alle r R und x I gilt rx I. Bemerkung. Ideale sind i.a. keine Unterringe (insbesondere gibt es Ideale mit 1 I. Sei I R ein Ideal und 1 I, dann folgt I = R, da dann r 1 = r I für alle r R. Jeder Ring R hat die trivialen Ideale {0 und R. Seien I, K R Ideale, dann erhält man auch die folgenden weitere Ideale: I + K = { a + b a I, b K k I K = a i b i k N, ai I, b i K i=1 I K, wobei I K I K. 1 Wie angekündigt betrachten wir nur kommutative Ringe andernfalls müsste man Linksund Rechtsideale definieren. 27

Definition 2.9. Sei R ein Ring und seien a 1,..., a n R. Dann nennt man a 1,..., a n := { λ 1 a 1 + + λ n a n λi R das von a 1,..., a n erzeugte Ideal. Bemerkung. a 1,..., a n ist das kleinste Ideal in R, das a 1,..., a n einthält. Definition 2.10. Sei R ein Ring und a R, dann heißt a = Ra = { ra r R das von a erzeugte Hauptideal. Bemerkung. Ein Körper enthält nur triviale Ideale, denn wenn ein Ideal ein Element außer 0 enthält, so auch die 1, da dieses Element ein Inverses besitzt, und ein Ideal mit 1 ist schon der ganze Körper. Definition 2.11. Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, d.h. von einem Element erzeugt wird. Satz 2.12. Z ist ein Hauptidealring. Beweis. Sei I Z ein Ideal. Dann ist I (Z, +) eine Untergruppe, also folgt nach Satz 1.4 I = mz = m. Beispiel: Z[i] ist ein Hauptidealring. Beweis. Sei I Z[i] ein Ideal, und d = a + bi I mit N(d) minimal 2. Sei z I eine beliebige Zahl im Ideal, und z d = q 1 + q 2 i Q(i). Dann gibt es in q Z[i], sodass z d q 2 1 < 1, also z d q 2 z 2 < 1. Daraus folgt qd < d 2, d.h. N(z qd) < N(d). Aber z qd I, und wir hatten d so gewählt, dass N(d) minimal, also folgt z qd = 0, d.h. z = qd, also I = d. Bemerkung. Z[ 5] := { a + b 5 a, b Z ist kein Hauptidealring. Sei R ein Integritätsring, und seien I = a und K = b, dann gilt I = K genau dann, wenn es ein c R gibt mit a = bc. 2.3 Faktorringe Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann ist I (R, +) ein Normalteiler, also ist R/I eine Gruppe, und wie wir im folgenden zeigen wollen auch ein Ring. Auf R/I definiert man eine Multiplikation wie folgt: seien [x], [y] R/I, dann ist [x] [y] := [xy]. Dies ist wohldefiniert, denn: sei [x] = [x ] und [y] = [y ]. Dann ist xy x y = x(y y ) + y (x x ) I und somit [xy] [x y ] = 0, d.h. [xy] = [x y ]. (R/I, +, ) heißt Faktorring. Bemerkung. [x] = 0 R/I genau dann, wenn x I. Beispiel: Sei R = Z und I = mz ein Ideal, dann ist R/I = Z/mZ mit der bekannten Multiplikation. 2 Wobei N : Z[i] N die Normabbildung a + bi a 2 + b 2 ist. 28

Lemma 2.13. (Z/mZ) ist eine abelsche Gruppe mit ϕ(m) Elementen, nämlich gerade die in Definition 1.31 definierte Primrestklassengruppe. Beweis. (folgt) Primideale Sei R ein Ring, I R ein Ideal und R/I nullteilerfrei. Dann folgt aus [x] [y] = 0 dass [x] = 0 oder [y] = 0, bzw. aus x y I dass x I oder y I. Ideale, die diese Eigenschaft erfüllen, nennt man Primideale. Sei I R ein Primideal, dann folgt dass R/I nullteilerfrei ist, denn wenn [x] [y] = 0 dann folgt [xy] = 0, also xy I, und das heißt nach der Primidealeigenschaft x I oder y I, also [x] = 0 oder [y]. Diese Ergebnisse fassen wir zusammen in folgendem Satz 2.14. Sei R ein Ring und I R ein Ideal. Dann ist R/I ein Integritätsring genau dann, wenn I ein Primideal ist. Maximale Ideale Satz 2.15. Sei R ein Ring und I R ein Ideal. R/I ist ein Körper genau dann, wenn I R ein maximales Ideal ist. Beweis. Sei R/I ein Körper, I R ein Ideal. Dann gilt für alle [x] 0 inst R/I, dass es ein [y] R/I so dass [x] [y] = [1]. Anders ausgedrückt: für alle x I gibt es ein y R so dass xy 1 I. Sei nun K R ein Ideal mit I K R, und sei x K I. Dann folgt, dass es ein y R gibt mit xy 1 I K, d.h. 1 = (xy 1) xy K, und somit K = R, {{ {{ also ist I R maximal. Andersrum, sei I R ein maximales Ideal, und [x] R/I mit [x] 0. Dann ist x I, also I+xR ein Ideal mit I I+xR R, und da I maximal ist I+xR = R, d.h. a + xr = 1 für ein a I und r R. Somit ist [x] [r] = [1], d.h. [x] ist invertierbar, und somit R/I ein Körper. Bemerkung. Maximale Ideale sind Primideale, da Körper Integritätsringe sind. Beispiel: Sei R = Z und m = mz. 0 ist ein Primideal aber nicht maximal. m ist Primideal m maximal und nicht-trivial m ist eine Primzahl. Bemerkung. a b a b = mz b a. K K 29

2.4 Ringhomomorphismen Definition 2.16. Seien R und R Ringe. Eine Abbildung ϕ : R R heißt Ringhomomorphismus, falls für alle a, b R gilt: 1. ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b), 2. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) und 3. ϕ(1 R ) = 1 R. Bemerkung. ker ϕ := { r R ϕ(r) = 0 R ist ein Ideal. Im ϕ R ist ein Unterring. Bijektive Homomorphismen heißen Isomorphismen. ϕ ist injektiv genau dann, wenn ker ϕ = {0. ϕ induziert einen Homomorphismus abelscher Gruppen ϕ : R R. Sei K ein Körper und ϕ : K R, dann ist ϕ injektiv oder trivial, da ker ϕ K ein Ideal ist und Körper nur triviale Ideale besitzen. Die kanonische Projektion π : R R/I, x [x] ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit ker π = I. Satz 2.17 (Homomorphiesatz). Seien R und R Ringe, ϕ : R R ein Ringhomomorphismus und I R ein Ideal mit I ker ϕ. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung ϕ : R/I R mit ϕ = ϕ π, d.h. man hat das kommutative Diagramm R ϕ > R > π > R/I ϕ und es gilt Im ϕ = Im ϕ ker ϕ = π(ker ϕ) ϕ ist injektiv genau dann, wenn I = ker ϕ Ist ϕ surjektiv, dann folgt R R/ker ϕ Allgemeiner gilt: Im ϕ R/ker ϕ. Satz 2.18 (Chinesischer Restesatz). Seien I 1,..., I r R koprime Ideale 3, d.h. I i + I j = R für i j, und seien π i : R R/I i die kanonischen Projektionen. Dann ist ϕ : R R/I 1 R/I r x ( π 1 (x),..., π r (x) ) ein surjektiver Ringhomomorphismus mit kerϕ = I 1 I r, und man erhält den Isomorphismus R/I 1 I r R/I 1 R/I r 3 In Z hat man I i = m i Z = m i, und dann gilt a + b = Z genau dann, wenn a und b teilerfremd sind. 30