Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 27. April 2015
Diskontfaktoren: Legt man heute (in t) 1 Einheit bis T an, und erhält dafür in T insgesamt x zurück (mit Zinseszins, keine zwischenzeitlichen Zinszahlungen), so hat umgekehrt 1 Einheit in T heute den Wert P (t, T ) := 1/x. Wir verwenden in der Regel die kontinuierliche Verzinsung für Rechnungen: P (t, T ) = e r(t,t ) δ(t,t ). In der Praxis vorkommende sind aber typischerweise einfach verzinst: P (t, T ) = 1/(1 + r(t, T ) δ(t, T )). Die Bewertung per heute ( Barwert ) einer zukünftigen Zahlung Z erfolgt durch Multiplikation mit dem Diskontfaktor für den Zahlungstermin: BW (t) = Z P (t, T ). Bewertung von Zahlungsströmen C i zum Zeitpunkt t i, i = 1,..., n: BW (t) = C i P (t, t i ).
II Rendite/effektiver Jahreszins: Der Zinssatz r, der einen Zahlungsstrom fair macht (Barwert = 0). Beispiel Bond: Bestimme r so, dass gilt P (t) = c δ(t i 1, i) P (t, t i ) + P (t, t n), wobei P (t) der Marktpreis des Wertpapiers und der Diskontfaktor zum Zeitpunkt t i ist. 1 P (t, t i ) = (1 + r) δ(t,t i) Stückzins: Der (lineare) Anteil der Zinszahlung der aktuellen Zinsperiode, der bis heute aufgelaufen ist: S = N c δ(t 0, t), wobei t 0 t der Starttermin der aktuellen Periode ist.
LIBOR Die London Interbank Offered Rate ist ein gewichteter Durchschnitt von Raten, die von einem Panel von Banken (je nach Währung 8-16) abgegeben werden. Die Banken geben dabei an, zu welchem Satz sie glauben, sich im Geldmarkt (unbesichert) Geld leihen zu können. Die Berechnung (Festsetzung, Fixing) des LIBOR-Satzes findet an jedem Bankarbeitstag um 11 Uhr in London statt und wird von der British Bankers Association (BBA) veröffentlicht. Es handelt sich nicht um tatsächlich gehandelte oder handelbare Raten. Dennoch repräsentieren sie den fairen Zins für die jeweilige Laufzeit. LIBOR-Raten werden für viele Währungen und Laufzeiten fixiert, typischerweise für Overnight (1D), eine Woche (1W) sowie n Monate (n = 1,..., 12). Die LIBOR-Raten werden zur Berechnung der von variabel verzinsten Darlehen und Derivaten herangezogen.
LIBOR-Fixings Abbildung : LIBOR Fixings per 02/01/09
EURIBOR-Fixings Abbildung : EURIBOR Fixings per 02/01/09
LIBOR Da die LIBOR-Raten den fairen Zinssatz darstellen, muss für die LIBOR-Rate L(t, T ) gelten: 1 = (1 + L(t, T ) δ(t, T )) P (t, T ) oder L(t, T ) = ( ) 1 1 δ(t, T ) P (t, T ) 1 = 1 P (t, T ) δ(t, T ) P (t, T ). (1) und P (t, T ) = 1 1 + L(t, T ) δ(t, T ) (2)
Forward Rate Agreements (FRA) Das Forward Rate Agreement (FRA) ist das einfachste Zinsderivat. Dabei einigen sich zwei Parteien heute (t) darauf, dass die eine Partei der anderen für eine Periode t 1 bis t 2, die in der Zukunft startet, Geld zu einem heute festgelegten Zinssatz leiht. Das Geschäft wird typischerweise so getätigt, dass es bei Abschluss fair ist, d.h. den Wert 0 hat. Diese Raten werden auch am Markt quotiert: Abbildung : FRA quotes as of 02/01/09, upper right.
Abwicklung von FRAs Die Quotierung ist wie folgt zu verstehen: Am Termin t 1 wird die LIBOR-Rate L(t 1, t 2 ) fixiert. Am Ende des Geschäfts (in t 3 ) wird der Betrag Π(t 2 ) = N δ(t 1, t 2 ) (f(t; t 1, t 2 ) L(t 1, t 2 )) (3) ausgetauscht: Wenn er positiv ist, muss der Darlehensnehmer ihn zahlen, wenn er negativ ist, der Darlehensgeber. Es wird also so getan, als gingen die beiden Parteien zwei Darlehen miteinander ein: Der Darlehensnehmer leiht sich Geld zur Forward-Rate f(t; t 1, t 2 ) und verleiht Geld zur LIBOR-Rate L(t 1, t 2 ). Die Idee dabei ist, dass der Darlehensnehmer den FRA benutzt, um sich damit das Zinsniveau für die Periode t 1, t 2 zu sichern: Er leiht sich das Geld in t 1 ganz normal am Markt (zur LIBOR-Rate). Zusammen mit der Auszahlung des FRA zahlt er dann genau f(t; t 1, t 2 ), wie beabsichtigt.
Bewertung von FRAs Wir suchen die Rate f(t; t 1, t 2 ), die dem Geschäft aus heutiger Sicht den Barwert Π(t) = 0 gibt. Was ist die LIBOR-Rate in t 1 für die Zeit bis t 2? Laut (1) ist sie gegeben durch L(t 1, t 2 ) = 1 P (t 1, t 2 ) δ(t 1, t 2 ) P (t 1, t 2 ). Setzen wir diesen Wert in (3) ein, so erhalten wir ( Π(t 2 ) = N δ(t 1, t 2 ) f(t; t 1, t 2 ) 1 P (t ) 1, t 2 ) P (t 1, t 2 ) ( ) 1 = N δ(t 1, t 2 ) f(t; t 1, t 2 ) + 1. P (t 1, t 2 ) Per Definition ist der Barwert einer Zahlung in t 2 in Höhe von 1/P (t 1, t 2 ) zum Zeitpunkt t 1 gerade 1 P (t 1, t 2 ) P (t 1, t 2 ) = 1.
Bewertung von FRAs, Fortsetzung Der Barwert des FRAs zum Zeitpunkt t ist also insgesamt Π(t) = N [(δ(t 1, t 2 ) f(t; t 1, t 2 ) + 1) P (t, t 2 ) P (t, t 1 )]. Da Π(t) = 0 gelten soll, muss also f(t; t 1, t 2 ) = ( ) 1 P (t, t1 ) δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) 1 (4) sein. Diese Formel benutzen wir auch, um die LIBOR-Rate zu prognostizieren. Der Barwert einer zukünftigen LIBOR-Zahlung (in t 2 ) zur Zeit t ist ( ) 1 P (t, t1 ) f(t; t 1, t 2 ) δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) = δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) 1 δ(t 1, t 2 ) P (t, t 2 ) = P (t, t 1 ) P (t, t 2 ). (5)
Bewertung von FRAs, Alternative Die faire Forward-Rate lässt sich auch wie folgt replizieren: r(t; t 1 ) f(t; t 1, t 2 ) δ(t, t 1 ) δ(t 1, t 2 ) t t 1 t 2 δ(t, t 2 ) r(t; t 2 ) Wegen der Arbitrage-Freiheit muss gelten: 1 + δ(t, t 2 )r(t; t 2 ) = (1 + δ(t, t 1 )r(t; t 1 ))(1 + δ(t 1, t 2 )f(t; t 1, t 2 )) oder wegen 1 + δ(t, t i )r(t; t i ) = 1/P (t; t i ) für i = 1, 2: f(t; t 1, t 2 ) = ( ) 1 P (t; t1 ) δ(t 1, t 2 ) P (t; t 2 ) 1.
Replizierte und quotierte Forward-Raten Mit Ausbruch der Finanzkrise 2007 brach der Zusammenhang (4) zwischen der replizierten und der quotierten Forward-Rate zusammen: Abbildung : Unterschied zwischen replizierter und quotierter Forward-Raten (in 3 Monaten für 3 Monate).
Replizierte und quotierte Forward-Raten, Forts. Beispiel mit echten Quotierungen vom 11. Dezember 2012: 1x4 FRA, Start 14. Januar 2013, Laufzeit bis 15. April 2013, δ = 0.25278: r 1,4 = 0.165% 4x7 FRA, Start 15. April 2013, Laufzeit bis 15. Juli 2013, δ = 0.25278: r 4,7 = 0.126% 1x7 FRA, Start 14. Januar 2013, Laufzeit bis 15. Juli 2013, δ = 0.50556: r 1,7 = 0.293% Aus der Replikation würden wir erwarten, dass gilt, beziehungsweise (1 + δ 1,4 r 1,4 ) (1 + δ 4,7 r 4,7 ) = 1 + δ 1,7 r 1,7 r 1,7 = (1 + δ 1,4 r 1,4 ) (1 + δ 4,7 r 4,7 ) 1 δ 1,7 = 0.146%. Das ist weniger als die Hälfte der tatsächlich quotierten Forward-Rate! Zu der Frage nach dem Warum kommen wir später.
Variabel verzinste Wertpapiere Bei einem variabel verzinsten Wertpapier einer Floating Rate Note (FRN) zahlt der Emittent nicht einen festen Kupon, sondern einen Kupon, der an die LIBOR-Rate gebunden ist. Dies geschieht in der Regel in der Form LIBOR + Spread, wobei der Spread in Basispunkten p.a. angegeben ist. Beispielsweise zahlt ein Wertpapier 6-Monats-EURIBOR +80, d.h. alle jedes halbe Jahr wird die 6-Monats-EURIBOR-Rate gefixt und am Ende der Periode mit einem Aufschlag von 0.8% (p.a.!) auf das Nominal gezahlt. Abbildung : Zahlungsströme einer Floating Rate Note
Bewertung einer FRN Gemäß dem Replikationsansatz zerlegen wir die FRN in eine Reihe fester Kupons (die durch den Spread s definiert sind) und eine Reihe reiner LIBOR-Zahlungen. Die festen Zahlungen werden wie bisher einfach diskontiert, für die zukünftigen LIBOR-Zahlungen setzen wir Formel (4) für f(t; t i 1, t i ) bzw. (5) für die Barwerte der LIBOR-Zahlungen ein: Π(t 0 ) = N {f(t; t i 1, t i ) + s} δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) + N P (t, t n) = N f(t; t i 1, t i ) δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) + N s A(t; t 0, t n) + N P (t, t n) = N (P (t, t i 1 ) P (t, t i )) + N s A(t; t 0, t n) + N P (t, t n) = N (1 P (t, t n)) + N s A(t; t 0, t 1 ) + N P (t, t n) = N + N s A(t; t 0, t n). Insbesondere gilt: Ist der Spread s = 0, so ist eine (risikolose) FRN immer par wert!
Zur Vereinfachung: FRN mit veränderlichen Spreads und Nominalen f i = f(t; t i 1, t i ) δ i = δ(t i 1, t i ) P i = P (t, t i ) Verändert sich das Nominal und oder der Spread in festgelegter Weise, so ist der Barwert einer FRN Π(t 0 ) = N i 1 {f i + s} δ i P i + (N i 1 N i ) P i + N n P n = N i 1 s i δ i P i + {N i 1 (P i 1 P i ) (N i 1 N i ) P i } + N n P n = N i 1 s i δ i P i + {N i 1 P i 1 N i P i } + N n P n = N i 1 s i δ i P i + N 0. Insbesondere gilt auch für veränderliches Nominal: Ist der Spread s = 0, so ist eine (risikolose) FRN immer par wert!
Fixings bei FRN Bei der Herleitung der Bewertung einer FRN haben wir vorausgesetzt, dass der Start der aktuellen Periode auch der Bewertungstag ist, d.h. t = t 0. Im allgemeinen ist aber t 0 < t, und die aktuelle Periode hat bereits einen festgelegten Kupon, L(t 0, t 1 ) (evtl. +s 1 ), die in t 0 gefixte LIBOR-Rate. Der Barwert einer laufenden FRN (konstantes Nominal und Spread) ergibt sich damit als Π(t) = N δ(t 0, t 1 ) (L(t 0, t 1 ) + s) P 1 + N {f i + s} δ i P i + N P n = N δ(t 0, t 1 ) (L(t 0, t 1 ) + s) P 1 + N s A(t; t 1, t n) + N (P 1 P n) + N P n i=2 = N s A(t; t 0, t n) + N δ(t 0, t 1 ) L(t 0, t 1 ) P 1 + N P 1 = N s A(t; t 0, t n) + N (1 + δ(t 0, t 1 ) L(t 0, t 1 )) P 1. Für den Spezialfall t = t 0 ist nach (2) P 1 = 1 1 + δ(t 0, t 1 ) L(t 0, t 1 ), d.h. Π(t 0 ) = N s A(t; t 0, t n) + N wie oben behauptet.
Bemerkungen zum (oder Zinsänderungsrisiko) ist das Risiko, dass ein Finanzinstrument oder Portfolio durch eine Veränderung der Zinskurve an Wert verliert. Angenommen, wir haben eine konstante Zerozinskurve: r(t) r t 0, und dass alle Periodenlängen ebenfalls konstant sind (δ). Dann ist der Barwert einer Anleihe mit Kupon c mit Nominal 1 gegeben durch P V = c δ e r i δ + e r n δ ( ) 1 e r(n+1)δ = c δ 1 e r δ 1 + e r n δ r δ 1 e r n δ n δ = c δe + e r 1 e r δ c δ(1 r δ)n + 1 r n δ = 1 + c n δ r n δ(1 + cδ). Verändert sich r zu r + r, so ändert sich der Barwert zu P V r n δ(1 + cδ). Das negative Vorzeichen spiegelt die Tatsache wider, dass höhere Zinsraten dazu führen, dass zukünftige Zahlungen stärker abgewertet werden.
, Fortsetzung Jetzt wiederholen wir die Übung für eine (risikolose) FRN, die LIBOR +s auf ein Nominal von 1 zahlt. Wir bewerten die FRN an einem Fixingtag. Wir wissen, dass dann der reine LIBOR-Anteil der Anleihe plus Rückzahlung den Wert 1 hat, und nach den Ausführungen oben sehen wir dass der Barwert der FRN durch P V 1 + s n δ s r n δ 2, approximiert wird. Eine Änderung der Zinskurve um r verändert den Barwert um P V r s n δ 2. Ist der Spread s = 0, so hat die FRN kein. Selbst für s 0 sehen wir, dass das Verhältnis der beiden Risikozahlen r s n δ 2 r n δ(1 + c δ) = s δ 1 + c δ s δ sehr klein ist (Größenordnung von s, einer Zahl, die typischerweise deutlich kleiner als 1 ist). Bezüglich dem ist der Kuponbond das risknte Instrument, die FRN hat praktisch kein! Die FRN schwimmt auf dem Zinsniveau, während die festverzinsliche Anleihe an einem bestimmten Niveau befestigt ist.
Definition sind sehr simple Zinsderivate. Zwei Parteien tauschen Zinsströme aus, dabei zahlt die eine Seite feste Zinsraten und die andere LIBOR plus einen Spread auf ein vorher festgelegtes Nominal. In der komplizierteren Variante können Nominal, fester Zinssatz und Spread auch variieren. Nominalzahlungen finden in der Regel nicht statt. Die Idee dabei ist, dass man mit einem Zinsswap ein festverzinsliches Wertpapier in eine FRN umwandeln kann und umgekehrt. Diese Kombination eines Bonds mit einem Swap, der die Zahlungen des Bonds exakt umwandelt, nennt man einen Asset Swap. t 0 t 1 t 2 t n... t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t m Abbildung : Zahlungsschema eines.
Bewertung Zur Bewertung zerlegen wir den Swap in zwei Komponenten, das feste und das variable Bein: Π = Π var Π fix. Hierbei nehmen wir an, dass der Swap aus Sicht des Zahlers der festen Rate bewertet wird ( Payer Swap ); bei umgekehrtem Vorzeichen wäre es der Empfänger der fixen Rate ( Receiver Swap ). Beginne mit einem Swap mit festem Kupon c, Nominal N und Spread s. Die variable bzw. feste Seite des Swaps sehen im wesentlichen wie eine FRN bzw. ein festverzinsliches Wertpapier aus, bis auf die Nominalrückzahlung am Ende. Entsprechend können wir den Wert der beiden Beine bestimmen: Π fix (t) = c N δ(t j 1, t j ) P (t, t j ) = c N Afix (t, t 0, t n ), j=1 m Π var(t) = N (f(t; t i 1, t i ) + s) δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) = N {s A var (t; t 0, t m) + (1 + δ(t 0, t 1 ) L(t 0, t 1 )) P (t, t 1 ) P (t, t n)}. Beachte t m = t n.
Bewertung, Fortsetzung Bei Geschäftsabschluss liegt noch kein erstes Fixing vor, und t = t 0, d.h. Π var(t) = N {s A var (t; t, t m) + 1 P (t, t n)}. Wie erwartet unterscheidet sich das variable Bein im Wert von einer FRN nur durch die Rückzahlung, d.h. um den Wert N P (t, t n). Die Quotierung von Swaps erfolgt über die Par Rate oder faire Swaprate, unter der Annahme, dass kein Spread gezahlt wird. Dies bedeutet, dass die faire Swaprate c wie folgt bestimmt ist: Π var(t) = Π fix (t) m N f(t; t i 1, t i ) δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) = N c δ(t j 1, t j ) P (t, t j ) j=1 N(1 P (t, t m)) = N c A(t, t 0, t n ) c = 1 P (t, tm) A(t, t 0, t n ) (6)
Swapquotierungen Abbildung : Swapquotierungen vom 02/01/09
Wirkung eines Swaps Typischerweise schlließt eine Bank einen Swap ab, um ihr abzusichern (zu hedgen). Wenn sie ein Wertpapier mit festen hält oder ein Darlehen mit festen vergeben hat, wird sie das resultierende durch einen Swap neutralisieren, der den festen Zins in LIBOR plus Spread umwandelt (einen Payer Swap aus Sicht der Bank). Als Resultat hat die Bank in der Summe eine FRN mit deutlich geringerem. Analog wird die Bank ein aufgenommenes Darlehen oder eine Eigenemission mit festem Zins mit einem Receiver Swap absichern, in dem der feste Zins in LIBOR plus Spread umgewandelt wird. An einem Fixingtermin ist etwa der Barwert aus Bond (Kupon k) und Payer Swap Π(t) = N k A fix (t; t, t n) + N P n +N } {{ } 1 Pn + s Avar (t; t, t n) k A fix (t; t, t n) } {{ } } {{ } Bond variables Bein festes Bein = N + N s A var (t; t, t n). Das beschränkt sich also auf die Spread-Komponente.
1 Berechnen Sie die 1x7-Forward-Rate aus folgenden Daten: 1x4 = 2.53% (Start: 6/2/09, Ende: 6/5/09), 4x7 = 2.095% (Start: 6/5/09, Ende: 6/8/09), Basis Act/360. 2 Berechnen Sie für eine allgemeine FRN mit wechselndem Nominal N i und Spread s i den Stückzins. 3 Berechnen Sie die Forwardkurve f(s; t, t + δ) für festes δ für den Fall, dass die Zerorate r(s; t) r konstant für alle Laufzeiten t ist. 4 Definieren und berechnen Sie die Duration für eine FRN mit Spread 0 und konstantem Nominal. 5 Berechnen Sie den Stückzins eines Swaps mit konstantem Nominal N, Kupon c und Spread s in der Mitte einer variablen Periode.