Stabilität von Warteschlangenmodellen in der Inventarlogistik Florian Sobieczky: Mathematisches Institut, Universität Jena & TU-Graz supported by FWF (Austrian Science Fund), project P1873. Abstrakt: Eine besondere Form von Inventarmodell kann mit der sog. M/M/1-Warte- schlange realisiert werden, die sich durch gut zugängliche analytische Eigenschaften auszeichnet. Anhand von Beispielen wird die Erweiterung dieses einfachen Modells auf Situationen betrachtet, in denen verfallsbehaftete Güter und gestörte Nachfragefrequenzen betrachtet werden. Es wird die Theorie bereitgestellt, um diese und weitere Verallgemeinerungen anhand von Simulationen auf Stabilität und Optimierung der Utility-Funktion hin zu untersuchen. Schlagworte: single-server queues (M/M/1), birth-death processes, series of queues, pertubations of random walks, Überblick 1. Das Newsvendorproblem Inventare, deterministische und zufällige Nachfrage 2. Etwas über Warteschlangen M/M/1-Warteschlangen, Birth-& Death Processes als Inventare 3. Optimierung der Utility -Funktion Resultate: a.) analytisch b.) mit Hilfe von Simulation 4. Simulation a.) Gestörte Inventare, b.) Endliche Haltbarkeit
Literatur: Inventare: 1888: F. Edgeworth: The Mathematical Theory of Banking, Jour. of the Royal Statistical Society 51, 113-127 1951: K. J. Arrow, T. Harris, J. Marschak: Optimal Inventory Policy, Econometrica 19, 25-272 1961: D.P. Gaver, Jr.: Operating characteristics of a simple production, inventory control model, Oper. Res. 9, 635-649 1988: C. Knessl, B.J. Matkowsky, Z. Schuss, C. Tier: A state dependent M/M/1 queue: a production inventory model, Appl. Math. Lett. 1, 235-239 25: H.C. Huang, E.P. Chew, K.H. Goh: A two-echelon inventory system with transportation capacity constraint, Eur. J. Oper. Res. 167, 129-143 Warteschlangen: U.N. Bhat: Queueing Theory, Modeling and Analysis in Applications, Statistics for Industry and Technology, Birkhäuser (28) F.P. Kelly: Reversibility and Stochastic Networks, John Wiley (1979) P. Robert: Stochastic Networks and Queues, Springer (23) W. Woess: Random Walks on Infinite Graphs and Groups, Cambridge University Press, Cambridge, (2) 2
Das Newsboy -Problem Vorrat Q D a. b. c o One period selling season c u Zeit Figure 1: Der Vorrat des Zeitungsverkäufers über einer Periode Zeitungsverkäufer kauft morgens Vorrat Q ein, bis abends gibt es die Nachfrage D Utility-Funktion ( Gain ) G(Q,D) = c Q + p Qχ D>Q + p Dχ D Q a.) D Q ergeben Kosten c o (Q D) b.) D > Q ergeben Kosten c u (D Q) Problem: Gegeben Nachfrage D, wie groß wählt man Vorrat Q? 3
Kosten des Newsboy Sei c der Einkaufspreis, p der Verkaufspreis, dann c o = c, c u = p c. Der maximal mögliche Gewinn ist G = D(p c). Die Kosten sind K(Q,D) = G G(Q,D). K(Q,D) = Dp + c (Q D) p Dχ D Q p Qχ D>Q = c(q D) + p(d Q)χ D>Q = c(q D) + + (p c)(d Q) +. K(Q,D) = c o (Q D) + + c u (D Q) +. c o Überbestand, c u Unterbestand (od. Fehlmenge) 4
Lösung des Newsboy -Problems Bei zufälliger Nachfrage (D Φ): erwartete Kosten K(Q) = E Φ [K(Q, )] = c o Q xdφ(x) + c u xdφ(x) Q Erwart. Kosten = ÜberbestandskostenplusFehlmengenkosten Optimum (minimale K) bei Q = Q, s.d. K (Q ) = : c o Φ(Q) = c u (1 Φ(Q)) Φ(Q) = c u c u Q = Φ 1 ( ) c o +c u c o +c u c o (1 Φ (Q) ) c u Φ (Q) Figure 2: Maximaler Gewinn = minimale Kosten K(Q ) abhängig von der Verteilung Φ von D Q 5
Beispiele realer Inventare Figure 3: Bestand eines Handelsgegenstands in der Pharmaindustrie über den Zeitraum von einem Jahr aufgetragen; Daten mit Genehmigung von NovoNordisk Figure 4: gleich wie oben, aber mit höherer Einkaufsrate. 6
Die einfache Warteschlange mit einem Server 1. Interarrival Times T j between merchandise-deliveries 2. Serving Times S j between sales (j N) 3. The M/M/1 Queue: T j Exp(λ), S j Exp(µ), i.i.d. λ N µ t Figure 5: M/M/1-queue applied to simple inventory-model Buying-rate λ Inventory-Size N t Selling rate µ General Problem: Observing µ, what is λ? Applicability of the model (Buying with a rate or deterministically) 7
Stabilität des Inventars λ N µ t Figure 6: M/M/1-queue applied to simple inventory-model Buying-rate λ Inventory-Size N t Selling rate µ Stability: Inventory remains finite Recurrence of imbedded Markov chain on N: P[N n+1 = k +1 N n = k] = λ λ+µ ; P[N n+1 = k 1 N n = k] = µ λ+µ Criterion for positive Recurrence: λ µ. InEquilibrium: π k := P[N t = k] = (1 ρ)ρ k,whereρ = λ µ. Expected asymptotic size of inventory: lim t E µ [N t ] = ρ (1 ρ). 8
Utility-Funktion für das Inventar 1. Gain-functional: g(t) = A N t C N + t BN t A = Selling price; C = buying cost; B = stock-keeping-cost 2. Observed: µ= Selling rate, Unknown: λ = buying rate. λ N µ t Figure 7: The M/M/1-queue has a stationary distitribution: π k = (1 ρ)ρ k Given µ,b,c, find λ,a for maximal gain under stability. 1 t Average Gain: lim t t g(s)ds = E π [g()] (ergodicity) Solution: λ = max{µ, } (Note: λ < µ) Bµ C A Criterion for positive λ: B < µ(a C) 9
Gestörte Modelle joint work with G. Rappitsch and E. Stadlober Tandem Queues for Inventory Management under Random Perturbations, in: Quality and Reliability International (QREI), Wiley, to appear Transition rates λ k and µ k vary over queue-size N t = k P[N n+1 = k +1 N n = k] = λ k λ k +µ k ; P[N n+1 = k 1 N n = k] = µ k λ k +µ k λ µ µ Warteschlange ist eine Birth- and Death-Chain (Nächste Nachbar-Irrfahrt auf Z + in kontinuierlicher Zeit) j = 1 Warten einer zufälligen Zeit T j (1) Sprung nach Vorgabe der Übergangswahrscheinlichkeiten j j +1, : 1
Resultat: Stabilitätskriterien Bei Vermischung unterschiedlicher Nachfrageraten: λ < 1 2 (µ + µ) Bei schüchternen Angestellten : (Vermischung der Übergangswahrscheinlichkeiten) λ < µ µ Figure 8: Links: Simulation leicht unterhalb des kritischen Wertes λ c = 4. bei λ = 3,µ = 5 über eine Periode von 1 Tagen B = 15 Euros/month. Rechts: λ = 4.2. Die Katastrophe wird sichtbar anhand des Auftretens von hohen Verlusten mit hoher Wahrscheinlichkeit. 11
Simulation von endlicher Haltbarkeit joint work with G. Rappitsch and A. Christensen ENBIS 21 (Antwerpen) Cost-functionals: For unlimited durableness (T = ), the cost after time t is modelled by K(t) := C A t + B t N s ds + D S t where S t = number of Demands at times t when N t =, i.e. t S t = δ χ ds. D s>ds Ns= If T <, N t is replaced by M t := (A t D t Q t ) where Q t is the number of items perishing at time t. Also, S t is replaced by S t = t δ D s>ds χ Ms= ds. 12
6 Cost 3 x 1 2 1 1 2 3 4 5 6 time in days Mean= 1789756.2 std= 29776.786 7 8 Count 4 2 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 Cost after 24 months in DKK 2.4 2.6 6 x 1 6 Cost 4 x 1 2 1 2 3 4 5 6 time in days Mean= 162728.9333 std= 473289.4353 7 8 Count 6 4 2.5 1 1.5 2 2.5 Cost after 24 months in DKK 3 3.5 6 x 1 Figure 9: Visible effect of products s finite life-time of 12 months: Upper: The buying rate λ is chosen to be the optimal value of the case T =. Lower: Here λ = 27. items per day, the opimal value for the case where T = 12 months. 13