5 Wechselwegschaltung

5 Wechselwegschaltung Übungsziele: Schalten von Wechselspannungskreisen mit ohmscher Last und induktiver Glättung Steuern von Wechselspannungskreisen mit ohmscher Last und induktiver Glä t- tung Grenzfall rein ohmscher Last R Grenzfall bei idealem Speicher L Leistungsübertragung Grundschwingungsgehalt, Verschiebungs- und Leistungsfaktor Leistungsmittelwerte Übungsdateien: MATHCAD: SIMPLORER: w.mcd; ws.mcd; 4fourier.mcd wrl.ssh; wrl_m.ssh 5. Wechselstromschalter Fügt man antiparallel zum M-Einpulsgleichrichter ein zweites steuerbares Ventil hinzu, liegt zusätzlich die negative Halbwelle der speisenden Spannung u S an der Last an. Die Ausgangsspannung ist jetzt eine Wechselspannung, die allgemein als Lastspannung u L bezeichnet wird. Bei der M-Schaltung lag dagegen die Gleichspannung u d an der Reihenschaltung aus Widerstand und induktivem Speicher. Bild 5.: W-Wechselschaltung Das neue Netzwerk heißt jetzt Wechselwegschaltung W. Durch die Steuerwinkel α und α, die gegeneinander um 80 elektrisch versetzt sind, werden die Ventile gesteuert. Die Zündwinkel sind jeweils auf die positive und die negative Halb welle der Eingangsspannung synchronisiert. Durch verzögertes Schalten gegenüber dem Nulldurchgang der Spannungen kann die Lastspannung u L verändert werden.

5. Wechselstromschalter 69 Die Gleichung für den Ventilstrom i v folgt aus der Spannungsgleichgewichtsbedingung entsprechend der Ventilstromberechnung der M-Gleichrichterschaltung im Definitionsbereich α x α+τ d : x = Iˆ V ( ) sin( x ϕ) sin( α ϕ) e (5.) i x α ωτ Beim Einschalten ohmsch-induktiver Kreise überlagert sich [s. Gleichung (5.)] einer Sinusfunktion mit der Phasenverschiebung ϕ = arctan (L/R) eine e-funktion, die mit der Zeitkonstanten τ = L/R des induktiven Spe ichers abklingt. Nicht nur in der Stromrichtertechnik, sondern auch beim Schalten von Lasten mit starken induktivem Anteil treten Stromüberhöhungen auf. Hohe Scheitelwerte des transienten Stromes, also des vorübergehenden Stromanteils, können über seine Kraftwirkungen unmittelbar die Leiterbahnen zerstören, falls sie nicht mechanisch entsprechend stark ausgelegt sind. Eine zu hohe Wärmeentwicklung wird durch rechtzeitiges Abschalten von Sicherungen meist rechtzeitig vermieden. Die Wechselwegschaltung wird auch als elektronischer Schalter benutzt. Bei kleineren Leistungen wird ein Triac als Chip mit integrierter Steuerschaltung verwendet. Elektronische Schalter arbeiten verschleißfrei ohne mechanische Trägheit. E- lektrische Leitungen werden nicht galvanisch getrennt. Deswegen ist immer ein zusätzlicher mechanischer Trennschalter aus Sicherheitsgründen erforderlich, wenn an abgeschalteten Geräten gearbeitet wird. u i us i0 ϕ α il ie Bild 5.: Einschaltvorgang

70 5 Wechselwegschaltung Es wird ein Einschaltvorgang mit beiden Programmen simuliert. Die Eingabedaten für MATHCAD und SIMPLORER sind R = 0 Ω und L = 00 mh. Die mathematische Lösung zeigt Bild 5. in MATHCAD. Dort sind die Bestandteile der Gleichung (5.) separat gezeic hnet. Aus der Summe ergibt sich der einschwingende Gesamtstrom, der nach einigen Perioden auf den Dauerstrom abgeklungen ist. Der Einschalt zeitpunkt ist wesentlich für den maximalen Scheitelwert des Ein schaltstromes. Bild 5.3 zeigt die Lösung im QuickView des SIMPLORERS. Bei allen Simulationsergebnissen muss auf den Maßstab geachtet werden, da alle Simulationsergebnisse nur gemeinsam in einer Grafik mit einheitlicher Koordinatenbezifferung ausgegeben werden. Die Kurven müssen meist skaliert werden, um alle Kanäle gut sichtbar zu erhalten. Wenn das nicht beachtet wird, erscheinen kleine Größen bei sehr unterschiedlichen Zahlenwerten nicht in der Grafik. Bild 5.3: Strom und Spannung beim Schaltvorgang 5. Wechselstromsteller Beim Wechselstromsteller wird die Ausgangsspannung u L stetig durch die Anschnittsteuerung über α verstellt. Im Stromnulldurchgang sperren die Ventile bei τ δ. Wechselstromsteller werden z.b. im Haushalt als Dimmer und in der Industrie zum Steuern von Werkzeugmaschinen verwendet. Durch Variation der Eingabedaten, wie des Steuerwinkels α, des Widerstandes R und des Speichers L, können verschiedene Betriebszustände simuliert werden. Um eine wirksame Steuerung zu erreichen, muss der Steuerwinkel α immer größer als der aus R und L berechnete Phasenwinkel ϕ sein. Wird diese Bedingung nicht eingehalten, arbeitet der Wechselrichter in Vollsteuerung, d.h., am Ausgang liegt die volle Wechselspannung an.

5. Wechselstromsteller 7 α τd x Bild 5.4: Strom und Spannung bei ohmsch-induktiver Last Damit bei großer induktiver Belastung die Steuerfähigkeit beider Halbleiter im Bereich α < ϕ gewährleistet ist, dürfen die Thyristoren bei dieser Last nicht durch Kurzimpulse gesteuert werden. Da ein Ventil durch den induktiven Strom lange nach Beenden des Impulses leitend ist, kann mit einem kurzzeitigen Impuls das antiparallele Ventil nicht gezündet werden, da durch den Kurzschluss des paralle - len leitenden Thyristors die Ventilspannung Null bleibt. Wenn nach dem Stromnulldurchgang das zweite Ventil zünden könnte, ist der Zündsignal als Kurzzeitimpuls schon erloschen. Um dieses Problem zu lösen, muss der Thyristor durch einen Dauerimpuls gesteuert werden. Er liegt bis zum Nulldurchgang der Spannung an. Leider wird durch einen Dauerimpuls die Zündverlustleistung beträchtlich erhöht. Deswegen ersetzt man den kontinuierlichen Impuls durch viele separate Einzelimpulse, was die Verlustleistung etwas senkt. Das Beispiel in Bild 5.5 zeigt diesen Sachverhalt. Dort sind bei einem starken induktivem Anteil (ϕ = 7 ) und der Steuerung mit α = 45 die Impulsfolgen gezeigt. Sie setzen um α versetzt ein und enden bei dem Zeitwinkel von 80. Dort führt das Ventil weiterhin Strom, so dass das antiparallele Ventil erst zünden kann, wenn der Strom Null geworden ist. Das zweite Ventil wird nach Einsetzen der Impulskette le itend, statt bei 45 schaltet das Ventil erst bei ca. 80 durch. Übersteigt der Steuerwinkel den Lastwinkel nach Bild 5.7 ist bei gleicher Belastung α = 90. Der sinusförmige Lastspannung bekommt Lücken. Damit wird ihr Effektivwert kleiner.

7 5 Wechselwegschaltung Bild 5.5: Zündimpulse bei α = 45 und ϕ = 7 Tabelle 5.: Charakteristische Größe Z = R L = 0 Z = ωl R = 0 U U Lá L gültig für den Steuerbereich 0 α π α = + sin α ð ð I I Lá L α = + sin α ð ð gültig für den Steuerbereich π/ α π ULá α = + sinα I Lá α 6 4 cos α + sin αcos α UL ð ð = + IL ð ð Die Ergebnisse der Gleichungen aus Tabelle 5. wurden in Bild 5.6 als Steuerkennlinie aufgetragen. Eine Steuerkennlinie stellt mindestens eine Ausgangsgröße als Funktion der steuernden Größe dar. Die Steuerkennlinien sind nichtlinear. Die Spannungs- und Stromkennlinien decken sich bei reiner Wirklast, da ihre Kur venform bei Z = R und L = 0 gleich sind. Die Kennlinien für gemischt ohmsch-induktive Last liegen zwischen der Grenzkennlinie für L = 0, falls nur der ohmsche Widerstand angeschlossen ist, und der Grenzkennlinie für R = 0, falls nur die Induktivität angeschlossen ist.

5.3 Kennwerte verzerrter Wechselgrößen 73 U Lα I Lα U L I L L = 0 R = 0 ULα UL ILα IL ULα UL ILα IL α in Grad Bild 5.6: Steuerkennlinien des Wechselstromstellers Bild 5.7: Strom und Spannung bei α = 90 und hohem induktivem Anteil von α = 7 5.3 Kennwerte verzerrter Wechselgrößen Durch die Schaltvorgänge weichen sowohl die Ströme als auch die Spannungen von der idealen Sinusform ab. Bei der Leistungsberechnung aus den Momentanwerten p = u i wird meistens die Spannung vereinfachend rein sinusförmig vorausgesetzt. Da die folgenden Gleichungen allgemein gelten, wird y als Momentanwert und Y d als Mittelwert verwendet. Mit Y wird allgemein der Effektivwert bezeichnet.

74 5 Wechselwegschaltung ( x) = Y + Yˆ sin( x + ϕ ) + Yˆ sin( x + ϕ ) + Yˆ sin( 3x + ϕ )... y (5.) d 3 3 + Durch Gleichung (5.) wird eine verzerrte periodische Wechselgröße beschrieben. Sie kann mit der Fourier-Analyse in ihre sinusförmigen Komponenten zerlegt werden. Die verzerrte Originalfunktion y ist aus den sinusförmigen Komponenten durch Addition nach Betrag und Phase zusammengesetzt. Der arithmetische Mittelwert Y d, wie er sich als Gleichanteil der Fourier-Analyse ergibt, berechnet sich nach: ð Y d = y( x) dx (5.3) ð 0 Der Effektivwert oder quadratische Mittelwert Y ist: ð Y = y( x) dx (5.4) ð 0 Er errechnet sich auch aus den Komponenten der Fourier-Analyse: ) ) ) Y Y Y3 Y = Yd + + + +... (5.5) Die Qualität einer Wechselgröße wird durch ihren Grundschwingungsgehalt g oder den Oberschwingungsgehalt k bestimmt: Effektivwert der Grundschwingung Y g = = (5.6) Effektivwert der Gesamtschwingung Y υ = ν Effektivwert der Oberschwingungen Y υ= ν k = = (5.7) Effektivwert der Gesamtschwingung Y υ = ν Die Kurvenform einer periodischen Funktion wird durch die Kenngrößen des Scheitelfaktors k S oder des Formfaktors k F beschrieben: Scheitelwert k S = für ideale Sinusform ist S Effektivwert k = Effektivwert k F = für ideale Sinusform ist F arithmetischermittelwert k =,

5.4 Leistung verzerrter Wechselströme 75 Gleichgrößen Y d sind oft durch Wechselanteile überlagert. Ihr Anteil wird durch die Welligkeit w angegeben. w = õ= Y d Y õ = Y Yd (5.8) Weitere Kennwerte, die zusätzlich im Auswerteprogramm DAY des SIMPLORERS ermittelt werden, können sind: Wechselanteil des Effektivwertes: Y = Y Y (5.9) eff Schwingungsgehalt: s = (5.0) w eff d Riffelfaktor: Crestfaktor: r Y Y max min = (5.) Yd ( Y Y ) Max max, min c = (5.) Y 5.4 Leistung verzerrter Wechselströme 5.4. Momentanwerte Der Laststrom einer Wechselwegschaltung mit rein ohmscher Last (Bild 5.8) wird durch die Fourier-Analyse in seine Komponenten zerlegt. Die Spannung u S soll ideal sinusförmig sein. In diesem Fall sind nur Oberschwingungen der Ordnung ν = n ± für n =,3... vorhanden. Fourier-Analysen lassen sich leicht mit MATH- CAD durchführen. In der Beispieldatei fourier.mcd ist die Zerlegung einer Funktion durch die Fourier-Analyse mit MATHCAD gezeigt. Bild 5.8: W mit ohmscher Last

76 5 Wechselwegschaltung i α ϕ x Bild 5.9: Ergebnis der Fourier-Analyse des Laststroms Beispielhaft ist die Fourier-Analyse mit der MATHCAD-Datei w.mcd durchgeführt. Bild 5.9 zeigt den angeschnittenen Strom mit den Fourier-Komponenten. Die Phasenverschiebung ϕ der Grundschwingung des Stromes und der Spannung ist zur der Berechnung der Wirkleistung wichtig. Wegen der sinusförmig angenommenen Netzspannung trägt nur die Grundschwingung des Stromes zur Wirkleistung bei. Die Oberschwingungen bilden die Blindle istungskomponenten. Von den existierenden ungeradzahligen Oberschwingungen sind nur diejenigen für ν = 3; 5 und 7 gezeichnet. Der Effektivwert der Grundschwingung ist der Bezugswert. Oberschwingungsspektrum für α = 60 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 Bild 5.0: Amplitudenspektrum des Laststromes ν

5.4 Leistung verzerrter Wechselströme 77 Mit MATHCAD kann sowohl die Fourier-Analyse als auch deren Rekonstruktion durchgeführt werden. Sie ist in der Datei w.mcd durch den Ausdruck ( Re( C ) cos( υ x) Im( C ) sin( υx )) i x) : = C + + (5.3) rec ( 0 υ υ formuliert. Bei der Rekonstruktion wurden die Fourier-Koeffizienten bis zur 9. Oberschwingung addiert. Dabei ist zu beachten, dass die Angabe des Amplitudenspektrums allein zu einer Rekonstruktion nicht ausreicht. Es müssen zusätzlich die Phasenverschiebungen der Oberschwingungen zur Bezugsfunktion berücksichtigt werden. υ i(x) Rekonstruktion aus Oberschwingungen bis zur 9. 0 x Bild 5.: Rekonstruktion des verzerrten Stromes Die Wirkleistung P ist der arithmetischer Mittelwert des Produktes aus Strom und Spannung p = u i. ð P = u( x) i( x) dx (5.4) ð 0 Sind sowohl der Strom als auch die Spannung verzerrt, ergibt sich die Wirkleistung aus dem Produkt der Oberschwingungen gleicher Ordnung ν. Dieser Sachverhalt muss gegenwärtig mehr Beachtung finden, da von einer idealen sinus förmigen Versorgungsspannung heutzutage nicht mehr ausgegangen werden kann. Die Spannung wird zunehmend durch nichtlineare Verbraucher verzerrt. Es können daher gleiche Oberschwingungsanteile sowohl in der Spannung als auch im Strom vorhanden sein. Pí = U í I í cos( ϕí ) ν = ν = P = (5.5)

78 5 Wechselwegschaltung Im Falle sinusförmiger Netzspannung kann nur die Grundschwingung des Stromes i zur Wirkle istungsbildung beitragen. Aus Gleichung (5.5) folgt: P = P = UI cos( ) (5.6) ϕ Die Momentanwerte der Grundschwingungsleistung haben doppelte Netzfrequenz. In Gleichung (5.7) ist der erste Summand eine pulsierende Gleichgröße, deren Momentanwerte immer größer als Null sind. Der arithmetische Mittelwert entspricht der Wirkleistung P. Der zweite Summand ist eine reine Wechselgröße mit dem arithmetischen Mittelwert Null. Er gibt die Blindleistungsmomentanwerte der Grundschwingung wieder, deren absoluter Mittelwert der Grundschwingungsblindleistung Q entspricht. p ( x) = UI p ( x) = UI p ( x) = UI p ( x) = UI sin( x) cos( x + ϕ ) [ cos( ϕ ) cos(x + ϕ) ] cos( ϕ ) UI [ cos( x) cos( ϕ ) sin(x) sin( ϕ )] cos( ϕ )( cos( x)) + UI sin( ϕ ) sin x) (5.7) p Aufteilung in Blind- und Wirkleistung 0 α = 60 x p 0 α = 60 Aufteilung in Grundschwingungsleistung p und Verzerrungsleistung pv Bild 5.: Leistungen der W-Schaltung x

5.4 Leistung verzerrter Wechselströme 79 Die Aufteilung der Leistung p in reine Wirkleistung p W und reine Blindleistung p B erfolgt in Bild 5.. Subtrahiert man von der Leistung p, die nur aus der Grundschwingung des Stromes gebildete Momentanwert der Grundschwingungsleistung p, bleibt eine Restleistung p v übrig. Sie ergibt sich aus der Verzerrung des Laststroms. Da der Mittelwert der Funktion p v = 0 ist, handelt es sich um eine reine Blindleistung, die Verzerrungsblindleistung heißt. 5.4. Leistungsmittelwerte Berechnet man die Leistungen aus den Effektivwerten der Spannungen und Ströme, ergeben sich folgende Zusammenhänge: Scheinleistung: S = UI = U I + I + I... (5.8) 3 + Die Scheinleistung ist S = U I. Da der Effektivwert I aus einer verzerrten Größe gebildet wird, ergibt sich S aus einer Summe gemäß Gleichung (5.8). Grundschwingungsscheinleistung: S = UI = P + Q (5.9) Grundschwingungsblindleistung: Q = UI sin( ϕ = S P (5.0) ) Wirkleistung P = UI cosϕ ( ) (5.) Gesamtblindleistung Q = S P (5.) Verzerrungsleistung: D = Q Q = U I + I +... (5.3) Weil die Zeiger von P und Q ; sowie Q und D senkrecht aufeinander stehen, ergeben sich die Gleichungen (5.0), (5.), (5.) und (5.3). Die Leistungen lassen sich als Kanten eines Tetraeders in Bild 5.3 zeichnen. Im Falle eines unverzerrten Stroms wird die Verzerrungsleistung D = 0. S wird zu S und Q deckt sich mit Q. Wegen der sinusförmig angenommenen Eingangsspannung gilt immer P = P. Es ergibt sich dann das aus den Grundlagen der Elektrotechnik bekannte Zeigerbild der Leistungen. 3

80 5 Wechselwegschaltung Bild 5.3: Geometrische Darstellung der Leistungen 5.4.3 Der Leistungs- und Verschiebungsfaktor Der Leistungsfaktor ist durch Gleichung (5.4) definiert. Er stimmt nur bei sinusförmigen Wechselgrößen mit dem cos(ϕ) überein. In diesem Sonderfall ist cos(ϕ) = cos(ϕ ). P Wirkleistung λ = = (5.4) S Scheinleistung Allgemein berechnet sich der Leistungsfaktor aus dem Grundschwingungsgehalt und der Phasenverschiebung der Grundschwingung mit dem Verschiebungsfaktor cos(ϕ ). λ = gi cos( ϕ ) (5.5) Wenn verzerrte Ströme und Spannungen vorliegen, muss der Leistungsbegriff erweitert werden. Nur die Wirkleistung ist eindeutig bestimmt. Bei der Blindleistung gibt es unterschiedliche Definitionen. Obwohl wir es mit einem reinen ohmschen Verbraucher zu tun haben, wird von der Schaltung Blindleistung aufgenommen, sobald sie angesteuert wird. Man spricht von Steuerblindleistung Q und Verzerrungsblindleistung D. In Mehrphasensystemen kann zusätzlich durch Unsymmetrien Blindleistung entstehen, die Unsymmetrie-Blindleistung. 5.4.4 Anwendungsbeispiel Die einphasige W-Schaltung wird als Dimmerschaltung zur Reduzierung der Wirkleistung von Lampen eingesetzt. Allerdings wird der Effekt durch zusätzliche Erzeugung von Blindleistung erkauft. Man verwendet für die Schaltung Triacs. Sie werden durch Potentiometer gesteuert.

5.4 Leistung verzerrter Wechselströme 8 Für die rein ohmsch belastete W-Schaltung lassen sich der Grundschwingungsgehalt g sowie der Verschiebungsfaktor cos(ϕ ) und Leistungsfaktor λ nach folgenden Gleichungen ausrechnen. Die Funktionen sind aus Bild 5.5 ersichtlich. Grundschwingungsgehalt ( ð α) + ( ð α) Bild 5.4: Dimmerschaltung sin α + sin α g i = (5.6) ð α + sin α ð ð Phasenwinkel der Grundschwingung sin α ϕ = arctan (5.7) ð α+ sin α Verschiebungsfaktor ð α+ sin α cosϕ = (5.8) ( ð α) + ( ð α) sin α+ sin α Leistungsfaktor α λ = + sin α (5.9) ð ð

8 5 Wechselwegschaltung gi cos ϕ λ gi λ cos ϕ α ϕ Bild 5.5: Kenngrößen der W-Schaltung bei ohmscher Last α