Ferienkurs Experimentalphysik 3 Wintersemester 04/05 Thomas Maier, Alexaner Wolf Lösung Optische Abbilungen Aufgabe : Vergrößerungslinse Mit einer (ünnen) Linse soll ein Gegenstan G so auf einen 3m entfernten Bilschirm abgebilet weren, ass ein 0fach vergrößertes Bil entsteht. Welche Brennweite muss ie Linse haben? Lösung : Aus er Linsengleichung f = b + g () un em Abbilungsmaßstab B G = b g sowie em Abstan zwischen Gegenstan un Bilschirm = 0 () folgt: g + b = 3m (3) g = 3m g = 3 m (4) b = ( 3 3 ) m = 30 m (5) f = g b g + b = 90 m = 0, 5m (6) 3
Aufgabe : Brille Die Linse eines gesunen menschlichen Auges kann ein scharfes Bil von Gegenstänen auf er Netzhaut erzeugen, ie minestens 5cm entfernt sin. Der Abstan zwischen Netzhaut un Linse beträgt etwa 3cm. a) Welche Brennweite nimmt ie Linse an, wenn as Auge auf unenlich fokussiert? Welche wenn es auf einen Gegenstan in 5cm Entfernung fokussiert? b) Durch eine Verformung es Augapfels hat sich er Abstan zwischen Netzhaut un Linse auf 3,5cm vergrößert. Ist as Auge kurz- oer weitsichtig geworen? Welche Brennweite muss eine Brille haben, ie sich cm vor em Auge befinet, um iesen Effekt wieer auszugleichen? c) Jetzt hat sich er Augapfel auf,5cm verkürzt. Tritt ie Fehlsichtigkeit nun im Nah- oer im Fernbereich auf? Welche Brennweite muss ie Brille jetzt haben, um in iesem Bereich ie alte Sehschärfe wieerherzustellen? Lösung : a) Fokussiert as Auge auf unenlich, so gilt /g = 0 un somit f = b = 30mm. Wir ein Gegenstan in g = 5cm Entfernung fokussiert, erhält man mithilfe er Linsengleichung f = b g b + g = 7mm. (7) b) Bei maximaler Entspannung es Auges (also wenn es auf unenlich fokussiert) liegt ie Bilebene urch ie Verformung es Augapfels nun vor er Netzhaut. Weit entfernte Gegenstäne können eshalb nicht mehr scharf abgebilet weren, as Auge ist also kurzsichtig geworen. Die Brennweite er Linse es Auges beträgt hier f = 30mm (vgl. Teilaufgabe a) un bilet mit er Linse er Brille mit gesuchter Brennweite f ein Linsensystem, as eine Bilweite von b = 35mm haben muss. Für ie Brennweite f eines Linsensystems gilt f = +, (8) f f f f wobei = 0mm er Abstan er Linsen ist. Einsetzen in ie Linsengleichung (/g = 0) un Auflösen auf f liefert f = b + g (9) also eine (konkave) Streulinse. f = b (f ) f b = 70mm, (0)
c) Liegt er Fokus es Auges auf einem Gegenstan im Nahbereich (g = 5cm), befinet sich ie Bilebene nun hinter er Netzhaut. Das Auge ist nun weitsichtig. Analog zu Aufgabenteil b) benötigen wir ie Gleichung für ie Brennweite eines Linsensystems un ie Linsengleichung. Dabei beträgt b = 5mm, g = 50mm un f = 7mm (a Fokus im Nahbereich, vgl. a) ). Mit er Linsengleichung erhalten wir ie erforerliche Brennweite es Linsensystems als: f = b g b + g = 3mm. () Einsetzen in ie Gleichung für ie Brennweite eines Linsensystems un Auflösen auf f liefert also eine (konvexe) Sammellinse. f = f (f ) f f = 40mm, () Aufgabe 3: Lupe Eine Sammellinse mit Brennweite f = 00mm soll als Lupe verwenet weren. a) Skizzieren sie en Strahlengang un wo ie Abbilung entsteht. b) Wie weit arf ie Lupe maximal vom Papier entfernt sein? Was ist in iesem Fall ie Bilweite un ie Vergrößerung? Lösung 3: a) Eine Lupe erzeugt von einem Gegenstan innerhalb ihrer Brennweite eine virtuelle Abbilung. Da sich ie Abbilung auf er gleichen Seite wie er Gegenstan befinet, ist ie Bilweite nach er Vorzeichenkonvention negativ. b) Da sich er Gegenstan innerhalb er Brennweite befinen muss, arf er Abstan maximal 00mm betragen. In iesen Fall gilt für ie Bilweite: 3
b = fg g f = (3) Die Abbilung befinet sich also im Unenlichen. Die Vergrößerung wir aher mithilfe er eutlichen Sehweite es menschlichen Auges s 0 = 50mm gemäß er Vorlesung bestimmt: V L = s 0 f =, 5 (4) Aufgabe 4: Spiegelteleskop Ein Teleskop zur Betrachtung weit entfernter Sterne bestehe aus zwei sphärischen Spiegeln (vgl. Abbilung). Der Krümmungsraius es großen Spiegels (mit einem Loch im Zentrum) sei,0m, er es kleinen Spiegels betrage 0,6m. Der Abstan er Scheitel S un S er beien Spiegel sei 0,75m. a) Berechnen Sie en Abstan es bilseitigen Brennpunktes F es Spiegelsystems von Scheitel S es kleinen Spiegels (parallel einfallene Strahlen, vgl. Abbilung). b) Bestimmen Sie ie effektive Brennweite er Anornung beier Spiegel (effektive Brennweite = Brennweite einer Sammellinse mit gleichen abbilenen Eigenschaften wie as Spiegelsystem). c) Mithilfe eines Okulars (f Ok = cm) wir nun as reelle Zwischenbil es Sterns mit entspanntem Auge betrachtet. Berechnen Sie ie Vergrößerung es Gesamtsystems. ) Was sin ie Hauptvorteile von Spiegelteleskopen gegenüber Linsenteleskopen? Lösung 4: a) Es gilt ie Linsengleichung g + b = f. (5) Da g = un f = r gilt b = r. Für ie Bilweite gilt außerem b = y + 0, 75m, woraus folgt: y = r 0, 75m = 0, 5m (6) 4
Der Bilpunkt wir nun vom zweiten Spiegel in en Brennpunkt F fokussiert, wobei nun arauf geachtet weren muss, ass y un r negative Vorzeichen besitzen müssen. Die Linsengleichung lautet ann y + x = r, (7) un auf x aufgelöst erhält man schließlich en Abstan es Brennpunktes F zum Scheitel S als x = y r y r = 0, 5 0, 6 m =, 5m. (8) 0, 5 + 0, 6 b) Wir konstruieren en Stanort er Linse wie in er Zeichnung angeeutet un berechnen aus zwei Strahlensätzen D = D = x f y y + 0, 75m (9) (0) f = ( y + 0, 75m) x y = 6m () c) V = f = 600cm f Ok cm = 300 () ) Es gibt zum einen keine chromatische Aberration (eine größere Banbreite λ wir übertragen) un zum aneren sin Spiegel in größeren Durchmessern konstruierbar un justierbar, was eine höhere Lichtausbeute zur Folge hat. 5
Aufgabe 5: Zoomobjektiv Zwei ünne Linsen befinen sich im Abstan zueinaner un haben beie eine Brennweite von 70mm. Daurch, ass er Abstan veränerlich ist, soll ein Zoom- Objektiv realisiert weren. a) Was ist ie minimale Brennweite es Zoomobjektivs un warum? b) Was ist ie größte theoretische Brennweite, ie mit ieser Anornung erreicht weren kann? Was passiert, wenn er Abstan noch weiter vergrößert wir? Skizzieren sie en Strahlenverlauf urch as Objektiv in en beien Grenzfällen minimaler un maximaler theoretischer Brennweite. c) Die maximale Brennweite soll f = 80mm betragen. Wie muss er Abstan er Linsen gewählt weren? Lösung 5: a) Wir verwenen wieer ie Gleichung für ein Linsensystem f = + (3) f f f f un setzen f = f = 70mm. Wir sehen irekt, ass man ie minimale Brennweite erhält, wenn er Abstan zwischen en beien Linsen 0 ist. Dann gilt für ie Brennweite es Systems: f = 70mm b) Die Brennweite im Abhängigkeit es Abstans lautet: f = 35mm (4) f = 70mm (5) 4900mm Wir können ie Brennweite theoretisch unenlich groß machen. Dies erreichen wir, wenn er Abstan zwischen en beien Linsen gleich 40mm ist, a ann gilt = 0. Wenn man en Abstan noch weiter vergrößert, wir ie Brennweite f negativ, wir erhalten also eine Streuwirkung. c) Mit Obiger Gleichung nach aufgelöst erhält man mit f = 80mm für en Abstan zwischen en Linsen =, 5mm. 6
Aufgabe 6: Pointillismus Beim Pointillismus hanelt es sich um eine Stilrichtung in er Malerei, ie zwischen 889 un 90 ihre Blütezeit hatte. Sie ist urch eine besonere Maltechnik geprägt: Das gesamte Bil besteht aus kleinen regelmäßigen Farbtupfern mit einem Abstan von ca. mm. Der Gesamt-Farbeinruck ergibt sich eshalb erst bei Betrachtung aus einer gewissen Entfernung urch ie optische Verschmelzung er Farbpunkte. a) Die menschliche Pupille habe einen Durchmesser von 3mm. Bei welcher Farbe setzt ein scheinbares Vermischen er Punkte urch Beugungseffekte zuerst ein? b) In welchem Abstan muss as Kunstwerk betrachtet weren, amit alle Farben vermischt sin? Lösung 6: a) Für as Auflösungsvermögen es Auges gilt mit em Pupillenurchmesser D = 3mm nach em Rayleigh-Kriterium: α min =, λ D (6) Daraus lässt sich sofort erkennen, ass eine kleinere Wellenlänge λ auch einen kleineren Winkel minimaler Auflösung α min zur Folge hat. Die Farbe mit er besten Auflösung ist also violett, ie mit er schlechtesten ist rot. Das Vermischen er Punkte setzt aher zuerst bei en roten Punkten ein. b) Da sich ie violetten Farbpunkte als letztes vermischen, führen wir ie Rechnung mit λ = 400nm urch. Zwei Punkte mit Abstan = mm haben aus er Entfernung h betrachtet en Winkelabstan tan (α) = h. (7) In Kleinwinkelnäherung gilt tan (α) = α. Daraus folgt mit em Rayleigh- Kriterium h =, λ D (8) un nach Auflösen h =, 3m. 7