2.3 Der Fluss eines Vektorfeldes

32 Kapitel 2. Gewöhnlihe Differentialgleihungen 2.3 Der Fluss eines Vektorfeldes Sei F:D R n R n ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann erfüllt F die Voraussetzungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes. Das bedeutet, dass die zugehörige Differentialgleihung Y (t) = F(Y(t)) zu jeder Anfangsbedingung Y(t 0 ) = Y 0 eine eindeutig bestimmte maximale Lösung hat. In dieser Situation hängt die rehte Seite der Differentialgleihung niht explizit, sondern nur implizit von der Variablen t ab. Eine solhe Differentialgleihung bezeihnet man als autonom. Die Lösungen dieser Differentialgleihung sind gerade die Integralkurven des Vektorfeldes F. Das heisst, an jeder Stelle einer solhen Kurve stimmt der Geshwindigkeitsvektor mit dem an dieser Stelle durh das Vektorfeld vorgegebenen Vektor überein. Ist zum Beispiel f:d R n R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion in n Variablen, so ist das Gradientenvektorfeld gradf:d R n einmal stetig differenzierbar und also von dem verlangten Typ. Also hat die Differentialgleihung Y (t) = gradf(y(t)) zu jeder Anfangsbedingung eine eindeutig bestimmte maximale Lösung. Die Gesamtheit dieser Lösungen bildet den sogenannten Gradientenfluss. 2.13 Definition Allgemeiner versteht man unter dem Fluss eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes F:D R n die Abbildung ϕ:g R D R n, die einem Paar (t,x) die Lösung der Differentialgleihung Y (t) = F(Y(t)) zur Anfangsbedingung Y(0) = X, ausgewertet bei t, zuordnet. Dabei ist die Teilmenge G R D so gross gewählt wie möglih. Das heisst, ein Paar (t,x) R D liegt in G, wenn die maximale Lösung der Differentialgleihung zur Anfangsbedingung Y(0) = X bei t definiert ist. Der Fluss entspriht also der allgemeinen Lösung der durh F gegebenen Differentialgleihung. Bezeihnenwirmit(ω (X),ω + (X))dasDefinitionsintervalldermaximalenLösung derdifferentialgleihung Y = F(Y)zurAnfangsbedingung Y(0) = X.(Eskannalso auh vorkommen, dass die Intervallgrenzen minus oder plus unendlih sind). Dann können wir den Definitionsbereih des Flusses so shreiben: G = {(t,x) X D,t (ω (X),ω + (X))}. 2.14 Beispiele Ist A eine fest gewählte n n-matrix und F(X) = A X (X R n ), so lautet die Lösung der Differentialgleihung Y (t) = A Y(t) zur Anfangsbedingung Y(0) = X, wie shon erwähnt, t e ta X, t R. Also ist der Fluss des durh A definierten Vektorfeldes gegeben durh ϕ(t,x) = e ta X für alle t R, X R n. In diesem Fall ist also G = R R n.

2.3. Der Fluss eines Vektorfeldes 33 ( ) 1 0 Sei jetzt konkret A =. Das entsprehende Vektorfeld ist gegeben ( ) ( ) 0 1 x x durh F( ) =. Als Definitionsbereih wählen wir diesmal D := y y {v R 2 v < 1}. Die Lösung der zugehörigen Differentialgleihung zum Anfangspunkt v = 0ist konstant gleih Null undfür allezeitent R definiert. Die Lösung zur Anfangsbedingung γ(0) = v (für v 0) lautet γ(t) = e t v und ist nur definiert für t > ln( v ). Geht man noh weiter zurük in die Vergangenheit, wird der zulässige Bereih D R 2 verlassen. Also haben wir hier ω (v) = ln( v ) und ω + (v) = +. Der Fluss des Vektorfeldes ist also gegeben durh ϕ(t,v) = e t v und er ist definiert auf dem Gebiet G = {(t,0) t R} {(t,v) v R 2,t > ln( v )}. Betrahten ( ) wir ( shliesslih ) noh das Vektorfeld F:R 2 R 2, definiert durh x 0 F( ) = y y 2. Hier lautet das zugehörige Differentialgleihungssystem ẋ(t) = 0, ẏ(t) = y 2. ( ) x0 Die Lösung hiervon zur Anfangsbedingung γ(0) = ist gegeben durh ( ) x0 γ(t) = für t > 1, falls < 0, und t < 1, falls > 0. Für ( ) 1 t x0 v = mit < 0 ist also ω = 1 und ω + = +. Falls > 0, haben wir eine obere Shranke für die Zeit ω + = 1 und ω =. Der entsprehende Fluss ist gegeben durh und definiert auf dem Bereih ϕ(t,x,y) = ( x y 1 yt G = {(t,x,y) y > 0,t < 1 y } {(t,x,y) y < 0,t > 1 } {(t,x,0) t,x R}. y 2.15 Definition Man bezeihnet den Definitionsbereih D R n des Vektorfeldes auh als Phasenraum. Jede Lösung der Differentialgleihung Y = F(Y) beshreibt eine parametrisierte Kurve im Phasenraum, und die Anfangsbedingung gibt den Punkt vor, durh den diese Kurve für t = 0 geht. Zeihnet man diese Kurven in den Phasenraum ein, erhält man das Phasenbild. Stellen wir uns die Variable t jetzt als Zeitparameter vor. Dann beshreibt t ϕ(t,x) eine Bewegung längs einer Bahnkurve ausgehend vom Punkt X. Der Fluss ϕ )

34 Kapitel 2. Gewöhnlihe Differentialgleihungen des Vektorfeldes gibt die Gesamtheit dieser Bewegungen an, daher die Bezeihnung Fluss. Ist G = R D, so liefert der Fluss zu jedem fest gewählten Zeitpunkt t R eine Transformation des Phasenraums ϕ t :D D, ϕ t (X) = ϕ(t,x). Es handelt sih sozusagen um eine Momentaufnahme zum Zeitpunkt t, die mit dem Anfangszustand in Beziehung gesetzt wird. Man spriht daher statt vom Fluss auh vom dynamishen System definiert durh das Vektorfeld F. 2.16 Beispiel Sei A = ). Diese Matrix definiert das folgende Differentialgleihungssystem: ( 1 0 0 1 ẋ(t) = x(t), ẏ(t) = y(t). Der dazugehörige Fluss ϕ:r R 2 R 2 ist gegeben durh ( ) ( ) ( ) 1 1 e ϕ(t, ) = t 1 2 e t, t R, R 2. 2 Der Phasenraum ist hier die Ebene R 2, und die Lösungskurve durh einen Punkt ( 1, 2 ) R 2 hat die Form ( ) ( ) 1 e { t x(t) 2 e t t R} { x(t)y(t) = y(t) 1 2 für alle t.}. Ist 1 = 2 = 0, besteht die zugehörige Lösungskurve nur aus dem Nullpunkt. Ist 1 = 0 oder 2 = 0, aber niht beide gleihzeitig, so besteht die Lösungskurve aus einem Halbstrahl der y-ahse bzw. der x-ahse. Ist 1 0 2, so bildet die Lösungskurve einen Ast einer Hyperbel. Das Phasenbild ist also eine Vereinigung von Hyperbelästen mit dem Ahsenkreuz, zerlegt in vier Teile, sowie dem Nullpunkt. Und hier noh ein weiteres konkretes Beispiel für einen Gradientenfluss: 2.17 Beispiel Sei f(x,y) = x 2 y 3 und F(x,y) = gradf(x,y) = (2x, 3y 2 ) für x, y R. Die entsprehende Differentialgleihung lautet: (ẋ(t) ) ( ) 2x(t) γ(t) = = ẏ(t) 3y 2. (t) Es handelt sih also eigentlih um ein System von zwei niht gekoppelte Differentialgleihungen, nämlih 2 ẋ(t) = 2x(t) und ẏ(t) = 3y 2 (t). Die allgemeine Lösung der ersten Gleihung lautet x(t) = x 0 e 2t (für t R). Um die zweite Gleihung zu lösen, trennen wir zunähst die Variablen und erhalten (falls y 0): dy y = 3 dt = 3t+. 2

2.4. Exkurs: Divergenz und Rotation 35 Daraus folgt 1 y = 3t+ und shliesslih y(t) = 1 3t. Setzen wir hier t = 0 ein, ergibt sih y(0) = = 1. Die Konstante hat also die Bedeutung = 1, und passt nur zu Anfangswerten 0. Falls = 0, ist die Nullfunktion die entsprehende Lösung. Die maximale Lösung zur Anfangsbedingung y(0) = lautet also: 0 für t R falls = 0 1 y(t) = = y 3t+ 1 0 für t > 1 3y t+1 3 falls > 0 0. für t < 1 3 t+1 3 falls < 0 Nun können wir den Gradientenfluss von f angeben: (xe 2t,0) für t R falls y = 0 ϕ(t,x,y) = (xe 2t y, 3yt+1 ) für t > 1 falls y > 0 3y. (xe 2t y, 0 ) für t < 1 falls y < 0 3 t+1 3y 2.4 Exkurs: Divergenz und Rotation ShauenwirunsnunlineareVektorfelderaufR n genaueran.daszieldiesesabshnittes ist es, die Divergenz und die Rotation eines linearen Vektorfeldes mithilfe des Flusses nohmals geometrish zu interpretieren. Sei also A eine n n-matrix und F(X) = A X für X D R n. Der zugehörige Fluss lautet dann ϕ(t,x) = e ta X für (t,x) R D. Hier ist also G = R D. Ist t R fest gewählt, so wird durh die Vorshrift ϕ t (X) := ϕ(t,x) für X D eine bijektive Transformation des Phasenraums D definiert. In diesem Fall ist es eine lineare Transformation, gegeben durh die Multiplikation mit der Matrix e ta. 2.18 Satz Das Vektorfeld F ist genau dann quellenfrei, das heisst divf 0, wenn der Fluss ϕ volumentreu ist. Damit ist gemeint, dass für jede messbare Teilmenge K D und alle t R gilt: Vol n (K) = Vol n (ϕ t (K)). Das bedeutet also, dass sih das Volumen der Teilmenge K bei der Transformation ϕ t niht ändert.

36 Kapitel 2. Gewöhnlihe Differentialgleihungen Beweis. Die Transformation ϕ t ist durh die Multiplikation mit der Matrix e ta gegeben. Nun wissen wir bereits, wie sih das Volumen einer Teilmenge bei Anwendung einer linearen Abbildung ändert. Das Ausgangsvolumen wird nämlih mit dem Betrag der Determinante der entsprehenden Matrix multipliziert. Es gilt also: Vol n (ϕ t (K)) = Vol n (e ta K) = det(e ta ) Vol n (K). Das heisst, die Transformation ϕ t ist genau dann volumentreu, wenn det(e ta ) = ±1. Ausserdem gilt, wie shon früher gezeigt: dete ta = e t Spur(A). Die Determinante ist also in jedem Fall positiv, und wir erhalten folgende Aussage: Die Transformation ϕ t ist genau dann volumentreu, wenn SpurA = 0. Erinnern wir uns nun an die Definition der Divergenz eines Vektorfeldes. Es gilt n divf(x) = k F k (X) = SpurDF X, k=1 wenn F k die Komponenten des Vektorfeldes F bezeihnet. Die Divergenz an einer Stelle X ist also nihts anderes als die Spur des Differentials von F an der Stelle X. Wir betrahten hier aber ein lineares Vektorfeld F, das Differential stimmt hier also an jeder Stelle mit F überein. Deshalb ist für jedes X D: Zusammen folgt nun die Behauptung. divf(x) = SpurDF X = SpurA. q.e.d. ( ) 1 0 2.19 Beispiel Das Vektorfeld zur Matrix A = ist niht quellenfrei. 0 1 Denn divf(x) = SpurA = 2 0 für alle X R 2. Dies entspriht der Tatsahe, dass sih dasvolumenvon Körpernunter dem entsprehenden Fluss ϕ(t,x) = e t X (für t R, X R 2 ) jeweils um den ( Faktor e t ) ändert. 1 0 Das Vektorfeld zur Matrix A = dagegen ist quellenfrei, divf(x) = 0 1 SpurA = 0 für alle X R 2. Der entsprehende Fluss ist volumentreu. ϕ(t,x,y) = (e t x,e t y) Kommen wir jetzt zur Rotation von F. Sei diesmal also A = (a ij ) eine 3 3 Matrix und F(X) = AX für alle X R 3. Wertet man in dieser Situation die Definition der Rotation aus, erhält man rotf(x) = a 32 a 23 a 31 +a 13 für alle X R 3.. a 21 a 12 Betrahten wir zunähst zwei Spezialfälle.

2.4. Exkurs: Divergenz und Rotation 37 2.20 Beispiele Ist A symmetrish, das heisst A = A t, so ist rotf(x) = 0 für alle X R 3. Nah dem Hauptsatz über symmetrishe Matrizen gibt es in diesem Fall eine Orthonormalbasis v 1,v 2,v 3 aus Eigenvektoren für A. Bezogen auf dieses Koordinatensystem wird F durh eine Diagonalmatrix beshrieben, etwa D = Der entsprehende Fluss lautet also λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3. ϕ t ( 1 v 1 + 2 v 2 + 3 v 3 ) = 3 e tλ k k v k für t R, k R. k=1 DieTransformationϕ t hatalsodieselbenhauptahsenwieaunddieeigenwerte e tλ k. Sei jetzt A antisymmetrish, das heisst A = A t. Dann können wir A in folgender Form shreiben: 0 b A = 0 a. b a 0 Mit diesen Bezeihnungen ist rotf(x) = 2 a b für alle X R 3. a Der Fluss ϕ ist jetzt eine räumlihe Drehung um die Ahse v = b mit der Winkelgeshwindigkeit v. Denn aus A = A t folgt für alle t R: e ta (e ta ) t = e ta+tat = E, und das heisst, e t A ist eine orthogonale Matrix. Weil det(e ta ) > 0, muss sogar e ta SO 3 (R) gelten. Es handelt sih also um eine räumlihe Drehmatrix. Ausserdem können wir nahrehnen, dass der Vektor v ein Eigenvektor von e ta zum Eigenwert 1 ist: e ta v = k=0 t k k! Ak Also gibt v die zugehörige Drehahse an. a b = a b = v.

38 Kapitel 2. Gewöhnlihe Differentialgleihungen Sei jetzt A eine beliebige 3 3-Matrix. Dann können wir A folgendermassen in einen symmetrishen und einen antisymmetrishen Anteil zerlegen: A = A 1 +A 2, wobei A 1 = 1 2 (A+At ) und A 2 = 1 2 (A At ). Bezeihnen wir die A 1 und A 2 entsprehenden Vektorfelder mit F 1 und F 2, so erhalten wir eine Zerlegung von F der Form F = F 1 +F 2, wobeirotf = rotf 2, weil die Rotation von F 1, wie eben gezeigt, vershwindet. Für den entsprehenden Fluss gilt: ϕ t (X) = e t(a 1+A 2 ) X = e ta 1 (e ta2 X) für alle X R 3. Dasbedeutet,wirkönnenunsdieTransformationϕ t vorstellenalsdiezusammensetzung einerdrehung,gegebendurhdiematrixe ta 2,miteinerdiagonalisierbarenTransformation wie im ersten Beispiel. Dabei gibt die Rotation von F die Drehahse und die Winkelgeshwindigkeit des Drehanteils von ϕ t an. Das erklärt auh die Bezeihnung Rotation. 2.5 Trajektorien Das dynamishe System bzw. der Fluss eines Vektorfeldes hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenshaften, die in dem folgenden Satz zusammengefasst sind: 2.21 Satz Der Fluss ϕ:g R D D R n ist stetig. Ist das Vektorfeld F p-mal stetig differenzierbar, so ist auh der zugehörige Fluss ϕ p-mal stetig differenzierbar. Für die durh den Fluss definierten Transformationen des Phasenraums D gilt: ϕ 0 (X) = X für alle X. Ist (t,x) G und Y := ϕ(t,x), sowie (s,y) G, dann folgt (s+t,x) G und ϕ s+t (X) = ϕ s (ϕ t (X)). Beweis. Die erste (bzw. zweite) Aussage folgt daraus, dass die Lösung der Differentialgleihung Y = F(Y) stetig (bzw. differenzierbar) von der Anfangsbedingung abhängt. Auf den Beweis dieser Tatsahe werden wir hier verzihten. Nun also gleih zur dritten Behauptung: Die Gleihung ϕ 0 (X) = X (für alle X) ergibt sih sofort aus der Definition. Seien jetzt (t,x),(s,y) G, wobei Y := ϕ(t,x). Die Funktion s ϕ s (ϕ t (X)) = ϕ(s,y) ist nah Definition die eindeutig bestimmte Lösung der

2.5. Trajektorien 39 Differentialgleihung Y = F(Y) zum Startvektor Y für s = 0. Vergleihen wir jetzt mit der Zuordnung s ϕ s+t (X) = ϕ(s+t,x). Leiten wir nah s ab, erhalten wir: d (ϕ(s+t,x)) = F(ϕ(s+t,X)). ds Es handelt sih also ebenfalls um eine Lösung der durh F definierten Differentialgleihung. Ausserdem nimmt die Zuordnung bei s = 0 den Wert ϕ(t,x) = Y an. Also stimmen beide Lösungen miteinander überein, und wir erhalten die Behauptung. q.e.d. Für den Fall, dass der Definitionsbereih des Flusses G = R R n ist, sind die Abbildungen ϕ t Transformationen des Raumes R n. Die dritte Aussage des Satzes können wir in diesem Fall so shreiben: Insbesondere folgt für s = t: ϕ 0 = id R n, ϕ s ϕ t = ϕ s+t für alle s,t R. ϕ t ϕ t = ϕ 0 = id. Das bedeutet, die Transformation ϕ t ist umkehrbar, und die Umkehrabbildung ϕ 1 t stimmt überein mit ϕ t (dabei läuft die Zeit sozusagen rükwärts). Betrahten wir die Zuordnung R umkehrbare Transformationen des R n, t ϕ t, stellen wir fest, dass die Addition von Zahlen in R genau der Komposition von Transformationen entspriht. Eine solhe Zuordnung wird als Gruppenhomomorphismus bezeihnet. Die Gruppenstruktur von R(durh Addition) wird durh die ZuordnungindieGruppenstrukturderTransformationsgruppedesR n (durhkomposition) übertragen. 2.22 Definition Unter der Bahn (oder Trajektorie) eines Punktes X D versteht man die Teilmenge {ϕ(t,x) t (ω (X),ω + (X))} des Phasenraums. Aus den Eigenshaften eines dynamishen Systems ergeben sih nun folgende Konsequenzen: 2.23 Folgerung Durh jeden Punkt des Phasenraums geht genau eine Trajektorie. Die Bahn eines Punktes besteht nur aus einem Punkt genau dann, wenn dieser Punkt eine Nullstelle des Vektorfelds F ist. In diesem Fall wird der Punkt als stationäre Lösung oder als Gleihgewihtslage bezeihnet.

40 Kapitel 2. Gewöhnlihe Differentialgleihungen Eine Bahn, die niht nur aus einem Punkt besteht, ist entweder eine offene Kurve ohne Selbstübershneidungen, oder sie ist einfah geshlossen und es gibt eine Periode T > 0 mit ϕ(t,x) = ϕ(t+t,x) für alle t (ω (X),ω + (X)). Beweis. Nehmen wir an, ein Punkt X D liegt niht nur auf seiner eigenen Bahn, sondern auh auf der Bahn des Punktes Y D. Das heisst, X = ϕ(s,y) für ein s R. Daraus folgt ϕ t (X) = ϕ t (ϕ s (Y)) = ϕ t+s (Y) für alle t (ω (X),ω + (X)). Also gilt {ϕ(t,x) t (ω (X),ω + (X))} = {ϕ(t+s,y) t+s (ω (Y),ω + (Y))}. Das bedeutet, dass die Bahnen von X und Y bereits miteinander übereinstimmen. Die Beshreibungen dieser Bahnen untersheidet sih nur durh eine Umparametrisierung der Zeit. Zur zweiten Aussage: Ein Punkt X 0 ist genau dann ein Gleihgewihtspunkt, wenn ϕ(t,x 0 ) = X 0 für alle t. Das bedeutet, die Lösung der Differentialgleihung Y = F(Y) zur Anfangsbedingung Y(0) = X 0 ist die konstante Funktion Y(t) = X 0 (für alle t). Dies ist genau dann der Fall, wenn Y (t) = F(X 0 ) = 0 ist. Und nun zu den Möglihkeiten für eine Trajektorie: Angenommen ϕ(t 1,X) ϕ(t 2,X) für alle t 1 t 2, dann hat die Bahn von X offenbar keine Selbstübershneidungen. Andernfalls gibt es Werte t 1 t 2 mit ϕ(t 1,X) = ϕ(t 2,X) und daraus folgt ϕ(0,x) = X = ϕ t1 (ϕ(t 1,X)) = ϕ t1 (ϕ(t 2,X)) = ϕ(t 2 t 1,X). Sei jetzt T > 0 die kleinste Zahl mit ϕ(0,x) = ϕ(t,x). Dann erhalten wir wie behauptet ϕ(t,x) = ϕ t (ϕ(0,x)) = ϕ(t+t,x) für alle t. Die Funktion t ϕ(t,x) ist also periodish mit Periode T, und die entsprehende Bahn ist einfah geshlossen.