Elektrotechnik Grundlagen Stromkreisgesetze Andreas Zbinden Gewerblich- Industrielle Berufsschule Bern Inhaltsverzeichnis 1 Ohmsches Gesetz 2 2 Reihnenschaltung von Widerständen 6 3 Parallelschaltung von Widerständen 8 4 Kirchhoffsche Sätze 10 4.1 Maschenregel.................................. 10 4.2 Knotenregel................................... 11 1
1 Ohmsches Gesetz 1 Ohmsches Gesetz G.S. Ohm wurde am 16.3.1789 in Erlangen, Deutschland geboren. Als Professor für Mathematik am Jesuiten Gymnasium in Köln veröffentlichte er 1827 seine Abhandlung Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet in welcher er die Beziehung zwischen Spannung, Strom und Widerstand aufzeigte. Seine Erkenntnisse beruhten auf einer grossen Anzahl elektrischer Experimente. Seine Arbeit stiess vorerst auf grosse Kritik und wurde erst 1841 anerkannt. Das Ohmsche Gesetz ist eine der wichtigsten Beziehungen in der Elektrotechnik. G.S.Ohm starb 1854 im Alter von 65 Jahren in München. Abbildung 1: Georg Simon Ohm (1789-1854) Legt man einen Widerstand an eine Spannung und bildet damit einen geschlossenen Stromkreis, so fliesst durch den Widerstand ein bestimmter Strom. Die Stärke dieses Stromes hängt ab von der angelegten Spannung und dem Widerstand. Abbildung 2: Strom bei verschiedenen Spannungen In Abbildung 2 ist zu erkennen, dass der Strom I direkt proportional zu der Spannung Uist. 2
1 Ohmsches Gesetz Abbildung 3: Strom bei verschiedenen Widerständen In Abbildung 3 ist zu erkennen, dass der Strom I umgekehrt proportional zum Widerstand R ist. Fasst man die Erkenntnis aus Abbildung 2 und 3 in einer Gleichung zusammen, erhält man das Ohmsche Gesetzt: I = U R U = R I R = U I U R I Spannung in V Widerstand in Strom in A Trägt man den Strom in Abhängigkeit der Spannung für verschiedene Widerstände in ein Koordinatensystem, erhält man die Strom-Spannungs-Kennlinie gemäss Abbildung 4. 3
1 Ohmsches Gesetz I=f(U) 0.6 R=10 IinA 0.4 0.2 R=20 0 0 2 4 6 8 UinV Abbildung 4: Strom-Spannungs-Kennlinien Beispiel 1.1. Bei einem Widerstand liegen die Daten 4 k und 20 ma fest. Wie gross darf die angelegte Spannung im Höchstfall sein? Beispiel 1.2. Wie ändert sich der Strom im einem Stromkreis, wenn die angelegte Spannung um 10% abfällt? Beispiel 1.3. In einem Stromkreis steigt die Stromstärke von 3 A auf 5 A an. Welche Spannungserhöhung liegt vor, wenn der Widerstand gleichbleibend 20 Beispiel 1.4. In Abbildung 5 sind die Strom-Spannungskennlinien von zwei Widerständen angegeben. Wie gross sind die Widerstandswerte? 4
1 Ohmsches Gesetz 25 Kennlinie a I=f(U) Kennlinie b 20 IinmA 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 UinV Abbildung 5: Strom-Spannungs-Kennlinien Beispiel 1.5. Ein Monteur berührt aus Versehen zwei blanke Leiter des 230 V Netzes. Wieviel Ampère würden durch seinen Körper fliessen, wenn sein Körperwiderstand 1000 betragen würde? Beispiel 1.6. Erstellen Sie ein Diagramm I = f(r) für die Spannungen 50 V und 100 V (Wertetabelle und Graph) Beispiel 1.7. An den Klemmen eines Akkus hat sich durch Oxidation ein Übergangswiderstand von 0,3 gebildet. Welche Spannung geht bei einer Stromentnahme von 3,5 A verloren? Beispiel 1.8. In einem Stromkreis mit 250 µs soll der Höchststrom 35 ma betragen. Welche Spannung darf höchstens angelegt werden? 5
2 Reihnenschaltung von Widerständen 2 Reihnenschaltung von Widerständen Eine Reihenschaltung (Serieschaltung) von Widerständen liegt vor, wenn bei Anlegen einer Spannung derselbe Strom alle Widerstände nacheinander durchfliesst. In einer Reihenschaltung ist die Stromstärke in allen Widerständen gleich gross. I = I R1 = I R2 = I R2 Abbildung 6: Strom in einer Reihenschaltung Die Gesamtspannung ist gleich der Summe der Teilspannungen U = U 1 + U 2 + U 3 Abbildung 7: Spannungen in einer Reihenschaltung 6
2 Reihnenschaltung von Widerständen Der Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der Teilwiderstände. R = R 1 + R 2 + R 3 Die Teilspannungen verhalten sich zueinander wie die entsprechenden Widerstände. U 1 U 2 = R 1 R 2 U 2 U 3 = R 2 R 3 U U 1 = R R 1 Beispiel 2.1. Vorwiderstand: Eine Glühlampe 6 V 0,5 A soll an 12 V betrieben werden. Berechnen Sie den Vorwiderstand R v. Beispiel 2.2. Spannungsabfall an Leitungen: Ein Elektroofen mit einem Widerstand von 30 wird über eine Kupferleitung von 50 m einfacher Länge und 1,5 mm 2 Querschnitt an 230 V betrieben. Welche Spannung liegt effektiv am Elektroofen? Beispiel 2.3. Spannungsteiler: Zwei Widerstände sollen eine Spannung von 12 V im Verhältnis 4:1 aufteilen. Der Strom soll 1 ma betragen. Berechnen Sie die Widerstände. Beispiel 2.4. Spannungsteiler: Zwei Widerstände R 1 =6,8k und R 2 = unbekannt liegen an einer Gesamtspannung von 18 V. Wie gross ist R 2, wenn an ihm 4,4 V abfallen? Beispiel 2.5. Vier Widerstände R 1 = 12 k, R 2 = 18 k, R 3 = 33 k und R 4 sind in Serie geschaltet an der Betriebsspannung 18 V. An den Widerständen R 3 und R 4 werden zusammen 12 V gemessen. Welchen Wert hat R 4? Beispiel 2.6. Spannungsteiler: Zwei Widerstände in Serie mit einem Gesamtwiderstand von 20 k sollen eine Spannung von 120 V in zwei Spannungen 20 V und 100 V aufteilen. Wie gross sind die Teilwiderstände und der Strom durch die Widerstände? 7
3 Parallelschaltung von Widerständen 3 Parallelschaltung von Widerständen Eine Parallelschaltung von Widerständen liegt vor, wenn der Strom infolge der Schaltung sich in Teilströme verzweigt und gleichzeitig durch die Widerstände hindurchfliesst. Abbildung 8: Parallelschaltung In einer Parallelschaltung liegen alle Widerstände an derselben Spannung. U = U 1 = U 2 = U 3 Abbildung 9: Stromverteilung in einer Parallelschaltung Der Gesamtstrom ist gleich der Summe aller Teilströme. I = I 1 + I 2 + I 3 8
3 Parallelschaltung von Widerständen Im grössten Widerstand fliesst der kleinste Strom und im kleinsten Widerstand der grösste Strom. Die Teilströme verhalten sich also umgekehrt zueinander wie die entsprechenden Teilwiderstände. I 1 I 2 = R 2 R 1 I 2 I 3 = R 3 R 2 I 1 I 3 = R 3 R 1 Vergleicht man den Gesamtwiderstand mit den einzelnen Widerständen, so fällt auf, dass die einzelnen Widerstände alle grösser sind als der Gesamtwiderstand. R ges = U I = 12 V 1,1A = 10,9 Mit jedem zugeschalteten Parallelwiderstand leitet der Stromkreis besser. Der Leitwert wird also grösser: G ges = G 1 + G 2 + G 3 +... Da der Leitwert der Kehrwert des Widerstandes ist, erhält man die Formel: 1 R ges = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 +... Beispiel 3.1. Fünf Lampen von je 1012 sind parallel geschaltet und liegen an 230 V. Berechnen Sie den Gesamtwiderstand, den Gesamtstrom und die Einzelströme. Beispiel 3.2. Zwei Widerstände sind parallel geschaltet. Der Gesamtleitwert beträgt 15,6 ms und R 1 ist 100. Berechnen Sie R 2. Beispiel 3.3. Zu einem Widerstand von 150 k soll ein zweiter Widerstand geschaltet werden, so dass sich ein Gesamtwiderstand von 37,5 k ergibt. Wie gross muss der zweite Widerstand sein? Beispiel 3.4. Auf welchen Bruchteil des ursprünglichen Widerstandswertes verringert sich der Gesamtwiderstand beim Zuschalten eines gleichen Widerstandswertes und beim Zuschalten des doppelten Widerstandswertes 9
4 Kirchhoffsche Sätze 4 Kirchhoffsche Sätze Die Kirchhoffschen Sätze dienen der Bestimmung von Strömen und Spannungen in Schaltungen mit mehreren Elementen wie z.b. in Parallel- und/oder Serieschaltungen. 4.1 Maschenregel Entlang einer Masche (Stromkreis) stellt sich eine ganz bestimmte Spannungsverteilung ein. Diese kann formelmässig erfasst werden. Dazu wird im Stromkreis 1. eine Masche mit beliebigem Umlaufsinn gelegt. 2. Spannungspfeile welche in Richtung des Umlaufsinnes der Masche zeigen erhalten ein positives Vorzeichen. 3. Spannungspfeile welche in Gegenrichtung des Umlaufsinnes zeigen erhalten ein negatives Vorzeichen. Abbildung 10: Stromkreis mit einer Masche 4. Die Gleichung wird aufgestellt. Entlang einer Masche ist die Summe aller Teilspannungen gleich Null. M1 : U 1 + U 2 + U 3 U q2 U q1 =0 4 V + 8 V + 12 V 12 V 12 V = 0 V 10
4 Kirchhoffsche Sätze 4.2 Knotenregel Bei Parallelschaltungen ergeben sich immer Knotenpunkte an denen sich die Ströme verzweigen. Diese können formelmässig erfasst werden. Dazu wird im Stromkreis 1. ein Knoten definiert 2. allen Strömen welche auf den Knoten zufliessen ein positives Vorzeichen gesetzt und 3. allen Strömen welche vom Knoten wegfliessen ein negatives Vorzeichen gesetzt. Abbildung 11: Stromverzweigung in einem Knoten 4. die Gleichung wird aufgestellt. In jedem Knotenpunkt ist die Summe aller Ströme gleich Null. K 1 : I 1 + I 2 I 3 I 4 I 5 =0 5A+8A 4A 6A 3A=0 Beispiel 4.1. Berechnen Sie in Abbildung 12 U R2 und U R3 11
4 Kirchhoffsche Sätze Abbildung 12 Beispiel 4.2. Welche Spannung liegt in Abbildung 13 an R 1, R 2 und R 3? (Spannungsrichtung angeben) Abbildung 13 Beispiel 4.3. In welche Richtung fliesst I R3 in Abbildung 14 und welchen Betrag hat er? 12
Literatur Abbildung 14 Literatur [1] Meister, Heinz: Elektrotechnische Grundlagen. Vogel Buchverlag, 2005 13