Versuch 52 a. Brechungsindex Minimalablenkung durch ein Prisma

Physikalisches Praktikum für Anfänger Versuch 52 a Brechungsindex Minimalablenkung durch ein Prisma Aufgabe Messung des Winkels der brechenden Kante eines Glasprismas Messung der Dispersionskurve eines Prismas durch Bestimmen der Winkel der Minimalablenkung für verschiedene Spektrallinien Vorkenntnisse Brechungsgesetz von Snellius Huygensches und Fermatsches Prinzip normale und anomale Dispersion Durchgang von Licht durch ein Prisma Minimum der Ablenkung Auflösungsvermögen und Dispersionsgebiet Strahlengang im Prismenspektrometer Gasentladung in Metalldampflampen H-U M, 15. April 2002

1 Grundlagen 1.1 Brechungsgesetz Fällt ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zweier transparenter Medien, so tritt neben teilweiser Reflexion eine Brechung auf, das Licht wird aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt, s. Abb. 1. Einfallswinkel α 1 und Brechungswinkel α 2, gemessen in Bezug auf das Einfallslot bzw. die Flächennormale, werden durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben n 1 sin α 1 = n 2 sin α 2 Brechungsgesetz. (1) Die Materialkonstante n heißt Brechungsindex oder Brechzahl und ist gegeben durch n = c/v, das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten c im Vakuum und v im Medium. Daher gilt für Vakuum n 0 = 1. Von zwei Stoffen gilt derjenige als optisch dichter, in dem der Brechungsindex n größer ist. Umgekehrt wird das Material mit dem kleineren Brechungsindex als optisch dünner bezeichnet. In Abb. 1 ist der Fall n 1 <n 2 (v 1 >v 2 ) dargestellt: beim Übergang 1 2 in ein optisch dichteres Medium wird der Lichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen wird. Entsprechend wird der Lichtstrahl beim Übergang in Abbildung 1: Lichtbrechung zwischen zwei Medien mit v 1 >v 2 ein optisch dünneres Medium vom Einfallslot weg gebrochen. Man findet häufig auch eine andere Schreibweise des Brechungsgesetzes sin α 1 sin α 2 = v 1 v 2 = n 2 n 1, (2) in der die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten direkt eingehen. Eine einfache geometrische Herleitung ergibt sich aus dem Huygensschen Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Zentrum einer Kugelwelle und sämtliche Kugelwellen überlagern sich zu einer neuen Wellenfront. An einer Grenzfläche mit v 1 v 2 führt dies zu einer Richtungsänderung des Lichtstrahls gemäß Gl. (2). Zu dem gleichen Ergebnis kommt man mit Hilfe des Fermatschen Prinzips: Eine elektromagnetische Welle wählt zwischen zwei Punkten immer den Weg, für den die kürzeste Zeit benötigt wird. In einer anderen Formulierung: Licht durchläuft zwischen zwei Punkten die Strecke mit der kleinsten optische Weglänge, d.h. es wird die Extremalbedingung n(s) ds =minerfüllt. 1.2 Dispersion Ebenso wie die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Medien, hängt auch der Brechungsindex von der Wellenlänge ab, man spricht von Dispersion n = n(λ). Dieses Phänomen ist für 1

optische Instrumente wie Linsen und Prismen sehr wichtig. Abb. 2 zeigt eine schematische Darstellung einer Dispersionskurve über einen ausgedehnten Wellenbereich. Für die meisten transparenten Medien mit geringer Lichtabsorption, wie Gase, Flüssigkeiten oder Gläser, wächst der Brechungsindex im sichtbaren Spektralbereich mit abnehmender Wellenlänge. Dieses Verhalten bezeichnet man als normale Dispersion mit der Eigenschaft dn/dλ < 0, d.h. blaues Licht wird stärker abgelenkt als rotes Licht. In Bereichen mit starker Absorption nimmt n mit wachsender Wellenlänge zu. Diese anomale Dispersion mit dn/dλ > 0 ist seltener und schwerer zu beobachten; sie tritt eher im Ultravioletten auf und kann zu Werten n<1 führen. Über das gesamte elektromagnetische Spektrum weist das Dispersionsverhalten eines Stoffes stets Bereiche normaler und anomaler Dispersion auf. Abbildung 2: Schematische Darstellung einer Dispersionskurve n = n(λ). Der schraffierte Bereich deutet das sichtbare Spektrum an. Ein qualitatives Verständnis der Dispersion erhält man aus der atomistischen Deutung der dielektrischen Polarisation. Man geht davon aus, daß die Elektronen in einem Medium quasielastisch gebunden sind und durch das hochfrequente elektrische Feld E = E 0 cos(ωt) einer Lichtwelle aus ihrer Ruhelage ausgelenkt werden. Dies führt zum Aufbau einer zeitlich veränderlichen Polarisation P =(ɛ 1)ɛ 0 E, wobei die Dielektrizitätskonstante ɛ und der Brechungsindex verknüpt sind über die Maxwell-Relation n = ɛ. Zwischen dem Polarisationsvektor und der angreifenden Kraft baut sich eine Phasenbeziehung auf, ähnlich wie bei einem klassischen Oszillator. Sei ω 0 die Eigenfrequenz der Elektronen im Medium, so folgt im quasielastischen Bereich ω ω 0 die Auslenkung der Ladung dem Feld, die Polarisation steht in Feldrichtung. Damit erhält man den normalen Fall ɛ>1oder n>1. Im quasifreien Bereich ω ω 0 hingegen können die Ladungen dem anregenden Feld nicht mehr folgen, die Dipolmomente stehen in jedem Augenblick entgegengesetzt zur Feldrichtung. Dies führt zu ɛ<1und damit n<1. Der Übergang zwischen n>1und n<1erfolgt ziemlich rasch in der Nähe der Resonanzfrequenz und dieser Bereich großer Absorption kennzeichnet auch die anomale Dispersion. Im allgemeinen hat jeder Stoff mehrere Resonanzfrequenzen, deren höchste häufig im Röntgenbereich liegen. Die Dispersion in Medien hängt also von der Frequenz bzw. Wellenlänge des Lichts ab, die Bereiche normaler und anomaler Dispersion sind durch schwache bzw. starke Absorption gekennzeichnet. Der Brechungsindex wird normalerweise für bestimmte Wellenlängen angegeben, s. Tabelle für einige Materialien. Bei Messungen zur Optik im Praktikum kann Vakuum durch Luft mit n L =1, 0003 und vernachlässigbarer Dispersion angenähert werden. 2

λ = 656, 3nm λ = 589, 3nm λ = 486, 1nm Wasser n =1, 3311 n =1, 3330 n =1, 3371 Benzol n =1, 4966 n =1, 5014 n =1, 5132 Quarzglas n =1, 4563 n =1, 4584 n =1, 4631 Kronglas n =1, 5076 n =1, 5100 n =1, 5157 Flintglas n =1, 6070 n =1, 6102 n =1, 6178 1.3 Minimalablenkung in einem Prisma Unter einem optischen Prisma ist ein durchsichtiger Körper zu verstehen, bei dem zwei ebene Begrenzungsflächen einen Winkel miteinander einschließen. Dieser Winkel heißt der brechende Winkel und die Schnittgerade, in der die beiden Ebenen zusammentreffen, heißt die brechende Kante. Abbildung 3: Strahlengang durch ein Prisma In Abb. 3 ist der Strahlengang durch ein Prisma mit dem brechenden Winkel ε gezeichnet. Ein monochromatischer, paralleler Lichtstrahl treffe unter dem Winkel α 1 gegen das Einfallslot auf das Prisma. Der Lichtstrahl wird unter einem Winkel α 2 gebrochen, trifft die andere Begrenzungsfläche unter dem Winkel β 1 und tritt unter dem Winkel β 2 aus dem Prisma aus. An der Eintritts- und Austrittsfläche erfolgt eine Brechung zum Lot hin bzw. vom Lot weg, gemäß sin α 1 = n sin α 2 und sin β 2 = n sin β 1. (3) Aus der Skizze läßt sich die gesamte Ablenkung um den Winkel δ ablesen ε = α 2 + β 1 (4) δ = α 1 α 2 + β 2 β 1 = α 1 + β 2 ε, (5) Unter Verwendung von Gl. (3) kann nun β 2 durch α 1 ausgedrückt werden. Man erhält den Ablenkungswinkel als Funktion von Einfallswinkel, brechendem Winkel und Brechungsindex ] δ = δ(α 1,ε,n)=α 1 ε +arcsin[ n2 sin 2 α 1 sin ε sin α 1 cos ε. (6) 3

Abbildung 4: Schematischer Aufbau eines Spektrometers Für ein bestimmtes Prisma (ε und n vorgegeben) nimmt der Ablenkungswinkel dann ein Minimum ein, δ = δ min, wenn das Prisma symmetrisch vom Licht durchstrahlt wird. Das Licht tritt senkrecht durch die Ebene, die den Winkel ε halbiert. Die zur Minimalablenkung gehörigen Winkel erfüllen die Relationen α 1 = β 2 = δ min + ε und α 2 = β 1 = ε 2 2. (7) Diese Werte werden in das Brechungsgesetz eingesetzt n = sin α 1 sin α 2 = sin β 2 sin β 1 = sin((δ min + ε)/2) sin(ε/2) Minimalablenkung (8) Gl. (8) dient als Grundlage zur Bestimmung des Brechungsindex. Der Winkel der Minimalablenkung δ min wird gemessen und hängt nur wenig vom Einfallswinkel α 1 ab. Der brechende Winkel des Prismas ε kann ebenfalls gemessen werden oder ist vorgegeben. 2 Versuchsdurchführung 2.1 Versuchsanordnung Für die Messung des Winkels der Ablenkung δ min wird ein Spektrometer verwendet, schematisch dargestellt in Abb. 4. Die Lichtquelle L, eine Natriumdampflampe, beleuchtet den Spalt Sp, der sich in der Brennebene einer Linse des Kollimators K befindet. Das austretende, parallele Licht fällt auf das Prisma, das sich auf einem drehbaren Tisch in der Mitte des Spektrometers befindet. Der um den Winkel δ gebrochene Lichtstrahl wird mit einem Fernrohr F betrachtet. Die Objektivlinse des Fernrohres erzeugt ein Bild B des Spalts. An der Stelle des Fernrohres, an der das Bild erzeugt wird, befindet sich ein Fadenkreuz. Durch die Okularlupe werden Spaltbild und Fadenkreuz beobachtet. Das Fernrohr ist um die Spektrometerachse drehbar. Mit Hilfe 4

des Nonius N kann die Winkelstellung auf 0, 1 abgelesen werden. Zur Beleuchtung wird das monochromatische Licht von Natrium der Wellenlänge λ = 589, 0nmbenutzt. Die Lampe wird über eine Vorschaltdrossel mit dem Wechselstromnetz verbunden und so vor den Spalt gestellt, daß dieser voll beleuchtet ist. Das Okular wird in das Fernrohr eingesetzt und das Fernrohr wird in die Nullstellung gedreht, so daß der Spalt beobachtet werden kann. Dann wird das Okular solange verschoben, bis der Spalt scharf erscheint. 2.2 Bestimmung des brechenden Winkels Das Prisma wird so auf den Prismentisch gesetzt, daß die brechende Kante auf den Kollimator gerichtet ist, s. Abb. 5. In dieser Stellung wird Teil I des Lichts an der linken Fläche des Prismas reflektiert, Teil II an der rechten Fläche. Die reflektierten Strahlen I und II werden im Fernrohr beobachtet und der Winkel ϕ zwischen beiden Strahlen wird gemessen. Aus der Geometrie der Abbildung 5: Bestimmung des brechenden Winkels eines Prismas Anordnung, sowie dem Hilfsdreieck GAB der Abb. 5 folgt β + β = ε, (9) ϕ = ε + β + β =2ε. (10) Liegt der Nullpunkt der Skala zwischen den beiden Ablesungen ϕ I und ϕ II liegt, so ergibt sich und damit der Brechungswinkel ε = ϕ/2. ϕ = ϕ II ϕ I + 360 (11) Alle Messungen werden mehrfach durchgeführt. Jeder Winkel ϕ I,ϕ II kann mit Hilfe des Nonius auf 1/10 Grad genau abgelesen werden! Man mache sich mit der Funktionsweise des Nonius vertraut. Aus den Einzelwerten ist der Mittelwert ε des Brechungswinkels zu bilden. 5

2.3 Bestimmung des Winkels der Minimalablenkung Zur Messung der minimalen Ablenkung läßt man nach Abb. 4 das Licht schräg auf eine Prismenfläche auffallen. Das Bild des Spalts wird im Fernrohr betrachtet. Bei gleichsinniger Drehung von Prismentisch und Fernrohr beobachtet man, daß das Bild des Spalts bei einer bestimmten Stellung seine Richtung umkehrt. Der Umkehrpunkt entspricht dem minimalen Wert der Ablenkung. Die Winkelstellung ψ 1 wird abgelesen. Der gleiche Versuch wird wiederholt, wobei das Licht auf die andere Prismenfläche auftrifft, und bei Minimumstellung wird der Winkel ψ 2 abgelesen. Wenn der Nullpunkt der Winkelskala zwischen den beiden Ablesungen liegt, gilt für den Winkel δ min 2 δ min = ψ 2 ψ 1 + 360. (12) Alle Ablesungen ψ i werden mit einer Genauigkeit von 0, 1 mehrfach ausgeführt und gemittelt. Die Mittelwerte des brechenden Winkels ε und der Minimalablenkung δ min werden zur Berechnung des Brechungsindex in Gl. (8) eingesetzt. Die Messung soll mit der gelben Na Linie, sowie mit verschiedenen Linien der Hg-Cd Lampe durchgeführt werden. 3 Fehlerrechnung Statistische und unsystematische Fehler Hierbei handelt es sich vorzugsweise um Ablesefehler, die sich durch mehrfache Wiederholung der Messung vermindern lassen. Der arithmetische Mittelwert x aus m Einzelmessungen x i berechnet sich nach x = 1 m x i. (13) m Aus der Streuung der Einzelwerte um dem Mittelwert x i = x x i erhält man die Varianz s 2 bzw. Standardabweichnung s als Maß für den Fehler einer einzelnen Messung 1 s x x = (x i x) m 1 2, (14) und für den Fehler des Mittelwertes s x = i=1 i s x m bzw. x = x m. (15) Wird ein Meßwert aus zwei Ablesungen gewonnen, die sich additiv zusammensetzen (z.b. Gl. (11) und Gl. (12)) so addieren sich die Varianzen bzw.die Quadrate der Fehler s 2 ϕ = s 2 ϕ I 1 + s 2 ϕ II bzw. ϕ = ( ϕ I ) 2 +( ϕ II ) 2. (16) Der Mittelwert des Brechungsindex n wird nach Gl. (8) berechnet, wobei die Mittelwerte ε und δ min benutzt werden. Da beide Messungen unabhängig voneinander sind, ergibt sich 6

nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz für die Varianz oder das Fehlerquadrat des Brechungsindex ( ) 2 ( ) 2 n n s 2 n = s 2 ε + s 2 δ ε δ min. (17) min n/ ε und n/ δ min sind die partiellen Ableitungen der Funktion n(ε, δ min ), die sich aus Gl. (8) berechnen lassen n = n ( cot δ min + ε +cot ε ), ε 2 2 2 n = 1 cos((δ min + ε)/2). δ min 2 sin(ε/2) Man schätze die Größe der Fehler ab und überlege, ob beide Fehlerquellen gleichermaßen berücksichtigt werden müssen. Systematische Fehler Objektive Fehler, die zu einer systematischen Verfälschung der Messung führen, können zum Beispiel auftreten durch mangelhafte Justierung des Goniometers, fehlerhafte Teilung der Winkelskala, Unebeneinheiten der Prismenflächen. Man schätze die Größenordnung dieser Effekte ab und beurteile ihren Einfluß auf die Bestimmung des Brechungsindex. Ist es gerechtfertigt, systematische Fehlerquellen im Vergleich zu den statistischen Fehlern zu vernachlässigen? 7