Ringtheorie. Prof. Dr. Burkhard Külshammer. Semester: SS 2011

Ringtheorie Prof. Dr. Burkhard Külshammer Semester: SS 2011

Vorwort Dieses Dokument wurde als Skript für die auf der Titelseite genannte Vorlesung erstellt und wird jetzt im Rahmen des Projekts Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik und Informatik weiter betreut. Das Dokument wurde nach bestem Wissen und Gewissen angefertigt. Dennoch garantiert weder der auf der Titelseite genannte Dozent, die Personen, die an dem Dokument mitgewirkt haben, noch die Mitglieder des Projekts für dessen Fehlerfreiheit. Für etwaige Fehler und dessen Folgen wird von keiner der genannten Personen eine Haftung übernommen. Es steht jeder Person frei, dieses Dokument zu lesen, zu verändern oder auf anderen Medien verfügbar zu machen, solange ein Verweis auf die Internetadresse des Projekts http: // uni-skripte. lug-jena. de/ enthalten ist. Diese Ausgabe trägt die Versionsnummer 3650 und ist vom 27. September 2011. Eine neue Ausgabe könnte auf der Webseite des Projekts verfügbar sein. Jeder ist dazu aufgerufen, Verbesserungen, Erweiterungen und Fehlerkorrekturen für das Skript einzureichen bzw. zu melden oder diese selbst einzupflegen einfach eine E-Mail an die Mailingliste <uni-skripte@ lug-jena. de> senden. Weitere Informationen sind unter der oben genannten Internetadresse verfügbar. Hiermit möchten wir allen Personen, die an diesem Skript mitgewirkt haben, vielmals danken: Jens Kubieziel <jens@ kubieziel. de> (2011) 3

Inhaltsverzeichnis 1. Kategorien und Funktoren 10 2. Natürliche Transformationen und Äquivalenzen 15 3. Ringe, Teilringe und Ideale 19 4. Ringhomomorphismen 26 5. Moduln 28 6. Einfache, halbeinfache Ringe und Moduln 35 7. Das Jacobson-Radikal 38 8. Lokale Ringe und unzerlegbare Moduln 43 9. Freie und projektive Moduln 50 10. Injektive Moduln 59 11. Injektive Hüllen und projektive Decken 65 12. Semiperfekte Ringe und Idempotente 71 13. Das Tensorprodukt 77 14. Bimoduln 84 15. Moritatheorie 90 A. Übungsaufgaben 97 A.1. Übungsblatt 1................................. 97 A.2. Übungsblatt 2................................. 100 A.3. Übungsblatt 3................................. 100 A.4. Übungsblatt 4................................. 103 A.5. Übungsblatt 5................................. 104 A.6. Übungsblatt 6................................. 106 A.7. Übungsblatt 7................................. 107 4

Inhaltsverzeichnis A.8. Übungsblatt 8................................. 107 A.9. Übungsblatt 9................................. 108 A.10.Übungsblatt 10................................ 109 A.11.Übungsblatt 11................................ 112 A.12.Übungsblatt 12................................ 113 A.13.Übungsblatt 13................................ 114 5

Auflistung der Theoreme Sätze Satz 4.1. Homomorphiesatz............................. 27 Satz 4.2. 1. Isomorphiesatz.............................. 27 Satz 4.3. 2. Isomorphiesatz.............................. 27 Satz 4.4. Chinesischer Restsatz............................ 27 Satz 5.1. Dedekind-Identität............................. 30 Satz 5.2. 3. Isomorphiesatz.............................. 32 Satz 5.3. Verfeinerungssatz von Schreier...................... 32 Satz 5.4. Satz von Jordan-Hölder.......................... 32 Satz 6.1. Schurs Lemma................................ 35 Satz 6.7. Satz von Wedderburn............................ 37 Satz 7.3. Nakayamas Lemma............................. 40 Satz 7.8. Hopkins................................... 42 Satz 8.6. Azumaya-Krull-Remak-Schmidt...................... 46 Satz 8.7. Satz von Schröder-Bernstein........................ 47 Satz 8.8. Fittings Lemma............................... 48 Satz 13.2.Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts................ 78 Satz 14.3.Frobenius-Nakayama-Relation....................... 85 6

Inhaltsverzeichnis Definitionen und Festlegungen Definition 1.1. Kategorie............................... 10 Definition 1.2. Teilkategorie............................. 10 Definition 1.3. Funktor................................ 11 Definition 1.4. Isomorphismus............................ 12 Definition 1.5. Isomorphe Objekte.......................... 12 Definition 1.6. mono, epi............................... 12 Definition 1.7. Sektion, Retraktion.......................... 13 Definition 1.8. Initial-, Finalobjekt.......................... 14 Definition 2.1. Natürliche Transformation...................... 15 Definition 2.2. Natürliche Äquivalenz........................ 16 Definition 2.3. Natürlich äquivalente Funktoren.................. 16 Definition 2.4. Äquivalente Kategorien........................ 18 Definition 2.5. Rechts- und linksadjungierte Funktoren.............. 18 Definition 3.1. Ring.................................. 19 Definition 3.2. Invertierbar, Invers, Einheit..................... 20 Definition 3.3. Nullteiler............................... 20 Definition 3.4. Idempotentes und nilpotentes Element............... 21 Definition 3.5. Teilring................................ 21 Definition 3.6. Ideal.................................. 22 Definition 3.7. Maximales Ideal........................... 23 Definition 3.8. Primideal............................... 23 Definition 3.9. Semiprimideal............................ 24 Definition 3.10.Semiprimer Ring........................... 24 Definition 4.1. Ringhomomorphismus........................ 26 Definition 5.1. Linksmoduln............................. 28 Definition 5.2. Untermodul.............................. 29 Definition 5.3. Lineare Abbildung.......................... 30 Definition 5.4. Untermodulreihe........................... 32 7

Inhaltsverzeichnis Definition 5.5. Kompositionsreihe.......................... 32 Definition 5.6. noethersch.............................. 33 Definition 5.7. artinsch................................ 33 Definition 5.9. Links-, rechtsnoethersch, -artinsch bzw. linksartinsch....... 34 Definition 6.1. Maximales und minimales Linksideal................ 35 Definition 6.2. Direkte Summe............................ 36 Definition 6.3. Halbeinfacher, vollständig reduzibler Modul............ 36 Definition 6.4. Halbeinfacher Ring.......................... 36 Definition 7.1. Radikal, Sockel............................ 38 Definition 7.2. Jacobson-Radikal........................... 40 Definition 8.1. Lokaler Ring.............................. 43 Definition 8.2. Unzerlegbarer Modul......................... 44 Definition 9.1. Linear unabhängige Menge..................... 50 Definition 9.2. Freier Modul............................. 50 Definition 9.3. Kurze exakte Folge.......................... 51 Definition 9.4. Projektiver Modul........................... 53 Definition 9.5. Linksexakter, exakter Funktor.................... 54 Definition 10.1.Injektiver Modul........................... 60 Definition 10.2.Wesentlicher Modul......................... 63 Definition 11.1.Injektive Hülle............................ 65 Definition 11.2.Kleiner, überflüssiger Untermodul.................. 67 Definition 11.3.Projektive Decke........................... 67 Definition 12.1.Idempotent heben.......................... 71 Definition 12.2.Orthogonale Idempotente...................... 71 Definition 13.1.Ausgeglichene Abbildung...................... 77 Definition 13.2.Tensorprodukt............................ 79 Definition 13.3.Kanonischer Isomorphismus..................... 80 Definition 13.4.Flacher Modul............................. 82 Definition 14.1.Bimodul................................ 84 8

Inhaltsverzeichnis Definition 14.2.Additiver Funktor........................... 86 Definition 14.3.Morita-äquivalent........................... 86 Definition 14.4.(Pro)Generator............................ 87 Definition 15.1.Morita-Kontext............................ 90 9

1. Kategorien und Funktoren Definition 1.1 (Kategorie) Eine Kategorie besteht aus (i) einer Klasse C und die Elemente einer Klasse heißen Objekte, (ii) einer Menge C(A, B) und die Elemente der Menge heißen Morphismen von A nach B. 1 Wir schreiben A f B oder f : A B zu jedem Paar (A, B) von Objekten in C, (iii) einer Abbildung C(B, C) C(A, B) C(A, C) mit (g, f ) g f. Diese Abbildung heißt Komposition. Dabei verlangt man: a) C(A, B) C(C, D) =, falls (A, B) = (C, D) für alle A, B, C, D C gilt. b) h (g f ) = (h g) f für alle A f B g C h D in C. c) Für alle A C existiert ein id A C(A, A) mit f id A = f und id A g = g für alle A f g B in C. Bemerkung 1.1 (i) Sind Morphismen und Kompositionen klar, so sagt man auch, C ist eine Kategorie. (ii) Bekanntlich ist die Gesamtheit aller Mengen keine Menge. Um solche Widersprüche zu vermeiden, spricht man von Klassen. Wir werden Klassen nicht genau definieren. Aber z. B. ist die Gesamtheit aller Mengen eine Klasse. (iii) Für A C ist die Identität id A eindeutig bestimmt. Beispiel 1.1 (a) Mengen und Abbildungen bilden eine Kategorie Set. Für A, B Set ist Set(A, B) = Abb(A, B) die Menge aller Abbildungen von A nach B. (b) Gruppen und Gruppenhomomorphismen bilden eine Kategorie Gr. (c) Für jeden Körper K bilden die K-Vektorräume und K-linearen Abbildungen eine Kategorie K Vec. Definition 1.2 (Teilkategorie) Eine Kategorie D heißt Teilkategorie einer Kategorie C, falls gilt: 1 Nach [12] sind Objekte immer Mengen. 10

(i) A D A C (ii) A, B D D(A, B) C(A, B) (iii) Die Komposition in D ist eine Einschränkung der Komposition in C. Identitäten sind eindeutig bestimmt. Gilt im zweiten Punkt oben die Gleichheit, so heißt D volle Teilkategorie von C. Beispiel 1.2 (a) Die endlichen Mengen bilden eine volle Teilkategorie set von Set. (b) Die endlichen Gruppen bilden eine volle Teilkategorie gr von Gr. (c) Die endlich-dimensionalen K-Vektorräume bilden eine volle Teilkategorie K vec von KVec. (d) Die abelschen Gruppen bilden eine volle Teilkategorie Ab von Gr. (e) Die endlichen abelschen Gruppen bilden eine volle Teilkategorie ab von Ab. (f) Mengen und injektive Abbildungen bilden eine nicht volle Teilkategorie von Set. (g) Gr ist keine Teilkategorie von Set. Definition 1.3 (Funktor) Seien C und D Kategorien. Ein Funktor von C nach D besteht aus: (1) einer Abbildung Φ : C D mit A ΦA (2) einer Abbildung C(A, B) D(ΦA, ΦB) mit f Φ f zu jedem Paar (A, B) von Objekten in C. Dabei verlangt man: (i) Φ(g f ) = Φ(g) Φ( f ) für alle A f B g C in C. (ii) Φ(id A ) = id Φ(A) für A C. Wir schreiben: Φ : C D oder C Φ D. Beispiel 1.3 (a) Der Vergissfunktor Gr Set, der jeder Gruppe die zugrundeliegende Menge zuordnet. Analog hat man Vergissfunktoren K Vec Set, K Vec Ab usw. (b) Für jede Kategorie C hat man den Identitätsfunktor Id C : C C mit Id C A = A und Id C ( f ) = f für alle A f B in C. (c) Für jedes Objekt X in einer Kategorie C existiert der Funktor C(X,?) : C Set mit C(X,?)(A) := C(X, A) und C(X,?)( f ) := C(X, f ), wobei C(X, f ) : C(X, A) C(X, B) mit g f g für alle A f B gilt. 11

1. Kategorien und Funktoren Bemerkung 1.2 Ein Funktor C Φ D heißt treu oder voll, falls für alle A, B C die Abbildung C(A, B) D(ΦA, ΦB) mit f Φ f injektiv oder surjektiv ist. Bemerkung 1.3 Für Funktoren C Φ D Ψ E definiert man in naheliegender Weise einen Funktor Ψ Φ : C E. Für die so definierte Komposition von Funktoren gilt: (i) (Ω Ψ) Φ = Ω (Ψ Φ) für Funktoren C Φ D Ψ E Ω F. (ii) Φ Id C = Φ = Id D Φ für Funktoren Φ : C D. Definition 1.4 (Isomorphismus) Ein Morphismus f : A B in einer Kategorie C heißt Isomorphismus (iso), falls ein g C(B, A) mit g f = id A und f g = id B existiert. Bemerkung 1.4 (Inverses) Gegebenenfalls ist g durch f eindeutig bestimmt. Man bezeichnet g als Inverses von f und schreibt g = f 1. Dann ist auch f 1 ein Isomorphismus in C und ( f 1 ) 1 = f. Beispiel 1.4 (i) Stets ist id A ein Isomorphismus in C und id 1 A = id A. (ii) Hat man Isomorphismen A f B g C in C, so ist g f : A C ein Isomorphismus in C und (g f ) 1 = f 1 g 1. (iii) Die Isomorphismen in Set sind genau die Bijektionen und die Isomorphismen in Gr sind genau die Gruppenisomorphismen. Satz 1.1 Für jeden Funktor Φ : C D und jeden Isomorphismus f : A B in C ist Φ f : ΦA ΦB ein Isomorphismus in D mit (Φ f ) 1 = Φ( f 1 ). Φ( f 1 ) Φ f = Φ( f 1 f ) = Φ(id A ) = id Φ(A) und Φ f Φ( f 1 ) = Φ( f f 1 ) = Φ(id B ) = id Φ(B). Definition 1.5 (Isomorphe Objekte) Objekte A und B in einer Kategorie C heißen isomorph, falls ein Isomorphismus f C(A, B) existiert. Wir schreiben, A = C B. Bemerkung 1.5 (i) Man zeigt leicht, dass = C ein Äquivalenzrelation ist. (ii) Aus dem Satz 1.1 folgt, dass für Funktoren C Φ D und Objekte A, B C gilt, A = C B ΦA = D ΦB. Definition 1.6 (mono, epi) Ein Morphismus f : A B in einer Kategorie C heißt: 12

(i) mono, falls für alle g, h : C A in C mit f g = f h gilt, g = h. (ii) epi, falls für alle g, h : B C in C mit g f = h f gilt, g = h. Satz 1.2 Für alle Mengen und Abbildungen f : A B gilt: (i) f mono in Set f injektiv. (ii) f epi in Set f surjektiv. (i) Seien x, y A mit f (x) = f (y). Dann sind g : {x} A mit x x und h : {y} A mit y y Abbildungen mit f g = f h. Ist f mono, so folgt, g = h, d. h. x = y. Seien g, h : C A Abbildungen mit f g = f h. Für x C ist dann f (g(x)) = f (h(x)). Ist f injektiv, so folgt, g(x) = h(x). Also g = h. (ii) Sei f epi und y B. Wir definieren g : B {0, 1} durch g(y) := 1 und g(x) := 0 sonst. Weiterhin definieren wir h : B {0, 1} durch h(x) := 0 für alle x B. Wäre y / Bld( f ), so wäre g f = h f, also g = h Also: y Bld( f ). Daher ist f surjektiv. Seien g, h : B C Abbildungen mit g f = h f, d. h. g( f (a)) = h( f (a)) für alle a A. Ist f surjektiv, so folgt, g(b) = h(b) für alle b B, d. h. g = h. Bemerkung 1.6 (i) Der Satz gilt nicht in allen Kategorien, deren Objekte Mengen sind. (ii) Im Allgemeinen existieren Morphismen, die mono und epi, aber keine Isomorphismen sind. Satz 1.3 Sei C eine Kategorie und A f B g C in C. Dann folgt: (i) f, g mono (epi) g f mono (epi). (ii) g f mono (epi) f mono (g epi). Der Beweis erfolgt in der Übung (siehe Übungsaufgabe 7). Definition 1.7 (Sektion, Retraktion) Ein Morphismus f : A B in einer Kategorie heißt Sektion oder Retraktion, falls ein g C(B, A) mit g f = id A oder f g = id B existiert. Satz 1.4 Sei C eine Kategorie und f : A B in C. Dann gilt: (i) f Sektion (Retraktion) f mono (epi). 13

1. Kategorien und Funktoren (ii) f Sektion und Retraktion f Isomorphismus. Der Beweis erfolgt in der Übung (siehe Übungsaufgabe 8) Definition 1.8 (Initial-, Finalobjekt) Ein Objekt A in einer Kategorie C heißt Initialobjekt oder Finalobjekt, falls C(A, B) = 1 oder C(B, A) = 1 für alle B C. Ist A C Initial- und Finalobjekt, so heißt A Nullobjekt in C. Beispiel 1.5 In Set ist ein Initialobjekt und jede einelementige Menge ist ein Finalobjekt. Jedoch enthält Set kein Nullobjekt. Satz 1.5 Sind A und A Initialobjekte oder Finalobjekte einer Kategorie C, so ist A = A. Sei C(A, A ) = { f } und C(A, A) = {g}. Wegen C(A, A) = {id A } ist g f = id A. Analog ist f g = id A, d. h. f ist ein Isomorphismus. Also A = A. 14

2. Natürliche Transformationen und Äquivalenzen Definition 2.1 (Natürliche Transformation) Seien Φ, Ψ : C D Funktoren. Eine natürliche Transformation von Φ nach Ψ ist eine Familie τ = (τ A ) A C von Elementen τ A D(ΦA, ΨA) mit (Ψ f ) τ A = τ B (Φ f ) für A, B C und f C(A, B). Wir schreiben, τ : Φ Ψ. ΦA ΦB Φ f τ A τ B ΨA ΨB Ψ f Beispiel 2.1 Sei K ein Körper und Φ : K Vec K Vec mit V V der Funktor, der jedem K- Vektorraum V seinen Bidualraum V = Hom K (Hom K (V, K), K) zuordnet. Ferner sei ε V : V V kanonisch für v V ist also ε V (v) : Hom K (V, K) K mit λ λ(v). Dann ist ε := (ε V ) V K Vec : Id K Vec Φ eine natürliche Transformation: V ε V V f f W ε W W Denn für V, W K Vec und f Hom K (V, W) ist ε W f = f ε V. Bemerkung 2.1 (i) Für Funktoren Φ, Ψ, Ω : C D und natürliche Transformationen σ : Φ Ψ, τ : Ψ Ω ist auch die Komposition τ σ := (τ A σ A ) A C : Φ Ω eine natürliche Transformation: 15

2. Natürliche Transformationen und Äquivalenzen Φ σ σ A τ A ΦA ΨA ΩA C Ψ τ Ω D Φ f Ψ f Ω f σ B τ B ΦB ΨB ΩB Offenbar ist die Komposition von natürlichen Transformationen assoziativ. (ii) Für Funktoren Γ : B C, Φ, Ψ : C D, : D E und jede natürliche Transformation τ : Φ Ψ sind auch τ Γ := (τ ΓB ) B B : Φ Γ Ψ Γ, τ := ( τ C ) C C : Φ Ψ natürliche Transformationen: ΦΓA ΦΓ f τ ΓA ΨΓA ΨΓ f ΦΓB τ ΓB ΨΓB Definition 2.2 (Natürliche Äquivalenz) Eine natürliche Transformation τ : Φ Ψ zwischen Funktoren Φ, Ψ : C D heißt natürliche Äquivalenz, falls σ A : ΦA ΨA für A C ein Isomorphismus in D ist. Bemerkung 2.2 Gegebenenfalls ist σ 1 := (σ 1 A ) A C : Ψ Φ auch eine natürliche Äquivalenz und (σ 1 ) 1 = σ. Für jeden weiteren Funktor Ω : C D und jede weitere natürliche Äquivalenz τ : Ψ Ω ist auch τ σ : Φ Ω eine natürliche Äquivalenz und (ϕ σ) 1 = σ 1 τ 1. Beispiel 2.2 (i) id Φ := (id ΦA ) A C : Φ Φ ist eine natürliche Äquivalenz. (ii) Seien K ein Körper und Φ : K vec K vec mit V V und ε : Id K vec Φ wie in Beispiel 2.1 (aber mit K vec statt K Vec). Dann ist ε eine natürliche Äquivalenz. Definition 2.3 (Natürlich äquivalente Funktoren) Funktoren Φ, Φ : C D heißen natürlich äquivalent, falls eine natürliche Äquivalenz τ : Φ Φ existiert. Dies stellt eine höhere Stufe des Isomorphiebegriffs dar. Wir schreiben Φ Φ. Bemerkung 2.3 Nach der Bemerkung 2.2 ist ein Äquivalenzrelation. Satz 2.1 Für Funktoren Φ, Φ : C D und Ψ, Ψ : D E mit Φ Φ und Ψ Ψ gilt, Ψ Φ Ψ Φ. 16

Ist τ : Φ Φ eine natürliche Äquivalenz, so auch Ψ τ = (Ψτ A ) A C : Ψ Φ Ψ Φ. Vergleiche dazu Bemerkung 2.2 und Satz 1.1. Analog ist Ψ Φ Ψ Φ. Daraus folgt die Behauptung. Satz 2.2 Seien C Φ Ψ D mit Ψ Φ Id C und Φ Ψ Id D Funktoren 1. Für A, B C ist dann Φ AB : C(A, B) D(ΦA, ΦB) mit f Φ f bijektiv. Für f C(A, B) gilt dabei, f mono (epi) Φ f mono (epi). Sei τ : Ψ Φ Id C eine natürliche Äquivalenz und f, g C(A, B) mit Φ f = Φg, also auch ΨΦ f = ΨΦg. Dann: f = τ B ΨΦ f τ 1 A = τ B ΨΦg τ 1 A = g ΨΦA τ A A ΨΦ f ΨΦg f g ΨΦB τ B B Dies zeigt, Φ AB ist injektiv. Analog ist Ψ CD für alle C, D D injektiv. Zum Beweis der Surjektivität von Φ AB sei U D(ΦA, ΦB). Dann ist f := τ B ΨU C(A, B). Nun betrachten wir die folgenden kommutativen Diagramme: τ 1 A ΨΦA τ A A ΨΦA τ A A ΨU f ΨΦ f f ΨΦB τ B B ΨΦB τ B B Man erhält, ΨU = τb 1 f τ A = ΨΦ f. Da Ψ ΦA,ΦB injektiv ist, folgt, U = Φ f. Damit ist die Surjektivität von Φ AB bewiesen. Sei nun f C(A, B) mono, D D und g, h D(D, ΦA) mit (Φ f ) g = (Φ f ) h (zeigen, das man kürzen kann). Die Anwendung des Funktors Ψ liefert dann: (ΨΦ f ) Ψg = (τb 1 f τ A) und (ΨΦ f ) Ψh = (τb 1 f τ A). Daraus folgt, f τ A Ψg = f τ A Ψh, d. h. τ A Ψg = τ A Ψh, da f mono, und damit Ψg = Ψh, da τ A Isomorphismus. Weil Ψ D,ΦA injektiv ist, folgt, g = h. Sei umgekehrt Φ f mono. Dann ist analog ΨΦ f mono. Folglich ist f = τ B ΨΦ f τ 1 A wieder mono, da τ 1 A und τ B mono. Der Beweis zu epi geht analog. 1 Der Fall kommt recht häufig vor. 17

2. Natürliche Transformationen und Äquivalenzen Definition 2.4 (Äquivalente Kategorien) Zwei Kategorien C, D heißen äquivalent, falls Funktoren C Φ Ψ Φ Id C und Φ Ψ Id D. Wir schreiben, C D. D existieren mit Ψ Bemerkung 2.4 Man zeigt leicht, dass die Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist. Definition 2.5 (Rechts- und linksadjungierte Funktoren) Seien C Φ Ψ D Funktoren. Man nennt Φ linksadjungiert zu Ψ und Ψ rechtsadjungiert zu Φ, falls es Bijektionen ν AB : D(ΦA, B) C(A, ΨB) für A C und B D existieren derart, dass für alle Morphismen f : A A in C und g : B B folgende Diagramme kommutieren: D(ΦA, B) ν A B C(A, ΨB) D(ΦA, B) ν AB C(A, ΨB) D(Φ f, B)νAB C( f, ΨB) D(ΦA, g) C(A, Ψg) D(ΦA, B) C(A, ΨB) ν A B D(ΦA, B ) C(A, ΨB ) Bemerkung 2.5 Das bedeutet, dass für s D(ΦA, B) und t D(ΦA, B) gilt: ν AB (s Φ f ) = ν A B(s) f und ν AB (g t) = Ψg ν AB (t). Beispiel 2.3 Seien C := D := Set und S Set. Sei Φ : C D der Funktor mit ΦA := A S für A Set und Φ f := f id S für jeden Morphismus f in Set. Außerdem sei Ψ : = Abb(S,?) : D C wie in Beispiel 1.3. Es ist zu zeigen, dass Φ linksadjungiert zu Ψ ist. Dann brauchen wir für A, B Set eine Bijektion ν AB : Abb(A S, B) Abb(A, Abb(S, B)) mit f ν AB ( f ). Für a A sei also (ν AB ( f ))(a) : S B mit s f (a, s). Man rechnet nach, dass alles funktioniert. 18

3. Ringe, Teilringe und Ideale Definition 3.1 (Ring) Ein Ring R ist ein Tripel R = (R, +, ) mit (i) (R, +) ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0, dem Nullelement. (ii) (R, ) ist ein Monoid, d. h. assoziativ mit 1, dem Einselement. (iii) Die Distributivgesetze gelten: a(b + c) = ab + ac und (a + b)c = ac + bc für alle a, b, c R. Bemerkung 3.1 Das Null- und Einselement sind eindeutig. Setze a b := a + ( b). Manche Bücher verlangen die Existenz von 1 nicht. Wie üblich: 0x = 0 = x0 und ( x)y = (xy) = x( y), ( x)( y) = xy. Ist ab = ba für alle a, b R, dann heißt der Ring kommutativ. Beispiel 3.1 (i) Z, Q, R, C, {0} (Letzterer wird als Nullring bezeichnet). (ii) Sei M eine Menge. Dann ergibt sich durch A + B := (A \ B) (B \ A) und A B : = A B der Potenzmengenring P(M) = { A A M }. (iii) Sei (R, +, ). Dann erhält man einen entgegengesetzten Ring (R, +, ) mit a b : = ba mit a, b R. Man schreibt R o für opposite. (iv) Sei R ein Ring und n N. Dann ist R n n ein voller Matrixring des Grades n über R. Das Nullelement ist die Nullmatrix 0 n und das Einselement 1 n. (v) Sei (R i ) i I eine nichtleere Familie von Ringen. Dann erhält man das direkte Produkt i I R i := R i := { (r i ) i I r i R i, i I } i I mit (r i ) i I + (s i ) i I := (r i + s i ) i I. Der Spezialfall R i = R für alle i ergibt R i = Abb(I, R) = { f : I R f Abbildung } i I 19

3. Ringe, Teilringe und Ideale mit ( f + g)(x) := f (x) + g(x) für x I und für den Spezialfall I = {1,..., n} ergibt sich das direkte Produkt durch R i = R 1... R n = { (r 1,..., r n ) r 1 R 1,..., r n R n } i I (vi) Sei R ein Ring und M ein Monoid. Dann ergibt sich der Monoidring von M über R durch RM := { (r m ) m M r m R, m M, r m = 0 für fast alle m M }. Die Addition ergibt sich durch (r m ) m M + (s m ) m M := (r m + s m ) m M und die Multiplikation durch (r m ) m M (s m ) m M := ( p,q M,pq=m r p s q ) m M. Die Summe ist endlich. Für m M sei m := (δ mn ) m M (KRONECKER-Delta). Dann ist 1 M das Einselement von RM und man hat m n = mn für m, n M. Setze r(r m ) m M := (rr m ) m M für r R, (r m ) m M RM. Dann ist (r m ) m M = m M r m m. Identifiziere jeweils m mit m. Dann ist (r m ) m M = m M r m m. Dabei: m M r m m = m M s m m r m = s m für alle m M. m M r m m + m M s m m = m M (r m + s m )m ( m M r m m)( m M s m m) = m M ( p,q M,pq=m (r p s q ))m. Speziell: M Gruppe. Dann ist RM ein Gruppenring. Speziell: R[X] Polynomring in einer oder mehreren Variablen. Definition 3.2 (Invertierbar, Invers, Einheit) Sei R ein Ring und a R. Das Element a heißt genau dann rechtsinvertierbar, wenn ein b R existiert mit ab = 1. Das b heißt dann rechtsinvers zu a. Analog definiert man linksinvertierbar und linksinvers. Das Element a heißt genau dann invertierbar oder Einheit, wenn es rechts- und linksinvertierbar ist. Bemerkung 3.2 U(R) := R = { a R a invertierbar } ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation. Sie heißt die Einheitengruppe. Für U(R) = R \ {0} heißt R Schiefkörper. Wenn R ein kommutativer Schiefkörper, so ist R ein Körper. Beispiel 3.2 Sei R ein Ring und n N. Dann ist GL(n, R) := U(R n n ) der Ring der invertierbaren Matrizen und heißt allgemeine lineare Gruppe des Grades n über R (general linear group). Definition 3.3 (Nullteiler) Sei R ein Ring und a R. Dann heißt a Linksnullteiler, wenn ein b R \ {0} mit ab = 0 existiert. Analog definiert man Rechtsnullteiler. Ein Element a heißt Nullteiler, wenn es Links- oder Rechtsnullteiler ist. 20

Beispiel 3.3 (i) ( ) ( ) 1 0 0 0 = 0 0 0 1 ( ) 0 0 0 0 in Q 2 2. (ii) R = {0} 0 Nullteiler in R. Bemerkung 3.3 Ein Ring R = {0} heißt nullteilerfrei, wenn 0 der einzige Nullteiler in R ist. Schiefkörper und Z sind nullteilerfrei. Nullteilerfreie kommutative Ringe heißen Integritätsbereich. Beispiele sind Körper und Z. Definition 3.4 (Idempotentes und nilpotentes Element) Sei R ein Ring und a R. Das Element a heißt idempotent, wenn a 2 = a. Das Element a heißt nilpotent, wenn ein n N mit a n = 0 existiert. Bemerkung 3.4 (i) Wenn a idempotent, dann ist auch 1 a idempotent: (1 a) 2 = 1 2a + a 2 = 1 2a + a = 1 a. (ii) Wenn a nilpotent, dann 1 a U(R). Denn aus a n = 0 folgt, (1 a)(1 + a + a 2 + + a n 1 ) = 1 a n = 1 und (1 + a + a 2 + + a n 1 )(1 a) = 1. Beispiel 3.4 0,1 sind idempotent und 0 ist stets nilpotent. Definition 3.5 (Teilring) Sei R ein Ring. Dann ist S R genau dann ein Teilring, wenn S ein Ring mit den entsprechend eingeschränkten Verknüpfungen ist. Bemerkung 3.5 Dabei ist zugelassen, dass 1 R = 1 S. In der Literatur wird das nicht ganz einheitlich gehandhabt. Im Fall 1 R = 1 S hat man einen unitären Teilring. Also S R ist ein unitärer Teilring: (i) 0,1 R S (ii) a, b S a + b S a b S Beispiel 3.5 (a) Z Q C sind unitäre Teilringe. (b) Sei R ein Ring. Dann ist Z(R) := { z R za = az, a R } das Zentrum von R, also ein kommutativer, unitärer Teilring. 21

3. Ringe, Teilringe und Ideale { ( ) } a 0 (c) Der Ring a Q Q 0 0 2 2 ist kein unitärer Teilring. Denn das Einselement ist =. ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 0 1 (d) Der Ring R {0} R R ist kein unitärer Teilring. { ( ) } a b (e) Der Ring der Quaternionen H := a, b C C 2 2 ist ein unitärer b a ( ) 1 ( ) a b a b Teilring. Aus a, b = 0 folgt, = 1 H. Es ist also ein b a aa+bb b a Schiefkörper. Definition 3.6 (Ideal) Sei R ein Ring und I R. Dann heißt I Ideal in R, wenn gilt: (i) (I, +) ist eine Untergruppe von (R, +). (ii) Für r R und x I folgt, dass r x und x r in I liegen. Wir schreiben I R. Beispiel 3.6 (a) Für einen beliebigen Ring R sind 0 und R Ideale. Ein Ring R heißt einfach, wenn R = 0 und 0 sowie R die einzigen Ideale sind. (b) I U(R) = I = R. Denn für u I U(R) folgt, r = ru 1 u I für r R. Wenn R ein Schiefkörper ist, ist insbesondere R auch ein einfacher Ring. Die Umkehrung gilt nicht. (c) Sei (I j ) j J eine nichtleere Familie von Idealen I j R für j J. Dann ist: I j R Insbesondere erhält man für A R das von A erzeugte Ideal (A) = IR A R I R j J { } k = r i a i s i a i A, r i R, s i R, k N 0 i=1 Wir schreiben, (a 1,..., a n ) = ({a 1,..., a n }) für a 1,..., a n R. (d) I Z I = kz für genau eine Zahl k N 0. Das entspricht (k). (e) Sei R ein Ring und I, J R. Dann heißt I + J := { x + y x I, y J } R die Summe. 22

{ } (f) Es ist I J := i=1 k x iy i xi I, y i J, k N 0 das Produkt. Bemerkung 3.6 (Rechenregeln) (i) I + J = (I J) = J + I (ii) I J = ({ xy x I, y J }) I J. Die Gleichheit gilt im Allgemeinen nicht. (iii) (I J)K = I(JK) (iv) I(J + K) = I J + IK, (I + J)K = IK + JK Bemerkung 3.7 (Restklassenring) Sei R ein Ring, I ein Ideal in R und a R. Dann ist a + I := { a + x x I } die Restklasse von a modulo I. Dabei a + I = b + I a b I : a b (mod I). Man sagt, a ist kongruent zu b modulo I. Dann ist R/I := { a + I a R } ein Ring mit (a + I) ± (b + I) = (a ± b) + I und (a + I)(b + I) = (ab) + I. Das Nullelement ist 0 + I = I und das Einselement ist 1 + I. Dieser Ring heißt Restklassenring modulo I. Definition 3.7 (Maximales Ideal) Sei R ein Ring, M R und M = R (Somit ist R = {0}). Dann ist M genau dann ein maximales Ideal, wenn kein I R mit M I R existiert. Beispiel 3.7 Für k N 0 gilt: maximales Ideal genau dann, wenn k P. Definition 3.8 (Primideal) Sei R ein Ring, P R und P = R. Dann ist P genau dann ein Primideal in R, wenn für alle I, J R mit I J P folgt, I P oder J P. Bemerkung 3.8 (Primer Ring) Ein Ring heißt prim, falls 0 ein Primideal in R ist, d. h. für alle I, J R mit I J = 0 ist I = 0 oder J = 0. Das ist eine Art Nullteilerfreiheit für Ideale. Satz 3.1 Sei R ein Ring und = X R multiplikativ abgeschlossen, d. h. x, y X xy X. Dann ist jedes Ideal P R, welches maximal bezüglich P X = ist, ein Primideal in R. Insbesondere ist jedes maximale Ideal ein Primideal. Daher ist jeder einfache Ring prim. Seien I, J R mit I P und J P. Es ist zu zeigen, dass I J P. Wegen I := I + P P und der Maximalität existiert ein x I X und wegen J := J + P P gibt es analog ein y J X. Dann xy I J X. Da P und X disjunkt sind, ist also xy / P. Also P I J = (I + P)(J + P) = I J + IP + PJ + P 2 I J + P, d. h. I J P. Damit ist die erste Aussage bewiesen. Für die zweite Aussage setzt man X := {1} und die dritte Aussage ist klar. 23

3. Ringe, Teilringe und Ideale Satz 3.2 Sei R ein Ring, / X R multiplikativ abgeschlossen und 0 / X. Dann existiert stets ein Ideal P R, das maximal bezüglich P X = ist. Wir definieren A := { I R I X = } = wegen {0} A. Dann ist A durch geordnet. Jede nichtleere totalgeordnete Teilmenge L A ist S := I L I eine obere Schranke von L in A. Nach ZORNs Lemma enthält A ein maximales Element. Bemerkung 3.9 (i) Nach dem Satz 3.1 ist P ein Primideal in R. (ii) Jeder Ring R = {0} hat also mindestens ein maximales Ideal für X := {1}. Definition 3.9 (Semiprimideal) Sei R ein Ring und S R. Dann ist R genau dann ein Semiprimideal, wenn für alle I R mit I 2 S gilt, I S. Beispiel 3.8 Aus Primideal folgt Semiprimideal. R R Semiprimideal. Die Durchschnitte von Semiprimidealen sind wieder Semiprimideale. Diese Aussage gilt nicht für Primideale. Beispielsweise ist 2Z 3Z = 6Z nicht prim. Satz 3.3 Sei R ein Ring und S R. Dann ist S R genau dann ein Semiprimideal, wenn S ein Durchschnitt von Primidealen ist. klar Sei S R ein Semiprimideal. Dann ist zu zeigen, dass S der Durchschnitt aller Primideale von R ist, die S enthalten. Sei x R \ S. Nun ist zu zeigen, dass ein Primideal P R mit S P und x / P existiert. Wegen RxR S ist (RxR)(RxR) S, da S Semiprimideal ist, d. h. xrx S. Setze x 0 := x. Wähle x 1 x 0 Rx 0 \ S. Wähle analog x 2 x 1 Rx 1 \ S usw. Erhalten x 0, x 1, x 2,... R \ S mit x i+1 x i Rx i für alle i. Nach ZORNs Lemma existiert P R mit S P maximal bezüglich x 0, x 1, x 2,... / P. Nun ist zu zeigen, dass P ein Primideal ist. Sonst existieren I, J R mit I P und J P, aber I J P. Dann I := I + P R, J := J + P R, P I und P J. Nach der Wahl von P existiert i, j N 0 mit x i I, x j J. Sei m := max{i, j}. Dann x m I J und x m+1 x m Rx m I J = (I + P)(J + P) = I J + IP + PJ + P 2 P Definition 3.10 (Semiprimer Ring) Ein Ring R heißt semiprim, falls 0 R ein Semiprimideal ist, d. h. es existiert kein Ideal I R mit I 2 = 0 = I. 24

Bemerkung 3.10 (Nilpotent, Nilideal, Radikal) Ein Ideal I in einem Ring R heißt nilpotent, falls n N mit I n = 0 existiert, d. h. x 1... x n = 0 für alle x 1,..., x n I. Gegebenenfalls ist x n = 0 für alle x I, d. h. jedes Element in I ist nilpotent. Ein Ideal I R heißt Nilideal, wenn jedes Element in I nilpotent ist. Es ist leicht zu zeigen, dass R genau dann semiprim ist, wenn 0 das einzige nilpotente Ideal in R ist. In einem beliebigen Ring R heißt der Durchschnitt Rad(R) aller Primideale in R Radikal. Dann ist Rad(R) das kleinste Semiprimideal in R und heißt Primradikal von R. Es gilt: Rad(R) enthält jedes nilpotente Ideal in R. Satz 3.4 Wenn R ein Ring ist, so ist Rad(R) ein Nilideal. Sei x Rad(R) nicht nilpotent. Dann = X := { x n n N } multiplikativ abgeschlossen und 0 / X. Nach der Bemerkung 3.9 existiert dann ein Primideal P R mit P X =. Also x Rad(R) P da x X und P X =. Satz 3.5 Wenn R ein kommutativer Ring ist, so ist Rad(R) = { x R x nilpotent }. Wir müssen nur zeigen. Die andere Beziehung ist klar nach dem Satz 3.4. Sei x R nilpotent, d. h. x n = 0 für ein n N. Dann RxR R und (RxR) n = RxRx... xr = Rx n = 0. Also: RxR R nilpotent, d. h. RxR Rad(R) nach der Bemerkung 3.10. 25

4. Ringhomomorphismen Definition 4.1 (Ringhomomorphismus) Seien R und S Ringe sowie ϕ : R S eine Abbildung. Diese heißt Homomorphismus oder Ringhomomorphismus, falls gilt, ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b) für alle a, b R. Bemerkung 4.1 (i) Wir lassen zu, dass ϕ(1 R ) = 1 S. Im Fall ϕ(1 R ) = 1 S heißt das ϕ unitär. Stets ist ϕ(0) = 0. Ist ϕ unitär, so ist ϕ(x) U(S) und ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) für x U(R). (ii) Sind ϕ : R S und ψ : S T Ringhomomorphismen, so auch ψ ϕ : R T. Daher bilden Ringe und Ringhomomorphismen eine Kategorie Ri. Neutrales Element in Ri(R, R) ist jeweils die Identitätsabbildung id R. (iii) Wie üblich definiert man Mono-, Epi-, Iso-, Endo- und Automorphismen von Ringen. Für jeden Ringisomorphismus ϕ ist die Umkehrabbildung ϕ 1 auch ein Ringisomorphismus. Daher sieht man, dass die Automorphismen bezüglich der Komposition eine Gruppe bilden: Aut(R) := { α : R R α Automorphismus } die Automorphismengruppe von R. (iv) Wie üblich hat man die Isomorphie von Ringen. Man bezeichnet diese mit = und es ist eine Äquivalenzrelation. (v) Seien R, S Ri und ϕ Ri(R, S). Für jeden Teilring T R ist ϕ(t) S ein Teilring. Insbesondere ist Bld(ϕ) = ϕ(r) S ein Teilring. Dieser heißt Bild von ϕ. Ist U S ein Teilring, dann ist dagegen ϕ 1 (U) R im Allgemeinen kein Teilring. Im Allgemeinen enthält ϕ 1 (U) kein Einselement. Sind aber U und ϕ unitär, so ist auch ϕ 1 (U) R ein Teilring. (vi) Seien R, S Ri und ϕ Ri(R, S). Für I R ist dann ϕ(i) ϕ(r), aber i. A. ϕ(i) S. Denn ist etwa ϕ : Z Q die Inklusionsabbildung und I = 2Z, so ist ϕ(i) = 2Z Q. Für J S ist ϕ 1 (J) R. Insbesondere ist ker(ϕ) := ϕ 1 ({0}) = { x R ϕ(x) = 0 } R der Kern von ϕ. Beispiel 4.1 (a) C C mit z z (komplexe Konjugation) ist ein Automorphismus. 26

(b) Für R Ri, a R und n Z definiert man: a + + a n > 0 na := 0 n = 0 ( n a) n < 0 Dann ϕ : Z R mit n n1 ein Homomorphismus. Insbesondere ist ker(ϕ) Z, also ker(ϕ) = kz für genau ein k N 0. Dann heißt k die Charakteristik von R. Man schreibt k = char(r). Beispielsweise ist char(z) = char(q) = char(r) = 0, char(z/nz) = n für n N 0, char(p(m)) = 2 für jede nichtleere Menge M. (c) Für jeden Teilring T R ist die Inklusionsabbildung T R ein Monomorphismus. Für I R ist die kanonische Abbildung R R/I mit a a + I ein Epimorphismus mit dem Kern I. Die Ideale von R sind genau die Kerne von Ringhomomorphismen mit Definitionsbereich R. Satz 4.1 (Homomorphiesatz) Für R, S Ri und ϕ Ri(R, S) ist Φ : R/ker(ϕ) Bld(ϕ) mit a + ker(ϕ) ϕ(a) ein Isomorphismus. Insbesondere ist R/ker(ϕ) = Bld(ϕ). Satz 4.2 (1. Isomorphiesatz) Seien R Ri, S R ein unitärer Teilring und I R. Dann ist auch S + I mit S + I := { s + x s S, x I } R ein unitärer Teilring, I S + I, S I S und S/S I = S + I /I. Satz 4.3 (2. Isomorphiesatz) Für R Ri und I R ist die Abbildung J J/I := { x + I x J } eine Bijektion zwischen der Menge aller Ideale J R mit I J und der Menge der Ideale in dem Restklassenring R/I. Dabei gilt, R /I / J/I = R /J. Bemerkung 4.2 Für R Ri und ein Ideal M R gilt also, M ist genau dann ein maximales Ideal, wenn R/M ein einfacher Ring ist. Satz 4.4 (Chinesischer Restsatz) Seien R Ri und I 1,..., I n R. Dann ist ϕ : R R/I 1... R/I n mit a (a + I 1,..., a + I n ) ein Homomorphismus und der Kern von ϕ ist I 1 I n. Insbesondere ist R/I 1 I n zu einem Teilring von R/I 1... R/I n isomorph. Gilt I i + I j = R für alle i = j, so ist ϕ surjektiv und I 1 I n = g Sym(n) I g(1)... I g(n). Insbesondere gilt, R/I 1 I n = R/I 1... R/I n. Bemerkung 4.3 Ist R kommutativ, so ist also I 1 I n = I 1... I n mit den obigen Voraussetzungen. 27

5. Moduln Sei R ein Ring. Definition 5.1 (Linksmoduln) Ein R-Linksmodul M = R M besteht aus einer Menge M sowie Verknüpfungen + : M M M mit (a, b) a + b und : R M M mit (r, m) rm mit den Eigenschaften: (i) (M, +) ist eine abelsche Gruppe. (ii) (rs)m = r(sm) für r, s R und m M. (iii) (r + s)m = rm + sm für r, s R und m M. (iv) r(m + n) = rm + rn für r R und m, n M. (v) 1m = m für m M. Analog definiert man den Begriff des Rechtsmoduls M = M R. Beispiel 5.1 (a) Sei K ein Körper, so sind die K-Linksmoduln die K-Vektorräume. (b) m, n N K m n ist K m m -Linksmodul und K n n -Rechtsmodul. (c) Sei (A, +) eine abelsche Gruppe. So wird A ein Z-Linksmodul mit na := a + + a für n N und a A. Umgekehrt ist in jedem Z-Linksmodul M die Multiplikation mit einem Element n N bereits durch die Addition festgelegt: na := (1 + + 1)a = 1a + + 1a = a + + a für a M. Also: Z-Linksmoduln sind abelsche Gruppen. (d) Der Ring R selbst ist ein R-Links- und ein R-Rechtsmodul. Dieser Modul heißt regulärer R-Links- bzw. R-Rechtsmodul. (e) Sei M ein R-Linksmodul. Dann ist M ein R o -Rechtsmodul mit mr := rm mit r R und m M. Die Eigenschaften von R-Linksmoduln übertragen sich auf R o -Rechtsmoduln. Falls R kommutativ ist, ist R = R o. Also sind das R-Linksmodul gleich dem R-Rechtsmodul. (f) Sei ϕ : R S unitärer Ringhomomorphismus und M ein S-Linksmodul. Dann wird M zu einem R-Linksmodul mit rm := ϕ(r)m für r R und m M. Spezialfall: R S unitärer Teilring und ϕ die Inklusionsabbildung. Dann spricht man von der Einschränkung oder Restriktion von M auf R. Die Notation dafür ist Res S R (M). 28

(g) Sei (M i ) i I nichtleere Familie von R-Linksmoduln. Dann erhält man das direkte Produkt i I M i = i I M i = { (m i ) i I m i M i, i I } als ein R-Linksmodul. Die Verknüpfungen sind komponentenweise definiert. Für I = {1,..., n} ergibt sich M 1... M n = n n M i = M i i=1 i=1 = { (m 1,..., m n ) m 1 M 1,..., m n M n } (h) Sei I eine nichtleere Menge und M ein R-Linksmodul. Dann ist die Menge der Abbildungen Abb(I, M) = i I M ein R-Linksmodul mit ( f + g)(i) := f (i) + g(i) und (r f )(i) = r f (i) mit f, g Abb(I, M), i I und r R. Für i = {1,..., n} ergibt sich Abb(I, M) = : M n. Bemerkung 5.1 (i) Abkürzung: Ab sofort entspricht Modul gleich dem Linksmodul. Rechtsmoduln werden explizit erwähnt. (ii) In jedem R-Modul M gilt, r0 = 0 für r R, 0m = 0 für m M, ( 1)m = m für m M. Aber rm = 0 r = 0 m = 0. Definition 5.2 (Untermodul) Ein Untermodul eines R-Moduls M ist eine Teilmenge N M, die mit den entsprechend eingeschränkten Verknüpfungen ein R-Modul ist, d. h. 0 N und für r, s R, m, n N rm + sn N. Beispiel 5.2 (a) Sei K ein Körper und V ein Vektorraum. Dann sind die Untermoduln von V die Untervektorräume von V. (b) Sei A ein Z-Modul, d. h. eine abelsche Gruppe, so sind die Untermoduln von A die Untergruppen von A. (c) Sei M ein R-Modul und (N i ) i I eine nichtleere Familie von Untermoduln von M. Dann ist i I N i M ein Untermodul. Speziell: X M D := N M,X N N M ein Untermodul. Das heißt von X erzeugter Untermodul. Man schreibt, D = : RX. Die Element von RX sind so genannte R-Linearkombinationen r 1 x 1 + + r n x n mit r 1,..., r n R und x 1,..., x n X. Ist X = {x} einelementig, so schreibt man RX = Rx. Ist Y M mit M = RY, so heißt Y Erzeugendensystem von M. Hat M ein endliches Erzeugendensystem, so heißt der Modul M endlich erzeugt. Ist M = Ry für ein y M, so heißt M zyklisch. 29

5. Moduln (d) Sei M ein R-Modul und (N i ) I I eine Familie von Untermoduln von M. Dann ist: { } M i := x i x i N i, x i = 0 für fast alle i M i I i I ein Untermodul und heißt die Summe von (N i ) I I. Dann ist i I N i der von i I N i erzeugte Untermodul von M. Für den Spezialfall I = {1,..., n} folgt, i I N i = n i=1 N i = N 1 + + N n. (e) Sei (M i ) I I eine Familie von R-Moduln. Dann ist { } M i := (m i ) M i m i = 0 für fast alle i M i i I i I i I das Koprodukt von (M i ) i I. (f) Linksideal L von R: Untermodul des regulären R-Linksmoduls R, d. h. L R, 0 L und rx + sy L für r, s R und x, y L. Analog definiert man das Rechtsideal. Für I R gilt also, I R I Links- und Rechtsideal in R ist. (g) Sei M ein R-Modul. Dann sind 0 := {0} und R Untermoduln. Man bezeichnet 0 als den trivialen Untermodul und N M mit N = M als echten Untermodul. Weiter heißt M = 0 einfach oder irreduzibel, wenn 0 und M die einzigen Untermoduln sind. Satz 5.1 (Dedekind-Identität) Sei M ein R-Modul und U, V, W M Untermoduln mit U W. Dann folgt, (U + V) W = U + (V W). Bemerkung 5.2 Sei M ein R-Modul und N M ein Untermodul. Dann heißt M/N := { m + N m M } der Faktormodul von M nach N. Dabei ist m + N := { m + n n N } die Nebenklasse oder Restklasse von m nach N. Es gelten die Rechenregeln: (m + N) + (m + N) := (m + m ) + N r(m + N) := rm + N Wir schreiben: m m (mod N) m m N. Definition 5.3 (Lineare Abbildung) Seien M und N zwei R-Moduln und f Abb(M, N) mit f (rx + sy) = r f (x) + s f (y) für r, s R und x, y M. Dann bezeichnet man die Abbildung f als R-linear oder als R-Homomorphismus. Setze Hom R (M, N) := { f Abb(M, N) f ist R-linear }. Dann ist End R (M) := Hom R (M, M) und Aut R (M) = { f End R (M) f bijektiv }. Wie üblich definiert man die anderen Morphismen. 30

Bemerkung 5.3 (i) Die R-Moduln und R-Homomorphismen bilden eine Kategorie R Mod. Analog ergibt sich die Kategorie Mod R für Rechtsmoduln. Die endlich erzeugten R-Moduln bilden eine volle Teilkategorie R mod und analog auch mod R. (ii) Hom R (M, N) ist eine abelsche Gruppe (Z-Modul) mit ( f + g)(x) := f (x) + g(x) für f, g Hom R (M, N) und x M. Das Nullelement ist die Nullabbildung. (iii) Sei r R und f Hom R (M, N). Dann ist r f : M N mit x r f (x) im Allgemeinen kein R-Homomorphismus. Wenn R kommutativ ist, so ist r f Hom R (M, N) für r R und f Hom R (M, N). Somit ist Hom R (M, N) ein R-Modul. (iv) Seien L, M, N R Mod, f Hom R (L, M) und g Hom R (M, N). Dann ist g f Hom R (L, N). Stets ist id L ein R-Automorphismus. Es gelten die Distributivgesetze: (g + g ) f = g f + g f g ( f + f ) = g f + g f Daher bilden die Endomorphismen einen Ring bezüglich + und. Dieser heißt Endomorphismenring End R (M). Wichtig: M ist ein End R (M)-Modul mit f m := f (m) für f End R (M) und m M. Seien f Hom R (L, M) und g Hom R (M, N) zwei Isomorphismen, so sind auch g f und f 1 Isomorphismen. Daher ist Aut R (M) = U(End R (M)) bezüglich eine Gruppe, die Automorphismengruppe. (v) Seien M, N R Mod und f : M N ein R-Isomorphismus. Dann sind M und N isomorph. Wir schreiben, M N oder M R N. Die Relation ist eine Äquivalenzrelation. (vi) Seien M, N R Mod und f Hom R (M, N). Es ist leicht zu sehen, dass für U M Untermodul auch f (U) N ein Untermodul ist. Umgekehrt sei V N ein Untermodul. Dann ist auch f 1 (V) M ein Untermodul. Speziell ist ker( f ) = f 1 (0) = { x M f (x) = 0 } M ein Untermodul, der so genannte Kern. Es ist leicht einzusehen, dass F : M/ker f Bld( f ) mit x + ker f f (x) ein wohldefinierter R-Isomorphismus ist. Folglich haben wir nach dem Homomorphiesatz (Satz 4.1): M/ker f Bld( f ). Sei U M Untermodul. So ist f 1 ( f (U)) = U + ker f. Folglich sind die Abbildungen U f (U) und V f 1 (V) zueinander inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Untermoduln U M mit ker f U und der Menge aller Untermoduln V Bld( f ) (Korrespondenzsatz). Seien K, L M Untermoduln. Dann ist K/K L K + L/L mit x + (K L) x + L ein R-Isomorphismus. Also folgt nach dem 1. Isomorphiesatz (Satz 4.2): K/K L K + L/L. Für K L M Untermoduln folgt nach dem 2. Isomorphiesatz (Satz 4.3): M/K / L/K M/L. 31

5. Moduln Beispiel 5.3 (a) Sei M R Mod und N M ein Untermodul. Die Inklusionsabbildung N M mit n n ist ein R-Monomorphismus. (b) Die kanonische Abbildung M M/N mit m m + N ist ein R-Epimorphismus mit dem Kern N. (c) Sei (M i ) i I eine Familie von R-Moduln, M := i I M i und j I. Dann ist p j : M M j mit (m i ) i I m j ein R-Epimorphismus. Er heißt der Projektor. Die Abbildung q j : M j M mit m j (m i ) i I, wobei m i = 0 für i = j, ist ein R-Epimorphismus und heißt Injektor. Es ist leicht zu sehen, dass p j q j = id mj für j I und p k q j = 0 für j = k ist. Daher ist l j := q j p j End R (M) idempotent wegen l 2 j = l j für j I. Außerdem ist l k l j = 0 für j = k. Für I < folgt, i I e i = idm. Satz 5.2 (3. Isomorphiesatz) Sei M ein R-Modul, U 0, U, V 0, V M Untermoduln mit U 0 U und V 0 V. Dann folgt: Definition 5.4 (Untermodulreihe) Sei M R Mod. Dann ist U 0 + (U V)/U 0 + (U V 0 ) V 0 + (V U)/V 0 + (V U 0 ) U V/(U 0 V) + (V 0 U) (5.1) M = M 0 M 1... M l = 0 die Untermodulreihe von M. Die M i 1/M i heißen Faktoren und l ist die Länge von Gleichung 5.1. Zwei Untermodulreihen von M heißen isomorph oder äquivalent, wenn ihre Länge gleich ist und die Faktoren bis auf Reihenfolge isomorph sind. Eine Verfeinerung von Gleichung 5.1 entsteht durch Einfügen neuer Untermoduln. Sind alle M i verschieden, so heißt die Untermodulreihe aus Gleichung 5.1 eine Untermodulreihe ohne Wiederholung. Satz 5.3 (Verfeinerungssatz von Schreier) Je zwei Untermodulreihen eines R-Moduls M besitzen isomorphe Verfeinerungen. Definition 5.5 (Kompositionsreihe) Eine Untermodulreihe eines R-Moduls heißt Kompositionsreihe, falls sie selbst keine Wiederholungen enthält, wohl aber jede Verfeinerung. Satz 5.4 (Satz von Jordan-Hölder) Hat ein R-Modul eine Kompositionsreihe, so sind je zwei Kompositionsreihen isomorph. Bemerkung 5.4 Nach der Bemerkung 5.3 Punkt (vi) ist eine Untermodulreihe von M genau dann eine Kompositionsreihe, wenn die Faktoren einfache Moduln sind. Gegebenenfalls sind diese durch M bis auf Reihenfolge und Isomorphien eindeutig bestimmt. Sie heißen Kompositionsfaktoren von M. Außerdem haben alle Kompositionsreihen von M die gleiche Länge. Sie heißt Kompositionslänge von M. 32

Beispiel 5.4 Sei K ein Körper und V K vec endlich-dimensional. Dann ist die Kompositionslänge gleich der Dimension. Satz 5.5 Für M R Mod sind äquivalent: (1) (Aufsteigende Kettenbedingung) Zu jeder Folge N 1 N 2 N 3... von Untermoduln von M existiert ein k N mit N k = N k+1 = N k+2 =. (2) (Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von M hat ein maximales Element bezüglich. (3) Jeder Untermodul von M ist endlich erzeugt. 1 Definition 5.6 (noethersch) Gegebenenfalls heißt M noethersch. Bemerkung 5.5 Für M R Mod und jeden Untermodul N M gilt, dass M genau dann noethersch ist, wenn N und M/N noethersch sind. Satz 5.6 Für M R Mod sind äquivalent: (1) (Absteigende Kettenbedingung) Zu jeder Folge N 1 N 2 N 3... von Untermoduln von M existiert ein k N mit N k = N k+1 =. (2) (Minimalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von Untermoduln von M hat ein minimales Element bezüglich. Definition 5.7 (artinsch) Gegebenenfalls heißt M artinsch. Bemerkung 5.6 (i) Analog zu Bemerkung 5.5 gilt für M R Mod und jeden Untermodul N M, M ist genau dann artinsch, wenn N, M/N artinsch ist. (ii) Ist M R Mod und sind N sowie N artinsche bzw. noethersche Untermoduln eines R-Moduls M, so ist auch N + N artinsch bzw. noethersch. Denn nach dem ersten Isomorphiesatz (Satz 4.2) ist N + N /N N/N N. Definition 5.8 M R Mod hat genau dann eine Kompositionsreihe, wenn M sowohl artinsch und noethersch ist. 1 Das ist nicht äquivalent dazu, dass M endlich erzeugt ist! 33

5. Moduln Definition 5.9 (Links-, rechtsnoethersch, -artinsch bzw. linksartinsch) Der Ring R heißt linksnoethersch (linksartinsch), wenn R R noethersch (artinsch) ist. Analog erhält man rechtsnoethersch und rechtsartinsch. Ist R links- und rechtsnoethersch (links- und rechtsartinsch), so heißt der Ring noethersch (artinsch). Beispiel 5.5 Sei K ein Körper und n N. Dann ist R := K n n artinsch und noethersch. Denn jedes Links- und auch Rechtsideal ist ein K-Untervektorraum. Satz 5.7 Sei R linksnoethersch (linksartinsch) und M R mod. Dann ist M noethersch (artinsch). 34

6. Einfache, halbeinfache Ringe und Moduln Bemerkung 6.1 Für M, N R Mod und f Hom R (M, N) gilt, wie üblich: f ist genau dann injektiv, wenn ker( f ) = {0}. Satz 6.1 (Schurs Lemma) Für M, N R Mod gilt: (i) Sei M einfach und 0 = f Hom R (M, N). Dann ist f injektiv. (ii) Sei N einfach und 0 = f Hom R (M, N). Dann ist f surjektiv. (iii) Sei M, N einfach und M N. Dann ist Hom R (M, N) = 0. (iv) Wenn M einfach ist, so ist End R (M) ein Schiefkörper. Definition 6.1 (Maximales und minimales Linksideal) Ein Linksideal M = R heißt maximal, wenn kein Linksideal L R mit M L existiert. Analog kann man ein minimales Linksideal konstruieren. Bemerkung 6.2 (i) Für jedes Linksideal M R gilt, M ist genau dann maximal, wenn R/M ein einfacher R-Modul ist und M ist genau dann minimal, wenn M ein einfacher R-Modul ist. (ii) Jedes Linksideal L R ist in einem maximalen Linksideal M R enthalten. Der Beweis geht analog zu Satz 3.2. Insbesondere enthält jeder Ring R = 0 ein maximales Linksideal M. Daher hat jeder Ring R = 0 mindestens einen einfachen R-Modul. Nämlich R/M. Dagegen existieren Ringe, die keine minimalen Linksideale haben. Beispielsweise ist Z solch ein Ring. Satz 6.2 Sei S ein einfacher R-Modul. Dann existiert ein einfaches Linksideal M R mit S R/M. Satz 6.3 Sei M R Mod und (N i ) i I eine nichtleere Familie von Untermoduln von M. Dann sind äquivalent: (1) f : i I N i i I N i mit (n i ) i I i I n i ist ein R-Isomorphismus. 35

6. Einfache, halbeinfache Ringe und Moduln (2) Aus (n i ) i I i I N i mit i I n i = 0 folgt n i = 0 für alle i I. (3) j I N j j =i I N i = 0. Definition 6.2 (Direkte Summe) Gegebenenfalls heißt die Summe von (N i ) I I die direkte Summe. Wir schreiben N i = : i I N i. Bemerkung 6.3 (i) Im Fall I = {1,..., n} folgt leicht: i I N i = i I N i N j j 1 i=1 N i = 0 für alle j. Wir schreiben n i=1 N i = N 1... N n. (ii) Sei I beliebig und i I N i = i I N i = : N. Dann ist p j : N N j mit i I n i n j ein R-Epimorphismus und heißt Projektor. Weiter ist q j : N j N mit n j n j ein R-Monomorphismus und heißt Injektor. i I Wie in Beispiel 5.3 ist p j q j = id Nj und p k q j = 0 für j = k. Außerdem ist e j = q j p j End R (M) idempotent und es gilt e k e j = 0 für k = j. Wenn I endlich ist, so ist i I e i = 0id N. (iii) Ist M = N N mit Untermoduln N, N M, so heißt N direkter Summand von M und N heißt Komplement von N in M. Wir schreiben N M. Im Allgemeinen ist N durch N und M nicht eindeutig bestimmt. Satz 6.4 Für einen R-Modul M sind die folgenden Aussagen äquivalent: (1) M lässt sich als Summe einfacher Untermoduln schreiben. (2) M lässt sich direkte Summe einfacher Untermoduln schreiben. (3) Jeder Untermodul N M hat ein Komplement in M, also M = N N. Definition 6.3 (Halbeinfacher, vollständig reduzibler Modul) Gegebenenfalls heißt der Modul M halbeinfach oder vollständig reduzibel. Bemerkung 6.4 Wie in der Algebra folgt, wenn M halbeinfacher R-Modul und N M Untermodul ist, so ist auch N und M/N halbeinfach. Definition 6.4 (Halbeinfacher Ring) Ist der reguläre Linksmodul R R halbeinfach, so heißt der Ring R halbeinfach. Bemerkung 6.5 (i) Genauer sollte man linkshalbeinfach sagen. Es zeigt sich aber, dass jeder linkshalbeinfache Ring auch rechtshalbeinfach ist und umgekehrt. 36

(ii) Sei R halbeinfach und R = i I M i mit einfachen Untermoduln M i, d. h. mit minimalen Linksidealen. Wir schreiben 1 = i I m i mit m i M i für alle i I. Dabei ist J = { i I m i = 0 } endlich. Dann ist also 1 = j J m j, d. h. r = r1 = j J rm j j J M j für alle r R, d. h. R = j J M j = j J M j. Somit ist R eine direkte Summe endlich vieler einfacher Untermoduln. Insbesondere ist R linksartinsch und auch linksnoethersch. Nach der Definition 5.8 hat R R eine Kompositionsreihe. Nach dem Satz 6.2 kommt jeder einfache R-Modul bis auf Isomorphie als Kompositionsfaktor von R R vor. Daher existieren bis auf Isomorphie nur endlich viele einfache R-Moduln. Satz 6.5 Ist R halbeinfach, so auch jeder R-Modul. Satz 6.6 (i) Sei M ein R-Modul und n N. Dann ist End R (M n ) = End R (M) n n. (ii) M 1,..., M n R Mod, Hom R (M i, M j ) = 0 für alle i = j End R (M 1... M n ) = End R (M 1 )... End R (M n ). (iii) Sei e R idempotent. So ist End R (Re) = ere. Insbesondere End R ( R R) = R o. Satz 6.7 (Satz von Wedderburn) Genau dann ist der Ring R halbeinfach, wenn Zahlen l N 0, d 1,..., d l N und Schiefkörper D 1,..., D l existieren mit R = D d 1 d 1 1... D d l d l l. Gegebenenfalls ist l eindeutig, d 1,..., d l sind bis auf die Reihenfolge eindeutig und D 1,..., D l sind bis auf die Reihenfolge und Isomorphie eindeutig. Bemerkung 6.6 (i) l ist die Anzahl der Isomorphieklassen einfacher R-Moduln. (ii) Für i = 1,..., l ist M i := D d i 1 i ein einfacher Modul über S := D d 1 d 1 1... D d l d l l mit (s 1,..., s l )m i := s i d i für s 1 D d 1 d 1 1,..., s l D d l d l l, m i M i. (iii) Für i = 1,..., l ist d i die Vielfachheit von M i als Kompositionsfaktor von S S. (iv) Analog ist R genau dann rechtshalbeinfach, wenn obige Bedingung erfüllt ist. Daher ist rechtshalbeinfach dasselbe wie linkshalbeinfach. 37